为了保证舰船设备系统在各种工况下工作的稳定性，对基座的抗冲击设计的研究具有重大实际工程意义。开发高效轻质抗冲击设备基座也是船舶结构设计研究的前沿课题。传统的船用基座抗冲击系统多选用常规的结构形式，减振、抗冲击性能难有大突破。近年来，蜂窝多孔材料因其具有高空隙率、低密度的特点，而广泛用于结构的减震抗冲击。最早发现并研究分析的蜂窝结构宏观表现多为正泊松比，但随着负泊松比材料的发展，具有负泊松比性能的蜂窝结构也被不断研究发现。负泊松比材料在受到单轴拉伸作用时，侧向会发生膨胀，这种独特的拉伸膨胀现象，使得负泊松比的蜂窝结构比相同质量相同尺度的正泊松比蜂窝结构具有更大的平台应力^[1]，表明其吸能效果好、抗冲击性能更优^[2]，为船舶设备基座的结构形式设计提供了新的思路。

由于简单的构造和良好能量吸收能力，越来越多的专家和学者投入到负泊松比材料的研究中，并针对负泊松比材料的拓扑结构以及胞元微观参数变化（如胞角和壁长等）对力学性能的影响进行了探索。Choi等^[3]以具有内凹单元的泡沫芯层为研究对象，发现胞元微拓扑结构能够影响负泊松比泡沫材料的力学性能。Li等^[4]、Schultz等^[5]、杨德庆等^[6]通过分析胞元主尺度的敏感度，证明拉胀行为越明显，结构单位质量吸收的压缩能量越大，抗冲击性能越强。Zhang等^[7]对胞角的负泊松比材料进行了系统分析，其分析结果也显示结构能量吸收和胞元的力学性能息息相关。上述研究主要在匀质的负泊松比结构内开展对比分析，但结果表明，胞元参数单一的增加或减少很难使得负泊松比蜂窝结构实现多目标的优化设计。基于功能梯度材料的概念^[8]，功能梯度蜂窝材料在受到面内冲击作用时，其动态响应和变形模式会随着梯度的变化而在局部发生变化，何强等^[9]对刚性板面内冲击下梯度金属空心球阵列的变形模式进行了研究，讨论了梯度分布形式对金属空心球阵列动力学性能的影响。吴鹤翔等^[10]详细讨论了递变屈服强度梯度和冲击速度对圆形蜂窝材料面内冲击性能的影响。Ajdari等^[11]、Gupta等^[12]和Liang等^[13]也利用材料梯度变化带来的优势，对蜂窝结构的力学性能进行了提升。上述文献多为对蜂窝结构受到持续强制位移作用下的研究，功能梯度和负泊松比蜂窝材料在瞬态冲击载荷下的动力学响应特性间的联系尚需建立，梯度分层结构形式的蜂窝材料在船用基座上的应用需进一步研究和验证。

本文中，以箭形负泊松比蜂窝基座为研究对象，从理论上推导蜂窝胞元的力学性能解析表达式，并通过有限元方法验证其准确性；基于功能梯度材料的概念，并将其应用于船用基座结构设计中，通过改变胞元壁厚，建立具有厚度分层的蜂窝材料模型；讨论不同胞元凹角下，厚度梯度对蜂窝材料动态冲击响应的影响，以期建立材料的动态响应特性与胞元几何参数及厚度梯度之间的内在关联，旨在为负泊松比蜂窝基座的抗冲击优化设计提供参考。

1.   基座结构设计

1.1   箭形蜂窝胞元结构设计

如图1所示，黑色实线代表的为箭形胞元变形前的基本结构形式，${\theta }_{1}$为AB段与y轴之间的夹角，${\theta }_{2}$为BC段与y轴之间的夹角，${l}_{1}$为胞壁AB段的长度，${l}_{2}$为胞壁的BC段的长度，$h$为胞壁的厚度。

图  1  箭形负泊松比胞元

Figure  1.  An arrow-shaped cell with negative Poisson’s ratio

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1.2   泊松比公式的推导

基于能量法，利用伯努利-欧拉梁理论模型对胞元进行受力分析。假设箭形负泊松比结构单元受到远场压应力$\mathrm{\sigma }$的作用，此时点A的垂向受力为：

式中：b为蜂窝胞元的面外宽度。

由于结构关于y轴对称，因此仅选取一半的胞元结构ABC作为研究对象，当y方向受力P时，蜂窝结构所产生的变形主要是来自挠曲变形，其轴向上产生的拉伸、压缩变形可以忽略，胞元受力情况如图1(b)所示。

