A model for rigid sharp-nosed projectile perforating metallic targets considering free-surface and cracking effects
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摘要: 将靶体视为不可压缩材料，假定空腔膨胀产生塑性-弹性响应分区，构造了靶背自由表面效应的衰减函数。将衰减函数乘以可压缩幂次硬化材料的阻力方程，得到了弹体贯穿金属靶板的阻力函数。基于弹性衰减-塑性衰减-开裂3个阶段，建立了同时考虑靶体可压缩性、靶背自由表面和开裂影响的弹体贯穿有限厚金属靶板的分析模型，推导得出了弹体瞬时速度的解析方程，并采用数值方法计算得到了弹体的过载、瞬时速度和残余速度。通过与6组实验数据和已有模型的对比得到，当靶板厚度和弹体冲击速度在一定范围内时，需要考虑自由表面效应的影响。Abstract: Treating the target as the incompressible material, by assuming that the cavity expansion produce plastic-elastic response region, the decay function for the back free-surface effect of target is constructed. The forcing function of metallic targets for perforation is obtained by multiplying the forcing function of compressible Strain-Harding targets with the decay function. Based on the three stage of elastic-decaying, plastic-decaying and cracking, the analytical model considering the compressibility, the back free-surface effect of target and cracking is established, and the analytical equation of instantaneous velocity of projectile is deduced. The deceleration, instantaneous and residual velocity of projectile is calculated by numerical methods. Through comparison with six sets of experimental data and other existing models, with the target thickness and impact velocity in a certain range, the free-effect should be considered.
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近年来，黄土广泛应用于公路建设，以山西省为例，其已建高速公路里程的40%均为湿陷性黄土路基。黄土在天然含水量时，往往具有较高的强度和较小的压缩性，致使在路基施工中不易被压实[1]; 未被压实黄土在自重和外部荷载共同作用下，结构易发生较大变形; 湿陷性黄土含水量增大后，其强度会随之降低，从而造成路堤沉降。换填虽然能根本性解决黄土路堤沉降问题，但对道路破坏性大，工期长，一般慎用。注浆法显然不适合湿陷性黄土。挤密桩法切实可行，但除生石灰桩和干拌水泥碎石桩的孔径较小外，其他桩的孔径都为30~70 cm，且桩距都需控制在0.6~2.0 m，非常密[2-4]。桩多，工期长，路面破损严重，施工后，需加铺新路面，这将进一步增加施工成本，延长交通阻断时间。与其他路堤处理方法相比，爆炸挤密法具有经济和处理深度大的优势[5]。它是利用炸药爆炸瞬间产生的强大冲击波以及高温、高压的爆生气体来挤密周围土体，形成爆炸空腔[6]，再向空腔内逐层填筑加固材料(如碎石、灰土等)，从而达到加固路堤的目的。需要的孔径一般不大于15 cm，便于放置条形药包即可; 孔距的大小，即钻孔的平面布置方案，应综合考虑条形药包爆炸后形成的爆腔直径、对土壤的挤密效果和挤密范围等。如果孔距过小，除延长施工周期和增加施工成本外，还易造成塌孔以及路面沉降等进一步的破坏; 反之，如果孔距过大，就达不到加固效果。既有规范[7-8]对此没有明确说明; 以往的施工一般根据经验确定孔距，缺少科学依据[9-12]; 文献中也罕见对这方面的研究。