Optimal design of the head shape of a small-caliber supercavitating projectile
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摘要: 在水下高速运动时，小口径射弹周围的水会发生空化现象，阻力系数最优的弹头几何外形对应着射弹被空泡全包裹的超空泡状态。针对一种小口径射弹，可以利用计算流体力学（CFD）数值方法模拟含空化现象的气液两相流动，探究空泡形态和阻力系数与射弹头部几何外形的关系。选取三段锥形为基本射弹头形，采用分步优化方式对射弹头部外形进行了优化。同时，结合神经网络与序列二次规划（SQP）算法减少优化过程中的计算量，缩短了优化工作所需的总时间。优化后的射弹阻力系数比优化前的减小约30%，且能够形成包裹全弹体的超空泡。Abstract: When a small-caliber projectile is moving underwater at a high speed, the water around the projectile will cavitate. The cavitation effect can greatly reduce the resistance of the moving vehicle, and the geometric shape of the warhead with the best drag coefficient corresponds to the supercavitating state where the projectile is completely enveloped by cavitation. Aiming at a small-caliber projectile, the computational fluid dynamics method is used to numerically simulate the gas-liquid two-phase flow with cavitation phenomenon, while the relationships of the cavitation shape and the drag coefficient with the geometry of the projectile’s head shape are explored. The three-segment cone type is selected as the basic projectile type, and the shape of the projectile is optimized by step optimization method. First, seven parameters are used to describe the three-segment cone shape of the projectile, and then the projectile is optimized in the order of the first section cone, the second and the third section cone. This method is used because the seven parameters are not independent of each other, and it is difficult to quantitatively determine the relationship between an individual parameter and the performance of the projectile. At the same time, the neural network is employed to perform nonlinear fitting with a large number of CFD numerical simulation results as learning samples, and the approximate calculation model of the shape parameters-drag coefficient of the projectile is established by neural network. Finally, the sequential quadratic programming (SQP) algorithm is introduced to find the optimal solution of the approximate calculation model. The use of neural network and SQP algorithm reduces the amount of calculation in the optimization