爆炸与电磁加载下无氧铜环、柱壳的断裂模式转变

郭昭亮; 范诚; 刘明涛; 任国武; 汤铁钢; 刘仓理

doi:10.11883/1001-1455(2017)06-1072-08

摘要: 考虑断面收缩率、局域断裂应变以及平均断裂应变，并基于电磁膨胀环、爆炸膨胀环(柱壳)实验平台，研究了高纯无氧铜(TU1)环及柱壳在高应变率载荷下的膨胀断裂行为。采用高速摄影技术拍摄柱壳外壁的膨胀断裂形貌演化过程，用于确定柱壳平均断裂应变；利用激光干涉测速技术获得样品径向膨胀速度历史，用于确定加载应变率；利用样品的全回收测量及微观表征，确定了无氧铜环、柱壳的局域断裂应变及断裂模式。实验表明，随着应变率的增加，TU1材料的平均断裂应变增加，断面的收缩程度加剧，并在应变率约为1.0×10⁴ s^-1附近会出现明显的断裂模式转变，断面收缩率出现量级上的跳跃，从10⁰变化至约10³，局域断裂应变呈现明显的分区现象。

关键词:

颈缩 /
断裂 /
膨胀环 /
高应变率 /
断裂应变

Abstract: In the present study, we designed the electromagnetic and explosive driving expanding ring/cylinder experiments and investigated the expanding fracture characteristics of oxygen-free high-conductivity copper (OFHC) in consideration of the conception of the reduction of area, the local fracture strain and the average fracture strain. We used a high speed camera to record the fracture process and obtain the fracture strain of the copper cylinder and the Doppler pins system (DPS) to obtain the radial velocity of the specimen in order to achieve the strain rate of the loading. We verified the local fracture strain and the fracture mode by analyzing the soft-recovered fragments of the expanding ring and the cylinder. Based on the experimental results, we found that the average fracture strain and the reduction of the area increases as does the strain rate. Moreover, the fracture mode transition may occur at the strain rate of about 1.0×10⁴ s^-1, and the reduction of the area may increase by an order of magnitude, i.e. from the order of 10⁰ to that of 10³, and the local fracture strain exhibits an obvious subarea.

Key words:

爆炸冲击波的传播与衰减一直是爆炸领域研究的重点问题^[1]。当炸药爆轰后，爆炸气体产物内部形成的稀疏波会迅速衰减爆炸高压，其中不同方向的稀疏波会在中心汇聚，形成相互作用的稀疏波复合波区，稀疏效应的叠加加快了爆炸高压的衰减速率，且穿过复合波区的稀疏波会快速追赶上空气冲击波阵面，对该阵面的压缩特性进行衰减^[2]。因此，在很多冲击波问题的研究中，为在实验段得到稳定的冲击超压，通常会在激波管实验中通过加长爆轰驱动段^[3]，来减缓反射稀疏波到达激波阵面的时间。可以看出，该稀疏复合波区的特性直接影响了爆炸过程的衰减特征。除稀疏复合波区外，随着流场运动，爆炸区域还会形成其他类型的相交复合波区，且每个波区的传播和衰减特征均不同。

在平面爆轰流场中，该类复合波区均可以简化为两相向扰动波相交作用的特性耦合。在应用特征线法的爆炸理论中，已提出了两相向扰动波交汇后流场的一般解形式^[4]，但由于相交特性复杂，并没有通用的解析解，仅在假定爆炸气体绝热指数γ=3时有确定的特性，即相交后两簇波在x-t平面上的特征线仍均为直线。张守中^[5]基于该γ=3时的特殊解形式，对多个典型爆轰产物流场中稀疏复合波区的数值解进行了计算，并将计算解代入到后续的流场分析。可以看出，对于复合波区而言，该特殊解形式简单，方便用于流场参数的快速估算。因此，当对计算精度要求不高时，对高密度凝聚炸药常近似取γ=3.0。

但是在实际过程中，爆炸气体内部这种从极稠密的高压状态变化到较稀疏的低压状态，过程是极其复杂的，尤其是过程中爆炸气体的绝热指数γ是持续变化的。常用高密度凝聚炸药的初始γ₀测定值一般在2.2～3.50之间^[6-8]，在根据γ律等熵状态方程进行膨胀衰减计算时，常采用在高压γ₀到低压（1.1～1.4）分段取值计算的方法^[9-10]，所以γ≠3是这些复合波区的常态。

为研究γ=3和γ≠3不同条件下爆炸不同复合波区的特性差异，本文中基于特征线法和理想气体的γ律等熵状态方程，对一平面爆轰过程中不同复合波区的波系相交特性进行理论规律分析。由于在一般解形式中，γ≠3的复合波区内相交的特征线为迹线未定的曲线，难以推导理论的位移-时间公式（即x-t解），本文中利用MATLAB对其平面爆轰过程进行流场模拟，验证并分析不同复合波区流场内的参数变化特性。

