异型武器平台的发展对战斗部结构设计提出了新的需求。学者们探索了非圆截面弹体的侵彻性能。杜忠华等^[1-2]、高光发等^[3]、Bless等^[4-5]研究了截面形状（三角形、矩形、圆形、十字形）对长杆弹侵彻半无限金属靶的影响。王文杰等^[6]开展了椭圆截面弹体垂直侵彻半无限砂浆靶实验研究，获得了截面弹体长短轴变化对侵彻性能影响。以上研究主要是针对半无限靶，对于舰船类等薄靶目标，目前的研究仍集中在圆形截面弹体方面，关于非圆截面弹体的研究少有报道。Landkof等^[7]在刚塑性模型假设的基础上，基于能量守恒原理建立了锥头弹丸正贯穿薄铝板弹道极限速度计算模型，将靶板的能量耗散分为裂纹传播、花瓣弯曲、靶板整体凹陷变形能。张中国等^[8]、Chen等^[9]开展了加筋板贯穿实验，根据实验数据修正了De Marre贯穿经验公式。Song等^[10]、徐双喜等^[11]同样基于刚塑性模型假设和能量守恒原理，分别对截卵形弹体和截锥形弹体贯穿加筋钢板进行了理论分析。He等^[12]进行了平头柱形和刀型弹丸贯穿TC4平板和加筋板实验，将靶板的能量吸收分为整体凹陷变形能、冲塞变形能、花瓣撕裂和弯曲变形能、弹丸头部墩粗变形能，推导了弹道极限速度预测公式，计算中靶板的屈服强度使用了某个高应变率下靶板的动态强度。Zhan等^[13]基于动量守恒定理，建立了弹体贯穿加筋板理论模型。黄涛等^[14]、Xu等^[15]推导了锥形弹体斜贯穿薄板花瓣形刚塑性破坏模型。Wu等^[16]考虑了整体凹陷变形的应变率效应，建立了锥形弹贯穿薄板理论模型。以上模型对穿甲理论发展做出了重要贡献，但还存在一些不足之处：基于动量守恒的理论分析，忽略了靶板强度，低速下误差较大，即使高速下预测得到的速度也很难取得理想的结果^[13]。以能量守恒为基础的理论分析或采用刚塑性模型^[10-11]，或采用某个高应变率下靶板的动态屈服强度代替静态屈服强度^[12]，或使用整体凹陷变形的应变率代替扩孔、弯曲变形等应变率^[16]，均缺乏对靶板不同变形模式下应变率效应的定量分析。

本文中，对椭圆截面截卵形刚性弹体正贯穿加筋板进行理论分析，认为椭圆截面弹体与圆截面弹体贯穿薄板过程中能量耗散机理相同，其贯穿的能量损失可归为塞块剪切变形功与其动能、扩孔塑性变形功、花瓣动力功、花瓣弯曲变形功、靶板整体凹陷变形功、加强筋侧向凹陷变形功。并结合椭圆截面弹体的破坏特征，对每种能量计算方法进行理论推导。近似估计靶板塑性扩孔、花瓣弯曲的平均应变率，继而采用率相关的本构关系引入应变率效应的影响。根据能量守恒原理，建立椭圆截面弹体贯穿加筋板的弹道极限速度与剩余速度预测模型，且通过与实验数据比较，验证模型的准确性。讨论截面长短轴之比对弹道极限速度、靶板各能量耗散的影响。

1.   模型假设与贯穿失效模式

假设弹体为刚体，垂直撞击加筋板。加强筋截面为矩形。图1给出了弹体撞击十字加筋板着靶点位置。图2为椭圆截面弹体撞击矩形单加筋板示意图。其中，弹体头部截顶横截面长半轴和短半轴为${a_0}$、${b_0}$，弹身横截面长半轴和短半轴为${a_1}$、${b_1}$，则长短轴之比${k_{{{ab}}}} = {{{a_1}} / {{b_1}}}={{{{a_0}} / b}_0}$。弹体的质量为M，加筋板的面板厚度为${h_{\rm{p}}}$，加强筋的高度与宽度分别为${h_{\rm{s}}}$、${b_{\rm{s}}}$。定义与椭圆截面弹体横截面积相等的圆柱形弹体为“截面积等效”弹体，其弹体半径$\bar r = \sqrt {{a_1}{b_1}}$。弹轴与弹体横截面长轴组成的剖面为弹体长轴剖面。弹体的初始撞击速度为${v_0}$。假设加筋板面板与加强筋材料相同，其密度为$\rho$，静态屈服强度为${\sigma _0}$。本文中，Johnson 破坏数${d_{\rm n}} = {{\rho v_0^2} / {{\sigma _0}}}$范围为${10^{-3}}\text{～}{10^{-1}}$，在此范围内靶板的响应以塑性变形为主。