process and the total time required for optimization work. After two rounds of optimization, the optimized projectile has a better ability to form supercavitation, and its drag coefficient has also been significantly improved compared to the original projectile, with a reduction about 30% compared to the projectile before optimization.
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Key words:
- supercavitating projectile /
- drag coefficient /
- multi-step optimization /
- neural network /
- SQP algorithm
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近年来，水下武器装备的研究成为重点，鱼雷、水下导弹等技术迅速发展[1]。小口径射弹的速度大、射频高、使用灵活[2]，但通常入水阻力大、射程短等[3]，目前很难应用于海军近程防御。因此，在水陆都能造成有效杀伤的小口径超空泡射弹已成为两栖作战的重要需求。
在水中运动时，高速射弹壁面附近的水会发生空化，理想情况下会形成超空泡包裹射弹。20世纪60年代，Logvinovich提出超空泡截面独立扩张原理[4]后，经过Savchenko等[5-6]的实验验证及分析对比，超空泡理论确立并被广泛应用[7-11]。在此机理的基础上，对射弹的气动外形进行优化，使优化后的射弹在水下运动时产生能够包裹弹体的超空泡，从而减小优化射弹在水下运动时受到的阻力，同时提高其射程、增加其稳定性。
现有常规方法是，运用CFD软件对不同的弹形进行大量计算，逐步对比与筛选。但弹形参数众多，计算模型的建立及计算的复杂程度令过程繁琐而漫长。为了避免复杂而费时的数值计算流程，可以在一定量的数值模拟结果的基础上，通过训练神经网络建立弹体参数与阻力系数之间的近似函数关系替代长时间的模拟计算，对弹体的阻力系数进行预测。进而，通过优化算法求解阻力系数的最小值达成对射弹外形的优化。本文中，用这种思路对一种DBP87原始射弹进行优化，并使用数值模拟软件对优化结果进行验证，以证明此优化设计方法的合理性。
1. 数值计算模型与方法
1.1 控制方程
合理的控制方程可以准确求解水中射弹的多相流问题。射弹的水中运动属于气-液-蒸气三相问题，同时涉及空化效应，需要较精确的气-液交界面，本文中选取VOF多相流模型。基本控制方程组为：
∂ρm∂t+∇⋅(ρmv)=0 (1) ∂∂t(ρmv)+∇⋅(ρmvv)=−∇p+∇⋅[(μm+μt)(∇v+∇Tv)] (2) 式中：v为速度矢量，
ρm 、μm 分别为混合介质密度和动力黏度，μt 为湍流黏性系数。湍流模型采用SST k-ω湍流模型，它考虑了湍流剪切应力的传输，对于解决多种湍流问题具有很高的准确性和可信度[12]。SST k-ω湍流模型的输运方程为：
∂∂t(ρmk)+∂∂xi(ρmkui)=τij∂ui∂xj−β∗ρmωk+∂∂xj[(μ+σkμt)∂k∂xj] (3) ∂∂t(ρω)+∂∂xi(ρωui)=γvtτij∂ui∂xj−βρω2+∂∂xj[(μ+σωμt)∂ω∂xj]+2(1−F1)ρσω21ω∂k∂xj∂ω∂xj (4) 式中：
k 为湍流动能，ω 为湍流动能耗散率，vt=μt/μtρρ 为流体动力黏性系数，σk 、σω 、σω2 和γ 为湍流模型常数。Schnerr-Sauer空化模型与所有多相流模型兼容，具有较高的计算稳定性[13]。但原始Schnerr-Sauer模型未考虑非冷凝气体对空化过程的影响，因此在模拟空化流场时存在一定的局限性。为解决此问题，使用在蒸发项中引入非冷凝气体的Schnerr-Sauer空化模型[14]进行计算，其表达式为：
˙m={˙m+=Cevap3(αV+αnuc)(1−αV)RBρlρvρm√23pv−pρlp＜pv˙m−=Ccond3αV(1−αV)RBρlρvρm√23p−pvρlp≥pv (5) 式中：
˙m 为气相质量变化率，RB 为空化核半径，ρl 、ρv 分别为液、气相密度，αV 为气相体积分数，αnuc 为非冷凝气体体积分数，Cevap 、Ccond 分别为蒸发、冷凝的经验校准系数，p为环境压力，饱和蒸气压pv 取3 540 Pa。1.2 计算域、网格和边界条件
DBP87射弹是轴对称的无翼小口径射弹，射弹最大直径6 mm。为了减轻计算量并简化模型，采用二维轴对称旋转模型计算。计算域网格采用结构化网格，网格的划分和边界条件如图1所示。计算域宽0.05 m，射弹顶端距计算域入口0.01 m，射弹尾端距计算域出口1 m。取网格总数为5 000、6 000、8 000、10 000进行网格无关性验证，最终取模型最小网格尺度为0.1 mm，总网格数为6 174。
