Structural optimization design and structural response of elliptical-section penetration projectiles
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摘要: 针对异型截面侵彻弹体的工程应用需求，围绕椭圆截面侵彻弹体结构响应及优化设计问题开展研究。引入无量纲壁厚系数，改进了椭圆截面弹体参数化表达式；以提高短轴惯性矩和静矩、降低短轴方向结构响应为目标，开展了椭圆截面弹体抗弯优化设计。基于152 mm口径轻气炮开展了椭圆截面弹体反弹道侵彻试验研究，获得了软回收试验弹体的弯曲挠度结果；开展了试验工况的数值模拟研究，提取了数值模拟中弹体的变形结果；建立了椭圆截面侵彻弹体弯曲结构响应计算模型，利用此模型对试验弹体变形情况进行了计算。与原椭圆截面弹体相比，优化后截面短轴惯性矩、静矩提高比例约为16%，试验弹体弯曲挠度降低比例约为25.3%，数值模拟及理论模型计算结果与试验结果较为相符，验证了本文优化设计方法的有效性，可为工程设计提供参考。Abstract: According to the engineering application requirements of special-shaped section penetrating projectiles, the structural response and optimal design of elliptical-section penetration projectiles were studied. From this point of view, an improved general design method of elliptical-section projectiles was developed by introducing a dimensionless cartridge thickness coefficient of the elliptical projectile. In order to improve the inertia moment and static moment to the short axis of the cross-section, a bending optimization design method of the elliptical-section projectile was proposed by reducing the cartridge thickness of the projectile to a certain extent and redistributing the reduced materials. Based on a 152-mm-diameter light gas gun test device, the reverse tests of three kinds of elliptical-section hollow projectiles with the long axis of 1.8 cm and the short axis of 1.2 cm penetrating a 2024-O aluminum target were carried out, and the responses of the projectiles in the penetration process were obtained. The projectiles after tests were collected by the soft recovery method, and the deformation of the central axes of the projectile was obtained by the gray processing method. Numerical simulations of the tests were carried out by LS-DYNA. The stress, strain, and penetration load of the projectiles during the penetration process were obtained, and the equivalence of the normal ballistic test and reverse ballistic test was verified. Based on the free-free beam theory, a bending response calculation model of the