SHPB（split Hopkinson pressure bar）试验是当前获取材料在高应变率下应力-应变曲线最重要也是最常用的手段，相对于准静态单轴压缩试验，其影响因素更多，且各因素间相互耦合，解耦分析明显困难得多。影响SHPB试验结果准确性的因素很多，其主要因素可以分为三类：试验技术问题、系统性误差和数据处理问题。试验技术如试件两端面的摩擦效应^[1-2]、杆与试件的共轴问题^[3-4]、端面接触不良^[5-6]等，系统性误差如不可避免的弥散效应^[7-10]、试件横向惯性效应^[11]等，数据处理如试件轴向应力均匀性判断^[12]、屈服强度与屈服应变的准确确定^[13]、恒真实应变率区间的获取、三波或二波法对波等。SHPB试验基于固体中的应力波理论，能够从试验中获取的信息除了外观图像之外只有透反射波形。事实上，SHPB试验中透反射应力波波形记录了大量的信息，例如是否接触不良、透反射杆是否弯曲或不共轴^[14]、材料的动态性能等等，因而，精确地剖析试验中反射波与透射波的波形，掌握形成反射波与透射波的具体过程以及影响因素、影响规律与机理，是SHPB精细化试验与数据处理的必要前提。当前SHPB装置虽然被广泛应用，许多学者在提高其准确性方面开展了大量的研究工作，并取得了卓有成效的成果，但是一些核心的问题并没有得到解决，许多试验结果误差较大或争议性问题还很多。事实上，SHPB试验发展很快，但对应的固体中应力波理论并没有得到对应的传播，这使得大量相关试验设计与数据分析存在一些问题，SHPB试验理论发展缓慢。当前，一个共识是SHPB试验是基于一维弹性波理论，这种模糊的说法产生了一些误区，如仅利用弹性波理论分析透反射波。理论上讲，只能说SHPB试验装置的设计是基于一维线弹性波理论，在不考虑弥散的前提下，若试件轴向应力瞬间均匀，利用入射波在试件两端产生质点运动从而产生应变，一维弹性波理论很好地将质点速度与应变建立起线性关系、而应力又与应变存在线性关系，因此利用应变片测量应变波就能够获取试件两端杆端面上的质点速度与应力，从而给出试件的工程应力-应变关系。然而，所谓弹性波是指入射杆与透射杆中应力波是弹性波，试件在压缩过程中必然产生塑性变形，而且由于应力均匀性假设使得试件的塑性变形区间才是最重要的数据范围，影响反射波与透射波波形的主要阶段并不是两个界面上的弹性透反射行为，而是弹塑性反射行为，试件中的应力波传播也存在大量的弹塑性波相互作用的问题。也就是说，如果对透反射波进行精细分析、对SHPB试验进行精细化改进，需要重点分析的反而是试件内弹塑性波的传播与演化，而不是大量论文中一提到SHPB试验就绘制出简单弹性波在界面上透反射与传播的特征线示意图。

本文中针对SHPB中入射杆、试件与透射杆系统即所谓的夹心杆系统，基于固体中的弹塑性增量波理论，结合数值仿真计算，分析矩形入射波、梯形入射波与半正弦入射波三种典型入射波加载作用下，试件中的应力波传播与相互作用特征，研究加载过程中两个界面从纯弹性界面到弹塑性界面的转变行为，以及两个界面上透反射波传播及其相互影响问题，定量地描述反射波与透射波的形成过程与特征，为SHPB试验和研究人员对反射波与透射波波形的形成机理提供一个定量的过程性的科学依据，并为SHPB试验的精细化设计与数据的精确处理研究提供参考。

1.   典型入射波加载作用下夹心杆系统中的透反射行为

设如图1所示的夹心杆系统类似SHPB装置中入射杆、试件与透射杆组合，杆1长2000 mm，试件即杆2长7.25 mm，杆3长1500 mm；杆1和杆3的直径D均为14.5 mm。三个杆的密度均为7.83 g/cm³，杆1与杆3均为线弹性材料，弹性模量${E_{\mathrm{e}}}$为210 GPa，泊松比为0；杆2的直径d为8 mm，采用图2所示的双线性模型，屈服强度Y为200 MPa、塑性模量${E_{\mathrm{p}}}$为500 MPa，泊松比为0.29。

图  1  准一维夹心杆结构示意图

Figure  1.  Schematic diagram of the quasi-one-dimensional sandwich bar structure

