爆炸焊接界面碰撞压力的计算

陈火金

doi:10.11883/1001-1455(1984)03-0010-10

摘要: 本文通过数学推导给出爆炸焊接时相对于碰撞点的来流速度与材料压缩率之间的关系,介绍了任意材料组合在对称碰撞和非对称碰撞时按可压缩流体计算驻点压力的方法,并同习惯采用的按不可压缩流体计算驻点压力及按等效正碰撞计算的激波压力进行比较。发现在对称碰撞时,按不可压缩流体计算的驻点压力比按可压缩流体计算的驻点压力为小。而在非对称碰撞时,按准对称碰撞不可压缩流体计算的驻点压力则大于按非对称碰撞可压缩流体计算的驻点压力。文章还讨论了爆炸焊接下限应按等效正碰撞来计算压力的最小值。而在正常的可焊范围内,由于再入射流的存在将使正碰撞的激波压力计算值失真,加上碰撞点附近压力分布不均匀,应以驻点压力来表征其碰撞压力。但计算这个压力时不可忽略材料的实际可压缩性,尤其是在非对称碰撞情况下更不能忽略。

地下工程施工过程中围岩体不可避免地会受到循环载荷扰动，经循环荷载扰动围岩体的力学性能是决定围岩承载能力的重要因素。大量岩土工程实践表明，岩体(如地下洞室群^[1])会受到多次开挖扰动等循环荷载作用，导致岩体承受的荷载作用形式是多次的、循环的。在循环荷载作用下，岩石的力学特性与静态荷载作用下有显著不同^[2]。经循环荷载扰动的围岩体仍将面临冲击地压^[3]、毗邻洞室爆破开挖^[4]等动荷载威胁，因此研究经循环荷载损伤的岩体动态力学特性十分有意义。

以往的研究表明，影响岩石疲劳寿命的主要因素是周期荷载的上限应力和幅值^[5]。谢和平等^[6]从能量的角度出发，认为岩石的变形破坏过程实际上就是一个从局部损耗到局部破坏最终到整体灾变过程。张志镇等^[7]通过4种加载速率对红砂岩试件进行单轴不断增加荷载循环加、卸载实验，得到能量的演化及转化规律。邓华锋等^[8]探讨频率和幅值变化对加卸载过程中动弹性模量、阻尼比和阻尼系数等动力参数的影响。郭印同等^[9]通过实验得出提高上限应力值和平均应力值，盐岩初始轴向变形和循环轴向变形的比率都会提高，疲劳破坏时的总循环次数显著减小。Shalev等^[10]分析了体积应变、体积模量和加、卸载过程中的滞回效应及幅值的关系。周家文等^[11]利用砂岩的循环加卸载实验得到了利用应力应变曲线计算损伤变量的方法。张媛等^[12]对砂岩进行循环荷载作用下不同围压时的三轴压缩实验，得到循环荷载作用下围压对砂岩滞回环演化规律。黎立云等^[13]通过对岩石试件进行了竖向循环加卸载直至破坏的双向压缩实验，得出破坏时的总吸收能、总耗散能和总弹性应变能；朱珍德等^[14]利用细观图像实验得到频率与岩石断口细观裂纹总数目、面积及分形维数关系。以上研究可以分为两大类，一类是研究不同加载速率、不同偏应力、不同围压等因素对滞回曲线、能量、损伤等参数的影响，一类是研究疲劳寿命与上限应力等因素的关系，得到了一些有益的结论。