1. 平面爆轰过程中复合波区的形成

在如图1所示的截面积为1 m²的圆形无限长管内，T₀时刻在x(−1,1)区间内设有TNT固体装药。基于瞬时爆轰模型，在炸药原体积空间内，爆炸气体产物的密度取为固体装药的密度，初始压力取p_CJ爆压乘以等效系数0.434 8^[11]，初始质点速度为零。

图 1 平面爆轰过程中复合波区的形成及相对位置（+右行，−左行）

Figure 1. Formation and relative positions of complex wave zones in plane detonation (+ showing a going-right wave, − showing a going-left wave)

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利用特征波系的运动分析该爆炸流场，当t＞0时，阶段1：空气受压缩形成冲击波阵面，在内部中心稀疏波的作用下爆炸气体压力迅速衰减；阶段2：原爆炸气体产物（③区）全部被稀疏扰动，两相向中心稀疏波相遇并相交作用，形成稀疏波-稀疏波复合波区（⑤区）；阶段3：稀疏波波头完全扰动④区，继续向前扰动②区（扰动后形成稀疏⑥区），在到达与空气的交界面后，由于爆炸气体的波阻抗大于空气的波阻抗，会在空气中形成透射稀疏波，并向爆炸气体中反射一个压缩波，该压缩波又与原稀疏波相交作用，形成稀疏波-压缩波复合波区（⑦区）。

为分析阶段2、阶段3中生成的两复合波区的参数特性，首先利用特征线法确定流场的初始波动特征（阶段1）。为便于分析流场中的能量流动，计算中假定高压气体和空气均为无黏理想气体，满足理想气体状态方程和γ律等熵方程。绝热指数γ不同，整个流场的参数分布不同。

对于TNT炸药的p_CJ爆压测定值一般在19～21 GPa，以p_CJ=21 GPa时为例，爆热e为4 187 kJ/kg，则γ=2.34。根据类激波管问题的特征线理论，可以得到图1中阶段1时段无限长管内各区域的状态参量，见表1，且①区前端的冲击波阵面速度v_s=5 266.14 m/s。当左右两稀疏波在原点相遇时，阶段1结束，记此时刻为T₁，此时无限长管内各区域的状态参量分布，如图2所示，图2(a)、(b)、(d)为对称半流场，图2(d)中E_d为线能量密度，E_d-int、E_d-kin分别代表内能密度、动能密度，沿管长度方向积分可得该时刻系统的内能及动能。

表 1 阶段1各区域的状态参量

Table 1. Characteristic parameters of each region in stage 1

区域	压力p/ MPa	密度ρ/ （kg·m⁻³）	质点速度u/ （m·s⁻¹）	气体声速c/ （m·s⁻¹）	绝热指数γ
③区	9130.8	1630	0	3 620.500	2.34
④区	介于③区和②区之间，参数按中心稀疏波规律衰减				2.34
②区	28.29	138.05	4 730.127	692.510	2.34
①区	28.29	7.20	4 730.127	2 345.567	1.40
⓪区	0.101	1.225	0	340.294	1.40

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图 2 两稀疏波在原点相遇时流场内的特征参数分布

Figure 2. Distribution of characteristic parameters when two rarefaction waves meet at the origin

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2. 当γ=3与γ≠3时复合波区相交特性的差异

由特征线理论可知，两个相向行波相交满足黎曼不变特性，即右行波的每一条C₊特征线，沿该线的黎曼不变量J₊为定值；左行波的每一条C₋特征线上，沿该线的黎曼不变量J₋为定值。对于理想气体，其J_±=u±2c/(γ−1)。由此可得任一条C₊和C₋特征线相交后，交点位置M的u、c参数满足：

$u = \frac{1}{2}({J_ + } + {J_ - }), \qquad\quad {c = \frac{{\gamma - 1}}{4}({J_ + } - {J_ - })}$

(1)

由于中心稀疏波特有的中心发散特性，其运动（④区）有通解方程。此时若一条C₊或C₋特征线穿过常态区与一相向中心稀疏波相遇，其迹线的解析方程为：

$x = \mp \frac{{\gamma + 1}}{{\gamma - 1}}{x_{\text{c}}}{\left( {\frac{{{c_{{\text{cons}}}}}}{{{x_{\text{c}}}}}t} \right)^{\frac{{3 - \gamma }}{{\gamma + 1}}}} \pm \frac{2}{{\gamma - 1}}{c_{{\text{cons}}}}t \mp {x_0}$

(2)

式中： ${x_{\text{c}}}$ 为中心稀疏波发散中心， ${x_{\text{0}}}$ 为相向特征线出发点， ${c_{{\text{cons}}}}$ 为常态区气体声速。