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图  2  双线性本构关系示意图

Figure  2.  Schematic diagram of bilinear constitutive relationship

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考虑初始时刻在图1所示的系统中杆1的左端面上施加三种典型脉冲波，波长$\lambda$为800 mm，压缩波峰值强度为250 MPa，如图3所示。与理论分析对应的数值仿真软件为ABAQUS，采用二维轴对称几何模型，几何模型及参数、材料本构模型及参数等皆与理论一致，算法与网格划分经过试验验证是准确的^[15]。

图  3  三种典型入射压缩脉冲

Figure  3.  Three typical incident compression pulses

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定义无量纲时间$\bar t$和无量纲应力$\bar \sigma$分别为：

则入射波无量纲时间波长$\bar \lambda$=1。式中：$\sigma$为杆中轴向应力，t为时间。

则矩形脉冲无量纲加载时间为0；半正弦入射波无量纲加载时间为0.5，考虑梯形入射波无量纲线性加载时间为0.2。可以计算出弹性波在杆2中往返一次所需无量纲时间约为0.018；而纯塑性波在杆2中往返一次所需无量纲时间为0.371。

1.1   矩形入射波在强间断加载作用下的透反射行为

此种加载条件是相对简单理想的情况，理想的矩形入射波加载阶段无量纲波长为0，由于材料在弹性阶段和塑性阶段的波阻抗都是恒值，因此反射波峰值强度可以视为两部分的线性叠加，即反射波无量纲峰值强度值${\bar \sigma _{\text{R}}}$应为：

式中：$\bar \sigma$为无量纲应力，下标R、I和T表示反射波、入射波和透射波，下标e表示弹性，下标p表示塑性，如${\bar \sigma _{{\text{R,e}}}}$表示杆2为弹性时的反射波无量纲峰值强度值。根据应力波在交界面上的透反射理论，有：

式中：${k_{\text{e}}}$和${k_{\text{p}}}$分别为弹性和塑性阶段的广义波阻抗比，

利用式（4），可以求出杆2直径为8 mm时的反射波无量纲峰值强度值为0.742，如图4中水平点划线所示，从图中可以看出，理论分析结果与反射波仿真计算峰值0.756的误差仅为0.80%，考虑到仿真峰值点的波动，可以认为理论计算值是准确的。

图  4  杆2直径为8 mm时矩形入射波的反射波峰值

Figure  4.  Peak value of reflected wave for rectangular incident wave in a bar of diameter 8 mm

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当不考虑应力波在界面2上的反射、且无量纲入射强度为−0.522时，通过界面1透射到杆中轴向的无量纲应力应为−0.8，即−200 MPa，杆2出现初始屈服；容易计算出，一维弹性波在杆2中单次运动即从界面1到界面2所需无量纲时间为0.009，对应地，塑性波所需无量纲时间为0.186；前者不到后者的1/20，意味着首先到达杆2的透射波一定是弹性波，首先使透射波达到阶段性峰值的也是弹性波。若采用与反射波完全相同的计算方法，则可以给出透射波初次到达阶段峰值（或初始峰值）的透射波强度应为弹性阶段入射波${\bar \sigma _{{\text{I,e}}}}$，其对应的透射波强度${\bar \sigma _{{\text{T,e}}}}$为：

从图5可以看出，图中水平点划线为式（5）计算出的结果，明显小于仿真结果中的初始峰值，即前者的绝对值大于后者的绝对值。出现这种明显差别的主要原因是，强度在0.522临近的弹性增量波透射到杆2后，该增量波在杆2中并不是全程以弹性波波速传播，因为此增量波前面强度相对较低的波虽然使得杆2还是处于弹性状态，但此波在界面2上反射后可能使得杆2材料超过屈服应力。设入射波强度为值$\bar \sigma '$时，其在界面2上的反射波后方应力正好使得杆2达到屈服应力，可以求出$\bar \sigma ' = - 0.340$；该强度的强间断入射波透射到杆2后形成的无量纲轴向应力再在界面2上透射到杆3所形成的透射波无量纲强度${\bar \sigma _{{\text{T,e}}}}$为：

图  5  杆2直径为8 mm时矩形入射波透射波初始峰值

Figure  5.  Initial peak value of transmitted wave for rectangular incident wave in a bar of diameter 8 mm

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从图5可以看出，该结果即水平短划线与仿真结果−0.242吻合，误差仅为0.82%，考虑到图中仿真曲线的波动性，可以认为理论计算是准确的。

