Dynamic constitutive model of coral sand under blast loading
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摘要: 以珊瑚砂为主要覆盖域的岛礁在面临动力灾变时，确定岛礁工程抵抗极端冲击荷载的阈值至关重要，珊瑚砂的动态本构关系是防护工程设计的关键要素。本文中，根据SHPB实验和静态压缩实验的结果，提出了一种基于应变率强化规律确定珊瑚砂物态方程的方法，并确定了珊瑚砂动态本构模型的参数。分别基于流体弹塑性模型和Perzyna黏塑性帽盖模型，结合LS-DYNA有限元程序，通过对侵彻和爆炸的数值计算，验证了模型的适用性。基于建立的模型，对不同相对密实度的珊瑚砂开展了侵彻和爆炸数值计算，结果表明，密实度对爆炸波的衰减影响较大、对侵彻深度的影响较小。
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关键词:
- 珊瑚砂 /
- 动态本构 /
- LS-DYNA有限元程序 /
- 侵彻 /
- 爆炸
Abstract: Coral sand is widely distributed in the large area of reefs and lagoons in the South China Sea. During the construction of various projects on islands and reefs, the coral sand is extensively used as a local material resource. It is very important to determine the threshold of the reef engineering to resist extreme impact loads when the islands and reefs covered with coral sand was suffered from dynamic disasters such as penetration and explosion. The coral sand dynamic constitutive model is a key component for protection engineering design when engineering calculations are required. Based on the results of SHPB experiment and static compression experiment of coral sand from the previous works, a method was proposed to determine the equation of state of coral sand based on the law of strain rate strengthening effect by comparing the static compression curves and the dynamic compression curves. It has been proved that the average pressure of the compression curve can reach more than 100 MPa by using this fitting method.The parameters of the dynamic constitutive model of coral sand were determined through the processing of a lot of experiment results. Based on the hydrodynamic elasto-plastic model and the Perzyna viscoplastic cap model, combined with the LS-DYNA finite element program, the applicability of the dynamic constitutive models was verified by contrasting the numerical calculations and experimental results of the coral sand suffered from the projectile penetration and the blasting of explosive. According to the established model, numerical calculations of penetration and explosion in coral sand with different compactness levels were carried out using the hydrodynamic elasto-plastic model. The results show that the compactness levels of coral sand have a greater influence on the attenuation of the blasting wave and less on the penetration depth. This is because the poorly graded original coral sand has a smaller measurement difference between the maximum and minimum dry densities.-