爆破等冲击荷载直接威胁地下工程的安全^[4]，章根德^[15]通过霍普金森压杆研究岩石的动态响应,还分析讨论了影响动态强度的一些因素。黎立云等^[16]对砂岩试件进行了动态霍普金森杆冲击破坏实验和静态加压破坏实验，对于动态冲击实验，得到了不同冲击速度下岩石试件破坏时的总吸收能、总耗散能。刘红岩等^[17]讨论了节理参数及载荷应变率等对岩体动态力学特性的影响，得到了岩体动态峰值强度及弹性模量则随着节理法向及切向刚度的增大分别减小或增大。宫凤强等^[18]分别利用RMT-150C和分离式霍普金森压杆试验系统对砂岩进行了不同应变率下的单轴压缩、三轴压缩和拉伸实验，给出了不同应变率范围内动态Mohr-Coulomb准则和动态Hoek-Brown准则的具体表达形式。胡柳青等^[19]研究了冲击荷载作用下岩石破裂损伤的耗能规律。刘军忠等^[20]得到了动态抗压强度、强度增强因子、比能量吸收与平均应变率之间的关系。李夕兵等^[21]研究了动静组合加载条件下岩石的力学特性与破坏模式。这些研究主要集中于率效应、节理对岩石力学行为的影响及率效应对冲击过程中能量分配的影响。

实际上地下工程的开挖，受循环荷载扰动后的损伤岩体力学性能是决定工程安全的重要因素,但对循环荷载损伤大理岩的动力学性质的研究鲜有报道。本文中在上述研究的基础上，通过设置循环荷载上限应力和循环次数，得到不同损伤变量的大理岩岩样。通过损伤岩样动力学实验，揭示损伤变量对大理岩动力学参数及能量分配的影响。

1. 实验方案

1.1 试样制备

实验所用白色大理岩取自中国云南，所含矿物成分及其含量通过X射线衍射获得：主要由CaO(33.4%)、MgO(19.1%)和SiO₂(11.5%)组成。此外，还检测到其他矿物杂质，例如Fe₂O₃(0.16%)和Al₂O₃(0.16%)。试样密度和孔隙率分别为2.810 g/cm³和0.596%。

所取大理岩的CT扫描如图1所示，从图中可以看出每个CT图像中所有像素的平均CT数（CT_a）没有显著差异，并且标准差（CT_sd）非常小（在100 Hu内）。因此，所选大理石的均质性和完整性较好。考虑到岩样损伤后要采用分离式Hopkinson压杆（SHPB）装置进行冲击实验，圆柱形试样的高径比定为1∶1，均为50 mm。加工精度符合相关规定，并保持自然风干状态。岩样共计51块，包括测定静单轴抗压强度试样U01～U03，以及等荷载循环加卸载试样T01～T48（见表1）。

图 1 大理岩8个等距横截面的CT图像

注：CT_a和CT_sd分别是每个图像中所有CT值的平均值和标准差。

Figure 1. CT images of eight equidistant cross-sections

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表 1 等荷载循环加卸载试样

Table 1. Cyclic loading and unloading specimens under equal load

σ_uls/σ_ucs	循环次数
σ_uls/σ_ucs	80	60	40	20
80%	T37	T40	T43	T46
	T38	T41	T44	T47
	T39	T42	T45	T48
85%	T25	T28	T31	T34
	T26	T29	T32	T35
	T27	T30	T33	T36
90%	T4	T1	T7	T10
	T5	T2	T8	T11
	T6	T3	T9	T12
95%	T13	T16	T19	T22
	T14	T17	T20	T23
	T15	T18	T21	T24

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1.2 实验设备及方案

实验分为两部分，单轴等荷载循环加卸载损伤实验和冲击实验。

循环损伤实验：实验设备采用MTS 815，试样两端涂抹凡士林以减小端部效应对实验的影响。本次实验第一次循环加载段采用加载速率为1 kN/s的线性加载，加载到上限应力处采用频率为0.2 Hz的正弦波进行加载，直到达到设计的循环次数。上限应力（σ_uls）分别设置为单轴抗压强度（σ_ucs）的80%、85%、90%及95%。

冲击实验：采用分离式Hopkinson压杆（SHPB）实验系统进行单轴冲击实验。该系统子弹、入射杆、透射杆的直径均为75 mm，长度依次为0.6、5和3 m。经现场调试，冲击气压设定为0.14 MPa，子弹速度4 m/s左右，实验设备如图2所示。