图3为图1所示流场的x-t平面示意图，图中⑤区就是两稀疏波特征线的相交区域，在交汇前各单波系的特征线运动均是直线。根据公式（2）可以得出⑤区边界线即图3中左右波头特征线C₊₀和C₋₀的x-t迹线。当γ=3时，式（2）变化为一直线形式。当γ≠3时，该x-t解为一明显的多项式曲线形式，可以看出当γ＞3时C₊₀或C₋₀的波速是不断减小的，曲线向内凹；γ＜3时C₊₀或C₋₀的波速是不断增大的，曲线向外凹。

图 3 两中心稀疏波相交的x-t平面

Figure 3. x-t plane of intersection of two central rarefaction waves

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而对于复合波区内部任意两条相交特征线的x-t方程，其一般解形式^[2]为：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_ + }:x = (u + c)t + {F_ + }} \\ {{C_ - }:x = (u - c)t + {F_ - }} \end{array}} \right.$

(3)

式中：F₊、F₋分别为与特征线波速u+c、u−c相关的系数。由式（1）可以看出，特征线相交会影响其运动波速，在复合波区内一条特征线会受N条相向特征线的影响，其x-t迹线变为斜率不断变化的曲线，所以式(3)很难得到直接的解析解。但由于在γ=3条件下，dx/dt=u±c=J₊(或J₋)=常数，所有特征线均沿直线向前推进，所以可以通过左右行波的初始条件确定F₊、F₋。

如图3中两中心稀疏波相遇时，由右行稀疏波t=0时，x=−1；左行稀疏波t=0时，x=1；可得F₊=−1，F₋=1。可解得复合波⑤区任一交点的u、c参数：

$u = \frac{x}{t},\quad\qquad c = \frac{1}{t}$

(4)

对于理想气体而言，该点的压力、密度均可通过该气体声速得到（其中p₃、ρ₃、c₃为③区参数）：

$p = {p_3}{\left( {\frac{c}{{{c_3}}}} \right)^{\frac{{2\gamma }}{{\gamma - 1}}}} = {p_3}{\left( {\frac{1}{{{c_3}t}}} \right)^{\frac{{2\gamma }}{{\gamma - 1}}}},{\text{ }}\qquad\begin{array}{*{20}{c}} {}&{\rho = } \end{array}{\rho _3}{\left( {\frac{c}{{{c_3}}}} \right)^{\frac{2}{{\gamma - 1}}}}{\text{ = }}{\rho _3}{\left( {\frac{1}{{{c_3}t}}} \right)^{\frac{2}{{\gamma - 1}}}}$

(5)

所以在γ=3时复合波⑤区内各处气体的声速c、压力p、密度ρ都是一个均布值，与气体分布位置无关，仅随运动时间t变化，并且随着t增长，c、p、ρ逐渐减小，而气体的质点速度u同时受位置和时间的影响。可以看出该特殊解形式简单，且方程可解析。但当γ≠3时，复合波区内的各特征线均为变化曲线，任一交点的u、c参数无通解。图4显示了近似利用γ=3的c值均布特性求解后原图2中γ=2.34时流场的特性分布变化，其中E为能量，E_int为内能，E_kin为动能。

图 4 应用c值均布特性后系统流场特性变化

Figure 4. Changes of flow field characteristics after the application of c-value uniform distribution

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从图4（a）可以看出，复合波⑤区内除气体质点速度外，内部的其他参数都是均布状态。图4（b）计算了两稀疏波从初始T₀、相遇T₁到④区完全被扰动为复合波区的T₂时刻过程中各区域的能量变化，可以发现，系统内的总能量在复合波⑤区形成后逐渐减少，到T₂时刻总能量已减少了37.53%。这说明，当γ≠3时其复合波区的特性应与γ=3时有较大差异。

从波系相交特性的角度分析，如图5所示，当γ≠3时选取3条右行C₊特征线与左行中心稀疏波相交，C₊₀线按已有解析方程式（2）画出。由于图1中③区为常态区，根据特征线理论，该左行波C₋族线的右向黎曼不变量J₊与C₊₀线的J₊₀相同，所以在C₊₀线通过后，各C₋线的u、c不变，仍按原斜率u-c运动，此时左行波仍保持中心发散特性。

图 5 中心稀疏波的发散特性

Figure 5. Divergence characteristics of central rarefaction waves

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因此当C₊₁线（ ${J_{ + 1}} \ne {J_{ + 0}}$ ）与运动而来的C₋族线相交时，其特征迹线方程仍可按C₊₀的迹线求解方式得到，形式与式（2）类似。但由式（1）可知，与C₊₁线相交后，各C₋线的运动斜率（ $u - c =$ $\dfrac{{3 - \gamma }}{4}{J_ + } + \dfrac{{\gamma {\text{ + }}1}}{4}{J_ - }$ ）都将发生变化，将其延伸到x轴，可以看出此时的C₋族线并没有相交到一点，即中心稀疏波在受任一相向运动的特征线（其同向黎曼不变量与中心稀疏波的不同）影响后，将不再具有中心特性。

