Experimental study of TiNi tubes under radial impact with and without lateral constraint
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摘要: 为了解TiNi柱壳横向压缩力学性能以制造可重复使用抗冲吸能装置, 对有、无侧向约束的TiNi柱壳进行了横向冲击实验。利用改进的霍普金森压杆装置(SHPB), 配套波形分离方法, 实现了较长时间(~3 ms)的波形测量, 获得了TiNi柱壳在动态加载下的载荷压缩量曲线。通过高速摄影, 捕捉了柱壳的动态变形过程。结果表明, 无约束试件具有优良的可恢复变形能力, 承载力平台段特征明显。侧向约束的引入, 可以有效提高柱壳的承载力和耗能能力, 可以承受更高速度的冲击。选择合适的约束组合, 可望同时实现较大压缩行程和高耗能, 制造实用的抗冲吸能装置。Abstract: TiNi tubes with and without lateral constraint subjected to radial impact were investigated experimentally for the purpose of developing repeatedly used energy absorption devices.By using a modified SHPB apparatus and wave separation technique, the signal recorded was extended to about 3ms, and then the load-compression curves were available.With a high speed CCD camera, the dynamic deformation process of the specimens was captured.The results show that TiNi tubes without lateral constraint have an excellent recoverable deformability with apparent loading platform.The tubes with lateral constraint have a much better performance of energy dissipation and are able to withstand higher speed impact.If properly choosing the combination of two constraints, it may improve its dynamic performance both in the large deformation and high energy dissipation and will be used in the future shock absorbing devices.
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采空区坍塌是矿山主要灾害之一，对矿山生产安全和生态环境保护构成严重威胁[1-2]。许多科研人员开展了大量采空区相关研究工作，为消除空区隐患提供了指导参考，如吴爱祥等[3]以冬瓜山铜矿西山特大采空区的简化物理模型，理论计算了采空区顶板大面积冒落产生的空气冲击波强度以及垫层的削波效果；刘晓明等[4]采用Surpac与Phase2耦合方法，开展了空区围岩稳定性数值分析；付建新等[5]以程潮铁矿为背景，采用室内相似材料实验模拟，初步揭示了缓倾斜厚大矿体崩落法开采过程中隐伏采空区顶板的冒落机理；吴启红等[6]在采用FLAC3D软件进行采空区群数值分析的基础上，开展了空区稳定的多级模糊评判。
采空区坍塌后，空区上方冒落的岩体直接冲击到底板上，将诱发强大的振动应力波，对周边建（构）筑物造成严重损害。考虑到空区塌落具有一次性、不可逆性，在现实中不可坍塌再现，而重球落地后也会对接触的地面造成一定的冲击，虽然两者与地面的接触面积、接触方式不同，但两者同属于物理上的物体高处坠落，都会与地面碰撞后产生触地振动波并向远处传播；根据物理相似理论，可以将空区塌落体简化为一定质量的重球从高处落地。基于此，本文中认为两者的触地振动在物理上具有相似性，可以采用重球触地实验模拟采空区坍塌过程，基于重球触地振动规律对采空区安全分析进行指导。