1.2   梯形线性入射波加载作用下的透反射行为

设图6所示加载波上点C到达界面1上瞬间透射到杆2后，杆2左端平均应力正好等于其屈服应力，并称该点为弹塑性转换点；初步分析可知，该点相对于起点A的无量纲时间必定小于0.10435。考虑自点A开始，无量纲时间为0.091处点为点D，则点D对应的无量纲入射应力${\bar \sigma _{{\text{I,}}D}}$为−0.453。可以求出点D对应的无量纲透射应力${\bar \sigma _{{\text{T,}}D}}$为：

图  6  梯形波时加载阶段的弹塑性转换点

Figure  6.  Elastic-plastic transition point during the loading stage for trapezoidal incident wave

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这意味着此时杆2左端处于塑性状态，以上点D在界面2上的透反射行为为弹性行为的假设不成立。因此，可以判断点C相对于点A的无量纲时间${\bar t_{AC}}$满足：

同理，可以进一步求出点C相对于点A的无量纲时间${\bar t_{AC}}$必然满足：

因而其弹性波透反射物理平面图应如图7所示，此时有：

图  7  点C到达界面1之前的透反射物理平面图

Figure  7.  Physical plane diagram of transmission before point C reaches interface 1 for trapezoidal incident wave

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式中：${\bar \sigma _{{\text{I}},C}}$表示点C对应的无量纲入射应力。从而可以给出：

由于塑性波在杆2中往返一次所需无量纲时间约0.371，因而在整个入射波加载过程中，即图6中点B到达界面1之前，不可能由塑性波从界面2反射到界面1而干扰界面1上的透反射行为。因而，可以计算出点B到达界面1上瞬间杆2左端面对应的无量纲反射波峰值${\bar \sigma _{\text{R}}}$与无量纲透射波应力${\bar \sigma _{\text{T}}}$满足：

该结果与仿真结果非常接近，误差小于0.5%，如图8所示。从图中也可以看出，反射波上升阶段转角部分无量纲时间宽度为0.062，正好是点C与点A的无量纲时间间隔，也就是说，此刻反射行为从弹性界面反射转换为弹塑性界面反射，与理论结果正好一致。

图  8  梯形波时反射波峰值仿真值与理论值

Figure  8.  Simulation calculation and theoretical value of peak value of reflected wave for trapezoidal incident wave

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从以上分析可知，当点C到达界面1透射到杆2中，入射增量波到达界面2并反射后，杆2右端面上的介质必定处于塑性状态；假设入射波点E处增量波自界面1透射到杆2，再在界面2上反射，该反射波后方介质恰好处于弹性屈服点。类似地，可以得到透射杆即杆2在此刻的首个透射波无量纲峰值应力${\bar \sigma _{{\text{T}},E}}$为：

可以得到点E相对于点A的无量纲时间${\bar t_{AE}}$为：

以上透射波首个无量纲峰值应力理论计算结果与仿真结果基本一致，如图9所示。

图  9  梯形波时透射波首个峰值仿真值与理论值

Figure  9.  Simulation calculation and theoretical value of first peak value of transmitted wave for trapezoidal incident wave

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1.3   半正弦非线性入射波加载作用下的透反射行为

当入射波在加载阶段并非线性增大时，杆系统中的透反射就更复杂，这里以典型的半正弦入射波为例进行分析。考虑如图10所示的无量纲时间间隔为0.018的5个点：点1～4和点D，此时点D对应的无量纲应力${\bar \sigma _{{\text{I}},D}}$可以根据其相对于点A的无量纲时间${\bar t_{AD}}$求出：

图  10  入射波及其上面的点D

Figure  10.  Incident wave and point D

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将入射波按照杆2中弹性波往返一次所需时间AD段分为时间间隔相等的5段：A1、12、23、34和4D；给出点1～4对应的无量纲应力分别为−0.05691、−0.11364、−0.16999和−0.22580，因而，此5段的无量纲应力增量${\bar \sigma _{A1}}$、${\bar \sigma _{12}}$、${\bar \sigma _{23}}$、${\bar \sigma _{34}}$和${\bar \sigma _{4D}}$分别为−0.05691、−0.05673、−0.05636、−0.05581和−0.05507。

求出这5点到达界面1的瞬间透射波后方的无量纲应力值分别为：

式中：

类似地，可以给出点D之后无量纲时间间隔0.18的点6对应的透射波后方应力为：

这6个入射波上的点到达界面1上的瞬间透射波后方的应力如图11所示。

图  11  6个点透射波后方的无量纲应力

Figure  11.  Dimensionless stress of transmitted wave at six points after the wave