由平衡条件，可以得到关于弯矩M与受力P之间的关系：

AB、BC上的分段弯矩分布情况为：

在A点施加沿y方向的虚设力${P}'=1$，则${P}'$产生的力矩可表示为：

根据虚位移定理，结构ABC在y方向上产生的位移为：

同理，改变虚设力${P}'$的方向垂直于$P$，可得胞元x方向上的位移表达式：

由正弦定理，三角形ABC中：

根据泊松比的定义$\mu =-\dfrac{{\varepsilon }_{y}}{{\varepsilon }_{x}}$，箭形蜂窝胞元的泊松比可表示为：

相应的，胞元结构的在y方向上的弹性模量为：

式中：${E}_{\mathrm{s}}$为基体材料的弹性模量；$I$为胞壁的惯性矩，表达式为$\dfrac{b{h}^{3}}{12}$，$b$为胞壁的面外宽度。

1.3   胞元泊松比模拟计算

利用有限元软件Abaqus对胞元结构进行模拟分析。蜂窝基座材料采用$907\mathrm{A}$高强钢，材料属性依据文献[14]进行设定，假定为理想弹塑性模型，密度为$7.8\times {10}^{3}\;\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{3}$，弹性模量为$206\;\mathrm{G}\mathrm{P}\mathrm{a}$，泊松比为0.3，屈服极限为$439.4\;\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}$(应变率3.3×10⁻⁴ s⁻¹下)。模型采用四节点减缩积分壳单元进行模拟，沿厚度方向设置5个积分点，模型网格收敛性研究表明，单元大小在4 mm时结果趋于稳定，因此在此处取单元长度为$4\;\mathrm{m}\mathrm{m}$。对胞元施加周期性约束（period boundary condition）以模拟其位于蜂窝结构中的边界条件，同时胞元箭头一端全约束，并在另一端施加1 N的压力，如图2所示。

图  2  蜂窝胞元有限元模型

Figure  2.  The finite element model for honeycomb cells

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图3为解析结果和数值模拟结果之间泊松比值及等效弹性模量（${E}_{y}/{E}_{\mathrm{s}}$）比较，显示了胞元力学性能与胞元参数${\theta }_{2}$之间的关系。胞角${\theta }_{2}$选取范围设置在30°～70°之间，以5°为间隔，建立了4种不同的验证模型，同时其他胞元参数${l}_{1}= 14\sqrt{3}\;\mathrm{m}\mathrm{m}$， ${l}_{2}=60\;\mathrm{m}\mathrm{m}$， $h=3\;\mathrm{m}\mathrm{m}$， $b=14\sqrt{3}\;\mathrm{m}\mathrm{m}$，保持不变。

图  3  有限元与解析公式计算结果的对比

Figure  3.  Comparison between the results by finite element simulation and analytical formula calculation

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根据图3所示，有限元模拟结果与解析公式所得曲线趋势基本吻合，进而验证了模拟方法的可行性。从图中不难得出，当胞角${\theta }_{1}$处于30°～70°的范围内时，箭形胞元都呈现了负泊松比的特性。且在胞壁周长一定的情况下，胞元结构呈现的等效弹性模量随着胞角${\theta }_{1}$增大而增加，意味着该种箭形负泊松比结构具有变刚度特性。本小节通过建立箭形蜂窝结构的宏观性能力学参数和微观结构参数之间的关系，可利用等效解析公式对不同参数的结构的力学性能进行预测，对于更好的研究和利用负泊松比结构具有重要意义。

1.4   厚度梯度型基座设计

厚度梯度型负泊松比蜂窝基座结构如图4所示。本文中采用的蜂窝基座的基本模型由上下面板和蜂窝结构组成，其尺寸设置以船舶典型设备基座尺寸作为参考。蜂窝基座的设计参数包括面板厚度、蜂窝层数量、细胞壁厚度、胞元角度和材料类型等。基座底部板尺寸为500 mm×740 mm×5 mm，宽度为740 mm; 顶部面板的尺寸为277 mm×400 mm×5 mm。

图  4  厚度梯度型负泊松比蜂窝基座结构

Figure  4.  The thickness-graded honeycomb pedestal with negative Poisson’s ratio

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负泊松比蜂窝材料在冲击方向上被分为3部分，每部分内分为2层，单层内的胞元设置为6个，且蜂窝单元壁厚保持一致。相邻区域胞元壁厚的改变量$\Delta h=\pm 1\;\mathrm{m}\mathrm{m}$。从基座面板至底板，$\Delta h{\text{＞}}0$视为顺厚度梯度，蜂窝沿冲击方向的相对密度是减小的；$\Delta h{\text{＜}}0$视为逆厚度梯度，蜂窝沿冲击方向的相对密度是增加的。