elliptical-section projectile was established. Through the optimized design, the inertia moment to the short axis of the elliptical section increases by 16.44%, and the static moment increases by 15.95%. Under the test conditions, the bending deflection of the projectile decreases by 25.25%. The structural response model was used to calculate the projectile deformation under the test conditions. The calculation results of the theoretical model are in good agreement with the test results, which shows that the calculation method of the model has a certain accuracy and can provide a reference for engineering design.
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近年来，高超声速武器因在打击时敏目标、深埋目标方面均具有鲜明的技术优势，受到了世界各军事强国的关注。由于高超声速武器气动构型的特殊要求，其外形与有效载荷空间通常为异型截面形状，因此采用适应于其截面形状的异型战斗部能够极大提高载荷空间利用率和战斗部威力。考虑到此类平台战斗部舱段外形为非圆截面的特点，针对非圆截面弹体侵彻特性的研究变得尤为重要。在关于非圆截面弹体的研究中，非旋转对称的椭圆截面弹体正逐渐成为异型截面弹体研究的热点[1-4]。
现有的异型截面弹体侵彻相关研究主要关注椭圆截面弹体的侵彻终点效应，尚未充分考虑由椭圆截面所引起的结构响应以及结构优化问题。王文杰等[5]提出了一种椭圆截面弹体结构设计方法，在该设计方法中，首先需要确定与椭圆截面等效的圆形截面，然后要求弹体外轮廓的椭圆截面面积与等效圆形截面面积相等，而没有深入探讨弹体的内部结构形状要求。王文杰等[5]采取了保留圆形弹体内腔的做法，Dong等[6]、刘子豪等[7]、潘鑫[8]也都采取了相同的做法。现有研究中所设计的典型椭圆截面弹体结构如图1所示[5,7]。目前缺少针对椭圆截面弹体的有效设计方法，需要对现有设计方法进行改进。
由于椭圆形状的几何特性，椭圆截面弹体在短轴方向上惯性矩、静矩较小，与相同面积的等效圆形截面弹体相比，椭圆截面弹体在这一方向上的抗弯能力较弱。郭磊等[9]通过试验研究发现，非圆截面弹体在侵彻过程中更容易发生弯曲变形，严重影响此类弹体的侵彻稳定性。为了提高椭圆截面弹体的侵彻能力，需要对椭圆截面弹体的结构进行抗弯优化，提高椭圆截面弹体的斜侵彻承载能力。
本文中，针对椭圆截面弹体结构响应及优化设计的工程应用需求，给出改进后的椭圆截面弹体参数化表达式以及针对提高弹体短轴方向抗弯能力的优化设计方法；利用152 mm口径轻气炮开展无量纲壁厚为0.15的3种结构椭圆截面弹体反弹道侵彻试验；利用有限元模拟方法对试验工况的正反弹道等效性进行验证；基本建立椭圆截面侵彻弹体弯曲结构响应模型。
1. 椭圆截面弹体结构抗弯优化设计方法
针对现有椭圆截面弹体研究工作中仍缺少椭圆截面弹体的有效设计方法的问题，对现有一般设计方法进行改进，提出了更合理的椭圆截面弹体结构设计方法及参数化表达式。考虑到椭圆截面存在抗弯能力较弱的问题，在改进设计的基础上进一步提出了椭圆截面弹体进行抗弯优化设计方法。
实际上，对于椭圆截面弹体而言，现有的圆形内腔设计方法只能适用于部分几何情况。图2为圆形截面弹体截面设计、现有椭圆截面弹体截面设计与本文中提出的改进椭圆截面弹体截面设计方法的对比图，图中A为椭圆截面外轮廓的长半轴长度，B为椭圆截面外轮廓的短半轴长度；R为圆截面外轮廓半径长度；ξ为无量纲壁厚系数，定义为截面各方向上的壁厚与该方向上轴长的比值。由于三者截面积相同，根据王文杰等[5]的研究，图2(b)～(c)均可看作由图2(a)等效得到的椭圆截面。从图2(b)可以发现，在某些壁厚、长短轴比条件下，采用圆形内腔的设计方法会导致弹体在短轴方向上出现不合理的壁厚设计。