采用ANSYS Fluent 19.2，基于压力求解器进行定常计算。计算中，采用 SIMPLE 算法空间差分二阶迎风格式，气液交界面几何重构采用Compressive格式。Hrubes等[15]对不同的高速射弹进行了实验研究。本文中，采用上述模型及方法分别对亚音速和跨音速状况的实验数据[15]进行了验证，证明此数值方法是可信有效的。
在使用CFD方法寻找射弹头部外形的优化过程中，对包含原弹形状在内的共213种不同的射弹头部外形进行了数值模拟计算，获得对应的空泡形态与总阻力系数。
2. DBP87普通弹分步优化
2.1 DBP87普通弹参数
DBP87普通弹是我国5.8 mm小口径枪弹中的主要弹种，射弹模型由弹头段、弹身段和尾部段3部分构成，尾部开有倒角[16]。图2为DBP87普通弹外观及结构示意图，其参数分别为：口径6 mm，弹头质量4.15 g，弹头长25 mm，质心相对位置39.8%，初速900 m/s。
2.2 对射弹头部结构的调整
具有一定头部形状的射弹入水时，会形成能够包裹射弹的超空泡，射弹被空泡包裹的表面与密度和压力极低的水蒸气接触，可使它受到的摩擦阻力大大减小。DBP87普通弹头部为平头圆弧状结构，此头部结构适用于空气中的运动，但不适用于水下航行，因此先要对射弹的头部结构进行调整。挪威DSG公司多环境弹（multi-environment ammunition, MEA）中的自然超空泡技术（general purpose supercavitating, GPS）水下枪弹为目前稳定性较好的跨介质入水射弹[17]，在空气中的有效射程为800 m，在水下的最大射程为60 m。图3为在DSG公司网站（https://dsgtec.com/）中获取的视频截图，可见此枪弹采用了平头三段锥式的头部结构。
为了获得比原弹在水下表现更好、阻力系数更小的初始射弹外形，在保持DBP87普通弹口径与长度不变的前提下，参考GPS射弹[17]的三段锥式头部结构，对DBP87普通弹进行调整。如图4所示，调整后的射弹头部可近似为三段锥结构，有7个参数：空化器直径D1，三段的倾斜角θ1、θ2、θ3，以及三段的长度L1、L2、L3。
设子弹最大直径和头部三段锥总长不变，有：
2(L1tanθ1+L2tanθ2+L3tanθ3)+D1=D (6) L1+L2+L3=L (7) 式中：D=6 mm，L=14.5 mm，与DBP87射弹一致。同时，为避免射弹形状发生畸变，其头部几何外形应为凸曲线，则有：
θ1＞θ2＞θ3 (8) 由于7个参数互相耦合，无法通过控制变量法逐个进行讨论来获取最优参数组，所以利用数值模拟软件对射弹头部三段锥结构进行分步优化，综合考虑射弹的空泡形态及阻力特性，获得射弹头部外形设计空间，并为神经网络的学习提供数据集。
2.3 对DBP87普通弹的分步优化
2.3.1 优化起始点
对调整前后的射弹外形进行模拟计算，结果如图5所示。由空泡形态与阻力系数对比得知，DBP87普通弹的头部结构不能产生包裹子弹的空泡，这导致在水下运动时其压差阻力与黏滞阻力系数都显著增加。而将头部调整为三段锥后的射弹（射弹1）则有较好的空泡形成能力，同时其压差阻力系数和黏滞阻力系数也都低于DBP87普通弹。以射弹1弹形为优化起始点，在此弹形的基础上改变其头部几何参数，寻找阻力系数更小的射弹参数组。射弹1的形状参数见表1。
表 1 射弹1的参数Table 1. Parameters of projectile 1θ1/(°) L1/mm θ2/(°) L2/mm θ3/(°) L3/mm D1/mm 50.054 0.480 12.555 2.315 7.404 11.704 0.780 射弹头部三段锥结构的7个形状参数与射弹在水中产生的空泡形态有直接关系，但7个参数之间并非互相独立，难以定量确定每个参数与空泡形态、阻力系数之间的关系。因此，使用分步优化方法对射弹进行优化。在进行分步优化的过程中，尝试了多种优化顺序，发现优化顺序对最后得到的优化射弹外形有一定的影响，而由衡量射弹性能的阻力系数看，不同优化顺序得到的优化射弹阻力系数无明显差异。限于篇幅，本文中仅选取一种具有代表性的优化顺序进行说明。
首先，保持第三段锥的参数θ3、L3不变，对第一段锥的D1、L1、θ1进行优化，此时第二段锥的L2、θ2随之变化，得到能在第一段锥末尾处产生空泡的第一段锥结构。然后，保持第一段锥的形状参数不变，进行第二、三段锥的优化，确定L2、θ2、L3、θ3的范围。分步优化过程中，涉及的213组射弹参数组将作为神经网络学习样本，在保证寻优的同时也兼顾了每个变量分布的均匀性与正交性，在本文中仅选取部分射弹参数组，详细叙述以说明分步优化过程。
2.3.2 对射弹第一段锥的优化