所以当C₋族线再与C₊₂线相交时，C₊₂线已不能够利用式（2）方式求得迹线方程，只能通过与各C₋线逐一相交迭代计算。同理可推，当γ≠3时在图3中相向运动的两个中心稀疏波相交后，C₊族线和C₋族线都不再具有中心特性，变为非中心稀疏波，即其波系发散特性发生了改变，因此难以确定其各特征线相交的具体位置。

由上可知在x-t平面上无法直接对比其特性差异，改从能量角度分析，理想气体的内能与压力p相关，动能与密度ρ、质点速度u相关，结合式（5）可知，该系统的能量特性主要受u、c变化的影响，所以为分析其特性差异，可以从复合波区的u-c特征进行切入。

3. 当γ=3时复合波区的u-c平面特性

由特征线理论可知，对于每一个不变量 ${J_ + }/{J_ - }$ ，在u-c平面上必有一条曲线 ${\varGamma _ + }/{\varGamma _ - }$ 与之对应，且曲线 ${\varGamma _ + }$ 和 ${\varGamma _ - }$ 的交点处的(u,c)值与C₊和C₋特征线相应交点的（x,t）值具有一一对应关系。由于理想气体的等熵特性，u-c平面上的 ${\varGamma _ + }/{\varGamma _ - }$ 曲线均为直线。

（1）复合波⑤区的u-c平面特性

图6为两同等强度中心稀疏波相交的x-t平面和u-c平面。假定t_k时刻，x-t平面上左行波波头C₋₀与C_+k线相交(A点)，由对称可知，此时右行波波头C₊₀与C_−k线相交(B点)，线AB为复合波区的长度，对应到u-c平面，可以找到相应的复合波区边界点A、B，当γ=3时，x-t平面上特征线为直线，复合波区中点位置为P点，u=0。根据式（4）已知c与分布位置无关，为均值，因此在u-c平面，AB之间的路径为直线A-P-B。

图 6 两同等强度稀疏波相交的平面特性

Figure 6. Plane characteristics of the intersection of two rarefaction waves with equal intensity

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（2）复合波⑦区的u-c平面特性

图1中复合波⑦区的类型是稀疏波和压缩波的相互作用。为分析⑦区的特性，首先了解两同等强度的压缩波相遇的复合波特性。在图7（a）中分别在长管内−x₀、x₀处设置活塞，管内气体静止，初始声速c_0。利用活塞相向匀加速运动，加速度为 $a$ ，压缩管内气体，生成两相向等强度压缩波。两压缩波运动到中点（x=0）处相遇，形成压缩波-压缩波的复合波区。

图 7 两同等强度压缩波相交的平面特性

Figure 7. Plane characteristics of the intersection of two compression waves with equal intensity

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同样利用式（3）进行图7复合波特性的求解。当γ=3时，由于dx/dt=u±c为常数，所有特征线仍均沿直线向前推进，活塞压缩生成的每条特征线的初始参数为（x_+i, t_+i, u_+i, c_+i）和（x_−i, t_−i, u_−i, c_−i），其中下标+为右行波，−为左行波。该区相交特征线的解为：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = (u + c)t + {F_ + }} \\ {x = (u - c)t + {F_ - }} \end{array}} \right. \Rightarrow c = \frac{{{F_ - } - {F_ + }}}{{2t}}$

(6)

由和常态区相邻的简单波系的黎曼特性可得：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_{ + i}} - {{2{c_{ + i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2{c_{ + i}}} (}} \right. } (}\gamma - 1) = - {{2{c_0}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2{c_0}} (}} \right. } (}\gamma - 1)} \\ {{u_{ - i}} + {{2{c_{ - i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2{c_{ - i}}} {(\gamma - 1)}}} \right. } {(\gamma - 1)}} = {{2{c_0}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2{c_0}} {(\gamma - 1)}}} \right. } {(\gamma - 1)}}} \end{array}} \right. \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}} {{u_{ + i}} + {c_{ + i}} = 2{u_{ + i}} + {c_0}} \\ {{u_{ - i}} - {c_{ - i}} = 2{u_{ - i}} - {c_0}} \end{array}$

(7)

此时假定 ${t_k}$ 时刻，C₋₀与C_+k线相交(A点)，C₊₀与C_−k线相交(B点)，线AB为复合波区的长度。为确定此时AB线上所有交点的声速c的特性规律，任取一交点M（ ${x_M}$ , ${t_k}$ ）的方程展开：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_M} = - \dfrac{3}{2}at_{ + M}^2 + (2a{t_k} - {c_0}){t_{ + M}} + {c_0}{t_k} - {x_0}} \\ {{x_M} = \dfrac{3}{2}at_{ - M}^2 - (2a{t_k} - {c_0}){t_{ - M}} - {c_0}{t_k} + {x_0}} \end{array}} \right.$