图 2 圆形截面弹体、现有椭圆截面弹体与改进的椭圆截面弹体截面设计方法Figure 2. Cross-section designs of circular-section, existing elliptical-section, and improved elliptical-section projectiles为了避免出现这类不合理的设计，提出了改进的椭圆截面弹体一般设计方法。令椭圆截面弹体内腔轮廓为与外轮廓长短轴比相同的缩比椭圆，内外轮廓各处尺寸满足1∶(1−2ξ)的比例。在此设计下，弹体在各方向上的绝对壁厚不相同，无量纲壁厚系数相同，长、短轴处壁厚即分别为长轴、短轴长度乘以等效圆形截面的无量纲壁厚系数，得到的椭圆弹体横截面如图2(c)所示。
皮爱国[10]、刘坚成[11]将弹体侵彻弯曲过程简化为自由梁端部受载弯曲过程，通过分析自由梁在轴向、横向载荷耦合下的响应情况，利用刚塑性模型计算了侵彻过程中弹体的变形情况。根据刚塑性自由梁弯曲理论模型，对于假定长度为L、端部受到阶跃横向载荷Fy(t)、截面塑性弯矩为Mp的自由梁，当此横向载荷满足Fy(t)≥27Mp/(4L)时,自由梁中就会出现塑性铰。梁中出现塑性铰之后的变形响应情况如图3所示，图中u为自由梁受载端部的横向位移、xh为塑性铰位置到受载端部的距离、θ为塑性铰前段梁的角位移、φ为塑性铰后段梁的角位移。
此响应情况的运动方程如下：
{¨u=6Mpmx2h[1−2x2h(L−xh)2]¨θ=6Mpmx3h[1−3x2h(L−xh)2]¨φ=12Mpm(L−xh)3Fy=6Mpxh[1−x2h(L−xh)2] (1) 式中：m为弹体线质量。根据经典材料力学理论，弹体响应运动方程中所需要的弹体截面塑性弯矩Mp可由以下2种方法计算：
Mp1=σs(|Su|+|Sl|) (2) Mp2=σsIymax (3) 式中：Mp1为弹体截面所有材料都进入了屈服状态时的弯矩；
σs 为材料的屈服应力；Su为上半截面静矩，Sl为下半截面静矩，在上下对称的截面中，Su与Sl在数值上相等；Mp2为弹体截面出现屈服状态时的弯矩，I为弹体截面惯性矩，ymax为截面上各点到中性轴的最远距离。根据上述模型及经典弹体结构响应理论，弹体抗弯曲能力受弹体截面惯性矩、静矩影响[12-14]。椭圆截面在短轴方向上惯性矩、静矩较小，所能承受的极限弯矩较低，导致椭圆截面弹体整体抗弯性能较差，相较于等效圆形截面弹体更易发生弯曲。针对椭圆截面弹体抗弯能力较弱这一问题，在上述设计的基础上进一步提出了椭圆截面弹体抗弯设计方法。
以尽量提高椭圆截面在短轴方向上的惯性矩、静矩为导向，将椭圆弹体弹身截面材料重新分布，令材料分布在尽量远离中性轴的位置即可提高弹体截面的惯性矩、静矩。在兼顾弹体长轴方向抗弯能力的前提下，通过将弹体无量纲壁厚系数从ξ削减至ξ'，利用削减得到的质量向短轴上下两端分布即可最大程度地提高椭圆截面的惯性矩、静矩，从而提高弹体在这一方向上的抗弯能力。在优化前后，椭圆截面弹体的总质量、各部分横截面积、外轮廓形状均不会发生改变。
弹体截面材料重分布过程如图4所示，图中演示了弹体优化设计从壁厚削减到重新分布的过程，a为优化前内轮廓长半轴，b为优化前内轮廓短半轴，a'为优化后内轮廓长半轴，b'为优化后内轮廓短半轴，h为内腔翼缘高度，则优化前后的无量纲壁厚因数可由以上参数表示为ξ=(B−b)/(2B), ξ'=(B−b')/(2B)。
图 4 椭圆异型侵彻体截面优化设计方法Figure 4. Optimal design method for bending resistance of elliptical-section projectiles图5为重分布形成的内腔翼缘示意图，图中给出了翼缘的具体形状以及各特征尺寸参数。由于优化前后弹体的横截面积不变，利用截面积相等条件即可确定优化后弹体内腔形状参数，其中，椭圆的面积计算公式为Q=πab，内腔翼缘的面积Qe计算公式推导如下：
图 5 优化截面内腔翼缘形状尺寸示意图Figure 5. Schematic diagram of the shape and size of the upper edge of an optimized section inner cavityQe=4∫b′hxdy=4a′b′(π4−12arcsin(hb′)−14sin(2 arcsin(hb′))) (4) 根据优化前后面积相等关系可以得到：
π(AB−ab)=π(AB−a′b′)+4a′b′(π4−12arcsin(hb′)−14sin(2 arcsin(hb′))) (5) 利用式(5)即可确定弹体截面内腔翼缘高度h，从而确定优化后弹体内腔形状，完成优化设计的过程。在设计过程中，对于外轮廓相同的截面，当ξ、ξ'确定时，椭圆截面的形状也会随之确定，出于简洁性的考虑，在后文中将使用ξ-ξ'来表示某一形状的椭圆截面，例如0.15-0.05型弹体即表示横截面优化前壁厚为0.15、优化后壁厚为0.05的椭圆截面弹体。在确定了弹体截面形状之后，即可通过下式计算优化之后弹体截面的截面惯性矩I和上半截面静矩Su：