且以往的研究多集中在用爆炸挤密法加固饱和或含水量高的砂土或淤泥等软土地基[13-24]，很少研究该技术在黄土尤其是既有高速公路黄土路堤中的应用。爆炸挤密施工中，钻孔间距、药包半径、长度等参数应通过爆破试验确定[25]。但很难在既有公路待加固场地进行大规模现场试验，因为一旦失败，很可能影响路面及边坡安全，造成更严重的破坏。以因压实度不足而发生多路段路堤沉陷的某高速公路为工程背景，魏连雨等[26]在该高速公路原取土场进行了一系列小规模室外试验，研究了土壤参数对爆炸挤密效果的影响; 魏连雨等[27]建立了与试验[26]相匹配的有限元模型，用大型软件ANSYS/LS-DYNA进行数值模拟，将模拟结果与试验结果进行比较，验证了数值模拟的可行性和可靠性。
本文中，在文献[26-27]的基础上，以该高速公路黄土路堤的爆炸挤密加固为工程背景，炸药用2号岩石乳化炸药(该炸药既适用于岩石，也适用于土体)。先按照该公路路堤的实际几何尺寸及材料参数建模，再用ANSYS/LS-DYNA仿真分析横截面相同但长度不同(即药量不同)的条形药包在黄土路堤中的爆炸挤密横向影响，再分析长度相同但横截面不同的条形药包爆炸挤密横向影响，旨在为用爆炸挤密技术加固既有公路黄土路堤、制定钻孔平面布置方案提供借鉴。
1. 有限元模型
有限元模型包括空气、路面结构层(含路面层、垫层和基层)、炸药和土体。考虑到整个模型的对称性，为节省计算时间只取模型的1/4进行分析。模型尺寸、边界条件、划分网格和生成part后的模型见图 1。对各部分均采用3D-SOLID164实体单元[28]。模型半径(即土体半径)R与条形药包等效半径re以及炸药参数有关，应含盖药包爆炸挤密影响范围，具体将在后面的数值模拟部分说明。对路面结构层和空气按等间距划分单元，单元数量分别为8 411和3 235。对药包也按等间距划分，单元数量与药包的等效半径re及药量有关，例如，横截面re=2.26 cm的5 kg药包的1/4共划分1 175个单元。对土壤在径向和垂向都按渐变网格划分，越靠近炸药网格越密集; 网格数量主要与土体半径Rs有关，如上述5 kg药包对应的土体半径Rs=250 cm，共划分51 232个单元。
1.1 空气
为了观察路面结构层是否受到爆炸冲击，在模型的顶部设置25 cm厚的空气层。对空气的响应行为采用空物质材料模型(MAT_NULL)和线性多项式状态方程进行描述，其状态方程形式[27-28]为：
pa=C0+C1μa+C2μ2a+C3μ3a+(C4+C5μa+C6μ2a)Eaμa=1Va−1 (1) 式中：pa为压强，Pa; C0、C1、C2、C3、C4、C5和C6为状态方程参数; Va为相对体积; Ea为体积内能。相关的材料模型参数值为：C0=-1.0×10-6, C1=0.0, C2=0.0, C3=0.0, C4=0.4, C5=0.4, C6=0.0, 空气初始密度ρa0=1.293×10-3 g/cm3[28]，初始体积内能Ea0=0.25 J/cm3[28]。
1.2 路面结构层
高速公路路面结构层根据设计资料及钻孔取样结果确定。该高速公路路面层厚25 cm, 基层和垫层均厚20 cm。有限元模型中均选用MAT_PLASTIC_KINEMATIC作为材料模型[28]。通常认为组成路面结构层的材料为各向同性的素混凝土，在拉应力作用下表现为脆性，在压应力作用下表现为弹塑性[29]。如果计入压应力的速度效应，路面结构层混凝土为随动硬化塑性材料。爆炸产生的压应力波速度高，因而选用MAT_PLASTIC_KINEMATIC。
路面结构层各部分主要材料参数见表 1。表中数据由路面钻孔取样及混凝土试验得到。其中，ρc为密度; EcY为杨氏模量; μc为泊松比; σcy为屈服强度; Ecτ为切线模量; βc为硬化系数，由材料的弹塑性曲线确定，0 < βc < 1。
表 1 有限元模型中路面结构层的主要参数Table 1. Key parameters of pavement structure layers in finite element model结构层 ρc/(g·cm-3) Ec/MPa μc σcy/MPa Ecτ/MPa βc 路面层 2.70 350 0.20 0.8 30 0.40 基层 2.40 460 0.27 0.5 42 0.80 垫层 2.20 390 0.28 0.3 35 0.60 1.3 炸药及土壤
炸药选用2号岩石乳化炸药，其几何尺寸见后面的模拟部分。该高速公路待加固路段路堤的平均高度为585 cm，把药包下端置于路堤底部，药包下方200 cm厚的土体是为观察药包下端爆炸挤密效果而设置的同种土壤，如图 1所示。
对炸药采用高能炸药燃烧材料模型HIGH_EXPLOSIVE_BURN和JWL状态方程[27-28]:
pd=A(1−ωR1Vde)e−R1Vde+B(1−ωR2Vde)e−R2Vde+ωEeVde (2) 式中: pd为爆轰产物压力, Ee为炸药体积内能, Vde为爆轰产物体积与未爆炸的炸药体积之比; A、B、R1、R2和ω为试验确定的相关参数[27]。