(8)

通过式（8）可得到线AB上相交两条特征线初始参数t_+M、t_−M的关系式:

$2({c_0}{t_k} - {x_0}) = \frac{3}{2}a\left( {t_{ - M}^2 + t_{ + M}^2} \right) - (2a{t_k} - {c_0})({t_{ - M}} + {t_{ + M}})$

(9)

可以看出变量 $\left( {t_{ - M}^{} + t_{ + M}^{}} \right)$ 和因变量 $\left( {t_{ - M}^2 + t_{ + M}^2} \right)$ 满足S=S₁y−S₂x形式的直线方程，同时式（9）可以改写为：

$2{c_0}{t_k} + 2a{t_k}({t_{ - M}} + {t_{ + M}}) = \frac{3}{2}a\left( {t_{ - M}^2 + t_{ + M}^2} \right){\text{ + }}{c_0}({t_{ - M}} + {t_{ + M}}) + 2{x_0}$

(10)

式（10）等号右侧正好是式（6）解中 ${F_ - } - {F_ + }$ 的展开表达式，将M点和B点的声速c进行对比可得：

$\frac{{{c_M}}}{{{c_B}}} = \frac{{{F_{ - M}} - {F_{ + M}}}}{{{F_{ - k}} - {F_{ + 0}}}} = \frac{{2{c_0}{t_k} + 2a{t_k}({t_{ - M}} + {t_{ + M}})}}{{2{c_0}{t_k} + 2a{t_k}({t_{ - k}} + {t_{ + 0}})}}$

(11)

从式（11）可以看出 ${{{c_M}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{c_M}} {{c_B}}}} \right. } {{c_B}}} \ne 1$ ，因此在该压缩波复合波区的u-c平面上AB路径并不是一条直线。将a、 ${c_0}$ 、 ${t_k}$ 赋值后发现， $({t_{ - M}} + {t_{ + M}})$ 在中心P点最大，在两端A、B处最小，因此 ${c_P} \text{＞} {c_B}$ 。由于在u-c平面上压缩波和稀疏波波头波尾走向相反，因此该波区的u-c平面如图7（b）所示，其AB路径为曲线A-P-B。

将该分析方法延伸至图1复合波⑦区的类型分析中，在长管内利用图8（a）中活塞向左匀加速运动生成不同强度（ $- {a_1}\sim - {a_5}$ ）的压缩波与迎面稀疏波相交，两相向波在x-t平面上的初始位置分别为( $- {x_0}$ ,0)、（ ${x_0}$ ,0）。当γ=3时结合式（4）和式（6）的分析，可以得到图8波区交点的F₊、F-解为：

图 8 不同强度压缩波和稀疏波相交的平面特性

Figure 8. Plane characteristics of the intersection of a compression wave and a rarefaction wave with different intensities

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${F_{ + i}} = - {x_0},\begin{array}{*{20}{c}} {}&{{F_{ - i}} = {x_{ - i}} - ({u_{ - i}} - {c_{ - i}}){t_{ - i}}} \end{array}$

(12)

将F_−i展开，由此推出该波区任意时刻的声速解c：

$c = \frac{{{F_{ - i}} - {F_{ + i}}}}{{2t}} = \frac{{\dfrac{3}{2}at_{ - i}^2 + {c_0}{t_{ - i}} + 2{x_0}}}{{2t}}$

(13)

由式（13）可以看出，在指定a和时刻t后，该波区范围内c仅与各压缩线的初始形成时间t_−i有关，因此t时刻由压缩波波头到压缩波波尾c逐渐增大。但对于单条压缩线来讲，在复合波区内其c值随t的增长逐渐减小，这就是稀疏波对压缩波稀疏效应的体现。

对于该路径上u的特性，根据稀疏波方程x=(u+c)t+F₊可得：

$u = \frac{{x + {x_0}}}{t} - c$

(14)

由于在t时刻，(x+x₀)/t项随x增大而增大，−c值会随x增大而减小，而c值变化速率主要受a的影响，因此该路径上u的特性也主要受活塞加速度a的影响，即受压缩波强度的影响。假定t_k时刻，该复合波区边界交点为A、B，改变活塞初始加速度（a₁～a₅），以式（13）～（14）对应计算图8（b）u-c平面上的AB路径。计算得出，当a较小（a₁～a₃）时，−c项的影响较小，AB路径上u基本呈单调递增的状态，但当a继续增大（a₄～a₅）时，−c项的影响开始增大，AB路径上u开始有明显的先减小后增大的趋势，若继续增大a，可预见递减会成为主要趋势。