图  1  着靶点位置

Figure  1.  Impact locations

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图  2  椭圆截面弹体撞击单加筋板示意图

Figure  2.  Schematic diagram of single stiffened plate impactedby elliptic section projectile

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为考虑材料应变硬化的影响，基于塑性流动能量等效^[17]，修正材料的屈服强度为：

式中：$\sigma (\varepsilon )$表示材料随应变变化的应力值，${\varepsilon _{\rm{f}}}$为单轴拉伸状态下材料的断裂应变。

为表征靶板在冲击条件下的应变率效应，材料的动态屈服强度表示为：

式中：K为应变率增强系数，有Cowper-Symonds关系：

式中：$\dot \varepsilon$为应变率，D、P为相关参数，由K、$\dot \varepsilon$关系曲线拟合得到。

弹体垂直撞击加筋板中心位置时，弹头截锥面沿弹体运动方向剪切面板和加强筋形成塞块，塞块随弹体运动飞出。弹头的锥形部分侵入靶板，引起面板扩孔变形并形成花瓣形破坏（见图3(a)），加强筋绕弹肩位置翻转（见图3(b)），并在面板上形成弹身截面形状的孔洞。实验中，由于各种扰动的影响，出现更多的是弹体偏心撞击加强筋（弹体轴线位置偏离加强筋中心位置）的情形。由于弹体头部的挤压作用，加强筋会沿着弹体径向方向发生凹陷变形（见图3(c)），而不是发生剪切和花瓣弯曲变形。在弹体贯穿过程中，靶板整体同时伴随发生盘形凹陷变形。

图  3  加筋板变形破坏模式 ^[9]

Figure  3.  Deformation and damage modes of stiffened plate

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2.   能量耗散分析

通过对截卵形弹体贯穿加筋板破坏过程和失效模式分析可知，当着靶位置为1或2时，将弹丸的能量损失分为塞块剪切变形功与塞块动能、扩孔塑性变形功、花瓣动力功、花瓣弯曲变形功、靶板整体凹陷变形功。弹体偏心正撞击加筋板时（着靶点位置3），能量损失增加强筋侧向凹陷变形功，且不再计及该加强筋的剪切和弯曲变形功。弹体仅撞击面板时（着靶位置4），忽略计算中关于加强筋的各项能量耗散。

2.1   塞块剪切变形功

忽略塞块剪切变形中的应变率效应，塞块剪切变形功${W_{\rm{s}}}$由面板塞块剪切变形功${W_{{\rm{sp}}}}$与加强筋塞块剪切变形功${W_{{\rm{ss}}}}$组成：

式中：${\tau _{{m}}} = {{{\sigma _{\rm{y}}}} / {\sqrt 3 }}$，m为发生剪切和弯曲变形的加强筋数量。

2.2   扩孔塑性变形功

由Thomson理论^[18]可知，靶板扩孔变形中满足下假设：（1）扩孔变形区域只有环向应力${\sigma _{{\theta }}}$比较显著，忽略径向应力${\sigma _{{r}}}$和法向应力${\sigma _{\textit{z}}}$；（2）靶板材料是不可压缩的或体积不变，即${\varepsilon _{{r}}} + {\varepsilon _{{\theta }}} + {\varepsilon _{\textit{z}}} = 0$；（3）忽略扩孔变形中径向拉伸变形，即${\varepsilon _{{r}}} = 0$。图4为靶板椭圆形扩孔变形功计算原理图。靶板微元从初始位置因弹丸碰撞翻转产生的单位体积应变能为：