为研究不同胞角下，厚度梯度作用对基座抗冲击性能的影响，本节设置胞角${\theta }_{1}$为55°、60°和65°的3种不同泊松比的胞元结构。各胞角构成的蜂窝结构又分为匀质、顺厚度梯度和逆厚度梯度3种工况，共9种工况进行对比分析。具体设置如表1所示。

表  1  厚度梯度基座工况设置

Table  1.  Condition settings for thickness gradient pedestals

胞角${\theta }_{1}$/(°)	工况	层1厚度/mm	层2厚度/mm	层3厚度/mm
55	均匀厚度	3	3	3
	顺厚度梯度	2	3	4
	逆厚度梯度	4	3	2
60	均匀厚度	3	3	3
	顺厚度梯度	2	3	4
	逆厚度梯度	4	3	2
65	均匀厚度	3	3	3
	顺厚度梯度	2	3	4
	逆厚度梯度	4	3	2

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2.   有限元数值模拟

2.1   有限元模型

基座模型如图5所示，蜂窝层、基座面板及底板均采用$907\mathrm{A}$高强钢，参数设定与$1.3$节保持一致。模型采用四节点减缩积分$\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\;\mathrm{S}4\mathrm{R}$单元进行模拟，模型网格收敛性研究表明，单元大小在5 mm时结果趋于收敛，因此取单元长度为$4.5\;\mathrm{m}\mathrm{m}$。沿厚度方向采用$5$个积分点，为防止变形后的蜂窝结构相互穿透，模型采用单面自动接触算法。基座模型的底端以加速度时历曲线的方式在竖直方向施加冲击载荷，左右两侧自由。

图  5  基座有限元模型

Figure  5.  The finite element model for the pedestal

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在本文研究中，设备和螺栓起到负载和连接的作用，并不是研究的重点，所以在进行有限元模型的建立时，对设备和螺栓连接进行了简化处理。

如图5所示，该简化模型并没有将设备的结构建立出来，而是将质量集中于一点置于设备重心处，以模拟设备在模拟时起到的负载的作用。对于设备与基座结构的接触方式，采用$\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{C}$方式（multipoint constraint）进行模拟，以设备重心为主动点，螺栓区域为从动点，替代对实体螺栓的建模。设备质量为$0.2\;\mathrm{t}$，重心距面板高度为$200\;\mathrm{m}\mathrm{m}$。

该种方式在模拟了完整的设备-基座系统的同时，也缩减了建模和模拟时所需人力、计算力。

2.2   冲击载荷确定

冲击载荷即设备的边界条件，需要将基于频域描述的冲击谱转换成时域加速度，将转换得到的加速度时历曲线(acceleration-time曲线)作为冲击载荷对设备基座进行加载。根据德国舰船冲击标准BV043/85^[15]，当设备质量小于$5\;\mathrm{t}$时，等加速谱为$320g$，等速谱为$7\;\mathrm{m}/\mathrm{s}$，等位移谱为$4.3\;\mathrm{c}\mathrm{m}$。冲击谱为基于频域的谱，在进行时域模拟时需要将其等效转换到时域，转换方法以德军标$\mathrm{B}\mathrm{V}043/85$中的相关方法为依据，冲击谱可以采用双三角波或双半正弦波的波形^[16]。本文模拟时所用设备质量为$0.2\;\mathrm{t}$，根据德军标$\mathrm{B}\mathrm{V}043/85$进行计算，得到具体冲击载荷形式如图6所示。

图  6  输入加速度时历曲线

Figure  6.  Input acceleration-time curve

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2.3   有限元模拟方法可靠性验证

为了验证基座模型简化方法的可靠性，设计了冲击实验与有限元结果进行对比。该箭形蜂窝基座结构由基座的面板、底板和腹板组成，本文设计中将传统腹板替换为一种蜂窝层的结构形式，而整体结构组成上保持与传统基座一致。综合考虑了模型成本及制作工艺难度，本文以典型的基座形式作为载体来进行有限元模拟时简化方法的验证。实验及有限元模型结构及材料设定保持一致，其结构形式如图7所示。

图  7  有限元模型及实验基座结构

Figure  7.  The finite element model and the corresponding pedestal structure used in test

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将实验模型置于冲击平台上，对其施加双三角冲击载荷；在进行有限元模拟时保证输入载荷及边界条件与实验工况一致；测点选择于肘板间基座面板的中部和肘板间腹板的中部两处。