对振动波传播规律的研究较多，如：王凯兴等[7]基于深部岩体的非连续自平衡应力等级块系构造理论，研究了摆型波传播过程块系岩体中岩块与其周围软弱介质之间的能量转化规律；楼晓明等[8]总结了不同微差时间下振动波传播规律及速度峰值、主频、频带能量、总能量等变化特征；李俊如等[9]通过夯击实验，研究了砂土中强夯振动的衰减规律；杨年华等[10]以实测单炮孔振动波形为基础，开展了爆破振动波叠加数值预测研究；但未见采用重球落地实验指导采空区治理的相关研究报道。因此，从重球落地实验模拟采空区塌落的角度开展采空区安全分析是一个较好的研究方向。本文中从重球落地实验模拟采空区塌落的角度出发，在重球触地实验的基础上，研究高处落地振动波的特性规律；从振动应力波角度，分析某露天矿山边坡下民采空区塌落振动危害，提出有效的空区治理方案。
1. 振动波的特性
1.1 波的分类
所有的应力波可以分为两组：体波和面波[11-13]。在一个固体中，只有一种应力波体波；体波包括主波，即P波和S波。在一个坚实的物体表面和附近，还有另一种应力波面波；表面波包括瑞利波、拉夫波和斯通利波。
P波的波速：
cP=√E(1−μ)ρ(1+μ)(1−2μ) (1) S波的波速：
cS=√E2ρ(1+μ) (2) 式中：E为杨氏模量，μ为泊松比，ρ为P波传播介质的密度。
P波速度和S波速度之间的差异非常大。研究表明，P波的速度总是远大于S波的速度，而S波的速度高于瑞利波的速度cR。换句话说，P波总是比S波或瑞利波早到达某个地方，即cP＞cS＞cR。
在岩石工程中，只要已知岩石的密度、杨氏模量和泊松比，这些关系就可以用来估计体波的速度。在一维条件下，P波和S波的速度可由泊松比为零的早期方程确定。
1.2 波的能量
波在介质中传播时，其能量随着传播距离R的增大而减弱；根据波动理论，波传播所在的那一部分介质能量等于动能和势能之和，即E=Ek+Ep。
假设介质中存在波动，在介质中取体积微元dV，当仅考虑一球面简谐纵波，则位移为：
y=Acos(ωt+θ) (3) 位移速度为：
v=dydt=Aωsin(ωt+θ) (4) 质量动能为：
Ek=12mv2=12mA2ω2sin2(ωt+θ) (5) 波在传播过程中，动能和势能相互转化，总能量保持不变。
1.3 波的衰减和扩散
波幅度的减小称为衰减，意味着波幅随着传播距离的增大而减小。波在实际传播过程中，应力波的衰减使得波的能量逐渐降低，最后导致波的消失。通常岩石由具有复杂结构和固有缺陷的不同矿物组成，应力波在岩石中的衰减速度远大于在金属材料中的衰减速度。Ricketts等的实验结果表明[14]，在1 ms内，当一个弹性波在闪长岩(岩石)棒和铝棒中传播时，该弹性波在岩石中的衰减高达87%，而在铝中的衰减仅为10%。根据波的几何球面扩散现象，波能量的衰减与传播距离R2成反比。
波的延长称为色散。主要是由于P波和S波速度之间的差异，随着距离或时间的增加，由P波和S波构成的应力波的总长度将变得越来越长；波在传播过程中，由于波在裂缝和自由表面处的反射和折射作用，使得波的一些弹性能量转换成热量。
2. 重球触地波动特性实验
2.1 实验方案
采用自制的4和10 kg的实心铁球分别从1.0、1.5和2.0 m高处自由落下，在距离落地点0.5、1.0、2.0、3.0和4.0 m处分别采用TC-3850型爆破测振仪进行不同方案下的振动速度测量。实验在某建筑基础的混凝土地面进行，混凝土厚度为10 cm。测点布置和现场照片见图1～2。
2.2 实验结果
每组实验进行2次，以2次峰值振动速度的平均值作为计算分析数据，见图3和表1。
图 3 不同测点的爆破峰值振动速度Figure 3. Peak particle velocity of blasting vibration at different measuring points表 1 振动测量数据Table 1. Vibration measurement data重球质量/kg 测点距离/m 峰值振动速度/(cm·s−1) 第1次 第2次 平均值 第1次 第2次 平均值 第1次 第2次 平均值 高度 1.0 m 高度 1.5 m 高度 2.0 m 4 0.5 7.029 7.262 7.146 9.006 8.403 8.705 10.089 10.33 10.210 1.0 6.215 6.670 6.443 6.737 8.022 