两类动态断裂

陈大年; 王德生; 马松合; 石工勋; 李延年

doi:10.11883/1001-1455(1987)01-0027-7

摘要: 本文介绍了我们对壳体的一维及二维膨胀变形与断裂的研究,也介绍了我们在层裂研究方面的工作。

动能弹高速侵彻混凝土时，弹靶界面的高温、高压以及高速摩擦作用使得弹体发生明显的质量侵蚀现象^[1]。质量侵蚀引起弹体头形钝化，随着侵彻速度的提高，侵蚀效应变得愈加显著，甚至可能导致弹体发生动态屈曲、弯曲和破裂等结构破坏失效以及诱发弹道倾斜等不稳定性，严重影响弹体的侵彻性能^[2-6]。因此，研究高速侵彻混凝土弹体的侵蚀效应对弹体的结构设计和优化具有重要意义。

Forrestal等^[2]和Frew等^[7]开展了不同弹材的尖卵形弹体高速侵彻混凝土的实验，首次关注到弹体的质量侵蚀现象，完整地记录了弹体的质量损失，并发现实验弹体头部表面有熔化和剧烈刮擦的迹象。另外，何翔等^[5]、杨建超等^[6]和Mu等^[8]也开展了弹体高速侵彻混凝土的实验，发现类似的实验现象。对文献[2]获得的实验数据进行分析，Silling等^[9]发现，当撞击速度低于约1 km/s时，侵彻后弹体的质量损失与初始动能存在线性关系，当撞击速度高于约1 km/s时，侵彻后弹体质量损失基本保持不变。Chen等^[10-11]进一步综合分析文献[2,7]的实验结果，发现侵蚀后的剩余弹头仍接近尖卵形，同时指出混凝土骨料硬度对弹体的质量损失有显著影响。Jones等^[12]假设弹体的质量损失全部来源于侵彻过程中弹靶间剧烈摩擦造成的弹头表面材料的熔化脱落，建立了相应的弹体质量损失的理论模型。He等^[13]基于Jones等^[12]的工作在其模型中引入了骨料硬度的影响，得到了考虑骨料影响的弹体质量损失预测公式。

本文进一步深入分析混凝土骨料对弹体侵蚀效应的影响，将混凝土视为骨料和砂浆混合的二相复合材料，采用混凝土骨料体积分数χ和骨料剪切强度 ${\tau _1}$ 代替骨料莫氏硬度H，引入无量纲骨料修正因子β，建立β修正的弹体质量损失工程预测模型，并基于泰勒展开，推导Silling关系中弹体质量损失与弹体初始动能的线性系数的解析表达式。

1. 骨料修正的弹体质量损失模型

通过拟合实验数据，Silling等^[9]得出当初始撞击速度 ${v_0} \text{≤} 1\;{\rm{ km/s}}$ 时弹体的质量损失与弹体的初始动能满足线性关系，弹体的相对质量损失δ可表示为

$\delta = \frac{{\Delta M}}{{{M_0}}} = Cv_0^2/2$

(1)

式中：线性系数C通过实验数据拟合得到，单位为s²/km²。

Jones等^[12]假设弹体的质量损失全部来源于侵彻过程中弹靶间剧烈摩擦造成的弹体头部表面材料熔化脱落，并认为摩擦功全部转化为热，且全部用于熔化弹体表面材料，得到弹体质量损失表达式为：

$\Delta M = \frac{{{\text{π}}{d^2}{\tau _0}N_0^{\rm a}Z}}{{4\kappa Q}}$

(2)

式中：κ为热功当量；Q为单位质量弹体材料的熔化热，在模型中，Q取纯铁的熔化热，则κQ =1 264.8×10³ J/kg；d为弹体直径；Z为计及质量损失的弹体侵彻深度； ${\tau _0}$ 为靶体的剪切强度，根据相应的侵彻深度实验数据拟合得到；对于任意弹体，弹头的无量纲纵截面面积 ${N^{\rm a}}$ 为

${N^{\rm a}} = \frac{8}{{{d^2}}}\int_0^b {y{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{d}}x} \tag{3a}$

(3)

式中：b为弹头长度，x为弹体轴向坐标，y为弹头轮廓线的函数；特殊地，对于尖卵形弹体，式(3a)可简化为：

${N^{\rm a}} = 4{\psi ^2}{\cos ^{ - 1}}\left( {1 - \frac{1}{{2\psi }}} \right) - (2\psi - 1)\sqrt {4\psi - 1} \tag{3b}$

(3)

