基于量纲分析理论的煤尘爆炸能量预测模型

李雨成; 刘天奇; 周西华

doi:10.11883/1001-1455(2017)03-0566-05

基于量纲分析理论的煤尘爆炸能量预测模型

doi: 10.11883/1001-1455(2017)03-0566-05

李雨成^{1, 2,},
刘天奇^{1, 2},
周西华^{1, 2}

1.
辽宁工程技术大学安全科学与工程学院, 辽宁阜新 123000
2.
辽宁工程技术大学矿山热动力灾害与防治教育部重点实验室, 辽宁阜新 123000

基金项目:

国家自然科学基金项目 51204089

国家自然科学基金项目 51274115

辽宁省教育厅科研项目 L2014131

详细信息

作者简介:
李雨成(1978—), 男, 博士, 副教授, 硕士生导师, lyclntu@163.com

中图分类号: O389;X936
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出版历程
- 收稿日期: 2015-09-22
- 修回日期: 2015-12-28
- 刊出日期: 2017-05-25

An energy prediction model for coal dust explosion based on dimensional analysis

Li Yucheng^{1, 2
,},
Liu Tianqi^{1, 2},
Zhou Xihua^{1, 2}

1.
College of Safety Science and Engineering, Liaoning Technical University, Fuxin 123000, Liaoning, China
2.
Key Laboratory of Mine Thermo-motive Disaster and Prevention, Ministry of Education, Liaoning Technical University, Fuxin 123000, Liaoning, China

摘要

摘要: 为预测煤尘爆炸能量，基于量纲分析理论建立煤尘爆炸能量预测模型。选取爆炸能量E、空气密度ρ和大气压强p的量纲为导出量纲。根据量纲分析Π定理得出含有待定参数λ的具有普适性的能量预测模型。通过小型煤尘爆炸性实验设计，测定10次爆炸最长火焰长度平均值l₀、10次最长火焰长度出现时间平均值t₀与该小型煤尘爆炸中释放能量E₀，确定模型中参数λ为0.467。对模型变量t、E、l的函数关系进行合理性检验。通过实测的15组不同时刻的火焰长度进行模型变量t、l幂指关系检验。检验结果表明：量纲选取完备，预测模型科学合理。
- 煤尘爆炸 /
- 能量预测 /
- 量纲分析 /
- 预测模型
Abstract: To assess the coal dust explosive power, we used the dimensional analysis mathematical method to model the prediction of the energyreleased from coal dust explosion. The basic dimensions selected are those of the distance, the mass and the time, of coal dust explosion's flame propagation. The selected output dimensions are those of explosive energy, the air density and the barometric pressure. According to the dimensional analysis Π theorem, we established the energy prediction model with unknown parameters and undetermined parameters, a model that is universally applicable. By carrying out a small-scale coal dust explosion experimental design, we determined the model parameters, and obtained the average maximum flame length of ten times of coal dust explosion, the average maximum flame time, and the released energy. The undetermined parameter was calculated as 0.467. It follows that the prediction model for coal dust explosive energy and its qualification were obtained. Based on our rationality analysis of this model, the experimental measured flame length of 15 different times of coal dust explosion was used to test the power exponent relationship. The test result verifies the completeness of the selected dimensions and the scientific rationality of the prediction model. Using fewer variable parameters, this model simplifies calculations and will provide important reference for explosion hazard assessment.
- coal dust explosion /
- energy prediction /
- dimensional analysis /
- predicting model