图 2 MTS 815、SHPB实验系统

Figure 2. MTS 815 and SHPB testing systems

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2. 单轴等荷载循环损伤实验

2.1 上限应力确定

单轴抗压强度曲线如图3所示，U01～U03单轴抗压强度分别为76、80、67 MPa，平均单轴抗压强度取74 MPa。本文中损伤强度（σ_cd）采用体积应变曲线的体积应变（ε_v）最大点对应的应力值^[22]，如图4所示。为了防止岩样循环过程中发生破坏，最大上限应力设置为单轴抗压强度的95%（70 MPa），为了获取损伤效果较好的岩样，最小上限应力取单轴抗压强度的80%（59 MPa，高于图4所得的损伤强度）。

图 3 单轴抗压强度曲线

Figure 3. Axial stress-axial strain curves

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图 4 大理岩损伤强度

Figure 4. Determination of the damage strength

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典型单轴循环加卸载应力应变曲线如图5所示。由图5可知，加载曲线与卸载曲线不重合，形成滞回环并且随着循环次数的增加，应力应变滞回环向应变增大的方向发展。发展趋势由疏到密，最终趋于重合，与文献[12]的结论一致。

图 5 等荷载循环实验典型应力应变曲线

Figure 5. Stress-strain curves for cyclic loadingwith constant amplitude

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2.2 耗散能分析

岩石在变形直至破坏过程中，会伴随能量的耗散和释放。由能量守恒定律可知，假设此物理过程中与外界没有热交换，计算公式如下^[6]：

$\quad\quad\;\;\;\quad\quad\quad\quad\quad U = {U_{\rm{e}}} + {U_{\rm{d}}} \quad\quad\quad\;\quad\quad\quad\quad\quad(1)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

式中：U为输入能，即外界对试样所做的功；U_d为耗散能，即加载过程中耗散的能量，主要用于岩石的内部损伤和塑性变形；U_e为弹性应变能，即加载过程中储存在岩石试样内部的能量，卸载阶段会释放出去。其中能量密度计算公式如下：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_{\rm{i}}} = \displaystyle\int\nolimits_0^{\varepsilon '} {{\sigma _{\rm{i}}}{\rm d}{\varepsilon _{\rm{i}}}} }\\ {{u_{{\rm{i,d}}}} = \displaystyle\int\nolimits_0^{\varepsilon '} {{\sigma _{\rm{i}}}{\rm d}{\varepsilon _{\rm{i}}}} - \displaystyle\int\nolimits_{\varepsilon '}^{\varepsilon ''} {{\sigma _{\rm{i}}}{\rm d}{\varepsilon _{\rm{i}}}} }\\ {{u_{{\rm{i,e}}}} = \displaystyle\int\nolimits_{\varepsilon '}^{\varepsilon ''} {{\sigma _{\rm{i}}}{\rm d}{\varepsilon _{\rm{i}}}} } \end{array}} \right.$

(2)

式中：ε′为卸载应力σ′处所对应的应变；ε″为应力卸载到0处所对应的应变，即塑性应变。

图6所示为岩石在应力水平σ′处的加卸载应力应变曲线。循环加卸载实验过程中（以60次循环为例）耗散能密度如图7所示。

图 6 岩石在应力水平σ′处能量计算示意图

Figure 6. Schematic diagram of energy calculation at σ′

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图 7 不同上限应力累积耗散能密度与循环次数关系曲线

Figure 7. Relation between cumulative dissipation energy density and number of cycles under different upper limit stress levels

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当加载到应力水平σ′时，输入能密度为u_i，可由该应力点处加载曲线与横坐标的面积确定；耗散能密度为u_i,d，可由该应力点处加载曲线与卸载曲线之间的面积确定；弹性应变能密度为u_i,e，可由卸载曲线与横坐标轴之间的面积确定^[7]。

由图7可知，累积耗散能密度随循环次数的增加呈线性增加，上限应力越大累积耗散能密度增长速率越大。

2.3 塑性应变

塑性应变为不可逆应变，即总应变与弹性应变的差值，如下式所示^[11]：

$\quad\quad\quad\quad\varepsilon ''(i) = \varepsilon '(i) - {\varepsilon _{\rm{e}}}(i)\quad\quad\;\;\;\quad\quad\quad\quad(3)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