式中： $\psi = {s/d}$ 为尖卵形弹头的曲径比，s为尖卵形母线的曲率半径；当 $\psi = {\psi _0}$ （ ${\psi _0}$ 初始弹头的曲径比）时， ${N^{\rm a}} = N_0^{\rm a}$ 为初始弹头的无量纲纵截面面积。

He等^[13]在Jones模型的基础上，考虑骨料的影响，引入无量纲骨料硬度η，得到η修正的弹体质量损失表达式：

$\Delta M = \eta \frac{{{\text{π}} {d^2}{\tau _0}N_0^{\rm a}Z}}{{4 kQ}}$

(4)

式中：η=H/H₀，H为骨料的莫氏硬度，H₀=7为参考硬度，η为骨料莫式硬度的相对值。当骨料为石英石时，η=1；骨料为石灰石时，η=3/7≈0.43。He等^[13]在其修正模型中采用Tresca准则估计混凝土的剪切强度为 ${\tau _0} = {f_{\rm c}}/\sqrt 3$ ^{[1, 14, 15]}，并取Z为刚性弹的侵彻深度：

$Z = \frac{{2{M_0}}}{{{\text{π}} {d^2}N_0^*{\rho _{\rm t}}}}\ln \left( {1 + \frac{{{\rho _{\rm t}}N_0^*v_0^2}}{{S{f_{\rm c}}}}} \right)$

(5)

式中： ${\rho _{\rm t}}$ 为靶体密度；f_c为靶体无约束抗压强度；S是与f_c相关的无量纲经验常数，取 $S = 82.6{f_{\rm c}}^{ - 0.544}$ 或 $S = 72.0{f_{\rm c}}^{ - 0.5}$ ^{[1, 15]}；弹头形状因子 ${N^*}$ 为：

${N^*} = \frac{8}{{{d^2}}}\int_0^b {\frac{{y{{y'}^3}}}{{1 + {{y'}^2}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} } {\rm{d}}x \tag{6a}$

(6a)

对于尖卵形弹体，上式可简化为：

${N^*} = \frac{1}{{3\psi }} - \frac{1}{{24{\psi ^2}}} \tag{6b}$

(6)

当 $\psi = {\psi _0}$ 时， ${N^*} = N_0^*$ 为初始弹头形状因子。

将式（5）代入式（4），He等^[13]得到η修正的弹体相对质量损失的预测公式：

$\delta = \frac{{\eta {\tau _0}N_0^{\rm a}}}{{2{\rho _{\rm t}}N_0^*\kappa Q}}\ln \left( {1 + \frac{{{\rho _{\rm t}}N_0^*v_0^2}}{{S{f_{\rm c}}}}} \right)$

(7)

式中：N*₀为初始弹头形状因子。

对比式（4）和式（2）可以发现，He等^[13]模型仅仅是通过引入骨料莫式硬度的相对值η来修正弹体的质量损失。而莫式硬度H本身只是按照十种矿物之间相对硬度顺序表示的值，并非绝对硬度值。因此，He等^[13]考虑骨料影响的弹体质量损失模型较为粗糙。事实上，弹体高速侵彻混凝土时，弹靶之间发生强烈的局部作用，因此考虑局部效应和混凝土靶体的非均匀性，式（2）中混凝土的剪切强度 ${\tau _0}$ 受到骨料的影响。式（4）可以视为将混凝土的剪切强度 ${\tau _0}$ 修正为 $\eta {\tau _0}$ 。本文将混凝土靶体视为骨料和砂浆的二相混合材料，根据Hill等人^[16]提出的混合物与各相材料之间的关系，引入骨料的剪切强度 ${\tau _1}$ 和体积分数χ，对混凝土靶体的剪切强度由 ${\tau _{\rm{0}}}$ 修正为 ${\tau _{\rm{R}}}$ ：

$\frac{1}{{{\tau _{\rm R}}}} = \frac{{1 - \chi }}{{{\tau _0}}} + \frac{\chi }{{{\tau _1}}} \tag{8a}$

(8)

即

${\tau _{\rm R}} = \frac{1}{{(1 - \chi ) + \chi \displaystyle\frac{{{\tau _0}}}{{{\tau _1}}}}}{\tau _0} = \beta {\tau _0} \tag{8b}$

(8)

式中：χ为骨料的体积分数， ${\tau _1}$ 为骨料的剪切强度。由于骨料对于混凝土整体的无约束抗压强度f_c影响较小，因此将 ${\tau _0} = {f_{\rm c}}/\sqrt 3$ 视为砂浆的剪切强度。由式(8b)可得到无量纲骨料修正因子β，β与骨料的体积分数χ以及砂浆和骨料的相对强度 ${{{\tau _0}}/{{\tau _1}}}$ 相关。