HTML全文

煤矿井下作业中，一旦掘进面等处产生的浮尘遇到明火，极易发生爆炸事故^[1-2]。煤尘爆炸在传播过程中，冲击波和火焰面释放的能量给巷道结构、生产设备及作业人员带来极大损害^[3-4]。煤尘爆炸属于多次连环的有可燃悬浮颗粒参与的化学爆炸。对煤尘爆炸能量的研究主要集中于压力波和火焰波两方面。李庆钊等^[5]利用20 L球形装置研究了煤尘浓度、环境初压等因素与爆炸能量的关系。程磊^[6]研究了受限分岔管道、双向分岔管道、截面突变管道内煤尘爆炸冲击波的变化规律。张延松^[7]、李润之^[8]和王新等^[9]研究了大型实验巷道中瓦斯诱导煤尘爆炸产生的压力波、火焰波的传播过程。李雨成等^[10-11]研究了不同煤质的煤尘爆炸火焰传播特性，并建立了火焰长度预测模型。由于煤尘爆炸能量的数量级较大，不便于测试，因此，本文中基于量纲分析理论建立煤尘爆炸能量预测模型，以期为高数量级的爆炸能量预测提供理论基础。

1. 基于量纲分析理论的煤尘爆炸能量预测模型

1.1 基本量纲与导出量纲的选取

量纲是自然界中物理量的单位，分为基本量纲和导出量纲^[12-13]。本文中预测煤尘爆炸能量选取的基本量纲为煤尘爆炸火焰长度l、煤尘质量m、时间t的量纲，分别记为：

${\rm{L}} = [l], \;\;\;{\rm{M}} = [m], \;\;\;{\rm{T}} = [t]$

(1)

在基本量纲的基础上可形成导出量纲，本文中采用的导出量纲有煤尘爆炸能量E、空气密度ρ、大气压强p的量纲，分别记为:

$[E] = {{\rm{L}}^2}{\rm{M}}{{\rm{T}}^{ - 2}}, \;\;\;{\rm{[}}\rho {\rm{]}} = {{\rm{L}}^{{\rm{ - }}3}}{\rm{M}}, \;\;\;{\rm{[}}p{\rm{]}} = {{\rm{L}}^{{\rm{ - }}1}}{\rm{M}}{{\rm{T}}^{{\rm{ - }}2}}$

(2)

根据量纲分析理论，可以找到与煤尘爆炸能量相关的变量及其之间的量纲关系。其中，量纲分析齐次原理是量纲分析理论中的重要原理，Π定理是利用量纲分析理论建模的基础，虽然根据Π定理往往不能求出模型的具体表达式，但并不影响建模过程及本文煤尘爆炸能量的预测结果。

1.2 基于量纲分析齐次原理与Π定理的煤尘爆炸能量预测模型

将煤尘爆炸中释放的能量记为E，在本文建模中，考虑的基本量纲有煤尘爆炸火焰传播距离(即火焰长度)l、质量m、时间t的量纲，还考虑了动力学范畴内与之相关的物理变量空气密度ρ与大气压强p的量纲。通过后文模型分析可验证所选取变量是准确充足有效的，其具体量纲表达式已由式(2)给出。则根据量纲分析Π定理，不妨设l与t、E、ρ、p间存在如下关系式l=φ(t, E, ρ, p)，将其写成隐函数形式为f(l, t, E, ρ, p)=0。根据量纲分析齐次原理中“导出量纲函数可写成基本量纲幂函数乘积形式”的结论，可把l、t、E、ρ、p表示成基本量纲L、M、T幂函数乘积形式:

$\begin{array}{l} \left[ l \right] = {{\rm{L}}^1}{{\rm{M}}^0}{{\rm{T}}^0}, \;\;\left[ t \right] = {{\rm{L}}^0}{{\rm{M}}^0}{{\rm{T}}^1}, \;\;\;\left[ E \right] = {{\rm{L}}^2}{{\rm{M}}^1}{{\rm{T}}^{{\rm{ - }}2}}, {\rm{ }}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[ \rho \right] = {{\rm{L}}^{{\rm{ - }}3}}{{\rm{M}}^1}{{\rm{T}}^0}, \;\;\;\left[ p \right] = {{\rm{L}}^{{\rm{ - }}1}}{{\rm{M}}^1}{{\rm{T}}^{{\rm{ - }}2}} \end{array}$

(3)

根据量纲分析Π定理，由式(3)得到量纲矩阵为:

${A_{3 \times 5}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&2&{ - 3}&{ - 1}\\ 0&0&1&1&1\\ 0&1&{ - 2}&0&{ - 2} \end{array}} \right] \sim \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&{ - 5}&{ - 3}\\ 0&1&0&2&0\\ 0&0&1&1&1 \end{array}} \right]$

(4)

量纲矩阵经过初等行变换后，显然R(A)=r=3，因此对于齐次线性方程组Ay = 0存在2个基础解系。为得到y =(y₁, y₂, ..., y₅)^T的2个解，不妨分别令y₁=1，y₅=0和y₁=0，y₅=1，得到对应的2组关于y的解分别为 ${\mathit{\boldsymbol{y}}_1} = {\left( {1, - \frac{2}{5}, - \frac{1}{5}, \frac{1}{5}, 0} \right)^{\rm{T}}}$ 和 ${\mathit{\boldsymbol{y}}_2} = {\left( {0, \frac{6}{5}, - \frac{2}{5}, - \frac{3}{5}, 1} \right)^{\rm{T}}}$ 。

再根据Π定理，得到2个相互独立且量纲一量π₁和π₂，使得F(π₁, π₂)=0与f(l, t, E, ρ, p)=0等价。其中，π₁和π₂表达式分别为:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\pi _1} = l{t^{{\rm{ - }}\frac{2}{5}}}{E^{{\rm{ - }}\frac{1}{5}}}{\rho ^{\frac{1}{5}}}{p^0} = l{{\left( {\frac{\rho }{{{t^2}E}}} \right)}^{\frac{1}{5}}}}\\ {{\pi _2} = {l^0}{t^{\frac{6}{5}}}{E^{{\rm{ - }}\frac{2}{5}}}{\rho ^{{\rm{ - }}\frac{3}{5}}}{p^1} = {{\left( {\frac{{{t^6}{p^5}}}{{{E^2}{\rho ^3}}}} \right)}^{\frac{1}{5}}}} \end{array}} \right.$

(5)

由于π₁和π₂均为量纲一量且彼此相互独立，因此两者必然可表达成某一函数ψ形式，即:

${\pi _1} = \psi ({\pi _2}) \Rightarrow l{\left( {\frac{\rho }{{{t^2}E}}} \right)^{\frac{1}{5}}} = \psi {\left( {\frac{{{t^6}{p^5}}}{{{E^2}{\rho ^3}}}} \right)^{\frac{1}{5}}} \Rightarrow l = {\left( {\frac{{{t^2}E}}{\rho }} \right)^{\frac{1}{5}}}\psi {\left( {\frac{{{t^6}{p^5}}}{{{E^2}{\rho ^3}}}} \right)^{\frac{1}{5}}}$

(6)

由此得到煤尘爆炸火焰长度l关于t、E、ρ、p的函数关系。在函数ψ中，由于煤尘爆炸火焰存在时间很短，而煤尘爆炸所释放能量很大，因此可做如下处理：

$\frac{{{t^6}{p^5}}}{{{E^2}{\rho ^3}}} \to 0 \Rightarrow \psi {\left( {\frac{{{t^6}{p^5}}}{{{E^2}{\rho ^3}}}} \right)^{\frac{1}{5}}} \to \psi (0)$

(7)

显然对某一固定函数形式ψ，ψ(0)必为一常数，不妨令ψ(0)=λ。由此将l推导成关于t、E、ρ的函数关系(空气密度ρ=1.25 kg/m³)如下：

$l = {\left( {\frac{{{t^2}E}}{\rho }} \right)^{\frac{1}{5}}}\lambda = \lambda {\left( {\frac{{{t^2}E}}{{1.25}}} \right)^{\frac{1}{5}}}$

(8)

式中:煤尘爆炸火焰持续时间t、煤尘爆炸火焰长度l均可测，只要再实测一组爆炸释放能量E就可估计出常数λ，进而利用式(8)即可针对不同时刻t的火焰长度l，估计煤尘爆炸不同时刻释放出的能量E，这对爆炸威力预测及爆炸后果评估具有重要意义。为确定常数λ，设计实验如下。