式中：ε″为塑性应变，ε′为卸载应力σ′处应变即总应变，ε_e(i)为弹性应变。

根据公式（3）得到塑性应变均值随上限应力和循环次数的演化规律，计算结果如图8所示。由图8可知，同等上限应力水平下，随着循环次数的增加，塑性应变先快速增大，后缓慢增加，最后趋于稳定，且趋于稳定所需的循环次数与上限应力呈正相关。原因是随循环次数增加，滞回环最终趋于重合，即耗散能趋近于0，此时继续加卸载，试样不会产生新的塑性变形，即塑性应变最终会稳定在一定数值，而上限应力越大，累积耗散能密度越大，岩样内部损伤和塑性变形也会增大，如图5、7所示。

图 8 塑性应变与循环次数关系曲线

Figure 8. Relationship between plastic strain and number of cycles

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3. 损伤大理岩动力学特性

为消除矩形波加载带来的弥散效应，需进行入射波整形^[23-24]，本次实验入射波波形整形器选用直径10 mm、厚2 mm的橡胶片^[25]。经整形器整形后应变波如图9所示，由图9可知波形整形效果较好。损伤试样动弹性模量远远小于杆件的弹性模量，因此忽略了试件横截面积的不匹配引起的二维效应^[26]。利用三波法计算出应变率均值为48.69 s⁻¹，标准差为8.43 s⁻¹，可以认为恒应变率加载，忽略应变率对本次实验的影响。

图 9 整形后的应变波

Figure 9. Strain waves after shaping

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本文中应力应变关系采用三波法^[27]计算，动态弹性模量采用ISRM推荐的计算方法^[28]。

3.1 动力学实验结果

实验所得动态应力应变曲线如图10所示。由图10可知，试样承受循环加卸载的上限应力和循环次数不同，动态强度和破坏应变的差异性更为显著。试样所受循环次数越多、上限应力越大，其强度越低，破坏应变明显偏大。这是由于循环次数和上限应力的差异造成岩样内部微裂隙发育情况不尽相同，循环次数越多、上限应力越大，岩样内部微裂隙越多造成的。

图 10 动态应力应变曲线

Figure 10. Dynamic stress-strain curves

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动态强度与上限应力、循环次数之间的关系分别如图11～12所示。由图11可以看出，动态强度随循环加卸载上限应力的增加呈负相关，可以划分为两个阶段：σ_uls/σ_ucs=0.80～0.85的快速下降阶段及σ_uls/σ_ucs=0.85～0.95的缓慢下降阶段。从图12可知，动弹性模量随上限应力变化规律与动态抗压强度随上限应力变化规律类似，动弹性模量随上限应力的变化也呈现出2个阶段：σ_uls/σ_ucs=0.80～0.85的快速下降段和σ_uls/σ_ucs=0.85～0.95的缓慢下降段。

图 11 动态抗压强度随上限应力变化规律

Figure 11. Relationship between dynamic compressive strength and upper limit stress

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图 12 动态弹性模量随上限应力变化规律

Figure 12. Relationship between dynamic elastic modulus and upper limit stress

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3.2 损伤变量对大理岩动力学特性影响

上文分析了循环加卸载实验上限应力、循环次数对大理岩动力学性质的影响，得到了动态抗压强度、动态弹性模量随循环加卸载上限应力、循环次数的变化规律。循环加卸载实验中上限应力和循环次数对大理岩的影响，从本质上来说是对大理岩造成了不同程度损伤。损伤变量定义如下^[29]：

$\;\;\quad\quad\quad\quad\quad\quad D = 1 - {\left( {\frac{{{v_{\rm{r}}}}}{{{v_0}}}} \right)^2}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(4)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

式中：D为损伤变量，v_r为受损岩石中的波速，v₀为原始岩石中的波速。本文中通过康科瑞NM–4A非金属超声检测分析仪测得各个岩样的波速，如表2所示。

表 2 不同上限应力及循环次数下波速

Table 2. Wave speed for different upper limit stress and number of cycles

σ_uls/σ_ucs	循环次数	平均波速/(km·s⁻¹)	损伤变量
80%	20	4.951	0.124
	40	4.774	0.186
	60	4.605	0.242
	80	4.288	0.343
85%	20	4.639	0.231
	40	4.513	0.273
	60	4.288	0.343
	80	4.117	0.395
90%	20	4.513	0.273
	40	4.401	0.308
	60	4.178	0.377
	80	3.989	0.432
95%	20	4.362	0.320
	40	4.288	0.343
	60	4.083	0.405
	80	3.844	0.472
0	0	5.291	0