由射弹1出发，对射弹第一段锥进行优化，保持L1+L2不变、增大θ1，随之L1减小、L2增大，当θ1增大至90°时L1与D1重合。射弹1的θ1=50.054°，而θ1的最大值为90°，以5°为步长分别取θ1为55°、60°、65°、70°、75°、80°、85°、90°。阻力系数变化图6(a)所示，空泡形态变化如图7(a)～(f)所示。其中，Cp为压差阻力系数，Cf为黏滞阻力系数，Cd为总阻力系数。注意，θ1=55°的黏滞阻力有显著降低，因此在55°附近补充52°与58°插值。
观察阻力系数和空泡形态可知，射弹1的头部结构虽然产生了超空泡结构，但空泡在第三段锥处断开。随着θ1增大，L1减小、L2增大，空泡直径变化不明显。当θ1≥55°时，空泡近似完全包裹射弹。黏滞阻力系数随空泡形态变化有先减小后增加再减小的趋势。在θ1增大至55°时取得黏滞阻力系数的最小值。同时，随着θ1增大，L1减小、L2增大，压差阻力系数先减小后增加，在θ1=55°时取得最小值。由于黏滞阻力远小于压差阻力，总阻力系数变化趋势基本与压差阻力系数保持一致。将总阻力系数最小的θ1=55°作为角度优化的优选结果，为射弹2。
由阻力系数曲线可见，压差阻力随θ1变化明显，有固定变化趋势，且压差阻力远大于黏滞阻力，是阻碍弹体运动的主要因素。为寻找压差阻力系数最小的射弹参数组，尝试减小θ1。由射弹1，保持L1、L2不变。减小θ1，θ2随之增大。当θ1由50.054°减小至21.281°时，θ2增大至21.282°，此时第一、二段锥重合。以5°为步长，取θ1为45°、40°、35°、30°、25°、21.282°。阻力系数变化如图6(b)所示，空泡形态变化如图7(g)～(l)所示。
观察阻力系数变化与空泡形态，当θ1=45°时，射弹头部产生的空泡长度极短，且此时压差阻力与黏滞阻力都取得最大值。随着θ1的减小与θ2的增大，空泡长度缓慢增加，且压差阻力与黏滞阻力都呈下降趋势。当θ1=θ2=21.282°时，第一、二段锥合并，此时压差阻力与黏滞阻力都有显著降低；但直至第一、二段锥合并时，总阻力系数依然大于射弹2的阻力系数，没有优于射弹2的射弹参数组出现。
在射弹1的基础上，对第一段锥的空化器直径D1进行优化。D1初值为0.78 mm，在0.78 mm附近分别取D1为0.26、0.52、0.70、0.90、1.00、1.10 mm，θ1随空化器直径增加而减小，在45°～65°之间，其余参数与射弹1保持一致。阻力系数变化如图8所示，空泡形态变化如图9所示。
对比观察空泡形态与阻力系数可以发现，空化器头部直径影响了空泡形态。当空泡形态完整未断开时，黏滞阻力逐渐增加，压差阻力逐渐减小，总阻力系数下降。当D1＞0.78 mm时，超空泡中断为局部空泡，此时压差阻力与黏滞阻力显著上升，且随着D1增大而继续增加。当D1=0.78 mm时，总阻力系数取得最小值，射弹2仍为最优选。
综合对比可以发现，压差阻力与空化器顶部锥角、局部空泡覆盖面积有关。在未形成覆盖全弹体的超空泡时，产生空泡段的锥角减小，弹体头部局部空泡覆盖面积增大，压差阻力随之明显下降；在形成覆盖全弹体的超空泡时，压差阻力随着空化器顶部锥角的减小而减小。而空化器直径也会对空泡形态产生影响，当空化器取得最佳值时，局部空泡可以恰好发展为超空泡，此时总阻力系数取得最小值。在对第一段锥进行优化时，暂取射弹2为优化终值，在此基础上对第二、三段锥进行优化。射弹2的形状参数见表2。
表 2 射弹2的参数Table 2. Parameters of projectile 2θ1/(°) L1/mm θ2/(°) L2/mm θ3/(°) L3/mm D1/mm 55.000 0.387 12.555 2.409 7.404 11.704 0.780 2.3.3 对射弹第二、三段锥的优化
在第一段锥优化结果的基础上，对射弹2的第二、三段锥的参数θ2、θ3、L2、L3进行优化。在L2、L3不变时，对第二段锥的θ2进行优化，θ3随之改变。在射弹2中，有θ2=12.555°，而当θ2=8.2942°时，θ3也变为8.2942°，此时第二、三段锥角度相同合并。因此，在12.555°左右，θ2分别为8.2942°、10°、11°、14°、15.5°和17°。由模拟结果可见，θ2=12.555°为拐点，所以在其附近插入θ2=12°,13°，最终阻力系数变化如图10所示，空泡形态变化如图11所示。
由空泡形态对比可知，在射弹头部第一段锥产生空泡的情况下，第二段锥的θ2对空泡形态也存在很大影响。在θ2>11°或θ2<17°时，超空泡都在第三段锥中段提前断裂为局部空泡，结合阻力系数变化分析可得，随着θ2从8.29°开始增加，空泡包裹长度随之增加，压差阻力呈现减小趋势，当空泡完全包裹弹身后，压差阻力趋于平稳，而随着θ2继续增加，空泡再次断裂，压差阻力显著增大。而黏滞阻力则先减小后增加再减小，但总体变化较小，由于压差阻力显著大于黏滞阻力，总阻力系数的变化趋势基本与压差阻力系数保持一致。当θ2=13°时，压差阻力相比射弹2略微增加，但黏滞阻力有所减小，总阻力系数小于射弹2。因此，将θ2=13°的射弹记为射弹3，其参数见表3。