综上分析可以看出，当γ=3时各类复合波区的c值均只跟时间有关，但在不同类型复合波区中分布形式不同，而u值与x和t均相关，在同类型波相交的复合波区内是单调递增的，若相交波为等强度波，对称面u=0。在不同类型波相交中u值特性与参与波的强度直接相关。u、c特性的组合就是复合波区的主要特性。

4. 当γ≠3时复合波区的u-c平面特性

虽然γ≠3时依据式（3）流场难以求解，但对于具有对称特性的复合波⑤区，仍可近似借鉴γ=3时的直线特性，假定其特征线也是沿直线运动，同样得到式（4）的c值均布特性（当然此假定过程并不等熵），然后放在原γ≠3的x-t和u-c平面上进行对比和特征规律分析，如图9所示。

图 9 γ≠3时两同等强度稀疏波相交的平面特性示意图

Figure 9. Plane characteristics of intersection of two rarefaction waves with equal intensity at γ≠3

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在图9中假定t_k时刻，A₀-P₀-B₀为假定特征线沿直线运动时的c值均布直线。而其实际情况由式（2）及图3可知，当γ≠3时，x-t平面上复合波区内的特征线均为曲线，此时需分两种情况：

（1）当γ＞3时，波头C₊₀/C₋₀迹线的波速是不断减小的，所以波头C₊₀/C₋₀会比直线运动时更晚与C_−k/C_+k线相交（t_k1＞t_k），x-t平面上线A₁B₁为复合波区的长度，中点位置为P₁点，u=0。但在u-c平面上复合波区边界点仍为A₀、B₀两点，而P₁点在x-t平面上高于P₀点，也就是在u-c平面上其相交特征线的编号高于P₀点，因此当γ＞3时，在u-c平面上A₁B₁之间的路径为曲线A₀-P₁-B₀，即此时复合波⑤区的特性参数变化规律为：c（或p、ρ）在复合波区中心处最小，向着复合波区边界逐渐增大。u为矢量，在对称中心处均为0，数值上向着复合波区边界逐渐增大。

（2）当γ＜3时，波头C₊₀/C₋₀迹线的波速是不断增大的，所以波头C₊₀/C₋₀会比直线运动时更早与C_−k/C_+k线相交（t_k2＜t_k），x-t平面上线A₂B₂为复合波区的长度，中点位置为P₂点，u=0。但在u-c平面上复合波区边界点仍为A₀、B₀两点，而P₂点在x-t平面上低于P₀点，也就是在u-c平面上其相交特征线的编号低于P₀点，因此当γ＜3时，在u-c平面上A₂B₂之间的路径为曲线A₀-P₂-B₀，即此时复合波⑤区的特性参数变化规律为：c（或p、ρ）在复合波区中心处最大，向着复合波区边界逐渐减小。u为矢量，在对称中心处均为0，数值上向着复合波区边界逐渐增大。

从上述分析可以看出，当γ＞3和γ＜3时复合波⑤区的u-c路径特性是相反的。

为验证上述结论，也为得到非对称复合波⑦区在γ≠3时的u-c平面特性，本文利用MATLAB基于特征线法对图1所示的爆轰流场进行模拟，首先假定左右中心稀疏波④区各有N条特征线从中心发出，并在每个区域预先设置特征空矩阵，以便于下一区域直接调用上一区域的边界作为初始条件。为保证计算精度，计算中采用尽可能多的特征线充满流场，取N=10 000。

图1中阶段3有2种不同的复合波形式，对于稀疏波相交的复合波⑤区，以公式（1）为迭代准则，假定在每个迭代胞格内特征线为直线，计算胞格各交点的（x,t）及（u,c），再推进到下一个胞格，如图10(a)所示；对于在介质分界面处的复合波⑦区，其入射波、反射波和透射波的关系^[12]按下式计算：

图 10 对复合波区的迭代思路

Figure 10. The iterative method for the complex wave zone

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${u_7} - {u_2} = \frac{{2{\psi _{{\text{expl}}}}}}{{{\psi _{{\text{expl}}}} + {\psi _{{\text{air}}}}}}({u_6} - {u_2}),\qquad\quad {{p_7} - {p_2} = \frac{{2{\psi _{{\text{expl}}}}}}{{{\psi _{{\text{expl}}}} + {\psi _{{\text{air}}}}}}({p_6} - {p_2})}$

(15)

式中： ${\psi _{{\text{expl}}}}$ 、 ${\psi _{{\text{air}}}}$ 分别为爆炸气体和空气的波阻抗。由接触面两侧的连续性可知，入射前 ${p_2} = {p_1}$ ， ${u_2} = {u_1}$ ；入射后 ${p_7} = {p_8}$ ， ${u_7} = {u_8}$ 。计算过程中入射特征线要先与前入射特征线生成的反射特征线相交后才能到达介质分界面，生成新的反射、透射特征线，如图10(b)所示，该过程中分界线DL也会变为曲线，要在迭代中要不断更新其位置，并对压缩波特征线增加判断语句，若压缩波特征线开始相交，则计算报错。由于压缩波波线汇聚处会形成间断面，属于波形畸变，此时特征线法不再适用。