I=∫y2dA=π4AB3−π4a′b′3+4∫b′ha′y2√1−y2b′2dy (6) Su=∫ydA=23AB2−23a′b′2+2∫b′hya′√1−y2b′2dy (7) 在优化前的椭圆截面弹体中，截面抗弯能力最弱方向为短轴方向，最强方向则为长轴方向。随着壁厚不断削减，弹体短轴方向抗弯能力将会不断提高，而长轴方向的抗弯能力却在不断减弱，在某些条件下，可能会出现短轴方向抗弯能力超过长轴方向的情况。为了避免长轴方向抗弯能力不足的情况，在优化过程中需要对弹体长轴方向的惯性矩、静矩进行核算，从而确定弹体截面壁厚削减上限。长轴方向的截面惯性矩、上半截面静矩计算方法分别为：
I=π 4BA3−π 4b′a′3+4∫a′√1−h2b′20(y2b′√1−h2a′2−y2h)dy (8) Su=23BA2−2a′23b′2h3+2∫a′√1−h2b′20(yb′√1−h2a′2−yh)dy (9) 作为后续所开展试验的预研工作，同时也作为一个优化设计方法使用范例，利用此方法对A=9 mm、B=6 mm、ξ=0.15的椭圆截面弹体进行优化，将弹体的无量纲壁厚分别削减至0.10和0.05。优化后弹体短轴方向、长轴方向的惯性矩、静矩可以利用式(6)～(9)进行计算，计算结果列于表1。在这一优化过程中，每一种弹体的短轴惯性矩、静矩均未超过长轴惯性矩、静矩。
表 1 试验弹体截面几何特征Table 1. Geometric characteristics of test projectile sections弹体结构 截面形状 短轴惯性矩/mm4 短轴静矩/mm3 长轴惯性矩/mm4 长轴静矩/mm3 0.15-0.15 
1159.45 141.91 5870.66 212.86 0.15-0.10 
1257.49 151.20 4704.62 182.68 0.15-0.05 
1350.02 164.55 3274.32 166.59 综上，本节在椭圆截面设计中引入无量纲壁厚系数，给出了椭圆截面弹体参数化表达式，改进后的设计方法保证了设计结果唯一性以及设计对象普适性。在此基础上，以尽量提高截面惯性矩、静矩为导向，提出了椭圆截面弹体抗弯优化设计方法，推导了优化后弹体截面的惯性矩、静矩计算表达式，利用此方法对ξ=0.15的椭圆截面弹体进行优化。优化结果中，弹体截面惯性矩最高提升量约为16.44%，静矩最高提升量约为15.95%。
2. 椭圆截面侵彻弹体结构响应反弹道试验研究
为了验证上节所提出的抗弯优化设计方法是否有效，研究椭圆截面弹体在非正侵彻过程中的动态结构响应特征，完善发展反弹道试验技术，开展椭圆截面弹体非正侵彻反弹道试验研究，以获得在典型倾角和攻角条件下弹体的实时与最终变形情况，并通过对比不同结构弹体的变形情况，对本研究所提出的抗弯优化设计方法优化效果进行验证。
2.1 试验工况条件
弹体选用材料为30CrMnSiNi2A高强度钢，所有弹体除头部外的主体均为空心结构，外轮廓均为相同椭圆，弹体结构如图6所示。弹体外轮廓长半轴长度为9 mm，短半轴长度为6 mm，等效圆形截面外轮廓半径约为7.35 mm。所有弹体长径比为7，总长度为102.9 mm。根据不同的优化前后无量纲壁厚值，将试验弹体分为0.15-0.15型、0.15-0.10型、0.15-0.05型3种结构，3种弹体质量均为72 g。为了让弹体姿态在高速拍摄中更容易观察，对弹体进行了喷漆处理，在弹体中性轴附近喷白漆，其余部分喷黑漆。
试验中靶体材料选用2024-O铝，皮爱国等[15]对本试验所用弹、靶材料进行了准静态拉伸试验，根据其试验结果，弹体材料的拉伸屈服强度约为1600 MPa，靶体材料的弹性模量E=67.2 GPa，塑性应变达到0.2%时的应力σp0.2=134.4 MPa，在塑性变形段材料特性符合指数硬化特征。所有靶面均加工成15°倾角，直径为147 mm。弹托与靶体合计质量为4.02 kg。
试验基于152 mm口径轻气炮发射平台设计，为了在试验中能更好地观察弹体响应情况，采用反弹道试验方法，利用152 mm口径轻气炮驱动靶体，撞击自由状态的弹体。
2.2 试验结果与分析
一共进行了3种结构弹体的反弹道侵彻试验，试验中弹体攻角均设置为6°，靶体倾角均为15°，利用高速摄影结果计算着靶速度。试验结束后，通过灰度处理方法提取弹体的轮廓曲线，并将弹体上下轮廓线平均处理得到弹体中性轴线变形情况，从曲线中提取了各试验弹体挠度结果。反弹道试验撞击条件以及挠度结果如表2所示。
表 2 试验撞击条件与弹体挠度结果Table 2. Test conditions and deflections obtained弹体编号 弹体截面形状 弹体着靶速度/（m·s−1） 挠度结果/mm 实际攻角/（°） 0.15-0.15(1) 
198.22 4.62 6.54 0.15-0.15(2) 
216.48 4.79 5.84 0.15-0.10(1) 