表 3 射弹3的参数Table 3. Parameters of projectile 3θ1/(°) L1/mm θ2/(°) L2/mm θ3/(°) L3/mm D1/mm 55.000 0.387 13.000 2.409 7.309 11.704 0.780 在保持第二段锥θ2=13°的基础上，对第二段锥长度L2进行优化。由于射弹3的L2初值为2.409 mm，而在θ2不变时，减小L2将使得空泡直径相对增加，致使射弹所受总阻力增加，不利于射弹的进一步减阻。所以，考虑L2的增加，取L2=2.0、2.8、3.2、3.5、4.0和4.5 mm。阻力系数变化如图12所示，空泡形态变化如图13所示。
由空泡形态与阻力系数变化可知，随着L2的增加，空泡的直径随之减小，在空泡完整的情况下，黏滞阻力与压差阻力变化不明显，但总阻力系数随空泡直径减小略微减小。而当L2大于4.0 mm时，空泡中段有断开趋势，此时黏滞阻力与压差阻力都有明显增加。选取总阻力系数最小的射弹参数组为优化的局部最优解，即L2=3.5 mm，记为射弹4，其参数见表4。
表 4 射弹4的参数Table 4. Parameters of projectile 4θ1/(°) L1/mm θ2/(°) L2/mm θ3/(°) L3/mm D1/mm 55.000 0.387 13.000 3.500 6.704 10.596 0.780 2.3.4 分步优化结论
以空泡形态和阻力系数为优化目标，在对射弹进行了三步优化后，得到了所有射弹参数组中总阻力系数最小的优选弹形射弹4，并总结了射弹阻力的影响因素，可为射弹优化工作提供参考。
平头三段锥式头部结构射弹水下航行时，弹体头部能够产生超空泡，使黏滞阻力极大减小。黏滞阻力主要与空泡形态相关，当空泡完全包裹弹身时黏滞阻力远小于空泡在弹身中段断裂的。同时，超空泡完全包裹弹身后，直径变化对黏滞阻力影响不再明显。
压差阻力与空化器顶部锥角、局部空泡覆盖面积有关。在未形成覆盖全弹体的超空泡时，产生空泡段的锥角减小，弹体头部局部空泡覆盖面积增大，压差阻力明显下降；在形成覆盖全弹体的超空泡时，压差阻力随着空化器顶部锥角的减小而减小。
空化器直径也对空泡形态产生影响，当空化器直径取得一定值时，局部空泡可以恰好发展为覆盖全弹体的超空泡，此时压差阻力与黏滞阻力取得局部最小值。
3. 使用神经网络与SQP算法的优化
在优化射弹的过程中，对射弹头部外形参数进行调整的每一步，都需要反复调用Fluent软件进行计算，过程繁琐，也不可能覆盖三段锥7个外形参数的所有取值范围。
近年来，随着神经网络的发展，它在流体力学领域的应用也越来越广泛[18]。对射弹的分步优化工作中，涉及的数值计算结果共计213组，将作为神经网络的学习数据集，通过训练出的神经网络近似计算模型，可使用优化算法对射弹进行再次优化。
3.1 基于神经网络的阻力系数近似计算模型
对多维函数和系统，神经网络是最优的非线性逼近器[19]，任何函数都可以用一个足够大、足够深的网络来近似[20]。因此，可以在现有模拟数据的基础上，训练神经网络建立弹体参数与阻力系数之间的近似函数关系，对弹体的阻力系数进行预测。并通过反推阻力系数的最小值，达成对弹形的几何优化。
使用具有S形隐神经元和线性输出神经元的两层前馈型网络（BP神经网络），以射弹头部的7个形状参数作为神经网络模型的输入层，射弹阻力系数（Cp, Cf, Cd）为神经网络模型的输出层，建立BP神经网络计算模型，如图14所示。
神经网络的学习数据为分步优化阶段获取的213组数值计算射弹参数组及其结果，按照75%、15%、15%的比例划分为训练集、测试集、验证集3部分，使用莱文贝格-马夸特（Levenberg-Marquardt algorithm, L-M算法）方法训练。在神经网络的应用中，L-M算法的训练次数及准确度明显优于共轭梯度法及变学习率的前馈算法[21]。学习过程属于有监督学习，将样本点的预测误差均方差作为误差函数，即：
e=12q∑o=1(do(k)−yo(k))2 (9) 通过误差函数控制算法的迭代次数，并在迭代过程中修正权值大小。当误差满足预期时，神经网络模型终止迭代，得到可靠性较高的目标函数和设计变量近似计算模型。
3.2 使用SQP算法寻优
3.2.1 射弹优化模型
使用神经网络进行机器学习的过程，可以被公式化为使用有限数量的观测来估计系统的输入、输出和参数之间的关联的过程[22]。训练神经网络所建立的弹体形状参数-射弹阻力系数近似计算模型可由函数表述：
F(θ1,L1,θ2,L2,θ3,L3,D1)=(Cp,Cf,Cd) (10) 此时，对弹形的优化问题转化为对近似计算模型的最小值求解，属于非线性规划问题。为确保射弹外形为凸曲线且不发生畸变，以及优化后射弹基本参数与DBP87原弹保持一致，将DBP87射弹的最大直径和头部长度作为约束条件，同时添加角度约束。最终得到射弹头部几何外形优化模型：