$\beta = \frac{1}{{(1 - \chi ) + \chi {\kern 1pt} {\kern 1pt} \displaystyle\frac{{{\tau _0}}}{{{\tau _1}}}}} = \displaystyle\frac{1}{{(1 - \chi ) + \chi {\kern 1pt} {\kern 1pt} \displaystyle\frac{{{f_{\rm c}}}}{{\sqrt 3 {\tau _1}}}}}$

(9)

则修正的弹体相对质量损失可表示为：

${\delta _{\rm R}} = \frac{{\beta {\tau _0}N_0^{\rm a}}}{{2{\rho _{\rm t}}N_0^*\kappa Q}}\ln \left( {1 + \frac{{{\rho _{\rm t}}N_0^*v_0^2}}{{S{f_{\rm c}}}}} \right)$

(10)

式（10）给出了本文考虑骨料影响的弹体相对质量损失的解析表达式，其中 $\beta {\tau _0}$ 是考虑局部效应的混凝土剪切强度，将混凝土视为骨料和砂浆的混合材料，从而引入骨料对弹体质量损失的影响。

图1给出了不同骨料含量χ和骨料剪切强度 ${\tau _1}$ 下的 $\beta-{f_{\rm c}}$ 曲线。其中图1(a)表示强度较高的石英石骨料（取骨料体积分数为40%、50%、60%，剪切强度为20 MPa、30 MPa）；图1(b)表示强度较低的石灰石骨料（取骨料体积分数为40%、50%、60%，剪切强度为8 MPa、10 MPa）。从图1可以看出，对于相同体积分数和强度的骨料，骨料修正因子β随着靶体无约束抗压强度f_c的增大而减小。当骨料强度大于靶体强度时，β＞1；当骨料强度小于靶体强度时，β＜1。而He等^[13]的骨料修正因子η只与骨料自身的硬度相关，与靶体强度无关，这会导致：当高强度骨料、低强度靶体时，其模型会低估骨料的影响，从而低估弹体的质量损失；而当低强度骨料、高强度靶体时，其模型会高估骨料的影响，从而高估弹体的质量损失。

图 1 无量纲骨料修正因子β

Figure 1. Dimensionless modified factor β

下载: 全尺寸图片幻灯片

式（1）表明，当弹体撞击速度低于某一临界值时，弹体的质量损失与初始动能成正比。类似Wu等^[17]的分析，可给出弹体的上限撞击速度 $v_0^{\rm c}$ 以及比例系数C的解析式。将式（10）进行泰勒级数展开，并和式（1）对比即可得到比例系数C为：

$C = \frac{{\beta N_0^{\rm a}}}{{\sqrt 3 \kappa QS}}\left( {1 - \frac{1}{2}\frac{{N_0^*{\rho _{\rm t}}}}{{S{f_{\rm c}}}}v_0^2 +...} \right)$

(11)

若式(11)中的一阶项 $\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{{N_0^*{\rho _{\rm t}}}}{{S{f_{\rm c}}}}v_0^2 \text{＜} \displaystyle\frac{1}{5}$ ，即 ${v_0} \text{＜} v_0^{\rm c} = \sqrt {2S{f_{\rm c}}/(5N_0^*{\rho _{\rm t})}}$ 时，仅保留其常数项，同时考虑忽略了高阶项会使得C值偏大，可取比例系数C的解析式为：

$C = \frac{{0.8\beta N_0^{\rm a}}}{{\sqrt 3 \kappa QS}}$

(12)