7.380 9.120 8.686 8.903 2.0 2.362 2.371 2.367 2.374 2.769 2.572 3.688 3.315 3.502 3.0 1.326 1.386 1.356 1.591 1.506 1.549 2.002 2.009 2.006 4.0 1.340 1.547 1.444 1.603 1.598 1.601 1.776 2.199 1.988 10 0.5 11.514 12.939 12.227 14.447 13.721 14.084 15.708 15.612 15.660 1.0 11.747 11.886 11.817 13.492 13.865 13.679 14.714 15.075 14.895 2.0 6.782 6.215 6.499 7.255 7.134 7.195 8.442 8.257 8.350 3.0 1.881 2.270 2.076 2.095 2.546 2.321 3.143 3.136 3.140 4.0 2.532 2.879 2.706 3.001 3.101 3.051 3.073 3.621 3.347 测试数据较多，这里仅提供了距离重球落地点0.5 m处的测试波形，如图4所示。
图 4 水平距离重球落地点0.5 m处测试得到的不同质量的重球从不同高度落地引起的地振动速度波形Figure 4. Vibration velocity-time curves measured at the measuring point with the horizontal distance of 0.5 m away from the landing place of different-mass heavy balls free-falling from different heights2.3 振动衰减规律分析
由图4和表1可知，相同质量条件下，随着重球落地高度的增大，各测点的峰值振动速度呈增大趋势；相同落地高度条件下，重球质量越大，各测点的峰值振动速度也越大。同时，随着测点距离的增大，各测点的振动速度整体表现为衰减现象，仅在距离重球落地点4.0 m处测点的振动速度呈现“跃增”现象，但增大幅度较小。
重球落地过程伴随着能量的转化。重球触地后引起与之接触附近的混凝土基础发生形变，混凝土内部微小空隙、裂纹等压密变形，产生触地振动波，导致重力势能转变为混凝土基础的变形能、热能以及振动波能量。重力势能由重球的质量m、落地高度H和重力加速度g的乘积决定，表达式为：Ep=mHg。随着重球质量和落地高度的增大，总能量将相应增大，进而引起混凝土变形能和振动波能量相应增加，而质点振动速度是波动能量的主要表现形式，因此随着重球质量和落地高度的增大势必导致振动速度的增大趋势。
振动波在混凝土中传播过程中，受到传播介质的阻尼作用，引起波动能量的耗散，导致质点振动幅度逐渐减小，从而振动波随传播距离增大表现为一定程度的衰减和色散，直至波动能量耗尽，振动波消失。
为了进一步分析质点振动速度衰减规律，这里提出累计振动速度衰减率概念。
设水平距离重球落地点0.5 m处的峰值振动速度为v0，水平距离重球落地点1.0、2.0、3.0和4.0 m处峰值振动速度为vn(n=1，2，3，4)。
定义累计振动速度衰减率
Δη 为v0和vn的差值与v0的比值，即：Δη=v0−vnv0 (6) 
图 5 对于不同的质量重球从不同高度落地累计振动速度衰减率与传播距离关系Figure 5. Relations of cumulative attenuation rate and propagation distance for ground vibration induced by different-mass heavy balls free-falling from different heights and touching the ground表 2 对于不同的落球条件在不同测点得到的累计振动速度衰减率Table 2. Cumulative vibration attenuation rates at different measuring points for different falling ball conditions重球质量/kg 测点距离/m 振动速度/(cm·s−1) 累计衰减率/% 振动速度/(cm·s−1) 累计衰减率/% 振动速度/(cm·s−1) 累计衰减率/% 高度 1.0 m 高度 