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分析表2可知，上限应力越大（或循环次数越多），损伤岩样的波速越小，表明岩样的损伤越大，内部微裂隙越多。损伤变量随上限应力演化情况如图13所示。

图 13 损伤变量与上限应力关系曲线

Figure 13. Relationship between damage variable and upper limit stress

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由图13可知，同等循环次数下，上限应力越大，损伤变量随着上限应力的增加而增大。由上文可知累积耗散能密度与上限应力（循环次数）呈正相关，因此损伤变量也随着上限应力（循环次数）的增大而增大。

损伤变量增量随上限应力的增大而减小，这可能是由于岩石材料承受的上限应力达到损伤强度时，材料内部产生大量的微裂隙，当微裂隙达到一定数量时，上限应力的增大并不能使岩样内部裂隙数量持续快速增加。

动态单轴抗压强度、动态弹性模量随损伤变量的演化过程如图14～15所示。

图 14 动态抗压强度随损伤变量演化过程

Figure 14. Relationship between dynamic compressive strength and damage variable

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图 15 动态弹性模量随损伤变量演化过程

Figure 15. Relationship between dynamic elastic modulus and damage variable

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本文中采用指数函数拟合，可以更好地拟合损伤变量为1时试样失去承载能力、动态强度和动弹性模量趋近于0的情况。由图14～15可知，动态抗压强度和动态弹性模量均随损伤变量的增加呈指数衰减。这主要是由于随着损伤变量的增加，内部微裂隙数目越多，岩样劣化越严重，在同一冲击气压下必然导致动态抗压强度的衰减。动弹性模量主要表征了岩样的轴向抗变形能力，破坏应变是其主导因素之一，从图10可以看出，损伤变量越大破坏应变越大，这也从另一方面验证了动态弹性模量随损伤变量增加而降低。

3.3 能量分析

冲击实验中，入射波、反射波和透射波包含的能量依次为W_I、W_R、W_T，试样吸收能量为W_L，W_L主要为由三部分构成：（1）破碎耗能W_FD，主要用于产生新的断裂表面和裂纹扩展等；（2）碎块弹射的动能W_K；（3）其他能量W_O，主要指以其他如热能等各种形式耗散的能量。其中被耗散的能量很小可以忽略，且碎块弹射速度的测定非常困难，因此W_K的确定也存在一定难度。Zhang等^[30]利用高速相机对SHPB实验中岩石碎块的速度进行测定，W_K约占W_L的5.05%，因此本文的研究中，岩石的破碎吸能W_FD的计算直接以岩石总吸收能来近似替代^[31]。计算公式如下：

$\left\{ \begin{aligned} &{W_{\rm{I}}} = \frac{{{A_0}{c_0}}}{E}\int {\sigma _{\rm{I}}^2} {\rm d}t = {A_0}{c_0}E\int {\varepsilon _{\rm{I}}^2} {\rm d}t\\ &{W_{\rm{R}}} = \frac{{{A_0}{c_0}}}{E}\int {\sigma _{\rm{R}}^2} {\rm d}t = {A_0}{c_0}E\int {\varepsilon _{\rm{R}}^2} {\rm d}t\\ &{W_{\rm{T}}} = \frac{{{A_0}{c_0}}}{E}\int {\sigma _{\rm{T}}^2} {\rm d}t = {A_0}{c_0}E\int {\varepsilon _{\rm{T}}^2} {\rm d}t\\ &{W_{\rm{L}}} = {W_{{\rm{FD}}}} = {W_{\rm{I}}} - ({W_{\rm{R}}} + {W_{\rm{T}}}) \end{aligned} \right.$

(5)