图  4  靶板椭圆形扩孔变形示意图

Figure  4.  Deformation diagram of elliptical hole enlargementof target plate

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式中：${R_{\rm{p}}} = {{{b_{\rm{1}}}} / {\sqrt {1 - {e^2}{{\cos }^2}\alpha } }}$，e为椭圆的离心率。

则靶板总的扩孔变形功为：

式中：${R_{\rm{0}}} = {{{b_{\rm{0}}}} / {\sqrt {1 - {e^2}{{\cos }^2}\alpha } }}$。

图5为截卵弹体贯穿平板剖面图，由假设（3）可知，花瓣微元变形前后长度相等：

图  5  截卵弹体贯穿薄板剖面

Figure  5.  Plate perforated by truncated oval-nose projectiles

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由几何关系可知：

式中：${b_{\rm{p}}},{r_1} \in \left[ {0,{d / 2}} \right]$。为便于理论计算，在该区间内对反正弦函数进行线性拟合，得到：

式中：$k = \dfrac{1}{d}\left[ {{\text{π}} - 2\arcsin \left(1 - \dfrac{d}{{2R}}\right)} \right]$。

将式（11）代入式（9），由体积守恒得到：

式（12）对时间求导，结合${b_{\rm{p}}} = \dfrac{d}{2}\sin \left(\dfrac{{\text{π}} }{2}\dfrac{{X'}}{L}\right)$得到：

取平均应变率为$r = d/4$处最大值的一半，则令$X' = 0,\dot X = {v_0},r = d/4$，可得：

对于椭圆截面弹体d、R均为$\alpha$的函数，为简化分析，可取长短轴的均值近似：

式中：${R_{\rm{1}}}$、${R_{\rm{2}}}$为弹体长轴和短轴剖面头部弧长半径。

2.3   花瓣动力功

花瓣动力功${W_{\rm{D}}}$是惯性力所做的功，包括面板花瓣扩孔动力功${W_{{\rm{Dp}}}}$和加强筋花瓣扩孔动力功${W_{{\rm{Ds}}}}$：

图6为椭圆形扩孔动力功计算原理图。如图所示，当扩孔的短半轴为b时，面板微元（图中阴影部分）形成的花瓣质量为：

图  6  椭圆形扩孔动力功计算原理图

Figure  6.  Schematic diagram of dynamical workduring elliptical hole enlargement