有限元模型所用的炸药材料参数[27-28]为：炸药密度ρe=1.31 g/cm3, 炸药爆速De=3.2 km/s, pd=9.9 GPa, A=214.4 GPa, B=0.182 GPa, R1=4.2, R2=0.90, ω=0.150, Ee=4 192 J/cm3，参数值均来自厂家试验。
土壤材料模型采用MAT_SOIL_AND_FOAM，参数通过在路面钻孔取土样进行土工试验确定。为确保模拟结果的适用性，在大量试验数据中筛选出有代表性的一组，作为本次数值模拟的主要土壤参数，分别为：密度ρs0=1.70 g/cm3, 动剪切模量Gs=30.21 MPa，体积卸载模量Ks=65.46 MPa，动力屈服函数常数a0、a1、a2分别为：1.23×108 Pa2、3.71×103 Pa、0.028。
2. 等横截面不等长条形药包爆炸挤密横向影响规律
2.1 研究工况
2号岩石乳化炸药通常以药管形式存在。常用的一种药管单支半径为1.6 cm，质量为200 g，见图 2。为避免路面钻孔过于密集，这里药包横截面暂时取2支药管并排使用，在有限元模型中按横截面相等的原则将其等效成半径为2.26 cm的圆柱形药包。药包长度即图 1(b)中的He，由炸药质量、密度ρe和等效半径re共同确定。共考虑药包质量为1~8 kg的8种工况, ρe为1.31 g/cm3, 计算得到He分别为47.60、95.19、142.79、190.39、237.99、285.58、333.18和380.78 cm。当药包质量为1~5 kg时，土壤半径Rs取250 cm; 当药包质量为6~8 kg时，Rs取300 cm。
2.2 横向影响规律
当药包质量为1~8 kg时，模拟得到的1/4爆腔形状如图 3所示。其中靠近爆心的蓝色区域为爆腔，爆腔外侧的红色区域为土壤密度提高幅度大的区域。通过后处理器看到，爆腔中间圆柱体的半径rc皆为36.68 cm。这是因为条形药包半径不变，单位长度的药量相同。但这个结论的前提是药包的长细比必须满足条形药包的要求, 即长度与直径之比大于等于6[20, 30]。
模拟得到各工况距爆心不同距离处的土壤密度ρs见图 4，显然都比爆炸挤密前的1.70 g/cm3提高了; 由于靠近爆腔处土壤应力被部分释放，其密度峰值点都发生在距爆心约50 cm处; 土壤密度峰值介于1.85~1.91 g/cm3之间，虽然随着药量的增加而有所增大，但变化幅度不大。
图 4 爆炸挤密后土壤密度横向分布Figure 4. Horizontal distribution of soil density after explosion compaction如果把爆心所在的水平面内大于初始土壤密度的最远点至爆心的距离称为爆炸挤密横向影响范围rha，从图 4可以看出，各工况产生的rha介于177.83~222.14 cm之间，且与药量成正比。但鉴于rha的变化幅度仅为44.31 cm，因此取其平均值202.34 cm近似作为横截面为2支药管组成的条形药包产生的横向影响范围。
对图 4中的密度增量用MATLAB进行了曲面拟合，曲面方程为：
ρs−ρs0=3.518×10−8r2sd−4.946×10−7r2sdWe−1.803×10−5r2sd−2.021×10−4rsdWe+2.184×10−3rsd+2.354×10−2We+9.527×10−3 (3) 式中：ρs为爆炸挤密后土壤密度，g/cm3; ρs0为初始土壤密度，g/cm3; rsd为至爆心水平距离，cm; We为药包质量，kg。决定系数R2=0.848 3。
3. 等长不等横截面条形药包爆炸挤密横向影响规律
3.1 研究工况
不等横截面指的是条形药包横截面由不同支数的药管组成，因此横截面等效半径不同。由于横截面由2支药管组成的质量为5 kg的2号岩石乳化炸药爆炸挤密的横向影响范围以及土壤的密度峰值都较有代表性，所以将其长度作为各工况的药包长度，即237.99 cm。这里共研究8种工况，药包横截面分别由1~8支药管组成，相应的等效横截面半径re分别为1.60、2.26、2.77、3.20、3.58、3.92、4.23和4.53 cm; 对应的药包质量分别为2.5、5.0、7.5、10.0、12.5、15.0、17.5和20.0 kg。显然各工况药包长细比均满足条形药包要求。由于多数药量大于第2部分的8种工况，因此图 1中的有限元模型半径Rs需按药包的等效半径re增大，但结构组成、边界条件以及材料模型和参数均不变。计算时间也相应延长，使爆炸挤密效应充分发挥。
3.2 横向影响规律
各工况产生的爆腔水平半径rc、土壤密度峰值点到爆心的水平距离rspd以及爆炸挤密横向影响半径rha的变化曲线皆见图 5。通过Matlab曲线拟合，得到rc、rspd以及rha与药包横截面等效半径re的关系为;