2. 模型待定参数确定的小型实验设计与模型检验

2.1 小型煤尘爆炸实验设计

对于模型(8)中存在的3个未知参数l、t、E和一个待定参数λ，对于不同时刻t会对应存在煤尘爆炸火焰长度l和爆炸释放能量E，但对于时间t存在一个临界点，即为煤尘爆炸能量释放最大(即能量全部释放)的时刻t₀，当t>t₀时，火焰长度l和释放能量E均开始减小。为确定待定参数λ，可设计小型实验思路如下。

以t₀时刻为基准，通过煤尘爆炸性鉴定实验，实验装置如图 1所示，可以测得t₀时刻对应的最长火焰长度l₀。为便于看清数据，利用高速摄像机捕捉火焰图像，通过玻璃管上标尺刻度读取火焰长度。10次爆炸实验捕捉到最长火焰长度平均值为l₀=0.65 m，对应10次实验的最长火焰长度出现的时间的平均值为t₀=0.015 s。再根据所选煤样为无烟煤，其煤尘热值Q=2.9×10⁷ J/kg，煤样质量为1 g，进而得到该小型煤尘爆炸中释放能量为E₀=2.9×10⁴ J。

图 1 煤尘爆炸性鉴定装置

Figure 1. Identification equipment of coal dust explosibility

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2.2 模型待定参数计算

将2.1节中实验计算得到的l₀、t₀、E₀代入式(8)，可计算得到待定参数为：

$\lambda = \frac{l}{{{{\left( {\frac{{{t^2}E}}{{1.25}}} \right)}^{\frac{1}{5}}}}} = 0.467$

(9)

由此得到煤尘爆炸能量释放预测模型为:

$l = 0.467{\left( {\frac{{{t^2}E}}{{1.25}}} \right)^{\frac{1}{5}}}\;\;\;\;0 < t < {t_0}$

(10)

采用该能量预测模型，可以在已知一组爆炸t时刻火焰长度l情况下，预测爆炸各不同时刻能量释放值。但对于该公式存在一定限制条件，即0＜t＜t₀，一旦t=t₀时，爆炸能量已达到全部释放完毕的临界点，此后t>t₀时，火焰长度l开始逐渐衰减，所释放能量E也开始衰减。

2.3 模型检验

2.3.1 模型变量t、E、l合理性检验

对于由量纲分析原理和小型煤尘爆炸性鉴定实验设计推导出的煤尘爆炸能量预测模型(10)，当t=0时，l=0，显然与实际情况相符，即在爆炸起始时刻，煤尘爆炸火焰长度为0，煤尘爆炸释放能量为0。在此基础上，由式(10)可以看出，在t∈[0, t₀]范围内，随着爆炸后时间的增大，火焰长度、爆炸释放能量也不断增大，即火焰长度、爆炸释放能量分别与爆炸时间呈幂指递增函数关系，也验证了模型的合理性。

2.3.2 模型变量t、l幂指关系检验

再进一步验证模型中幂指关系的合理性，首先暂不考虑变量E的作用，仅从l和t角度可知l正比于t的2/5次幂。为验证该关系，利用SA8独立型高速摄像机(每秒可最多拍摄30 000帧)捕捉的不同时刻火焰长度(为10次测试的平均值)(见表 1)，进行l=at^b(0＜t＜t₀)形式的最小二乘拟合，a和b为待求参数。由模型(10)可知，a中存在变量E，因此实际上a是变化的，但这里将其视为常数，原因是这里要验证参数b，即l与t变量的幂指关系，与a是否变化完全无关，因此可对模型(10)做此简化处理。拟合结果如图 2所示，可见火焰长度l大致分布在一条曲线周围，且得出a=3.490 4，b=0.400 2，对比预测模型(10)中l正比于t的2/5次幂，0.400 2≈2/5，因此进一步证明了导出量纲选择的完备合理性与预测模型(10)的科学性。虽然该煤尘爆炸能量预测模型中参数并不唯一，但模型的推导结果本身具有普适性，可针对不同煤质进行预测研究，对煤尘爆炸事故评估与事故等级评定具有重要参考价值。