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微元质量随时间的变化为：

由图5中的几何关系可知：

式中：$d = {{2{b_{\rm{1}}}} / {\sqrt {1 - {e^2}{{\cos }^2}\alpha } }}$。

认为弹体贯穿薄板的瞬态过程为匀速运动，式（20）对时间求导可得：

式中：$X' = X + L - H$。

面板微元的惯性力为：

对式（23）积分，得到面板惯性力做功为：

同理，加强筋花瓣扩孔动力功为：

2.4   花瓣弯曲变形功

花瓣弯曲变形功${E_{\rm{b}}}$包括面板花瓣弯曲变形功${E_{{\rm{bp}}}}$和加强筋花瓣弯曲变形功${E_{{\rm{bs}}}}$：

忽略弯曲变形中塑性铰的移行过程，面板花瓣弯曲变形功为：

式中：${M_{\rm{p}}} = {{{\sigma _{\rm{y}}}{h_{\rm{p}}}^2}/ 4}$。

加强筋花瓣弯曲变形功为：

式中：${M_{\rm{s}}} = {{{\sigma _{\rm{y}}}{h_{\rm{s}}}^2} / 4}$。

由文献[19]可知，考虑应变率效应时，动态塑性极限弯矩${M'_{\rm{0}}}$表示为：

式中：$\dot \kappa$为曲率变化率，h为板的厚度。近似认为加强筋与面板弯曲变形的曲率变化率相同，其表达式为：

式中:$\dot \psi$为弯曲变形角速度，$l$为花瓣的长度。

由图5中的几何关系，可知：

由于$\sin \omega \text{≤} 1$，令$X' = 0$，$\dot X = {v_0}$，得到最大角加速度：

取曲率平均变化率为其最大值的一半，于是可得：

对于椭圆截面弹体花瓣形弯曲变形，其曲率平均变化率可参考式(15)～(16)，进行近似估计。

2.5   整体凹陷变形能

加筋板整体凹陷变形能E_g包括面板凹陷变形能E_gp和加强筋凹陷变形能E_gs：

文献[12]给出了任意截面弹体贯穿靶板时凹陷变形能的计算方法。如图7所示，假设面板弹孔边界各处横向位移沿着曲率半径Or方向变化规律相同。

图  7  面板椭圆形整体凹陷变形计算原理图

Figure  7.  Schematic diagram of elliptical dishing energy calculation

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面板的横向位移可以表示为^[20]：

式中：${w_0}$为弹孔边界处横向位移，c₁为相关系数，由靶板凹陷变形实验数据拟合得到。

面板凹陷变形能为：

式中：

对面板，取$h = {h_{\rm{p}}}$，对加强筋，取$h = {h_{\rm{s}}}$。

图7中靶板微元凹陷变形能为：

对式（40）积分，得：

式中：${C_{\rm{p}}} = 2{\text{π}} {b_{\rm{1}}} + 4\left( {{a_1} - {b_1}} \right)$。

加强筋整体变形凹陷变形能为：

对于靶板整体弯曲变形，使用动态强度代替静态强度的方法近似考虑应变率效应，取其应变率与薄膜拉伸应变率相同。由文献[19]，可知：

式中：$R' \approx 5d' \approx 5({a_1} + {b_1})$。

2.6   加强筋侧向凹陷变形能

加强筋的侧向凹陷变形能${E_{\rm{s}}}$包括侧向剪切变形能${E_{{\rm{sb}}}}$和侧向弯曲与拉伸变形能${E_{{\rm{ss}}}}$：

图8给出了椭圆截面弹体偏心撞击单加强筋侧向凹陷变形能计算原理图。为便于分析，计算过程中，忽略弹头挤压加强筋过程中头部曲率变化和弹体偏转的影响，由弹体穿靶后加强筋的残余变形求解其能量耗散。该计算方法得到是加强筋能量耗散的下限。如图8所示，建立坐标系$aO'w'$，${w_{\rm{m}}}$为加强筋最大横向位移，则加强筋上任意点C的横向位移可表示为：

图  8  加强筋侧向凹陷变形

Figure  8.  Dishing deformation of stiffener

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加强筋侧向凹陷变形能为：

式中：n为发生侧向凹陷变形的加强筋数量，

由文献[19]可知，加强筋侧向凹陷拉伸平均应变率近似为：

加强筋的侧向剪切变形能为：

2.7   剩余动能

剩余动能${E_{\rm{r}}}$包括弹丸的剩余动能${E_{\rm{k}}}$、面板塞块动能${E_{\rm{p}}}$和加强筋塞块动能${E_{\rm{s}}}$。近似取塞块飞散速度与弹体剩余速度相同，有：

式中：M、${m_{\rm{p}}}$、${m_{\rm{s}}}$分别为弹体质量、面板塞块质量、加强筋塞块质量，$v_{\rm{f}}$为弹体剩余速度。

3.   弹体剩余速度与弹道极限速度

忽略贯穿过程中弹体变形能、裂纹传播能量、摩擦力做功，根据能量守恒定律得到：

将式（52）代入式（56），可得椭圆截面弹体的剩余速度：

令$v_{\rm{f}} = 0$，得到弹道极限速度：

4.   模型验证与讨论

4.1   模型验证

为校验本文模型的准确性，将模型预测结果与文献[9]中穿甲实验数据对比。实验中弹体材料为D6A，屈服强度为1 069 MPa。表1给出了截卵形弹体的几何参数。靶板材料为16MnR。表2给出了实验中平板和加筋板的结构和力学参数，其中D、P由文献中靶板材料在不同应变率下的屈服强度值拟合得到。