1.5 m 高度 2.0 m 4 0.5 7.146 0 8.705 0 10.210 0 1.0 6.443 9.84 7.380 15.22 8.903 12.80 2.0 2.367 66.88 2.572 70.45 3.502 65.70 3.0 1.356 81.02 1.549 82.21 2.006 80.35 4.0 1.444 79.79 1.601 81.61 1.988 80.53 10 0.5 12.227 0 14.084 0 15.660 0 1.0 11.817 3.35 13.679 2.88 14.895 4.89 2.0 6.499 46.85 7.195 48.91 8.350 46.68 3.0 2.076 83.02 2.321 83.52 3.140 79.95 4.0 2.706 77.87 3.051 78.34 3.347 78.63 由图5和表2可知，随着测点距离的增大，应力波的振动速度累计衰减率逐渐增大，且水平距重球触地点2.0和3.0 m处的衰减幅度较明显，而在水平距重球触地点4.0 m处衰减幅度减小，这与质点速度反增现象相吻合。对于质量为4 kg的重球，在水平距重球触地点3.0 m处的累计衰减率达到79.79%～81.61%；对于质量为10 kg的重球，在水平距重球触地点3.0 m处的累计衰减率达到79.95%～83.52%；落地高度对累计衰减率的影响不显著。
距离是引起质点振动速度衰减的主要因素，且在重球触地点近区的质点振动速度衰减幅度明显大于远区的，对周围建筑物的影响也随距离的增大而大幅度降低。随着重球机械能量的增大(质量或落地高度增大，或者两者同时增大)，在重球触地点近区振动波能量衰减幅度呈增大趋势，重球质量对振动衰减的影响程度高于落地高度对振动衰减的影响程度。
2.4 振速“跃增”原因分析
当光线到达自由边界或两个透明介质之间的界面时，它会被反射和折射。同样，当应力波到达自由表面和界面时，也会发生反射和折射。在研究应力波时，折射通常称为透射，折射波通常称为透射波。应力波的反射和透射遵循表面上或通过界面上的光的基本原理，如物理学的斯奈尔定律[15-16]。
当重球落地时，产生两种体波(P波和S波)和面波(瑞利波)。不同介质存在不同的波阻抗(介质密度与应力波的传播速度的乘积)，当两个波都传播到混凝土与基础的分界面时，由于波阻抗差的存在，会产生应力波的反射和透射，然后倾斜地传播到自由表面时，如图6所示，引起至少5个波：(1)由反射P波引起的反射P波(PP波)；(2)由反射P波引起的反射S波(SP波)；(3)由反射S波引起的反射P波(PS波)；(4)由反射S波引起的反射S波(SS波)；(5)瑞利波(R波)。
理论上而言，应力波在传播过程中受到介质的黏性阻尼作用，伴随着波的机械能向热能的转化过程；随着距离的增大，波的能量逐渐衰减，振幅逐渐减小，最终能量消失殆尽。同时，当应力波穿过结构面时，所有频率的应力波都会衰减，且高频部分衰减更快；结构面越多，应力波衰减越明显。这里通过多次实验可以排除偶然误差对实验结果的影响，同时考虑到实验场地条件等，分析认为：这里水平距离重球落地点4.0 m处的质点振速产生小幅度“跃增”现象即为应力波的叠加导致的。由于P波速度大于S波和瑞利波速度，因此，在自由面处存在反射波与瑞利波的相遇位置M，从而产生应力波的叠加作用，导致质点振动速度增大。
已知混凝土厚度PQ=10 cm，PM=4 m，根据三角关系可知PN2=PQ2+PM2/4，计算可得PN=2.002 m。
根据《混凝土结构设计规范》(GB 50010-2010)[17]，C25混凝土的弹性模量为28 GPa，泊松比为0.2，密度取2 500 kg/m3，则计算可得混凝土的波速
cP=3527.7m/s ，cS=2160.2m/s 。应力波从P点到达M点，经过两个路径的波程差PN+NM−PM=4 mm，相对于应力波的传播速度来说微乎其微，可以在1.1～1.8 μs内瞬间完成，而波的响应时间一般为20～30 ms，完全具备应力波在M点叠加的条件，理论分析和现场实验结果吻合较好。
2.5 振动能量衰减分析
为进一步掌握振动能量衰减趋势，这里提出相对能量比概念。当质点振动速度达到峰值时，能量全部转化为动能，则势能为零。
对于质量微元dm，这里设水平距离重球落地点0.5 m处的质点峰值振动速度为v0，水平距离重球落地点1.0、2.0、3.0和4.0 m处的质点峰值振动速度为vn(n=1，2，3，4)。
定义相对能量比：