215.01 4.08 6.07 0.15-0.05(1) 
209.42 3.58 6.42 由于轻气炮发射平台的特性，在靶体接触到弹体之前会有大量气体到达弹体位置，为了防止弹体受到气体影响，需要将弹体与塑料支撑结构进行一定程度的胶粘固连，保证弹体的着靶姿态，弹体固定情况如图7(a)所示。通过控制支撑结构的位置以及长度，令试验中的弹体均具有6°的着靶攻角，增大弹体所受到的横向载荷。利用所拍摄得到的高速摄影照片，计算得出本试验中弹体着靶速度为198～217 m/s，通过弹体上预置的白条喷漆可以明显看出，弹体在着靶后的较短的一段时间内就发生了较大的弯曲变形响应，而在弹体具有一定速度之后发生的变形响应较小。图7(b)为软回收的试验弹体照片，在试验中，0.15-0.15(1)号弹体在回收时撞击到了回收仓壁，局部产生变形破坏，因而在之后的研究中选用0.15-0.15(2)号弹体结果进行分析。
图 7 椭圆截面弹体反弹道侵彻试验结果Figure 7. Reverse ballistic penetration test results of elliptical-section projectiles为了能够定量地描述试验中弹体的变形情况，提取了弹体中轴线变形情况。首先将图片转化成灰度图像，然后放大图像的黑白对比度，提取了黑白边界轮廓之后再对轮廓线进行计算处理，最终得到了弹体中轴线变形情况，提取流程如图8所示。
将各组试验的提取结果进行了对比，对比结果如图9所示。得到了试验弹体中轴线变形情况之后即可定量的对试验中弹体的弯曲变形情况进行对比分析。表1中记录了试验中弹体的灰度提取中轴线弯曲挠度结果。对比分析中轴线对比图以及表中记录的试验结果可以得出，在ξ=0.15的弹体中，弹体弯曲挠度随着弹体截面惯性矩、静矩的提高而降低，在所有试验弹体中，变形挠度最小的弹体为0.15-0.05(1)弹体，挠度约为3.585 mm，挠度最大的弹体为0.15-0.15(2)弹体，挠度约为4.796 mm，优化后弹体挠度减小幅度约为25.25%。试验结果表明，经过优化的弹体具有更强的抗弯能力，所提出的抗弯优化设计方法有效。
图 9 不同结构弹体试验结果中轴线的对比Figure 9. Comparison of the central axes of the projectiles with different structures after tests3. 椭圆截面弹体结构响应的数值模拟与理论计算
为了对椭圆截面弹体弯曲响应特征进行更加深入的分析，利用有限元软件对试验工况进行了数值模拟研究。考虑到侵彻弹体的最终应用环境为正弹道工况，需要将本文中所做反弹道试验结果与结论推广至正弹道工况，因此还需要对所做试验的正反弹道等效性进行验证。
为了更加深入地分析椭圆截面弹体的弯曲响应情况，使用LS-DYNA软件对试验工况进行了数值模拟。为了减少计算时间，同时避免不同结构下弹体头部网格划分差异对头部所受载荷产生较大影响，在数值模拟中将弹体一部分头部单元设置为刚体，考虑到试验中弹体头部几乎没有产生变形，可以认为这一处理方式基本合理，数值模拟模型如图10所示，弹靶材料参数见表3，表中ρ为密度，E为弹性模量，ν为泊松比，Y为屈服强度，EH为线性硬化模量，K为指数硬化模量，n为指数硬化指数。
表 3 数值模拟中弹靶材料参数Table 3. Material parameters in numerical simulation材料 ρ/（g·cm−3） E/GPa ν Y/MPa EH/MPa K/MPa n 双线性硬化30CrMnSiNi2A 7.83 201.0 0.33 1 650.0 300 指数硬化2024-O 2.70 67.2 0.34 134.4 273 0.114 得到各试验工况数值模拟结果后，将数值模拟中得到的弹体弯曲变形结果与试验弹体弯曲变形结果进行对比，对比结果如图11所示。提取各组数值模拟中弹体中轴线上的节点坐标得到了数值模拟结果中的弹体中轴曲线，将这些曲线与图9中所提取的对应试验结果中轴线分别进行了对比，各组弹体的对比结果如图12所示。
图 11 ξ=0.15的弹体形变模拟结果与试验结果的对比Figure 11. Comparisons between simulation and test results for deformation of the projectiles of ξ=0.15
图 12 ξ=0.15弹体模拟形变中轴线与试验形变中轴线对比Figure 12. Comparison of simulation and test results of the central axes of the projectiles of ξ=0.15分析上述数值模拟与试验结果对比图可得，各工况下的数值模拟结果与试验结果相近，说明使用的计算条件合理，可以使用数值模拟结果对试验中的情况进行分析。从数值模拟结果图可知，经过优化后的弹体所产生的塑性变形更小；随着有限元模型中弹体截面惯性矩、静矩逐渐提高，弹体所产生的弯曲挠度逐渐降低，验证了本文所提出的抗弯优化设计方法的合理性与有效性。
