材料内部动态拉伸层裂损伤属于准一维问题，其物理建模、实验设计相对简单，深入解析材料的层裂损伤过程有助于提高对材料动态损伤破坏机理的认识，因此，层裂损伤是固体力学领域研究的重要问题之一。迄今为止，基于唯象物理分析或半经验分析结果，Seaman等^[1]、Johnson^[2]、Ikkurthi等^[3]和Jacques等^[4]给出了可以较好地模拟一定加载范围内层裂实验结果的层裂损伤模型。现阶段，学者们开始逐渐关注高温、高压、高应变率等极端加载条件以及材料初始微细观结构对层裂损伤过程的影响^[5-6]，并不断发展和完善层裂损伤模型。尽管如此，正如前期相关学者所提到的：现有损伤模型的适用范围仍需要扩展，目前仍没有为大家所广泛接受的损伤模型^[7-8]。如针对常规飞片撞击的方波加载和高压、高应变率的三角波激光加载层裂实验，需要改变损伤模型参数才能分别模拟两种实验的结果，如果采用相同的层裂损伤模型和参数，则不能有效地模拟两者的自由面速度实验曲线^[9-10]。对于不同加载波形对层裂损伤的影响，目前更多的是采用实验方法进行定性分析^[11-12]。为此，面向实际工程中的复杂加载工况，需要不断改进和完善层裂损伤模型。

不同加载波形的影响主要反映在加载应变率的差异和靶板内部不同位置上的应变率差异对靶板材料内部层裂损伤的影响。本文中，主要聚焦于加载波形对损伤的影响，借助本课题组对层裂损伤早期发展规律的分析以及关于层裂强度物理建模和层裂损伤模型参数确定方法的研究成果^[13-16]，结合文献[17-18]关于方波、三角波和泰勒波加载的层裂实验结果，改进现有的层裂损伤模型，以期实现较好地计算模拟不同加载波形下自由面速度曲线的实验结果。

1.   孔洞增长层裂损伤模型的改进

为了方便分析加载波形对层裂损伤的影响，本文中采用形式较简单、使用效果较好、包含率效应影响的孔洞增长层裂损伤模型。1981年，Johnson^[2]基于空心球壳增长理论给出了孔隙度变量$\alpha$ （空心球壳总体积与基体体积之比）的增长率随静水压$p$变化的孔洞增长层裂损伤模型：

式中：α₀为初始孔隙度，η_s为剪切黏性系数，α_s为材料硬化系数。η_s和α_s可以认为是材料参数，文献[13-14]的分析指出：初始孔隙度α₀并非只与材料初始微缺陷有关，而是作为模型参考的初始孔隙度参数，包含了材料初始损伤、孔洞成核以及损伤早期增长的信息，也就是说，需要给出α₀合理的计算方法。

此外，众多的实验结果显示，材料的层裂强度对加载应变率具有很强的依赖性，基于对孔洞成核以及损伤早期增长规律的分析，耦合材料初始微缺陷分布特征，Wilkerson等^[19]、Nguyen等^[20]和张凤国等^[16]先后给出了层裂强度计算的理论模型，其模型计算结果与相关实验结果均符合较好，也就是说，加载的率效应在损伤早期增长阶段起到非常重要的影响。因此，孔洞增长层裂损伤模型参数α₀的计算需要包含加载率效应的影响。

基于文献[16]中给出的层裂强度p_spall的解析表达式：

式中：ρ₀、Y₀、G和c₀分别为材料的初始密度、屈服强度、剪切模量和体积声速，N₀为单位体积内潜在的孔洞成核总数，$\dot \varepsilon$ 为加载的应变率。

令$\zeta = {\left[{{{Y_0}}}/{{(G {N_0})}}\right]^{2/9}} \rho c_0^{4/3}$，则有：

同时，层裂强度与初始孔隙度的关系^[14]可以表示为：

式中：Г₀为材料的Grüneisen系数。

显然，参数ζ只与材料的初始微结构和材料的力学性质相关。得到参数α_s和ζ后，联立式(3)和(4)，可得到与加载应变率相关的孔洞增长层裂损伤模型参数α₀，即：在程序计算过程中，根据单元内的应变率，由式(3)计算当前的层裂强度，再由式(4)计算初始孔隙度α₀；根据式(1)，如果$\dot \alpha {\text{＞}} 0$，则计算得到的值为该单元的层裂强度p_spall和初始孔隙度α₀，然后根据式(1)继续计算损伤；否则，下一时间步重新计算。这样可将初始孔隙度α₀与加载条件关联在一起，即初始孔隙度α₀包含了材料初始微缺陷以及加载条件的综合影响。