Key words:
- coral sand /
- dynamic constitutive /
- LS-DYNA finite element program /
- penetration /
- explosion
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层裂破坏是一种由动载荷引起的典型破坏模式。由于自由面或者软弱面的存在，入射的压缩波经由这些结构面时反射成拉伸波，并在两波交汇区叠加产生净拉应力，当净拉应力达到材料的动态抗拉强度时岩体发生层裂破坏。迄今为止，许多学者从理论和实验两方面对层裂破坏现象做了大量的研究。在理论研究方面，早在1977年，Davison等[1]对延性材料的层裂累积损伤进行了理论分析；王泽平等[2]通过建模建立了层裂准则，并对微孔洞、微裂纹的损伤演化过程进行研究；王礼立[3]对Hopkinson杆中的层裂现象也进行了理论分析；白以龙等[4]利用宏观力学和微观损伤之间的关系，开展了层裂现象的理论研究，并以积分的形式提出了损伤函数。在实验研究方面，Weerheijm等[5]利用Hopkinson压杆装置研究了混凝土发生层裂的动态抗拉强度和动态拉伸破坏能量；张磊等[6]利用混凝土通过Hopkinson压杆装置进行了层裂实验研究；Li等[7]、李夕兵等[8]利用自行研制的Hopkinson压杆装置载入半正弦加载波研究岩石的层裂特性，发现在硬岩发生层裂的过程中伴有损伤作用，并探讨了自由面的入射和反射情况，推导出了岩石试件发生层裂的理论公式。但是，以上实验都是针对完整试样所做的层裂破坏研究，由于试件加工困难，很少有学者开展预制缺陷试样的层裂实验。众所周知，在岩石材料内部存在着大量的微裂隙和微孔洞；微孔洞和微裂隙的存在，增大了岩体的初始损伤，影响和改变了岩体内应力的分布，甚至会导致岩体强度大幅降低[9-14]。因此，利用实验和理论的方法，研究缺陷对层裂破坏的影响具有一定意义。本文中，将通过在花岗岩岩杆上预制裂隙缺陷和孔洞缺陷，利用Hopkinson压杆施加冲击载荷，结合高速摄像仪及PFC(particle flow code)模拟技术，研究缺陷对岩体层裂破坏的影响及其破坏机理。
1. 层裂破坏理论
在不考虑应力波传播弥散效应的情况下，应力波在岩杆中传播可以视为一维纵波传播。根据应力波传播理论，压缩波经自由面后反射为拉伸波，自由面处应力为零，质点速度加倍，两波交汇处的质点速度为两波质点速度的和[15]。理论上，层裂的产生一般要满足最大拉应力准则，即：当拉伸应力波峰值达到试件的动态抗拉强度时，试件断裂。设由Hopkinson杆冲击入射的半正弦波周期为T，波长为λ，加载应力峰值为σm，并且半正弦波应力时程曲线函数σ(t)表示为：
$$ \sigma (\mathit{t}) = {\sigma _{\rm{m}}}\;{\rm{sin( \mathsf{ π} }}\mathit{t}{\rm{/}}\mathit{T}{\rm{)}}\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{0}} \le t \le {T} $$ (1) 应力波在自由面附近的传播过程如图 1所示，其中实线部分为真实的波形，虚线部分为假想半正弦波的另一段。设半正弦波到达自由面的时间t=0，由图 1所示，当t≥T/2后，反射应力逐渐大于入射应力，净拉应力区出现，可能发生层裂现象。
假设以净拉应力区出现t=T/2时刻为起始时刻，经过Δt时间后，距自由面δ处净拉应力首次达到动态抗拉强度而发生层裂，则根据文献[8]可以确定初始层裂位置：
$$ \frac{\lambda }{4} \le \delta < \frac{\lambda }{2} $$ (2) 初始层裂发生后，由于初始应力加载过程对岩石材料已经产生了损伤，岩石内部强度大大降低了，剩下试件中已传播过去的部分低强度反射波也可能使岩石再次发生层裂；同时，残余应力的作用也可能造成二次损伤，从而产生二次层裂、三次层裂以及多次层裂现象。
2. 实验过程与结果分析
2.1 实验方案与过程
设置了3种花岗岩试件，每组2个，即:完整花岗岩试件、预制条形裂隙花岗岩试件和预制孔洞花岗岩试件。3种花岗岩试样均为截面尺寸为35 mm×35 mm、长度约为118 cm的柱形岩杆。第1组为完整花岗岩试样Int；第2组为预制3条裂隙的花岗岩试样Cra，裂隙位置分别距离自由端25、35和45 cm，裂隙倾角分别为90°、45°、0°，各裂隙的尺寸相同；第3组为预制3个孔洞的花岗岩试样Cir，孔洞中心位置分别距离自由端25、35和45 cm，孔洞半径相同。岩样的密度约为2 920 kg/m3，纵波波速约为4 600 m/s，弹性模量约为62 GPa。
实验在50 mm杆径的SHPB(split Hopkinson pressure bar)水平冲击实验平台上进行，发射腔内放置纺锤型冲头，可以实现半正弦应力波加载[16]，冲头形状如图 1所示。实验中采用0.3 MPa恒定气压进行冲击加载，并在一旁架设高速摄像仪同步记录实验过程；高速摄像仪拍摄窗口大小设置为1 024×192，每秒摄像帧数为29 105。
2.2 实验结果