k=12dmv2n/(12dmv20)=v2nv20 (6) 表 3 相对能量比Table 3. Relative energy ratio重球质量/kg 测点距离/m v2/(cm·s−1)2 k/% v2/(cm·s−1)2 k/% v2/(cm·s−1)2 k/% 高度 1.0 m 高度 1.5 m 高度 2.0 m 4 0.5 51.07 100 75.78 100 104.24 100 1.0 41.51 81.29 54.46 71.87 79.26 76.04 2.0 5.60 10.97 6.62 8.73 12.26 11.76 3.0 1.84 3.60 2.40 3.17 4.02 3.86 4.0 2.09 4.08 2.56 3.38 3.95 3.79 10 0.5 149.50 100 198.36 100 245.24 100 1.0 139.64 93.41 187.12 94.33 221.86 90.47 2.0 42.24 28.25 51.77 26.10 69.72 28.43 3.0 4.31 2.88 5.39 2.72 9.86 4.02 4.0 7.32 4.90 9.31 4.69 11.20 4.57 由图7和表3可知：在水平距离重球落地点3.0 m以内，重球质量为10 kg时相对能量比大于重球质量为4 kg时的该数值；随着距离的增大，两者的差值呈增大趋势，且在距离2.0 m处差值达到最大；落地高度为1.0、1.5和2.0 m时的相对能量比差值分别为17.28%、17.37%和16.67%；在距离3.0 m处基本一致，相差不大。说明重球质量对振动能量衰减影响明显；质量越大，近区能量衰减越慢。
3. 民采空区垮塌振动计算分析
3.1 与重球触地振动关联性
对于同一个物理过程，若两个物理现象的各个物理量在各对应点上以及各对应瞬间大小成比例，且各矢量的对应方向一致，则称这两个物理现象相似。由于许多力学问题很难用数学方法去解决，必须通过实验来研究；然而由于受到实验条件等的限制，无法进行直接实验，或者直接实验结果只适用于某些特定条件，并不具有普遍意义，因而即使花费巨大，也难能揭示现象的物理本质，并描述其中各量之间的规律性关系。因此，根据物理相似理论，通常用缩小的模型进行研究，以模型实验结果反映实物规律。
考虑到采空区坍塌和重球触地都会对直接接触的地面造成一定冲击危害，进而诱发不同程度的振动应力波并向远处传播，对周边建（构）筑物造成损害。而采空区塌落具有不可逆性，在现实中不可坍塌再现，虽然两者与地面的接触面积、接触方式不同，但两者同属于物理上的物体高处坠落；根据相似理论，可以将空区塌落体简化为一定质量的重球从高处落地，从几何相似、运动相似和动力相似角度可以类比分析，可以通过重球触地振动规律反映采空区坍塌振动规律。
基于此，本文中认为两者的触地振动传播规律在物理上具有一定的相似性和可类比性，因此，可以采用重球触地实验模拟采空区坍塌过程，通过重球触地振动规律进行类比指导采空区安全分析。因而这里在重球触地模拟实验的基础上，以某露天矿山边坡正下方的民采空区为例，从塌落振动角度分析采空区失稳冒落的危害，进而为后面的空区治理、消除安全隐患提供理论指导。
3.2 民采空区概况
某露天矿在生产过程中揭露一个民采空区硐口，位于采场边坡正下方，见图8；空区围岩稳定性较差，局部冒落较严重，对矿山开采安全和边坡稳定构成较大隐患。通过测量确定采空区面积约1 205 m2，呈北西-南东走向，最大长度为77 m，最大宽度为26 m；底板标高+115 m，高度为5～6 m；上覆岩层厚度为15～25 m。
3.3 空区塌落振动速度分析
采空区坍塌规模与岩体条件、空区跨度、顶板暴露面积、地应力状态、爆破振动荷载等密切相关。普氏理论认为：硐室开挖以后，如不及时支护，硐顶岩体将不断跨落而形成一个拱形，称塌落拱。这个拱形最初不稳定，如果侧壁稳定，拱高随岩体塌落不断增大；反之，如果侧壁也不稳定，则拱跨和拱高同时增大。当硐的埋深较大时，塌落拱不会无限发展，最终将在围岩中形成一个自然平衡拱。据此所推导的在重力应力场条件下的自然平衡拱是抛物线型[18-20]。
当两帮岩石稳定，而顶板不稳定时，对于如图9所示宽度为2a、高度为H的矩形采空区，由于拱效应，将导致高度为b的岩体产生冒落。
考虑半拱的平衡，对拱列出弯矩的平衡式，并考虑到附加安全储备，最后可获得处于安全平衡状态时的拱高方程：