为了保证本文中得出的结论同样适用于正弹道工况，需要进行正反弹道等效性验证。Liu等[16]根据其开展的正反弹道对比试验结果，提出了正反弹道试验弹体响应情况等效条件，此条件认为当试验中靶体质量大于弹体质量10倍时，正反弹道试验中的弹体响应情况可认为是等效的。在本文所开展的试验中，靶体与弹体的质量比约为55.83，满足其所提出的正反弹道等效性要求。
参考Liu等[16]提出的正反弹道等效性验证方法，利用有限元数值模拟手段，通过对比正弹道与反弹道条件下弹体的变形情况以及所受载荷情况来验证工况的正反弹道等效性。对0.15-0.15(2)试验弹体试验工况开展正弹道数值模拟，在反弹道数值模拟的基础上只对约束条件以及初速度条件进行修改，将靶体的初速度反向施加至弹体，再将靶体进行约束即可得到等效的正弹道工况。在数值模拟过程中提取了正反弹道工况下弹体所受到的载荷曲线，通过对比2种工况下的载荷情况即可验证试验的正反弹道等效性，正反弹道数值模拟弹体结果以及提取的载荷曲线图对比情况如图13～14所示。
图 13 0.15-0.15弹体正反弹道模拟结果对比 (t=115 μs)Figure 13. Simulated results of normal ballistic and reverse ballistic of the 0.15-0.15 projectile (t=115 μs)
图 14 0.15-0.15弹体正反弹道z向接触载荷对比Figure 14. Comparison of z-directional contact loads between normal ballistic and reverse ballistic of the 0.15-0.15 projectile对比正弹道数值模拟与反弹道数值模拟得到的弹体变形结果以及弹体所受接触载荷曲线可以看出，在正反弹道数值模拟中，弹体所产生的变形情况相似，弹体所受的载荷差异较小，在本试验工况中，反弹道工况与正弹道工况等效性较好，可以认为反弹道试验下弹体的响应情况与正弹道试验相近。
为了对优化前后弹体在侵彻过程中发生的变形情况进行理论计算和对比分析，揭示椭圆截面弹体在非正侵彻工况下的变形响应规律，本研究利用皮爱国[10]、刘坚成[11]所提出的刚塑性自由梁模型结合椭圆截面弹体结构特点对试验工况进行计算。
通过提取数值分析计算中弹体与靶体的接触力结果，即可得到弹体响应运动方程中所需要的输入函数Fy(t)。由于弹体在侵彻过程中会受到巨大的轴向载荷，因此在计算弹体弯曲变形时必须考虑轴向载荷对弹体弯曲变形的影响。参考刘坚成[11]给出的考虑轴力载荷影响下弹体侵彻工况中截面塑性弯矩Mpp的计算方法：
Mpp=(1−(3−√22)Fz(t)Fp)Mp (13) 式中：
Fz 为截面所承受的轴力，Fp为截面能承受的极限轴力。Mpp即为考虑轴力载荷下修正得到的截面塑性弯矩，在考虑轴力影响下的理论计算时，需要使用Mpp替换式(1)中的Mp。从数值分析中提取的弹体z向接触力和y向接触力如图15所示。
图 15 反弹道撞击过程中弹体所受到的接触载荷Figure 15. Contact loads on the projectile during reverse ballistic impact在得到了数值模拟中弹体所受载荷之后，根据试验工况确定公式中的各项参数，即可利用刚塑性梁响应运动方程式(1)对试验工况进行编程计算，通过将弹体进行离散化处理，对每一个时间步长过程中弹体各点运动参数进行推导计算，对时间步长进行迭代计算，最终得到了弹体在此载荷下的变形情况。使用Matlab软件对试验工况进行计算的步骤流程如图16所示。
由于试验中所施加的载荷相对较小，弹体变形也相对较小，利用截面完全进入塑性状态的塑性极限弯矩Mp1进行计算时会将截面尚未完全屈服时产生的弯曲变形忽略掉，导致理论预测得出的变形量小于试验结果，计算得到的曲线与试验结果的对比如图17所示。考虑到截面在部分屈服时的变形具有较大的比重，在计算中选用弹体截面进入屈服状态时的弯矩Mp2作为发生塑性变形时的截面弯矩。利用此模型对试验弹体变形情况进行计算，计算得到的结果图如图18所示，图中加入了对应试验结果进行对比。
图 17 ξ=0.15弹体理论计算中轴线与试验形变中轴线对比(Mp1)Figure 17. Comparison of calculation and test results of the central axes of the projectiles of ξ=0.15 (Mp1)