min (11) G = \left\{ \begin{gathered} {G_1} = D - [2({L_1}\tan {\theta _1} + {L_2}\tan {\theta _2} + {L_3}\tan {\theta _3}) + {D_1}] = 0 \hfill \\ {G_2} = L - ({L_1} + {L_2} + {L_3}) = 0 \hfill \\ {G_3} = {\theta _1} - {\theta _2} \text{≥} 0 \hfill \\ {G_4} = {\theta _2} - {\theta _3} \text{≥} 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. (12) 式中：
F({\boldsymbol{X}}) 为神经网络构建的弹体形状参数-射弹阻力系数近似计算模型，G 为优化计算时所涉及的约束条件。3.2.2 使用SQP算法进行优化
目前，SQP算法是求解中小规模非线性优化问题公认最有效的方法之一[23] 。其基本思想是基于拉格朗日函数的二次规划来构造 QP 子问题。如果子问题存在最优解，则认为是原非线性问题的局部最优解，否则用近似解代替构成一个新的二次规划问题继续迭代。对任意求解最小值的问题
\min f(x) ，拉格朗日函数为：L\left( {x,\lambda } \right) = f\left( x \right) + \sum\limits_{i = 1}^m {{\lambda _i}{g_i}(x} ) (13) 通过把非线性约束线性化可得到QP子问题，其目标函数为：
\min \left( {\frac{1}{2}{{\boldsymbol{d}}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{H}}_k}{\boldsymbol{d}} + \nabla f{\text{(}}{\boldsymbol{x}}_k^{\text{T}}{\text{)}}{\boldsymbol{d}}} \right) (14) 线性约束条件为：
\nabla {g_i}{\text{(}}{\boldsymbol{x}}_k^{\text{T}}{\text{)}}{\boldsymbol{d}} + {g_i}({{\boldsymbol{x}}_k}) = 0\qquad i = 1, \cdots ,{m_{\text{e}}} (15) 非线性约束条件为：
\nabla {g_i}({\boldsymbol{x}}_k^{\text{T}}){\boldsymbol{d}} + {g_i}({{\boldsymbol{x}}_{\boldsymbol{k}}}) \text{≤} 0\qquad i = {m_{\text{e}}} + 1, \cdots ,m (16) 此子问题可使用任何QP算法求解，其解用于进行新的迭代：
{{\boldsymbol{x}}_{k + {\text{1}}}} = {{\boldsymbol{x}}_k} + {{\boldsymbol{\alpha }}_k}{{\boldsymbol{d}}_k} (17) 式中：d为全变量搜索方向，而步长参数
{{\boldsymbol{\alpha }}_k} 由优化器进行线性搜索自动确定。对于射弹优化问题，目标函数设置为射弹优化模型
\min F({\boldsymbol{X}}) （见式(11)），约束条件有G1、G2、G3、G4（见式(12)）。最大迭代步数取1 000，自变量X的元素容差均取10−10，函数容差和约束容差均取10−6。经过55次的迭代优化，得到了较理想的射弹头部参数。将优化后的射弹记为射弹5，其头部外形参数见表5。表 5 射弹5的参数Table 5. Parameters of projectile 5θ1/(°) L1/mm θ2/(°) L2/mm θ3/(°) L3/mm D1/mm 55.000 0.404 13.000 4.000 6.387 10.096 0.780 4. 优化结果分析
对射弹的分步优化与神经网络的二次优化后，得到了射弹4、5两种较理想的射弹外形，与优化前的射弹头部外形对比，如图15所示。
图 15 优化后的射弹与原始射弹的外形对比Figure 15. Shape comparisons of the optimized projectiles with the original projectile为验证优化后射弹在水下航行时的性能，使用计算流体力学方法，计算了相同射弹速度下射弹4~5和原始射弹的空泡形态，结果如图16～18所示。优化后的射弹4～5均有较好的形成空泡的能力，在水下的阻力系数相对原始射弹都有较大改善，达到了优化的目的。在不同速度下，射弹4～5均能有效产生形态完整的超空泡。
图 16 射弹速度900 m/s时优化后的射弹与原始射弹的空泡形态对比Figure 16. Cavitation shape comparisons of the optimized projectiles with the original projectiles at 900 m/s
图 17 射弹速度600 m/s时优化后的射弹与原始射弹的空泡形态对比Figure 17. Cavitation shape comparisons of the optimized projectiles with the original projectiles at 600 m/s