y=1afx2 (7) 式中：a为空区跨度的1/2，f为岩体的坚固性系数。此时，冒落区的最大高度，即拱顶高度，为b=a/f。该采空区跨度为8.2～26 m，f=8，则冒落区的最大高度为0.51～1.63 m。
这里稳定平衡拱内的岩石为塌落体，积分可得塌落体质量：
m=ρL∫a−a(b−y)dx=ρL∫a−a(b−x2fa)dx=2ρL(ab−a23f) (8) 式中：L为采空区长度，
ρ 为石灰岩的密度。已知石灰岩的密度为2 720 kg/m3，则采空区塌落体质量为582.5～5 926.5 t。据此计算，一旦发生采空区塌落事故，质量达582.5～5 926.5 t的岩石将直接冲击到采空区底板上。如果空区侧帮不稳定，则引起的塌落范围和规模将更大。空区坍塌后易于引起地面沉降，同时对采场边坡和生产安全构成严重威胁。鉴于该采空区直接位于采场边坡正下方，根据前文分析，距离越近，则塌落振动越大，振动灾害越严重；空区坍塌质量和高度越大，塌落体的总能量越大，引起的塌落振动也越大。若空区一旦发生坍塌事故，则由此形成的振动速度将远远高于10 kg重球从2.0 m高度落地时在0.5 m距离处的振动速度15.660 cm/s，也大大超过《爆破安全规程》规定的边坡安全允许振动速度10～15 cm/s。
因此，采空区坍塌后引起地表下陷，势必对采场边坡稳定造成严重影响，易于导致边坡失稳滑坡伤害事故，为尽早消除空区隐患，采空区处理势在必行。
4. 采空区处理方案设计及边坡安全
4.1 对治理方案提出思路
根据重球触地振动规律可知，重球质量和落地高度越大，触地振动波能量越大；且距离落球点越近，振动速度越大，随着距离的增大，振动速度呈现整体衰减趋势。这里考虑到该采空区直接位于边坡的正下方，距离近，类比重球触地振动波传播规律，则空区坍塌后引起的振动速度危害极大，一旦超过边坡安全允许振动速度，势必对采场边坡和正常生产安全造成严重影响，因此，亟待采取有效的治理措施以消除采空区安全隐患，为此这里提出以下采空区治理方案。
4.2 空区治理方案设计
结合矿山开采初步设计，确定采用“采空区顶板崩落+边坡削坡”的综合治理方案。将采空区至地表的顶柱崩落，并对周边露天边坡进行削坡处理，降低边坡高度和边坡角，形成+125 m和+140 m两个安全台阶，平台宽度为6 m，台阶边坡角60°，与初步设计终了台阶实现较好衔接；待采空区处理后坑底形成+115 m平台，避免边坡失稳滑坡事故，彻底消除采空区安全隐患。
设计采空区顶板崩落采用深孔爆破的方法，采用2台潜孔钻机进行凿孔，孔径为115 mm，孔距为4 m，排距为3 m；分3次爆破，塑料导爆管起爆系统，逐孔微差起爆。
设计边坡削坡采用自上而下分台阶爆破方案，孔径为115 mm，孔距为4.5 m，排距为3.5 m，逐孔微差起爆。每次起爆2～3排炮孔。设计台阶高度为10 m，高于10 m的地段分台阶爆破，低于10 m的地段一次爆破。设计治理后边坡剖面见图10。
4.3 边坡安全系数计算
为掌握采空区处理后的采场边坡的稳定性状态，采用FLAC3D数值分析软件建立计算模型，编制计算边坡安全系数的fish语言程序，将计算结果与规定岩土边坡安全系数进行对比。
4.3.1 数值模型的建立
根据现场地形条件、采空区参数及设计治理剖面，建立FLAC3D软件数值计算模型。计算模型长度为100 m，宽度为50 m；高度为63 m，高度为自标高+100 m以上至地表。采空区空间位置见图11 (红色部分为采空区)，边坡数值模型见图12；这里将岩体视为弹塑性连续介质类型岩体，采用莫尔-库仑准则进行数值计算[21-22]。
4.3.2 边坡安全系数计算方法
强度折减法是进行边坡稳定性有限元分析的常用方法，直接通过有限元分析获得一个安全系数，在工程中得到越来越多的应用。强度折减法是将岩体的抗剪强度指标内聚力C和内摩擦角φ，用一个折减系数Fs，按照下式进行折减：
CF=C/Fs (9) φF=tan−1(tanφ/Fs) (10) 式中：CF为折减后虚拟的内聚力，φF为折减后虚拟的内摩擦角。然后用折减后的虚拟抗剪强度指标内聚力CF和内摩擦角φF，替换原来的C和φ，如:
τF=CF+σtanφF (12) 式中：τF为折减后的抗剪强度。随着Fs的增大，折减后的强度指标逐渐减小，直到某一个指标下边坡发生失稳，此时发生破坏前的值就是边坡的安全系数F。
考虑采空区埋藏深度较浅，这里只考虑岩体自重应力场。通过fish语言程序，采用强度折减法对岩体内聚力C和内摩擦角φ进行折减，折减后的参数不断代入模型进行重复计算，直到模型达到极限发生破坏。
4.3.3 边坡安全系数计算结果