式中：σ_I、σ_R和σ_T分别对应于压杆上的入射波、反射波和透射波的应力；c₀和E为压杆中声波传播速度和弹性模量；A₀为压杆横截面积。计算结果如图16～17所示。

图 16 能量分配随损伤变量演化规律

Figure 16. Evolution curves of energy under different damage variables

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图 17 破碎吸能随损伤变量演化规律

Figure 17. Relationship between W_FD and damage variable

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由图16可知，当D＜0.343时，透射能占比大于反射能占比，且随着损伤增加，透射能占比呈现出降低的趋势而反射能占比则不断增加，破碎耗能占比稳定在10%左右；而D＞0.343时，透射能占比小于反射能，透射能占比持续降低反射能占比不断增加，而破碎耗能占比情况与D＜0.343时完全不同，出现占比增大的趋势。这可以通过一维应力波理论进行解释，根据一维应力波理论得到的试样应变和应力如式（6）所示：

$\left\{ \begin{aligned} &\varepsilon \left( t \right) = - \frac{{2{c_0}}}{L}\int {{\varepsilon _{\rm{R}}}{\rm d}t} \\ &\sigma \left( t \right) = \frac{{{A_0}}}{{{A_{\rm{s}}}}}E{\varepsilon _{\rm{T}}} \end{aligned} \right.$

(6)

式中：A_S和A₀为试件和压杆横截面积，L为试件长度。

由式（6）可知，反射波决定了试件的应变变化，透射波能够反映岩石试件中的平均应力变化情况。结合图10可得随损伤变量的增加，损伤大理岩破坏应变显著增大，而动态强度有所降低，因此反射波与损伤变量呈正相关而透射波随损伤变量增加不断减小。

由图17可知，在冲击载荷下，随着岩石损伤变量的增加，破碎吸能分为两个阶段，稳定阶段和增长阶段，临界损伤变量D=0.343；当D＜0.343时，破碎吸能稳定在13 J左右，而D＞0.343时，破碎吸能随着损伤变量增加持续增加。这是因为岩石破坏过程中的能量耗散特性与其内部损伤特征有十分密切的联系，裂纹的繁衍、扩展和贯通每一阶段都要从外部吸收能量，而且是不可逆的能量耗散过程。当D＜0.343时，岩样内部的微裂隙较少导致岩样能量吸收较少；当D＞0.343时，岩样内部微裂隙较多，因此在实验过程中容易吸收更多的能量用于内部微裂隙的扩展和贯通。

由于实验手段的限制，本次实验忽略了碎块弹射动能，因此当D＞0.343时，碎块弹射动能是否是引起试样总吸收能增加的因素以及随损伤变量增加碎块弹射动能的演化规律仍然需要进一步的研究。

4. 结　论

对大理岩进行了4级上限应力、4种循环次数的等荷载循环加卸载实验，得到了48块不同损伤程度的大理岩试样，并对循环加卸载损伤岩样开展了SHPB冲击动力学实验，得到了如下主要结论：

（1）相同上限应力下，随着循环次数的增加，塑性应变逐渐增大。上限应力越大，塑性应变趋于稳定所需的循环次数也会增大。

（2）动态抗压强度、动态弹性模量随上限应力σ_uls的变化呈现出两个变化阶段：(80%～85% )σ_ucs的快速下降段和(85%～95% )σ_ucs的缓慢下降段。

（3）损伤变量随上限应力、塑性应变增加呈非线性增加，损伤变量增量随着上限应力、塑性应变的增大而减小。动态单轴抗压强度、动态弹性模量随损伤变量增大呈指数衰减。

（4）当D＜0.343时，反射能占比随损伤变量增加逐渐增大，透射能不断衰减，但透射能占比大于反射能占比，破碎吸能占比在10%上下浮动，其数值约为13 J；当D＞0.343时，反射能和破碎吸能占比逐渐增加，透射能不断衰减，此时透射能占比小于反射能。碎块弹射动能随损伤变量的演化规律仍然需要进一步的研究。

感谢陆军军官学院姜锡权教授对SHPB实验给予的悉心指导与热情帮助。