图 18 射弹速度400 m/s时优化后的射弹与原始射弹的空泡形态对比Figure 18. Cavitation shape comparisons of the optimized projectiles with the original projectiles at 400 m/s在射弹速度900 m/s下，射弹4～5相对于原始射弹总阻力系数分别下降了27.7%、28.1%；在射弹速度600 m/s下，射弹4～5相对于原始射弹总阻力系数分别下降了28.2%、28.4%；在射弹速度400 m/s下，射弹4～5相对于原始射弹总阻力系数分别下降了28.8%、29.0%。
5. 结 论
（1）使用计算流体力学方法，采取分步优化法，对DBP87普通弹的头部外形进行了优化，使它在水下行进时能产生包裹全弹体的超空泡，达到减阻与提高运动稳定性的效果。并根据计算结果，总结了射弹头部外形对超空泡形态与阻力系数的影响，为其他种类的射弹优化问题提供了参考。
（2）采用神经网络与SQP优化算法相结合的方式，对射弹进行了二次优化，此方法可以避免求解优化问题时繁琐而费时的数值模拟计算过程，减少优化工作所需的总时间。优化后射弹的模拟计算结果更优秀，验证了此优化方法在射弹优化问题上的有效性，具有较好的工程应用价值。
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图 15 优化后的射弹与原始射弹的外形对比
Figure 15. Shape comparisons of the optimized projectiles with the original projectile
图 16 射弹速度900 m/s时优化后的射弹与原始射弹的空泡形态对比
Figure 16. Cavitation shape comparisons of the optimized projectiles with the original projectiles at 900 m/s
图 17 射弹速度600 m/s时优化后的射弹与原始射弹的空泡形态对比
Figure 17. Cavitation shape comparisons of the optimized projectiles with the original projectiles at 600 m/s
图 18 射弹速度400 m/s时优化后的射弹与原始射弹的空泡形态对比
Figure 18. Cavitation shape comparisons of the optimized projectiles with the original projectiles at 400 m/s
表 1 射弹1的参数
Table 1. Parameters of projectile 1
θ1/(°) L1/mm θ2/(°) L2/mm θ3/(°) L3/mm D1/mm 50.054 0.480 12.555 2.315 7.404 11.704 0.780 
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表 2 射弹2的参数
Table 2. Parameters of projectile 2
θ1/(°) L1/mm θ2/(°) L2/mm θ3/(°) L3/mm D1/mm 55.000 0.387 12.555 2.409 7.404 11.704 0.780
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表 3 射弹3的参数
Table 3. Parameters of projectile 3
θ1/(°) L1/mm θ2/(°) L2/mm θ3/(°) L3/mm D1/mm 55.000 0.387 13.000 2.409 7.309 11.704 0.780
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表 4 射弹4的参数
Table 4. Parameters of projectile 4
θ1/(°) L1/mm θ2/(°) L2/mm θ3/(°) L3/mm D1/mm 55.000 0.387 13.000 3.500 6.704 10.596 0.780
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表 5 射弹5的参数
Table 5. Parameters of projectile 5
θ1/(°) L1/mm θ2/(°) L2/mm θ3/(°) L3/mm D1/mm 55.000 0.404 13.000 4.000 6.387 10.096 0.780
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