图 18 弹体理论计算中轴线与试验形变中轴线对比(Mp2)Figure 18. Comparison of calculation and test results of the central axes of the projectiles of ξ=0.15 (Mp2)从图17～18可以发现，在工况载荷较小的情况下，使用Mp1进行计算会忽略掉较多的变形结果，而使用Mp2进行计算则能够提高准确度。同时，无论是利用Mp1还是Mp2进行计算，计算结果都体现出壁厚削减量越高抗弯性能越好的特性，这与优化设计方法所提出的观点一致。数值模拟结果、理论计算结果以及两者相对于试验结果所产生的挠度误差在表4中列出。
表 4 弹体中轴线挠度结果试验、计算与模拟结果对比Table 4. Comparison of test, calculation, and simulation results of projectile central axis deflection弹体结构 挠度/cm 与试验结果的相对误差/% 试验 理论 模拟 理论 模拟 0.15-0.05 0.358 0.364 0.355 1.7 0.9 0.15-0.10 0.408 0.417 0.411 2.2 0.7 0.15-0.15 0.479 0.477 0.492 0.4 2.6 通过分析各弹体的计算结果可以发现，计算得到的曲线具有明显的刚塑性梁变形的特征，塑性变形主要集中在某一局部区域，符合塑性铰变形模式。可利用此模型得到较好的试验弹体的挠度预估结果。
本节利用有限元软件对所做试验工况进行了数值模拟，数值模拟所得到的弹体变形情况以及中轴曲线与试验结果符合较好，可以认为得到的模拟结果较为可信。针对0.15-0.15试验弹体进行了正弹道数值模拟，通过对比正反弹道数值模拟中的弹体变形结果以及弹体所受接触载荷结果，验证了数值模拟中正反弹道工况的等效性。提供了一种基于刚塑性理论的椭圆形截面侵彻弹体结构响应简化预测模型，可供工程设计参考。
4. 结 论
从弹体结构响应及优化设计的角度出发，提出了改进的椭圆截面弹体设计方法，并针对椭圆截面短轴方向的抗弯能力进一步开展优化设计，得到的主要结果与结论如下。
(1)针对椭圆截面弹体抗弯优化需求，通过引入无量纲壁厚系数ξ，建立了一般椭圆弹体截面设计参数化表达式，并在此基础上提出了一种将截面材料重分布以最大化截面惯性矩、静矩的抗弯优化设计方法。对ξ=0.15的典型弹体进行了优化，优化弹体短轴方向的截面惯性矩、静矩最大提高量约为16%。
(2)在满足正、反弹道等效的条件下设计开展了椭圆截面反弹道侵彻响应试验，获得了试验中弹体侵彻时与侵彻后的变形情况，利用图像灰度处理方法提取了试验后弹体的变形中轴线。试验结果表明，经过优化的弹体产生的最大挠度减小量约为25.25%，试验现象符合理论预期，证明所提出抗弯优化设计方法有效。
(3)建立了适用于椭圆截面的弹体结构刚塑性动力响应计算模型，利用此模型对试验工况挠度进行了理论计算，对比了不同截面塑性弯矩对模型计算结果的影响，所得到的单铰响应模式下弹体挠度结果与试验结果较为相符。
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图 2 圆形截面弹体、现有椭圆截面弹体与改进的椭圆截面弹体截面设计方法
Figure 2. Cross-section designs of circular-section, existing elliptical-section, and improved elliptical-section projectiles
图 4 椭圆异型侵彻体截面优化设计方法
Figure 4. Optimal design method for bending resistance of elliptical-section projectiles
图 5 优化截面内腔翼缘形状尺寸示意图
Figure 5. Schematic diagram of the shape and size of the upper edge of an optimized section inner cavity
图 7 椭圆截面弹体反弹道侵彻试验结果
Figure 7. Reverse ballistic penetration test results of elliptical-section projectiles
图 9 不同结构弹体试验结果中轴线的对比
Figure 9. Comparison of the central axes of the projectiles with different structures after tests
图 11 ξ=0.15的弹体形变模拟结果与试验结果的对比