表 1 不同时刻的火焰长度

Table 1. Flame lengths at different times

t/s	l/m
0.000 1	0.087 6
0.000 3	0.135 0
0.000 5	0.166 6
0.000 7	0.190 8
0.000 9	0.210 9
0.001	0.220 1
0.003	0.341 6
0.005	0.418 9
0.007	0.479 3
0.009	0.529 8
0.010	0.552 9
0.011	0.574 1
0.012	0.594 5
0.013	0.613 5
0.014	0.632 4

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图 2 拟合结果

Figure 2. Fitted result

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2.4 应用前景分析

在预测模型(10)中，只要已知某时刻t的煤尘爆炸火焰传播距离l，就可以利用该模型预测t时刻爆炸释放的能量。而在煤矿现场，首先可通过技术手段确定爆源位置，在易爆区段安装可精确测量物体运动时间的时间传感器以及火焰传感器，以获取火焰传播最远距离和传播时间数据，以此进行爆炸能量估算。同时，即便测试条件受限，对于煤尘爆炸火焰传播规律的研究(包括火焰传播距离、火焰传播速度与时间的关系)仍然很多，文献[6-7]等均给出火焰传播距离与时间的关系表达式。因此，只要通过爆炸痕迹鉴定判断出火焰传播的最远距离，便可推导出爆炸经历的时间，再代入能量预测模型(10)同样可得出结果。预测模型(10)参数变量较少，量纲选取完备合理，同时使计算过程极大简化，省去以往复杂的偏微分方程的运算过程，降低了在模型求解时对数学理论掌握的高要求。此外，通过量纲分析方法和小型实验室煤尘爆炸性鉴定实验，便可预测计算出数量级相对较高的爆炸能量，大大简化运算量，同时，预测结果对爆炸事故处理有一定参考意义与应用价值。

3. 结论

(1) 根据量纲齐次原理与量纲分析Π定理构建了煤尘爆炸能量模型。选取煤尘爆炸火焰传播距离l、质量m、时间t的量纲为基本量纲，选取爆炸能量E、空气密度ρ和大气压强p的量纲为导出量纲。由Π定理得出含有未知参数l、t、E和待定参数λ的具有普适性和创新性的能量预测模型。

(2) 为确定模型中的待定参数λ，进行了小型煤尘爆炸性实验设计。测定10次爆炸实验，捕捉到最长火焰长度平均值l₀、对应的10次实验的最长火焰长度出现的时间的平均值t₀以及该小型煤尘爆炸中释放能量E₀，得出待定参数λ为0.467，进而得到仅含l、t、E的煤尘爆炸能量预测模型，并给出了t的限定条件。

(3) 通过分析模型中变量t、E与变量l的函数关系验证了模型的合理性。利用实验实测的15组不同时刻t的火焰长度l检验模型中变量t、l的幂指关系，拟合方程结果为l正比于t的0.400 2次幂，而模型中l正比于t的2/5次幂，进一步验证了量纲选取的完备性和模型的科学性。从应用前景角度分析，该预测模型计算简单，变量参数少，对煤矿爆炸事故危害评估具有借鉴意义和应用价值。

图 1 煤尘爆炸性鉴定装置

Figure 1. Identification equipment of coal dust explosibility

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图 2 拟合结果

Figure 2. Fitted result

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表 1 不同时刻的火焰长度

Table 1. Flame lengths at different times

t/s	l/m
0.000 1	0.087 6
0.000 3	0.135 0
0.000 5	0.166 6
0.000 7	0.190 8
0.000 9	0.210 9
0.001	0.220 1
0.003	0.341 6
0.005	0.418 9
0.007	0.479 3
0.009	0.529 8
0.010	0.552 9
0.011	0.574 1
0.012	0.594 5
0.013	0.613 5
0.014	0.632 4

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施引文献

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