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从图中可以发现，点D对应透射波后方的应力强度小于0.8，而点6对应透射波后方的应力强度大于0.8；因而，入射波上的弹塑性转换点C应在点D和点6之间，且非常接近点D。因而有：

式中：

求出弹塑性转换点C相对于点A的无量纲时间${\bar t_{AC}}$与点C对应的无量纲反射波应力${\bar \sigma _{{\text{R}},C}}$分别为：

图12为杆2左端面上无量纲平均应力时程曲线，忽略由于仿真过程中黏性导致入射波头部弧形转换部分，可以看出恰好约0.092个无量纲时间后，无量纲平均应力达到−0.8，即达到屈服应力；与式（21）的理论计算结果一致；同样，图13所示反射波波形上升弹性段的无量纲时间宽度也近似为0.092。

图  12  杆2左端无量纲平均应力时程曲线

Figure  12.  Dimensionless time history curve of average stress at the left end of bar 2

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图  13  反射波弹性段的无量纲时间宽度

Figure  13.  Dimensionless time width of elastic segment in the reflected wave

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设在入射波上的一点E到达界面1透射到杆2形成的透射波，再在界面2上点F处反射，该反射波波阵面后方杆2右端面上应力正好等于材料的屈服应力。容易分析出，点E在点C的前方，即应该在图10中点D之前点4之后，可以给出点F反射波阵面后方的无量纲应力${\bar \sigma _F}$。从而可以求出：

（即点E应处于图10中点4与点D之间，这说明以上假设是正确的，即点E的无量纲相对时间计算是准确的。同理可以求出点E透射波后方无量纲应力${\bar \sigma _{{\text{T}},E}}$为−0.7368。

从图14可以看出，入射波中处于点E和点C之间的点到达界面1上，界面两端皆为弹性状态，且透射波以弹性波速在杆2中传播，然而，当该波阵面与图中反射波FJ相遇后就以塑性波继续向右传播，到达弹塑性界面2上时反射波也以塑性波速传播。图中CH段内存在在完全弹性界面1上透射到杆2然后再在完全弹性界面2上的反射弹性波，该反射弹性波与直接从弹塑性界面1透射到杆2的透射波CJ相遇后再以塑性波速传播，进而干扰CH段的弹塑性界面1上的透反射行为。类似地，可以求出点H相对于入射波起点A的无量纲时间以及对应入射波上点H的无量纲应力分别为0.21865和−0.63414。类似地，9E之间入射波透射到杆2再从完全弹性界面2反射，该反射波最终到达弹塑性界面1上的CH之间；不难求出图14中9E阶段入射波从界面1透射到杆2中的透射波无量纲应力$\Delta {\bar \sigma _{{\text{T}},9E}}$，进而可以求出点H对应的无量纲反射波应力为0.3738。

图  14  临近点E的应力波传播等效物理平面图

Figure  14.  Equivalent physical plane diagram of stress wave propagation near point E

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由于HI阶段并无其他从界面2上反射回来的应力波干扰入射波在界面1上的透反射过程，因此可以求出点I到达弹塑性界面1上的瞬间无量纲反射波强度为0.5069。与矩形波和梯形波不同，半正弦入射波接近点B附近区域，随着时间增大，入射波强度增量很小，这使得点B到达界面1上的反射波并不是最大值。可以求出最大值对应的点在相对于点A的无量纲时间间隔为0.483之前的附近时刻，如图15所示。从图中可以看出，理论分析结果与仿真结果完全一致。

图  15  半正弦时反射波峰值对应的无量纲时间

Figure  15.  Dimensionless time corresponding to peak value of reflected wave for half-sine incident wave

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若不考虑塑性波在杆2中透反射对界面1上反射波的作用，可以计算出无量纲反射波峰值应力为：

式中：${\bar \sigma _{{\text{R,}}I}}$和${\bar \sigma _{{\text{I,}}I}}$分别为点I对应的无量纲反射波应力与无量纲入射波应力。

如考虑强度为$\Delta {\bar \sigma _{{\text{I}},EC}}$的入射波EC段在完全弹性界面1上透射到杆2，再在弹塑性界面2上反射回到弹塑性界面1，然后透射产生的透射波无量纲强度$\Delta {\bar \sigma _{{\text{TRT}},EC}}$为：