选取典型测点A、B处(如图7中所标注)，对实验和有限元模拟得到的加速度时历曲线进行对比分析，结果如图8所示：两者结果吻合较好，仅测点A处的模拟结果与实验值在残余响应阶段有一定误差，可能是由于模拟计算时不能完全模拟实验中冲击机在输入冲击载荷之后的边界条件，同时A点位于面板的自由边上，在自由振动阶段衰减较慢，但对于抗冲击研究重点关注的加速度峰值及出现时刻，模拟结果与实验值基本相同，有效地证明了该简化有限元模型在模拟计算中的可行性。

图  8  加速度时历曲线

Figure  8.  Acceleration-time curves

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3.   基座抗冲击性能分析

3.1   基座结构应力水平

提取不同工况下蜂窝基座出现最大von Mises应力时(后文以${\mathrm{\sigma }}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$表述)所处的计算步，观察其应力云图可以发现，对于不同梯度形式的蜂窝基座，应力在各厚度分层内展现出了不同的分布情况，如图9所示。对3种不同胞角的蜂窝结构各分层内的应力水平进行单独分析，各层出现的最大应力值如图10～12所示。

图  9  ${\theta }_{1}$为65°的均匀厚度蜂窝结构von Mises应力云图

Figure  9.  Von-Mises stress distribution in the layered honeycomb structure with uniform thickness for θ₁ = 65°

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图  10  胞角${\theta }_{1}$为65°的蜂窝结构各分层内出现的最大von Mises应力

Figure  10.  The maximum von-Mises stress in the every layer of the honeycomb structure with θ₁ = 65°

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图  11  胞角${\theta }_{1}$为60°的蜂窝结构各分层内出现的最大von Mises应力

Figure  11.  The maximum von-Mises stress in the every layer of the honeycomb structure with θ₁ = 60°

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图  12  胞角${\theta }_{1}$为55°的蜂窝结构各分层内出现的最大von Mises应力

Figure  12.  The maximum von-Mises stress in the every layer of the honeycomb structure with θ₁ = 55°

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计算结果显示，对于顺厚度梯度的结构形式，胞壁较厚的蜂窝层处于迎冲端，该层强度大，在受到冲击载荷后的应力水平小于均匀蜂窝结构形式迎冲端的蜂窝层；逆厚度梯度的蜂窝基座，胞壁较薄的分层，即较弱的胞元层处于迎冲端，在受到冲击载荷后的应力水平要大于均匀蜂窝结构形式迎冲端的蜂窝层。由于基座面板与设备相连接，设备的重量会在面板上产生集中力，在受到冲击载荷后，均匀厚度蜂窝层的应力水平表现为从面板到迎冲端的逐层降低的趋势，因此逆厚度梯度的结构形式使得基座的应力分布更均匀，从而降低了基座整体的应力水平；顺厚度梯度形式蜂窝的中下层应力值较之匀质蜂窝结构有所降低，但对基座整体的应力分布的优化效果并不明显。

图13给出了各工况下基座最大$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{n}\;\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{s}$应力值曲线，且最大点均位于设备与面板连接处，该处应力值的变化对螺栓的优化设计有一定的参考价值。在3个对照组之间进行横向对比，可以看出基座${\mathrm{\sigma }}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$大小随蜂窝胞角${\theta }_{1}$增大而增大，与文献[17]描述的结果一致。结合1.2节所推导的解析结果，蜂窝结构的弹性模量随胞元角度${\theta }_{1}$的增大而减小，这表明当${\theta }_{1}$越小，蜂窝结构呈现的等效刚度越大，进而优化了基座的抗冲击性能，这也解释了模拟结果所呈现规律的原因。且3组对照组的结果展现了一致的规律性，逆厚度梯度的结构形式（胞壁较薄的蜂窝层置于冲击端）对基座${\mathrm{\sigma }}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$值有明显的优化效果，以均匀蜂窝的基座结果为基准组，3种不同负泊松比的逆厚度梯度的结构形式对基座${\mathrm{\sigma }}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$的优化率分别为26.35%、22.04%、29.33%；而顺厚度梯度（胞壁较厚的蜂窝层置于冲击端）的基座结构形式对削弱应力大小的趋势并不明显。这说明把相对弱的蜂窝层放置在迎冲端可以降低整体的应力水平，并缓解设备与基座面板螺栓连接处的应力集中现象，使得基座整体在冲击环境下更可靠。

图  13  各工况下基座的最大von Mises应力

Figure  13.  The maximum von Mises stresses in the pedestals under various working conditions

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3.2   基座面板输出冲击环境

冲击载荷由基座底部通过蜂窝结构层传至基座面板上的设备，因此对面板的加速度时历曲线的评价分析是极为重要和关键的。以下将基座面板部分提出，对其输出的冲击环境分别在时域和频域内进行分析，测点选取为基座面板与设备相连接区域，如图14所示。