为充分讨论γ≠3的各种情况，本文中通过调节初始爆热，得到7组不同γ值：3.5、3.2、2.7、2.34、2.0、1.7、1.4。由于该流场程序具有通用性，因此增加γ=3工况作为对比。为验证该流场程序的合理性，以γ=2.34时为例，MATLAB计算生成的特征线流场如图11所示。每个特征线上节点位置处都包含了6个特征参数：压力、密度、质点速度、气体声速、内能密度、动能密度。选定时刻，即可确定该时刻内流场各处的参数分布。计算过程在T_n=5.93 ms时刻报错，显示⑦区N₇=173与N₇=172反射压缩特征线在26.569 5 m处相交。

图 11 MATLAB计算生成的特征线流场

Figure 11. Characteristic line flow field generated by MATLAB calculation

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首先选定3个特征时刻进行流场对比：T₂时刻（右行稀疏波波头刚穿出复合波⑤区）、T₃时刻（右行稀疏波波头刚穿出②区，即到达介质分界面）、T_n时刻（计算结束时刻）。流场参数分布如图12所示，由于特征线流场左右对称，只显示右半流场。

图 12 T₂、T₃、T_n时刻的流场参数分布

Figure 12. Distribution of flow field parameters at times T₂, T₃ and T_n

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由图12（d）各区域随时间的能量变化曲线可以看出，T_n时刻之前流场的总能量保持守恒状态，说明该MATLAB迭代流场是合理可行的，若忽略T_n时刻报错继续计算，流场总能量开始增大。

（1）复合波⑤区的u-c平面特性

从图11的x-t平面可以看出，中心稀疏波相交作用的复合波⑤区在T₁时刻开始形成。图13（a）为该区与图11（x,t）交点对应的u-c平面，从图中不同时刻的u-c路径及图12（a）～（c）中不同时刻⑤区内p、ρ、c的分布规律，可以看出在该波区内c（或p、ρ）均在波区中点处最大，向着两侧波区边界逐渐减小。这与上述γ＜3时复合波⑤区的u-c特性分析是一致的。图13（b）为γ不同时各流场中复合波⑤区在各自T₂时刻的u-c路径，从对比中可以看出：不同流场的u值特性是一致的，均是沿着波区长度方向逐渐增大；而其c值特性则随着γ增大，其沿波区的路径逐渐由上凸曲线（γ＜3，中心c值最大）-直线（γ=3，c值均布）-下凹曲线（γ＞3，中心c值最小）变化，且离γ=3值越远时，曲线特征更明显。当γ值越接近3时，其曲线路径越接近直线特性。

图 13 爆轰流场中复合波⑤区的u-c特性

Figure 13. u-c characteristics of complex wave zone ⑤ in the post-detonation flow field

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由于在爆轰流场中，复合波⑤区范围最广，且前期衰减速率及衰减跨度大，如对比γ=2.34时流场中图2和图12，波区中点p值从T₁时刻9 130.8 MPa快速衰减到了T₂时刻的44.07 MPa，该时段内中心ρ值从1 630 kg/m³衰减到了166.8 kg/m³，因此该c值特性不同影响的p、ρ参数对系统的内能、动能均产生了较大影响。

（2）复合波⑦区的u-c平面特性

对于在T₃时刻开始形成的复合波⑦区，通过图11中T_n时刻压缩波特征线交点的位置可以看出，相交位置位于靠近介质分界面，也就是靠近反射压缩波波尾处。若将介质分界面DL看成一个可透射的活塞，若活塞向左做均匀加速、且波前静止的情况，间断出现的位置一般在波头上，而该⑦区流场中间断率先发生在了波尾处，说明后生成的反射压缩线追赶速率不断增大，也就是可透射的活塞DL向左加速度是不断增大的，间断将由波后向波前推进。在其他7组不同γ的流场中均出现了类似的间断位置，而且随着γ增大间断位置出现的越早。因此可以得出，该平面爆轰过程中的复合波⑦区是由右行稀疏波（其中γ≠3时为非中心稀疏波，γ=3时为中心稀疏波）和左行变加速反射压缩波相交形成的。

图14（a）为γ=2.34时该波区与图11（x,t）交点对应的u−c平面，从c值特性看，在不同时刻该波区范围内c值均是沿压缩波波头向波尾（介质分界面）逐渐增大的，这与γ=3时的规律特性是一致的。从u值特性看，在T₇时刻前u值沿着波区主要呈递增的趋势，但随着时间增长，u的增幅越来越小，且结合图12（c）中⑦区的u-x曲线，可以看出在T_n时刻该波区的u值出现了先减小后增大的变化趋势，由此也可以看出该反射压缩波的强度随生成时间是不断增大的。不过从整体上该波区内各位置的u、c还是随时间不断衰减的。