图 5 爆腔半径、土壤密度峰值位置及横向影响半径随药包横截面等效半径的变化Figure 5. Changes of explosion cavity radius, peak soil density position and lateral influence radius with effective radius of explosiverc=−2.05r2e+24.37re−7.96 (4) rspd=5.83r2e−10.937re+43.56 (5) rha=86.41re+2.23 (6) 式中：rc、re、lsd以及rha的单位均为cm。
爆腔半径与药包横截面等效半径的比值rc/re以及爆炸挤密土壤的横向影响半径与药包横截面等效半径的比值rha/re见图 6。用Matlab曲线拟合发现，rc/re与re成一次函数关系:
图 6 爆腔半径和爆炸挤密土壤的横向影响半径与药包横截面等效半径的比值随药包横截面等效半径的变化Figure 6. Ratios of explosion cavity radius and lateral influenceradius to effective radius of explosive varying with effective radius of explosiverc/re=−1.02re+18.32 (7) 从图 6可以看出，rha/re的值介于86.08~89.63之间，变化幅度为3.55，说明rha/re较稳定，几乎不随re的变化而变化，因此求得其均值¯rha/re为87.26。式(7)以及¯rha/re的图形见图 6。
模拟得到，爆炸挤密后的土壤密度峰值介于1.85~2.00 g/cm3之间，且随药包横截面的增大而增大，但增大不显著。因为随着时间的延长，土壤密度峰值点的压应力会逐渐向压应力较低的区域释放，从而降低峰值，但使横向影响范围逐渐扩大，直至稳定。
4. 工程实例
某高速公路部分路段沉降达45 cm，选择其中一段长为12 m的路段进行爆炸挤密加固。该路段半幅路面宽11 m，路面结构层厚0.65 m，路堤高5.7 m，路堤下没有其他设施。下面以该路段为例来说明如何应用上述模拟结果，进行施工方案中钻孔的平面设计。
钻孔平面布置应根据爆炸挤密的横向影响半径rha、爆腔半径rc和爆炸挤密的施工方法设计。一般来说，为避免塌孔，相邻孔的rha不应重叠且rc不宜过大。但为了获得更好的爆炸挤密效果，当施工顺序可避免塌孔时，相邻孔的rha可部分重叠。
由上述仿真结果可知，当条形药包由单支药管(re=1.6 cm)组成时，其rha=143.41 cm(见图 5)，若按此间距在路面钻孔，约需16个孔; 当条形药包由3支药管(re= 2.77 cm)组成时，其rha=238.44 cm, 约需钻6个孔。虽然孔的数量减少了许多，但塌孔的危险性将会大大增加，因为它的rc=43.12 cm(见图 5)。因此采用由2支药管组成的条形药包(re=2.26 cm, rc=36.68 cm, rha=198.88 cm取200 cm)，钻孔的平面布局见图 7。
图 7 待加固路段钻孔平面布置示意图Figure 7. Plan layout of drilling holes on the road to be reinforced考虑到爆炸挤密施工工序，图 7中，相邻孔的最小间距为√2.52+22 m=3.2 m，小于2×2 m=4 m。施工中，为避免13个孔同时爆破造成既有路面因震动过大而破坏，分2次爆破。首先, 钻1#~9#孔，钻孔直径为15 cm，方便放置条形药包(见图 8)，并将9个孔同时引爆; 然后, 向爆腔中填充碎石和水泥砂浆; 其次，钻10#~13#孔，放炸药，爆破，填充。因此2次施工中实际最小孔间距都大于等于4 m。
整个爆炸挤密施工过程中，没有发生塌孔、路面塌陷、隆起或震裂现象; 预备的碎石和水泥砂浆等爆腔填料也没有不足或过剩的情况; 施工后监测，2年中路面累积沉降不足3 cm，这说明路堤沉降得到了有效控制。
5. 结论
(1) 爆腔水平半径。在确保药包为条形药包的前提下，横截面半径相等但长度不等的条形药包会产生水平半径相同的爆腔; 长度相等但横截面半径不等的条形药包产生的爆腔水平半径与药包半径呈二次函数关系，两者的比值与药包半径呈略向下倾斜的一次函数关系。
(2) 爆炸挤密后的土壤密度峰值。横截面半径相等但长度不等的条形药包产生的土壤密度峰值虽然随药包长度的增大而略有提高，但变化幅度很小; 长度相等但横截面半径不等的条形药包产生的土壤密度峰值随药包半径的增大而增大。密度峰值比爆炸挤密前的初始土壤密度提高约(8.8~17.6)%。
(3) 爆炸挤密后的土壤密度峰值位置。爆横截面半径相等但长度不等的条形药包会在距爆心相同距离处达到土壤密度峰值; 长度相等但横截面半径不等的条形药包产生的土壤密度峰值点到爆心的水平距离会随药包半径的增大有所增大，两者呈二次函数关系; 该距离与药包半径之比与药包半径呈略有上升的一次函数关系。