图  14  面板测点布置

Figure  14.  Layout of measuring points at the panel

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在时域内，提取各工况下面板测点处的平均加速度，绘制测点处的加速度时历曲线，3种泊松比的基座所对应加速度时历曲线如图15所示。由图15可见，泊松比的变化对基座的最大加速度响应没有明显的影响，但在残余响应阶段，随着泊松比绝对值的增大，振动的加速度幅值逐渐降低，加速了结构在受到冲击载荷后的响应衰减过程，使得基座更快恢复稳定状态。

图  15  不同工况下基座面板测点处的加速度时历曲线

Figure  15.  Acceleration-time curves at the measuring points of the base panel under different working condition

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在时域内，提取各工况下面板测点处的平均加速度，绘制测点处的加速度时历曲线，3种泊松比的基座所对应加速度时历曲线如图15所示。由图15可见，胞元凹角${\theta }_{1}$的变化对基座的最大加速度响应没有明显的影响，但在残余响应阶段，随着${\theta }_{1}$的增大，振动的加速度幅值逐渐降低，加速了结构在受到冲击载荷后的响应衰减过程，使得基座更快恢复稳定状态。

对比3种不同${\theta }_{1}$的情况下，不同厚度梯度工况所对应的基座面板输出加速度曲线，不难看出，结果展示了一致的规律性。顺厚度梯度工况相较于均匀厚度工况，该种结构形式对基座面板加速度峰值有明显的削弱作用，且加速了残余响应阶段基座的振动收敛过程，改善了设备的工作环境。

将上述模拟结果进行频域内的转化，对基座冲击响应的进行频域描述，计算得到结构响应冲击谱。对模拟得到的加速度时历曲线进行转换，得到对应测点处的四参数冲击谱图，如图16所示。

图  16  不同工况下蜂窝基座面板测点处的冲击谱

Figure  16.  Impact spectra at the measuring points of the honeycomb pedestal panels under different working conditions

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对于常见舰载设备的工作环境，频率集中于几赫兹至几十赫兹之间，且设备的响应对位移谱及速度谱的变化最敏感^[18]。在3种不同${\theta }_{1}$的对照组中，顺厚度梯度的结构形式在船用基座重点关注的中低频区域对面板的输出冲击环境有明显的优化效果；在中频区域，该形式使得基座避开了结构的共振区域，对基座的速度谱值有大幅削弱作用，在低频区域，顺厚度梯度的结构形式较之匀质的蜂窝结构在面板输出的位移谱值上能带来有效的降低。

负密度梯度的结构形式在低频区域对面板输出的位移谱产生的优化效果最明显，而在中频区域其速度谱值反而要高于均匀厚度的计算结果，相比负密度梯度的结构形式对面板的输出冲击环境优化十分有限。

综合时域和频域内面板输出的冲击响应结果可以得出：蜂窝胞元凹角${\theta }_{1}$的增大，使得基座振动的加速度幅值逐渐降低，并加速了衰减过程；对于厚度梯度型蜂窝结构，将胞壁厚度较大的蜂窝层放置于接近迎冲端的结构形式较之于匀质蜂窝，能够提高蜂窝层的能量吸收能力，对基座面板的输出冲击环境有明显的优化效果，使设备的工作环境得到优化。

4.   结　论

提出了一种箭形负泊松比的蜂窝结构基座，推导并验证了箭形胞元力学性能的解析公式，讨论了不同胞角的蜂窝结构中，胞壁厚度梯度的变化对蜂窝基座抗冲击性能的影响，结果表明：

（1）蜂窝结构中胞元主尺度的变化会引起其泊松比的改变。在保证基座整体质量不变的前提下，基座面板的最大Mises应力随凹角的增大而降低。

（2）在冲击荷载作用下，厚度梯度蜂窝材料的动力响应表现出分段特性。将胞壁厚度较小（强度相对弱）的蜂窝层放置于迎冲端时，能够有效降低基座的最大Mises应力，并使整体结构的应力分布更均匀，使得基座结构在冲击环境下更可靠。

（3）对不同厚度梯度形式基座的面板输出环境进行分析，将壁厚较大（强度相对强）的蜂窝层放置于迎冲击一端时，对抗冲击性能有可观的提升效果。顺厚度梯度工况对基座面板处的加速度峰值有明显削弱作用，且加速了残余响应阶段基座的振动收敛过程；对于基座工作所处的中低频环境，顺厚度梯度的结构形式大大降低了面板输出的位移谱及速度谱值，可为设备提供相对稳定的运行环境。