则反射波的近似无量纲峰值应力${\bar \sigma _{{\text{R,m}}}}$为：

该理论计算值与仿真结果非常吻合，如图15所示。

对于透射波而言，其首次达到弹性峰值应力可以通过界面2上的受力平衡来给出，也可以通过弹性波EF在界面2上透射后计算给出，其值均为−0.244；对应的无量纲时间0.0946。以上计算结果与仿真结果基本一致，如图16所示。

图  16  透射波首次峰值时间与应力理论与仿真对比

Figure  16.  Comparison of theoretical and simulation results for time of first peak value and stress of transmitted wave for trapezoidal incident wave

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2.   系统中透反射波的影响因素及其规律

在SHPB试验理论所述的弹性波理论中，改变杆2材料的密度会改变界面1和界面2的波阻抗比，从而会相应地改变入射波和反射波的强度，但根据以上理论计算的结果却并非如此。定义杆2材料的无量纲密度为：

式中：${\rho _2}$和${\rho _0} = 7.83\; {{\text{g}} /{{\text{c}}{{\text{m}}^{\text{3}}}}}$分别为杆2和杆1的材料密度。

若不考虑应力波在界面2上反射对界面1上的透反射造成的影响，可以给出无量纲反射波应力${\bar \sigma _{\text{R}}}$为：

对于系统尺寸以及杆1与杆3材料特定的情况，根据一维弹塑性增量波理论可知，影响透反射波波形及其强度的主要因素有杆2材料的屈服强度以及广义波阻抗，即杆2的材料屈服强度、密度、杨氏模量、塑性模量以及直径。

考虑杆2的无量纲密度分别为1、1/2、1/3、1/4、1/5和1/6等6种情况，可以计算出其对应的无量纲反射波峰值应力。结果显示，从无量纲密度为1/6时的0.7577减小到无量纲密度为1时的0.7425，约减小了2.01%，变化幅度较小。

事实上，数值仿真结果如图17所示，图中可以看出杆2的无量纲密度从1/6增大到1时无量纲反射波峰值应力只减小了0.80%，考虑到曲线的波动幅度明显大于2%，因此，该结果意味着密度的变化可以忽略不计。需要说明的是，仿真结果与理论结果对比也显示，无量纲密度较小时，理论计算结果明显大于仿真结果，以无量纲密度为1/6时为例，理论计算结果比仿真结果大了约3.2%。出现这种误差的原因主要是仿真中所设置的人工黏性引起的，该值的设置使得仿真更加顺利和收敛，但也使得理论上的矩形“尖锐”拐角变得“光滑”，如图18所示。图中所示为距离入射端1400 mm即杆1中距离界面1600 mm处节点的无量纲应力时程曲线，从图中可以看出，实际上升宽度并不是理想的“0”，而是存在无量纲时间宽度0.02680，即图中点A和点B的水平距离。以无量纲密度为1/6时的情况为例，参考上文梯形和半正弦入射波加载作用下的杆2中透反射对反射波的影响分析，也可以给出实际无量纲反射波峰值的校正值${\bar \sigma _{\text{R}}}$为：

图  17  直径8 mm时不同杆2密度时的反射波

Figure  17.  Reflected wave for different densities of bar 2 of diameter 8 mm

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图  18  无量纲密度为1/6时入射波中的三个特征点

Figure  18.  Three characteristic points in incident wave for density of bar 2 equal to 1/6

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该值与仿真值0.754非常接近，误差仅0.13%。式中${\bar \sigma _H}$、${\bar \sigma _{{\text{R,}}DB}}$和${\bar \sigma _{{\text{I}},HB}}$分别为点H的无量纲应力、DB段的无量纲反射波应力和HB段的无量纲入射波应力。

事实上，类似以上分析可知，当杆2材料的无量纲密度为1/2时，从界面2上反射回的弹性波就已经对界面1的透反射行为造成了影响。这是因为随着无量纲密度的减小，杆2中波速会增大，使得其往返时间减小；类似地，若其他参数不变，入射波加载时间变大，也会出现杆2的两个界面上透反射的相互影响这一问题。如当无量纲密度为1/6时，反射回的弹性波对杆1中的反射波进一步衰减，从不考虑杆2在界面2上反射回的弹性波对界面1上透反射行为影响时的0.754降低到0.748；这是因为杆2密度的减小势必导致其波速的增大，使得反射波在杆2中往返一次所需的时间减小。事实上，计算表明，由于杆2中塑性波波速远小于弹性波波速，因此，一般而言，入射波加载段完全反射前，第一个从界面2上反射回的塑性波还没有到达界面1；即此时加载时间的增大最多使得弹性波从界面2反射到界面1再透射到杆1，从而对杆1中的反射波造成衰减，由于入射波中弹塑性转换点对应的应力强度比较小，因而这种衰减是有限的，如图19所示。从图中可以看出，三种入射波虽然加载阶段的时间宽度差别很大，但对反射波峰值应力而言，其差异并不是很大，仅0.031；而且主要是弹性反射部分变缓变形造成的。