根据前文分析，试件的长度至少要大于二分之一波长方能满足层裂发生的条件，由文献[8]可知入射压缩波的波长约为72 cm，因此试样长度满足要求。据公式(2)计算可得，试样产生首次层裂的范围距自由端为18~36 cm。试样层裂实验结果如表 1所示。
表 1 层裂实验结果Table 1. Results of spalling test试样编号 层裂层数 各层裂面距自由端距离/cm 第1层 第2层 第3层 Int1 3 15.7 24.7 38.2 Int2 3 18.6 25.7 32.3 Cra1 2 24.9 34.8 Cra2 2 25.0 35.1 Cir1 3 25.1 35.2 45.3 Cir2 3 25.0 35.0 45.1 结果发现，完整杆首次层裂位置为15.7和18.6 cm，与理论计算范围18~36 cm略有偏差，这与实验的入射加载波并非完全对称的半正弦曲线及材料的离散性有关。实验中采用了高速摄像仪记录试件整个破坏过程，含预制缺陷试样其层裂位置均发生在缺陷附近。如图 2所示，含孔洞及裂隙试样其层裂均发生在预制缺陷附近。由此基本可以推定，孔洞及裂隙等缺陷的存在影响了层裂拉伸面的发生位置。完整杆的破坏过程与文献[8]类似。
2.3 实验结果分析
根据损伤力学的观点[16]，岩石内部的裂纹和缺陷在张应力的作用下会不断活化和发展，促进岩石内部的损伤积累；岩石的损伤量越大，其破坏越容易。本实验中，预制孔洞及裂纹增大了岩石的初始损伤，在孔洞及裂纹段，其动态抗拉强度低于完整段的岩杆，因此在这些缺陷处往往更易破坏。需要注意的是，对于含缺陷的层裂杆，其左端的预制缺陷已经远离了完整杆的初始层裂位置，然而依旧发生层裂，其实是预制缺陷影响了反射拉伸波的传播过程。当反射拉伸波抵达左端预制缺陷时，15.7~18.6 cm区域正处于拉伸波的上升沿，其应力尚未达到此处动态抗拉极限，由于缺陷的存在，裂纹(或孔洞)尖端产生应力集中，此时应力快速上升并先于15.7~18.6 cm处抵达该位置的动态抗拉极限，因此左端预制缺陷处发生了初始层裂。其余缺陷处发生的层裂则是由于层裂杆中残余应力进一步作用的结果[8]。
3. PFC2D模拟对比与分析
采用PFC2D软件反演了层裂实验。模拟的SHPB加载系统与实验一致，其中入射杆等材料参数见文献[16]；通过改变冲头的刚度以获得更短的入射波长，模拟的层裂杆波速为4 754 m/s。图 3显示了层裂杆模型, 在其上布置了若干监测圆。经监测可知，层裂杆中入射压缩波波长为58 cm，根据公式(2)计算可得完整杆初始裂纹位置为14.5~29.0 cm。
最终的模拟结果如图 4所示，第1层裂位置均在预制缺陷附近，其中预制孔洞模型及预制裂纹模型第2层裂位置分别为20.3~21.3、17.2~18.2 cm。图 5为预制孔洞模型部分监测圆的应力时程曲线，图右方为其层裂段的裂纹扩展图像。
图 4 基于PFC2D的层裂实验数值模拟结果Figure 4. Numerical simulation results of spalling tests by PFC2D
图 5 预制孔洞模型典型监测圆应力时程曲线及对应破坏过程Figure 5. Stress-time curves of typical monitoring circlse in the prefabricated hole model and its failure process如图 5所示，入射压缩波及反射拉伸波经过监测圆1时应力均会明显升高，这充分反映了缺陷处应力集中的现象；此外，监测圆1的反射拉伸波上升沿明显比监测圆4的更陡峭，且持续时间更短，这一点恰好印证了第2.3节中所提的预制缺陷对应力波传播的影响, 即预制缺陷处的应力会以更高的速率上升。与实验结果不同的是，由于模拟杆的反射拉伸波上升沿更短，因此在区域20.3~21.3 cm范围处，其拉伸应力率先达到该处的动态抗拉极限，因而区域20.3~21.3 cm最先产生裂纹。但当预制孔洞附近应力达到该处的动态抗拉极限时，由于应力集中的影响，此处的裂纹扩展速度要大于区域20.3~21.3 cm的裂纹扩展速度，因此孔洞周边会先于区域20.3~21.3 cm产生初始宏观断裂面，即第1层裂面，具体见图 5；而区域20.3~21.3 cm则在剩余拉伸波的作用下继续发生裂纹扩展，生成第2层裂面。预制裂隙模型与预制孔洞模型类似，但由于前者其反射拉伸波上升沿比后者略缓，持续更长，因此其第2层裂面更靠近自由端。此外，从图 2和图 5中可以发现，缺陷位置在发生层裂前没有新的裂纹产生。这说明压缩应力波在途经预制缺陷时岩石处于弹性变形或稳定塑性变形阶段，其压缩波对预制缺陷处造成的损伤几乎可以忽略。综上，对比实验与模拟结果，可以明确知道，改变反射拉伸波的上升沿长度，可以有效地改变层裂的破坏过程及位置。反射拉伸波上升沿越长，预制缺陷处越容易发生初始层裂，反射拉伸波上升沿越短，预制缺陷处越不容易发生初始层裂。
4. 结论
(1) 预制缺陷的存在改变了应力波在岩杆中的传播。在预制缺陷处由于应力集中，应力波变得陡峭，应力的上升速率加快，其反射拉伸波上升沿会变短。
(2) 预制缺陷对花岗岩层裂过程的影响跟反射拉伸波的上升沿有关；上升沿越长，预制缺陷处越容易发生初始层裂，上升沿越短，预制缺陷处越不容易发生初始层裂。若反射拉伸波的上升沿足够长，则初始层裂面发生在靠近自由面的预制缺陷处；如若反射拉伸波稍短，则初始拉裂纹发生的位置则可能偏离预制缺陷位置；同时，预制缺陷还增大了岩石初始损伤，使得预制缺陷处的抗拉强度低于无缺陷处的抗拉强度。因此，预制缺陷处更容易发生层裂破坏。
(3) 初始层裂面的位置除了与反射拉伸波的上升沿有关，还与层裂面的裂纹扩展速度有关。预制缺陷处由于应力集中现象，其裂纹扩展速度要快于无缺陷处位置的裂纹扩展速度。因此，预制缺陷较无缺陷处更容易形成初始层裂面。