Figure 11. Comparisons between simulation and test results for deformation of the projectiles of ξ=0.15
图 12 ξ=0.15弹体模拟形变中轴线与试验形变中轴线对比
Figure 12. Comparison of simulation and test results of the central axes of the projectiles of ξ=0.15
图 13 0.15-0.15弹体正反弹道模拟结果对比 (t=115 μs)
Figure 13. Simulated results of normal ballistic and reverse ballistic of the 0.15-0.15 projectile (t=115 μs)
图 14 0.15-0.15弹体正反弹道z向接触载荷对比
Figure 14. Comparison of z-directional contact loads between normal ballistic and reverse ballistic of the 0.15-0.15 projectile
图 15 反弹道撞击过程中弹体所受到的接触载荷
Figure 15. Contact loads on the projectile during reverse ballistic impact
图 17 ξ=0.15弹体理论计算中轴线与试验形变中轴线对比(Mp1)
Figure 17. Comparison of calculation and test results of the central axes of the projectiles of ξ=0.15 (Mp1)
图 18 弹体理论计算中轴线与试验形变中轴线对比(Mp2)
Figure 18. Comparison of calculation and test results of the central axes of the projectiles of ξ=0.15 (Mp2)
表 1 试验弹体截面几何特征
Table 1. Geometric characteristics of test projectile sections
弹体结构 截面形状 短轴惯性矩/mm4 短轴静矩/mm3 长轴惯性矩/mm4 长轴静矩/mm3 0.15-0.15 
1159.45 141.91 5870.66 212.86 0.15-0.10 
1257.49 151.20 4704.62 182.68 0.15-0.05 
1350.02 164.55 3274.32 166.59 
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表 2 试验撞击条件与弹体挠度结果
Table 2. Test conditions and deflections obtained
弹体编号 弹体截面形状 弹体着靶速度/（m·s−1） 挠度结果/mm 实际攻角/（°） 0.15-0.15(1) 
198.22 4.62 6.54 0.15-0.15(2) 
216.48 4.79 5.84 0.15-0.10(1) 
215.01 4.08 6.07 0.15-0.05(1) 
209.42 3.58 6.42
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表 3 数值模拟中弹靶材料参数
Table 3. Material parameters in numerical simulation
材料 ρ/（g·cm−3） E/GPa ν Y/MPa EH/MPa K/MPa n 双线性硬化30CrMnSiNi2A 7.83 201.0 0.33 1 650.0 300 指数硬化2024-O 2.70 67.2 0.34 134.4 273 0.114
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表 4 弹体中轴线挠度结果试验、计算与模拟结果对比
Table 4. Comparison of test, calculation, and simulation results of projectile central axis deflection
弹体结构 挠度/cm 与试验结果的相对误差/% 试验 理论 模拟 理论 模拟 0.15-0.05 0.358 0.364 0.355 1.7 0.9 0.15-0.10 0.408 0.417 0.411 2.2 0.7 0.15-0.15 0.479 0.477 0.492 0.4 2.6
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