表  1  截卵形弹体几何参数

Table  1.  Geometry parameters oftruncated oval-nose projectiles

b1/mm	b0/mm	M/g	L/mm	CRH
12.5	4	165.3	27.5	1.42

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表  2  加筋板结构和力学参数

Table  2.  Geometry and mechanical parameters of stiffened plate

hp/mm	hs/mm	bs/mm	ρ/(g·cm−3)	σ0/MPa	σy/MPa	σu/MPa	εf	D	P
5，10	25	5	7.85	410～420	510	585～610	0.2	1.14 ×104	5.8

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表3给出了截卵形弹体贯穿平板和加筋板实验剩余速度与理论模型计算结果对比。表中，F表示平板，SI表示单加筋板，CS表示十字加筋板，QS表示双十字加筋板。所有靶板面板（除SI^*面板厚度为10 mm）尺寸均为500 mm×500 mm×5 mm，加强筋矩形横截面尺寸为5 mm×25 mm。由表3可以看出，刚塑性模型过高估计弹体剩余速度，本文的定量考虑应变率效应后，剩余速度预测结果与实验结果吻合良好。

表  3  贯穿实验剩余速度与模型预测结果对比

Table  3.  Comparison between the theoretical and experimental residual velocities

实验	板型	m	n	${v_0}/({\rm{m}} \cdot {{\rm{s}}^{ - 1}})$	${v_{\rm{f}}}/({\rm{m}} \cdot {{\rm{s}}^{ - 1}})$	$\Delta r/{\rm{mm}}$	${w_0}/{\rm{mm}}$		${v_{\rm{f}}}/({\rm{m}} \cdot {{\rm{s}}^{ - 1}})$	η/%		${v_{\rm{f}}}/({\rm{m}} \cdot {{\rm{s}}^{ - 1}})$	η/%
				实验参数					刚塑性模型			本文模型
1	F	0	0	244	133	−	15		180.5	35.71		135.2	1.65
5	SI	0	0.5	247	156	12.5	10		191.3	22.63		151.8	2.69
10	SI*	1	0	388	144	−	5		252.3	75.21		140.8	2.22
13	CS	1	1	427	240	12.5	20		323.7	34.87		258.2	7.85
15	CS	1	1	417	157	12.5	18		311.8	98.60		243.5	55.10
16	QS	0	0	247	128	−	16		184.0	43.75		139.9	9.30

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计算过程需要做以下几点说明：（1）文献中未给出靶板贯穿后的最大横向位移，模型计算数据由文献中照片测量换算得到。实验表明${c_1}$为${10^{-2}}\text{～}{10^{-3}}$量级，由式（41）～（42）可知其值对计算结果影响很小，本文计算中${c_1}$取0.005 mm⁻¹。（2）在第15组实验中模型计算剩余速度误差较大，原因是弹体撞击的中心位置没有位于十字加筋中心，弹体受到非对称力作用，弹道发生偏转，由此导致了其他的能量损失。本文模型中未考虑弹体偏转的影响，得到的剩余速度应为实验的上限值。

4.2   ${k_{{{ab}}}}$对弹道极限速度的影响

假设在本文的${k_{{{ab}}}}$范围内，椭圆截面弹体贯穿靶板的横向最大位移与“截面积等效”弹体相同。在${k_{{{ab}}}}$变化过程中，保持弹体的截面积、质量恒定，仅改变截面尺寸。加强筋不发生侧向凹陷变形。图9给出了弹体贯穿各靶板无量纲弹道极限速度随${k_{{{ab}}}}$变化规律。图中，${\bar v_{{\rm{bl}}}}$为“截面积等效”弹体贯穿平板的弹道极限速度。SI-1、SI-2分别表示弹体长轴剖面、短轴剖面与加强筋布置方向垂直。由图9可知，随着${k_{{{ab}}}}$增大，弹体贯穿3类靶板的弹道极限速度呈线性增大变化趋势。当${k_{{{ab}}}}$增大至5时，贯穿平板的弹道极限速度增加约15%，贯穿十字加筋板的弹道极限速度增加约为40%，贯穿单加筋板的增加量居于两者之间。对于圆截面弹体，单根加强筋增加的能量损失约使弹道极限速度提高30%。

图  9  无量纲弹道极限速度随${k_{{{ab}}}}$变化

Figure  9.  Dimensionless ballistic limit velocity vs ${k_{{{ab}}}}$

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4.3   ${k_{{{ab}}}}$对靶板各能量耗散的影响