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图 1 确定屈服参数的摩尔圆
Figure 1. Mohr’s circle geometry used to determine yield surface parameters
图 3 在不同相对密实度下平均压力与体应变的关系
Figure 3. Average pressure-volumetric strain curves under different compactness levels
图 6 侵彻计算模型网格划分（靶体为部分显示）
Figure 6. Finite element mesh of calculated model (target is partially displayed)
图 8 不同入射速度时速度与深度的关系
Figure 8. Velocity versus penetration depth at different initial velocities
图 9 珊瑚砂在不同时刻的压力场和弹丸产生的磨蚀区
Figure 9. Pressure fields of coral sand at diffident times and scratch area of projectile
图 10 不同压实密度时速度与深度的关系
Figure 10. Velocity versus penetration depth under different compactness levels
图 11 峰值压力的衰减
Figure 11. Calculated and experiment results of peak pressure attenuation
图 14 不同相对密度时爆炸峰值压力与比例距离的关系
Figure 14. Peak pressure versus scaled distance under different compactness levels
表 1 当
$D_{\rm r}=0.30 $ 时珊瑚砂的5#材料模型参数Table 1. Parameters of 5# constitutive model for coral sand when
$D_{\rm r}=0.30 $ ρ/（g·cm−3） G/MPa Ku/MPa a0/kPa2 a1/kPa a2 1.178 107.7 647.3 84.77 16.23 0.777 ln（V/V0） 0 0.02 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50 0.60 p/MPa 0 2.3 5.8 8.5 11.7 15.83 21.03 36.43 62.23 105.09 
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表 2 当
$D_{\rm r}=0.60 $ 时珊瑚砂的5#材料模型参数Table 2. Parameters of 5# constitutive model for coral sand when
$D_{\rm r}=0.60 $ ρ/（g·cm−3） G/MPa Ku/MPa a0/kPa2 a1/kPa a2 1.219 125.2 698.7 84.77 16.23 0.777 ln（V/V0） 0 0.02 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50 0.60 p/MPa 0 3.0 7.5 10.4 14.0 18.9 25.6 45.0 77.2 132.3
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表 3 当
$D_{\rm r}=0.90 $ 时珊瑚砂的5#材料模型参数Table 3. Parameters of 5# constitutive model for coral sand when
$D_{\rm r}=0.90 $ ρ/（g·cm−3） G/MPa Ku/MPa a0/kPa2 a1/kPa a2 1.260 158.9 717.2 84.77 16.23 0.777 ln（V/V0） 0 0.02 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50 0.60 p/MPa 0 3.66 8.43 10.87 14.51 19.56 26.48 46.89 82.18 141.09
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表 4 当
$D_{\rm r}=0.30 $ 时珊瑚砂Perzyna黏塑性帽盖模型参数Table 4. Perzyna viscoplastic cap model parameters of coral sand when
$D_{\rm r}=0.30 $ K/MPa G/MPa α/kPa β/MPa−1 γ/kPa θ T/kPa 125.2 101.1 32.5 2.207 165 0.416 1.2 W D/GPa−1 R X0/kPa η/μs−1 f0/GPa N 0.365 5.58 5.15 10 0.02 120 1.0
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