2. 实验验证

表1给出了尖卵形弹体高速侵彻混凝土实验的相关参数^{[2, 6-7]}。本节基于各组实验数据对弹体高速侵彻混凝土靶的质量损失模型进行验证。

表 1 实验弹靶参数

Table 1. Parameters of targets and projectiles

工况	f_c/MPa	ρ_t/(kg·m⁻³)	骨料	H	弹体材料	Y_p/MPa	ρ_p/(kg·m⁻³)	m₀/kg	d/mm	L/d	ψ₀
1-1	13.5	2 000	石英石	7	4340 钢	1 481	7 850	0.064	12.9	6.88	3
1-2	13.5	2 000						0.064	12.9	6.88	4.25
2-1	21.6	2 000						0.064	12.9	6.88	3
2-2	21.6	2 000						0.064	12.9	6.88	4.25
3	62.8	2 300						0.478	20.3	10	3
4	51.0	2 300						1.6	30.5	10	10
5	58.4	2 320	石灰石	3	4340 钢/AerMet100	1 481/1 820	7 850	0.478	20.3	10	3
6	58.4	2 320			4340 钢/AerMet100	1 481/1 820		1.62	30.5		3
7	34.8	2 300			60Si2 Mn/Tc4	1 300/1 030		0.155	14		4.25
8	48.6	2 300			60Si2 Mn/20#钢	1 300/450		0.155	14		4.25
9	61.3	2 300			60Si2 Mn/45#钢	1 300/680		0.155	14		4.25
10	76.4	2 300			60Si2 Mn/35CrMnSi	1 300/1 540		0.155	14		4.25

下载: 导出CSV

| 显示表格

在文献[2, 6-7]中未直接给出骨料体积分数和剪切强度相关实验参数。根据通常混凝土骨料的体积分数在40%～60%之间，本文取骨料体积分数χ=50%。同时，利用工况1-1和工况6的弹体质量损失实验数据拟合得到石英石和石灰石骨料的剪切强度分别为20和8 MPa，进而应用于其他工况。由式（9）计算得到所有工况的不同f_c值下的骨料修正因子η和β，见表2。

表 2 无量纲骨料修正因子η和β

Table 2. Dimensionless modified factors η and β

f_c/MPa	骨料类型	η	β	f_c/MPa	骨料类型	η	β	f_c/MPa	骨料类型	η	β
13.5	石英石	1	1.44	62.8	石英石	1	0.71	58.4	石灰石	0.43	0.38
21.6	石英石	1	1.23	34.8	石灰石	0.43	0.57	61.3	石灰石	0.43	0.37
51	石英石	1	0.81	48.6	石灰石	0.43	0.44	76.4	石灰石	0.43	0.31

下载: 导出CSV

| 显示表格

图2～13给出了本文β修正的弹体质量损失模型与He等^[13]的η修正模型的预测结果和实验数据的对比。正如前文分析，在工况1-1和1-2，即高强度骨料、低强度靶体时，He等^[13]的 $\eta$ 修正模型低估了弹体质量损失，如图2和图3；而在工况10，即低强度骨料、高强度靶体时，He等^[13]的 $\eta$ 修正模型高估了弹体质量损失，如图13。表3～4给出两组高强度骨料、低强度靶体和低强度骨料、高强度靶体工况（工况1-2和工况10）的模型预测结果误差数据对比。从预测结果来看，本文β修正的弹体质量损失模型与现有的实验数据较符合，预测结果优于He等^[13]的η修正模型，更为准确地表征了骨料对弹体质量损失的影响。

图 2 弹体相对质量损失预测结果与实验数据对比（工况1-1）

Figure 2. Predicted relative mass loss of the projectile compared with experimental data (Case 1-1)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 3 弹体相对质量损失预测结果与实验数据对比（工况1-2）

Figure 3. Predicted relative mass loss of the projectile compared with experimental data (Case 1-2)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 4 弹体相对质量损失预测结果与实验数据对比（工况2-1）

Figure 4. Predicted relative mass loss of the projectile compared with experimental data (Case 2-1)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 5 弹体相对质量损失预测结果与实验数据对比（工况2-2）

Figure 5. Predicted relative mass loss of the projectile compared with experimental data (Case 2-2)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 6 弹体相对质量损失预测结果与实验数据对比（工况3）

Figure 6. Predicted relative mass loss of the projectile compared with experimental data (Case 3)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 7 弹体相对质量损失预测结果与实验数据对比（工况4）

Figure 7. Predicted relative mass loss of the projectile compared with experimental data (Case 4)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 8 弹体相对质量损失预测结果与实验数据对比（工况5）

Figure 8. Predicted relative mass loss of the projectile compared with experimental data (Case 5)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 9 弹体相对质量损失预测结果与实验数据对比（工况6）

Figure 9. Predicted relative mass loss of the projectile compared with experimental data (Case 6)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 10 弹体相对质量损失预测结果与实验数据对比（工况7）

Figure 10. Predicted relative mass loss of the projectile compared with experimental data (Case 7)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 11 弹体相对质量损失预测结果与实验数据对比（工况8）

Figure 11. Predicted relative mass loss of the projectile compared with experimental data (Case 8)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 12 弹体相对质量损失预测结果与实验数据对比（工况9）

Figure 12. Predicted relative mass loss of the projectile compared with experimental data (Case 9)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 13 弹体相对质量损失预测结果与实验数据对比（工况10）