图10给出了椭圆截面截卵形弹体与“截面积等效”弹体以弹道极限速度贯穿平板各耗散能量比值随${k_{{{ab}}}}$的变化。上划线表示“截面积等效”弹体各项能量耗散。由图10可知，塞块剪切和花瓣弯曲变形功随${k_{{{ab}}}}$近似线性增大。当${k_{{{ab}}}}$为2时，塞块剪切和花瓣弯曲变形功增加16%。扩孔塑性变形功与靶板凹陷变形功与${k_{{{ab}}}}$变化无关。当${k_{{{ab}}}}$从1增大到2时，花瓣动力功随其缓慢增加。当${k_{{{ab}}}}$为2时，增约25%。当${k_{{{ab}}}}$在2～5之间时，其值线性快速增加。图9中平板弹道极限速度随${k_{{{ab}}}}$增大，主要是由于弯曲变形功、花瓣动力功的增加。

图  10  椭圆截面与“截面积等效”弹体各耗散能量比随${k_{{{ab}}}}$的变化

Figure  10.  Variation of energy dissipation ratio of elliptical sectionand "section equivalent" projectiles with ${k_{{{ab}}}}$

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图11给出了弹体以弹道极限速度贯穿平板和加筋板时各能量耗散与弹丸初始动能（靶板耗散总能量）的比随${k_{{{ab}}}}$变化规律。图中，${w_{\rm s}}$表示塞块剪切变形功比，${e_{\rm h}}$表示扩孔塑性变形功比，${w_{\rm d}}$表示花瓣动力功比，${e_{\rm b}}$表示弯曲变形功比，${e_g}$表示靶板整体凹陷变形功比。

图  11  平板和加筋板各能量耗散比随${k_{{{ab}}}}$的变化

Figure  11.  Energy dissipation ratio of flat and stiffened plates vs ${k_{{{ab}}}}$

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由图11，可以得出以下规律：

（1）扩孔塑性变形功比、整体凹陷变形功比随着${k_{{{ab}}}}$增大而减小。随着参与变形的加强筋长度的增加，弯曲变形功和塞块剪切变形功比由随着${k_{{{ab}}}}$增大逐渐增加变为减少。

（2）对于平板，靶板的能量耗散主要为整体凹陷变形功，约占40%。其次为花瓣弯曲变形功，约占耗散总能量的25%。

（3）对于单加筋板，当${k_{{{ab}}}}$＜3时，靶板的能量耗散主要为整体凹陷变形功、花瓣弯曲变形功。当${k_{{{ab}}}}$＞3时，碰撞条件为SI-2、CS时，花瓣动力功比例逐渐开始超过超过除弯曲变形功的其他能量。

（4）对于十字加筋板，与单加筋板相比，塞块剪切变形功超过了整体整体凹陷变形功。

5.   结　论

通过对椭圆截面截卵形弹体贯穿加筋板能量耗散分析，根据能量守恒原理，建立了考虑应变硬化、应变率效应的椭圆截面弹体贯穿薄加筋板的弹道极限速度与剩余速度预测模型，模型预测结果与实验数据吻合较好。结合模型，讨论了椭圆截面长短轴变化对靶板弹道极限速度、各能量耗散的影响。得到如下主要结论。

（1）本文在能量耗散计算中考虑了靶板应变硬化、不同变形模式下应变率效应影响，建立了椭圆截面弹体贯穿加筋板分析模型，可以准确预测弹体剩余速度，较刚塑性模型具有更高的精度。令${k_{{{ab}}}}$=1，可退化为圆截面弹体。

（2）随着${k_{{{ab}}}}$的增大，靶板的弹道极限速度近似线性增大。

（3）当${k_{{{ab}}}}$＜3时，加筋板的能量耗散主要为整体凹陷变形功、花瓣弯曲变形功、剪切变形功。当${k_{{{ab}}}}$＞3时，花瓣动力功比例增加，并逐渐超过整体凹陷变形功。对于十字加筋板，剪切变形功大于整体凹陷变形功。