(4) 爆炸挤密后的土壤密度提高值。根据横截面为2支药管组成的条形药包爆炸挤密初始密度为1.70 g/cm3的黄土的模拟结果，拟合得到了爆炸挤密后的土壤密度提高值与所研究点到爆心的水平距离以及炸药量的关系。此关系虽然是由横截面为2支药管的条形药包得到的，但函数形式可供参考，且可用于研究加固后路堤承载力。
(5) 爆炸挤密横向影响半径。横截面半径相等但长度不等的条形药包爆炸挤密产生的横向影响半径虽然随药量的增加有所增大，但相对于药量的变化幅度来说，其横向影响半径的变化不显著; 长度相等但横截面半径不等的条形药包爆炸挤密产生的横向影响半径与药包半径呈逐渐上升的线性关系，两者之比近似为常数。在设计爆炸挤密加固方案过程中，这些规律对确定药包横截面半径、钻孔平面布置以及施工顺序等都有参考价值。
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图 1 弹体冲击靶板过程中的弹塑性响应
Figure 1. Elastic-plastic responses during projectile striking target
图 4 本文模型剩余速度预测曲线与实验数据的对比
Figure 4. Comparison of residual velocities between proposed model and experimental data
图 5 本文模型剩余速度预测曲线与已有模型及实验数据的比较
Figure 5. Comparison of predictions of residual velocities between the model of this paper and other models
图 6 自由表面效应对6组贯穿实验残余速度预测的影响
Figure 6. Free-surface effect on the prediction of residual velocities for six sets of experimental data
图 7 侵彻情形下冲击速度对自由表面效应的影响
Figure 7. Influence of impact velocity on free-surface effect while the projectile penetrating into the target
图 8 贯穿情形下冲击速度对自由表面效应的影响
Figure 8. Influence of impact velocity on free-surface effect while the projectile penetrating through the target
图 10 半无限临界靶板厚度与冲击因子关系
Figure 10. Semi-infinite critical plate thickness vs. impact factor
图 11 不同摩擦因数下弹体初始速度与残余速度
Figure 11. Residual velocities vs. initial velocities at different friction coefficient
表 1 刚性弹贯穿金属靶板实验的弹体参数
Table 1. Experimental projectile parameters in perforation of rigid projectiles into metallic targets
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表 2 刚性弹贯穿金属靶板实验的靶体参数
Table 2. Experimental target parameters in perforation of rigid projectiles into metallic targets
No. 文献 弹头形状 靶体材料 H/mm E/GPa ρ/(g·cm-3) Y/MPa γ n 1 [13] 锥头弹 6061-T6铝 25.4 68.9 2.71 276 0.33 0.051 2 [15] 锥头弹 5083-H131铝 12.7 70.3 2.66 276 1/3 0.084 3 [15] 锥头弹 5083-H131铝 50.8 70.3 2.66 276 1/3 0.084 4 [15] 锥头弹 5083-H131铝 76.2 70.3 2.66 276 1/3 0.084 5 [16] 卵头弹 6061-T651铝 26.3 69 2.71 262 0.33 0.085 6 [17] 卵头弹 5083-H116铝 20 71 2.66 240 0.33 0.108
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