Figure 13. Predicted relative mass loss of the projectile compared with experimental data (Case 10)

下载: 全尺寸图片幻灯片

表 3 工况1-2的模拟结果与实验对比

Table 3. Comparison of experimental and simulation results at case 1-2

工况1-2弹速/(m·s⁻¹)	345	585	722	900	1 063
He等^[13]模型误差	−33%	−41%	−35%	−27%	−13%
本文模型误差	−5%	−15%	−7%	6%	25%

下载: 导出CSV

| 显示表格

表 4 工况10的模拟结果与实验对比

Table 4. Comparison of experimental and simulation results at case 10

工况10弹速/(m·s⁻¹)	847	975	1 124	1 165	1 250	1 315	1 376	1 382
He等^[13]模型误差	46%	23%	21%	102%	88%	49%	98%	57%
本文模型误差	5%	−11%	−12%	45%	35%	7%	42%	13%

下载: 导出CSV

| 显示表格

图14～25给出了在较低速度 ${v_0}\text{＜} v_0^{\rm c} = \sqrt {2S{f_{\rm c}}/5N_0^*{\rho _{\rm t}}}$ 下，弹体相对质量损失的实验值以及Wu等^[17]的线性近似解和本文的β修正的线性近似解的对比。从图中可以看出，通过β修正的线性近似解也更接近实验值。

图 14 低速下弹体相对质量损失线性近似解与实验数据对比（工况1-1）

Figure 14. Experimental data and the linear approximate solution at low impact velocity (Case 1-1)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 15 低速下弹体相对质量损失线性近似解与实验数据对比（工况1-2）

Figure 15. Experimental data and the linear approximate solution at low impact velocity (Case 1-2)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 16 低速下弹体相对质量损失线性近似解与实验数据对比（工况2-1）

Figure 16. Experimental data and the linear approximate solution at low impact velocity (Case 2-1)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 17 低速下弹体相对质量损失线性近似解与实验数据对比（工况2-2）

Figure 17. Experimental data and the linear approximate solution at low impact velocity (Case 2-2)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 18 低速下弹体相对质量损失线性近似解与实验数据对比（工况3）

Figure 18. Experimental data and the linear approximate solution at low impact velocity (Case 3)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 19 低速下弹体相对质量损失线性近似解与实验数据对比（工况4）

Figure 19. Experimental data and the linear approximate solution at low impact velocity (Case 4)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 20 低速下弹体相对质量损失线性近似解与实验数据对比（工况5）

Figure 20. Experimental data and the linear approximate solution at low impact velocity (Case 5)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 21 低速下弹体相对质量损失线性近似解与实验数据对比（工况6）

Figure 21. Experimental data and the linear approximate solution at low impact velocity (Case 6)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 22 低速下弹体相对质量损失线性近似解与实验数据对比（工况7）

Figure 22. Experimental data and the linear approximate solution at low impact velocity (Case 7)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 23 低速下弹体相对质量损失线性近似解与实验数据对比（工况8）

Figure 23. Experimental data and the linear approximate solution at low impact velocity (Case 8)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 24 低速下弹体相对质量损失线性近似解与实验数据对比（工况9）

Figure 24. Experimental data and the linear approximate solution at low impact velocity (Case 9)

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 25 低速下弹体相对质量损失线性近似解与实验数据对比（工况10）

Figure 25. Experimental data and the linear approximate solution at low impact velocity (Case 10)

下载: 全尺寸图片幻灯片

值得说明的是，本文为获得弹体质量损失的解析式忽略了弹体头部形状的钝化，而初始形状的无量纲纵截面面积 ${N^{\rm a}}$ 相对偏大，会高估弹体的质量损失，因此通过拟合实验数据得到的骨料剪切强度会相对偏低。后续可通过进一步考虑弹体的头形钝化，建立相应的弹体质量损失数值模型。

3. 结　语

本文考虑混凝土骨料影响的弹体损失工程模型预测结果与实验数据较吻合，模型的有效性得到验证。将混凝土靶体视为骨料和砂浆的二相复合材料，引入混凝土骨料的体积分数χ和骨料的剪切强度 ${\tau _1}$ 代替骨料的莫氏硬度H，给出无量纲骨料修正因子β，更好地表征了混凝土骨料对弹体质量损失的影响，体现了混凝土骨料和砂浆对弹体质量侵蚀的耦合作用，物理意义更加明确。根据β修正的弹体相对质量损失表达式，基于泰勒级数展开，给出了Silling关系中弹体质量损失与弹体初始动能的线性系数的解析式。