根据建立的数值计算模型，采用强度折减法，计算得到治理后的边坡安全系数为1.26，大于《非煤露天矿边坡工程技术规范》(GB 51016-2014)[23]边坡工程安全Ш级(边坡高度H≤100 m)在荷载组合Ⅱ级(自重+地下水+爆破振动力)下的安全系数1.13～1.08，正常情况下可以保证采场边坡的安全。
计算得到的竖直应力等值线图和剪切应变速率图如图13～14所示，应力分布呈现明显的分层现象，自上而下，应力逐渐增大，且边坡体内的分层与坡面近似平行；台阶和坑底应力得到释放，但未见应力集中现象；剪切应变速率主要在坡顶相对显著，台阶上有微弱变化，整体来看边坡稳定状态较好。说明边坡削坡治理后，不仅消除了采空区安全隐患，同时提高了边坡安全系数，有效控制了边坡稳定。
5. 结 论
（1）重球落地与采空区坍塌同属于物理上的物体高处坠落，都会与地面碰撞后产生触地振动波并向远处传播，虽然两者与地面的接触面积、接触方式不同，但两者的触地振动规律在物理上具有一定的相似性和可类比性，根据相似理论，可以采用重球触地实验模拟采空区坍塌过程。
（2）振动速度与重球质量和落地高度成正相关；重球质量和落地高度越大，引起的振动速度越大。随着测点距离的增大，振动速度整体表现为衰减趋势；对于质量为4 kg和10 kg的重球，在3.0 m处的累计衰减率分别为79.79%～81.61%和79.95%～83.52%。振动波在不同介质交界面的反射和折射引起振动波的叠加，导致振动速度的小幅度“跃增”，因此，对于多层分界面情况需引起重视。
（3）重球质量对振动能量衰减影响明显；在水平距离重球落地地点3.0 m以内，重球质量为10 kg时相对能量比较质量为4 kg时大，两者落地高度1.0、1.5和2.0 m的相对能量比差值分别为17.28%、17.37%和16.67%；质量越大，近区能量衰减越慢，对周边建筑物的危害越严重。
（4）根据普式拱理论计算的采空区冒落高度为0.51～1.63 m，冒落岩体质量为582.5～5 926.5 t，引起的振动速度远大于边坡安全允许标准。采用“采空区顶板崩落+边坡削坡”方案治理后，采场形成+125 m和+140 m两个安全平台，与初步设计形成较好衔接；同时边坡安全系数可达到1.26，大于规定允许值1.13～1.08，正常情况下可以保证采场边坡的安全，消除采空区安全隐患。
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图 11 无约束试件动静态实验结果比较
Figure 11. Comparsion of quasi-static and dynamic compression without lateral constraint
图 12 有约束试件动静态实验结果比较
Figure 12. Comparsion of quasi-static and dynamic compression with lateral constraint
图 13 不同约束下的抗冲吸能性能比较
Figure 13. Comparison of shock resistance and energy absorption features under various constraints
表 1 实验参数和结果
Table 1. Experimental parameters and results under radial impact
No. v0/(m·s-1) δmax/mm δmax/D Fmax/N E0/J Ed/J χ/(J·g-1) η/% ss-1 3.17 1.59 0.199 287 0.347 0.038 0.58 10.9 ss-2 3.70 2.05 0.256 309 0.473 0.086 0.79 18.2 ss-3 4.69 2.91 0.364 368 0.759 0.162 1.26 21.3 ss-4 6.73 4.20 0.530 659 1.563 0.890 2.60 57.0 ff-1 3.83 1.08 0.135 748 0.506 0.124 0.84 24.5 ff-2 4.74 1.38 0.173 854 0.775 0.238 1.29 30.7 ff-3 5.28 1.50 0.188 1 037 0.962 0.338 1.60 35.1 
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