2.   不同加载波形下层裂实验自由面速度曲线的模拟与分析

选用文献[17-18]给出的3种典型冲击加载波形的铝飞片撞击靶板层裂实验的自由面速度曲线结果。实验1^[17]：采用方波加载，厚度为2 mm的铝飞片的撞击速度为(1 900±70) m/s，铝靶板厚度为7 mm。实验2^[17]：采用三角波加载，厚度为2 mm的铝飞片的撞击速度为(3 000±100) m/s，靶板为厚4 mm的铜和厚10 mm的铝材料组成的复合靶板。实验3^[18]：采用泰勒波加载，厚度为0.4 mm的铝飞片的撞击速度为(660±20) m/s，铝靶板厚度为9.6 mm。实验1和实验2采用VISAR（velocity interferometer system for any reflector）技术测量靶板的自由面速度，实验3采用电容器测量靶板的自由面速度。数值模拟采用常用的一维拉格朗日有限元程序^[13-16]，且飞片和靶板的计算单元尽量采用相同或相近的尺寸。铝靶板的材料参数^[17-18]为：初始密度ρ₀=2 610 kg/m³，屈服强度Y₀=0.19 GPa，剪切模量G=26.23 GPa，Grüneisen系数Г₀=2.0，体积声速c₀=5 250 m/s，纵波声速c_l=6 400 m/s。

本文中采用2种计算方法模拟实验给出的自由面速度曲线，并结合实验结果对比分析加载波形对损伤的影响。方法1：以实验1为基础，根据Romanchenko等^[21]给出的层裂强度计算方法，得到层裂强度p_spall=1.071 GPa，并基于文献[15]给出的改进的参数确定方法，确定孔洞增长层裂损伤模型的3个参数（α₀=1.000 29，η_s=1.148 6 Pa·s，α_s=0.105 2 GPa），然后采用相同的模型参数计算模拟3发实验。方法2即本文中提出的新的计算方法，其中参数η_s和α_s的确定与方法1相同：首先，基于实验1的加载应变率$\dot \varepsilon$=7.99×10⁴ s⁻¹以及层裂强度p_spall，根据式(3)得到参数ζ=146.3 kPa·s；然后，结合程序计算中得到的应变率，由程序根据式(3)和(4)计算得到模型参数α₀及对应的层裂强度p_spall，显然，因加载条件不同，计算模拟3发实验的模型参数α₀也不同；最后，分别计算模拟3发实验的自由面速度曲线。

图1～3分别给出了3发实验自由面速度曲线的实验测量结果、采用方法1的数值模拟结果以及本文中新提出的损伤计算方法2的数值模拟结果。对比结果显示：(1) 在较好地模拟方波加载实验的基础上，采用相同的参数，现有的层裂损伤模型并不能完全有效地模拟方波、三角波以及泰勒波等不同冲击加载波形下的层裂实验结果，这也反映了现有层裂损伤模型应用范围的局限性；(2) 考虑层裂损伤模型参数初始孔隙度α₀与冲击加载应变率之间的关联，本文中给出的新的计算方法得到的模拟效果得到显著提升，同时，因初始孔隙度参数α₀由程序计算自动得到，从而方便了模型的应用、提高了工作效率。

图  1  实验1的自由面速度曲线与数值模拟结果

Figure  1.  Simulations of free-surface velocity profiles and comparison with experimental dataset 1 on aluminum under square wave loading

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图  2  实验2的自由面速度曲线及数值模拟结果

Figure  2.  Simulations of free-surface velocity profiles and comparison with experimental dataset 2on aluminum under triangular wave loading

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图  3  实验3的自由面速度曲线及数值模拟结果

Figure  3.  Simulations of free-surface velocity profiles and comparison with experimental dataset 3 on aluminum under Taylor wave loading