图 14 爆轰流场中复合波⑦区的u-c特性

Figure 14. u-c characteristics of complex wave zone ⑦ in the post-detonation flow field

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图14（b）为γ不同时各流场中复合波⑦区在各自T_n时刻的u-c路径，从对比中可以看出：不同流场的c值特性是一致的，均是沿着波区长度方向逐渐增大，而其u值特性随γ增大逐渐由单调递增变化为先减小后增大，该先减小的特性也间接表现了右行稀疏波的强度，说明随γ增大，流场生成的稀疏波强度越大。

可以看出，在该平面爆轰过程中不同区域都有其特定的衰减特性，根据其特性可以快速了解整个流场的参数分布情况，如复合波⑤区的边界点是流场压力最低的位置。同时若将图11模型继续计算，在T_n时刻之后约1 ms的时间，⑧区的右行透射稀疏波将与冲击波波阵面交汇，还会形成稀疏波和冲击波的复合阵面，此时空气超压和冲击波速开始被衰减。

5. 结　论

综上分析，u、c平面特性的差异就是绝热指数γ不同时复合波区衰减特性不同的主要体现。

（1）当γ≠3时，中心稀疏波在受任一相向运动的特征线（其黎曼不变量与该中心稀疏波不同）影响后，不再具有中心特性；

（2）对于等强度中心稀疏波相交的复合波⑤区，主要表现在c值特性不同：当γ=3时，c（或p、ρ）在复合波区内为均布值，仅与时间相关；当γ＞3时，c（或p、ρ）在复合波区中心处最小，向着复合波区边界逐渐增大；当γ＜3时，c（或p、ρ）在复合波区中心处最大，向着复合波区边界逐渐减小；

（3）对于稀疏波与压缩波相交的复合波⑦区，主要表现在u值特性不同：沿波区长度方向u值特性随γ增大逐渐由单调递增变化为先减小后增大。该u值特性受增长项和衰减项的共同影响，与相交波强度相关。

图 1 爆炸膨胀环实验平台^[9]和电磁膨胀环实验平台示意图^[10]

Figure 1. Sketch of experimental setup of explosive expanding ring and electromagnetic expanding ring

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图 2 高纯无氧铜TU1环和柱壳样品实物图

Figure 2. Specimen of oxygen-free high-conductivity copper (TU1)

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图 3 电磁膨胀环、爆炸膨胀环典型断面形貌

Figure 3. Fracture feature of expanding rings under electromagnetic and explosive loading

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图 4 爆炸膨胀柱壳高速摄影图像

Figure 4. High speed camera images of expanding cylindrical shell

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图 5 膨胀柱壳拉伸破片及断面微观表征图片

Figure 5. Fragments and microscopic fracture surface of expanding cylindrical shell

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图 6 电磁膨胀环、爆炸膨胀环/柱壳中平均断裂应变与应变率的关系

Figure 6. Relationship between strain rate and average fracture strain in electromagnetic ring and explosive expanding ring/cylinder

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图 7 断面收缩率随应变率的变化

Figure 7. Variation of area reduction with strain rate

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图 8 爆炸与电磁加载下膨胀环、柱壳局域断裂应变与平均断裂应变

Figure 8. Local fracture strain and average fracture strain of explosive expanding ring/cylinder(EE-ring/EE-Cylinder) and electromagnetic ring (EM-ring)

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表 1 电磁膨胀环、爆炸膨胀环(柱壳)实验数据

Table 1. Strain rate and fracture strain of experiments

实验号	样品	加载	${\mathit{\dot \varepsilon }}$ /s^-1	ε_f-average	ψ	ε_f-local
1	环	3.0 kV	2.8×10³	0.155	-	-
2	环	3.5 kV	4.6×10³	0.224	78	4.36
3	环	4.0 kV	5.4×10³	0.333	13	2.56
4	环	爆炸	5.8×10³	0.130	4	1.39
5	柱壳	爆炸	8.6×10³	0.267	2.5	0.92
6	柱壳	爆炸	12.0×10³	0.465	~500	6.21

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表 2 不同应变率下M态TU1环碎裂数据^[11]

Table 2. Fragmentations data of M state TU1 rings at varying strain rates

实验编号	R₀/mm	ε·/s^-1	N_f	${{\mathit{\bar L}}_{\rm{f}}}$ /mm	ε_f-average
MR-01	21.1	3.50×10³	3	51.0	0.143
MR-02	21.1	4.70×10³	4	39.3	0.170
MR-03	21.1	5.04×10³	7	23.1	0.199
MR-04	21.1	5.50×10³	7	24.0	0.237
MR-05	21.1	6.05×10³	9	21.6	0.388

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