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以实验3的模拟结果为例，采用本文中给出的改进后的损伤模型及计算方法，对靶板材料内部的损伤问题作进一步数值分析。目前，采用相同模型参数模拟层裂实验包含2层含义：(1) 采用相同的参数模拟不同的实验结果；(2) 模拟同一发实验时，材料内部不同位置的损伤计算也采用相同参数。在本文中给出的新的层裂模拟计算过程中，如第1节所述，当$\dot \alpha {\text{＞}} 0$时，定义该时刻计算得到的数值为该单元的层裂强度p_spall和初始孔隙度α₀。图4～6分别给出了$\dot \alpha {\text{＞}} 0$时靶板材料内部不同位置单元的应变率$\dot \varepsilon$、初始损伤度D₀（${D_0} = 1 - 1/{\alpha _0}$）及层裂强度p_spall的分布情况（图4～6左侧的原点为飞片对靶板的撞击面），数值模拟时，将靶板沿冲击加载方向划分为960个单元，图4显示不同单元内的应变率不尽相同，导致计算得到每个单元内的初始损伤度（图5）及层裂强度（图6）差别很大，进而影响层裂实验的宏观外在表象。

图  4  靶板内部应变率分布情况

Figure  4.  Distribution of strain rate in target

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图  5  靶板内部初始损伤分布情况

Figure  5.  Distribution of initial damage in target

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图  6  靶板内部层裂强度分布情况

Figure  6.  Distribution of spall strength in target

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图7给出了层裂损伤计算最后时刻靶板内部的损伤（D）分布情况，损伤峰值对应的靶板内部位置即为层裂面，层裂面与靶板自由面之间的距离（即层裂面处单元到自由面之间的所有单元的长度）为层裂片的厚度。表1列出了计算得到的层裂片厚度和层裂面处的初始孔隙度、层裂强度以及实验得到的层裂强度和层裂片厚度。对比显示，计算结果与实验结果符合得相当好；同时，对于实验1，利用方法2计算得到的层裂面处的初始孔隙度与方法1相同，但因层裂面附近的初始孔隙度的不同，影响了单元内部损伤演化过程中应力波的传播，从而使得采用方法2给出的新方法计算得到的自由面速度与实验结果更加符合。总而言之，本文的工作较好地提高了层裂损伤计算模拟的精度。

图  7  靶板内部损伤分布情况

Figure  7.  Distribution of damage in target

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表  1  层裂实验的实验测量结果与数值计算结果

Table  1.  Experiment data and calculation results for spall experiments

实验	层裂强度/GPa			层裂片厚度/mm		层裂面处初始 孔隙度
	实验值	计算值		实验值	计算值
1	1.07±0.04	1.11		1.23±0.10	1.15	1.000 29
2	1.06±0.04	1.05		0.54±0.05	0.58	1.000 50
3	0.91±0.08	0.89		0.61±0.06	0.66	1.002 52

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此外，针对本文中的工作有3点需要说明：(${\text{Ⅰ}}$) 层裂强度一般表征材料的抗拉强度，其与自由面速度曲线峰值回落后的第1个回跳点相关，而初始孔隙度对应的是回跳点前的某一时刻，两者同时出现在式(4)中似乎不妥，但考虑损伤增长的早期，损伤非常小，并对应力的变化影响也很小，且加载应力/应变率几乎呈线性增长^[22]，因而，式(4)的处理是可以接受的；(${\text{Ⅱ}}$) 实验2采用的是复合靶板，但文献中并没有给出铜材料的力学参数，因此，图2给出的是定性的计算结果；(${\text{Ⅲ}}$) 关于图3给出的实验3计算结果与实验结果之间的不同，其原因可能是实验属于不易模拟计算的临界加载情况、损伤模型仍然需要进一步完善或实验采用了精度欠佳的电容器测量方法。

3.   结　论

方波、三角波和泰勒波加载是层裂实验中3种典型的、具有代表性的加载波形，现有的层裂损伤模型很难较好地模拟这3种波形加载实验给出的自由面速度曲线结果。考虑冲击加载的率效应对损伤早期增长以及材料层裂强度的影响，给出了与率效应相关的、孔洞增长层裂损伤模型初始损伤参数的程序自动计算方法。与采用现有损伤模型模拟层裂实验的结果相比，新的方法不仅进一步完善了现有损伤模型，而且较好地提升了计算结果的有效性，同时，也为其他层裂损伤模型的改进提供了思路。