图  19  三种入射波对应的反射波波形图

Figure  19.  Waveform of reflected wave for three kinds of incident waves

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然而，对于梯形入射波和半正弦入射波，由于加载时间长，因此必须考虑两个交界面上透反射的相互影响，从此角度看，此时密度等因素的影响就更明显。然而，实际上，不同无量纲密度时反射波基本重合，特别是塑性加载段和峰值应力，差异可以忽略不计，仿真结果与反射波无量纲峰值的理论计算结果如图20所示。这是因为，杆2密度的减小一方面使得杆2中弹性波和塑性波波形增大，或者相同时间内透反射波循环次数增多；另一方面，会使得杆2的波阻抗减小，导致杆2与杆1的弹性和塑性广义波阻抗比减小，从而使得相同入射波强度下透射波减小；两种因素综合作用下使得总反射波峰值近似相等；杆3中透射波也是如此。

图  20  不同无量纲密度时梯形入射波的反射波

Figure  20.  Reflected wave for trapezoidal incident wave under different dimensionless densities

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设入射波上点C到达界面1的瞬间杆2的左端界面正好达到屈服应力，入射波上的点D经过界面1透射传播到界面2并反射后，波阵面后方介质正好达到屈服应力。基于2.2节的分析方法，可以求出不同杆2直径时点C和点D的无量纲应力，如表1所示。

表  1  梯形入射波上的特征点参数与反射波峰值应力

Table  1.  Parameters of characteristic points on trapezoidal incident wave and peak stress of reflected wave

杆2直径/ mm	点C无量 纲应力	点C无量 纲时间	点D无量 纲应力	点D无量 纲时间	峰值无量 纲应力
4	−0.300	0.060	0.261	0.052	0.934
6	−0.353	0.071	0.316	0.063	0.852
8	−0.441	0.088	0.409	0.082	0.736
10	−0.553	0.111	0.529	0.106	0.599
12	−0.668	0.134	0.654	0.131	0.431

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表1所给出的不同杆2直径时杆1中反射波峰值应力与仿真结果基本吻合，如图21所示。从表1可知，随着杆2直径的增大，峰值无量纲应力逐渐减小；这是因为，随着杆2直径的增大，点C对应的无量纲相对时间和无量纲应力绝对值逐渐增大，对应塑性反射段的无量纲应力绝对值也随之减小；而对于界面1而言，当杆2左端处于塑性状态时，从杆1到达界面的应力反射系数绝对值明显大于弹性界面时的反射系数，从而使得反射波强度减小。

图  21  梯形入射波在不同杆2直径时的反射波峰值的理论结果与仿真结果

Figure  21.  Theoretical and simulation results of reflected wave peak stress for trapezoidal incident wave at different diameters

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3.   结　论

针对SHPB试验中入射波与透射波的定量特征及其影响因素，开展了夹心杆结构中一维弹塑性传播及其透反射定量理论分析。结合数值仿真与弹塑性增量波理论，从强间断矩形入射波到线性增大梯形入射波、再到非线性增大半正弦入射波三种典型入射波，定量地分析了入射加载过程中杆2中弹塑性传播以及界面1与界面2上弹塑性波的透反射行为，在此基础上讨论了透反射波的形状与特征参数的影响因素及其影响规律。得到以下主要结论：

(1)夹心杆系统中透反射波特别是入射加载阶段，其透反射波波形以及应力峰值的主要部分是在弹塑性界面1和弹塑性界面2上发生透反射行为产生的，两个界面为纯弹性界面时的透反射行为影响小得多；利用一维弹性波理论分析SHPB试验中的透反射波过于简单而且非常不准确。

(2)当入射波加载部分是理想的单强间断波时，透反射波的上升沿部分虽然看起来是连续的，但实际上是入射波分别在弹性界面和弹塑性界面上透反射波的线性叠加；当入射波加载部分是存在一定时间宽度如0.2个无量纲时间宽度的梯形波时，或宽度为0.5个无量纲时间的半正弦波时，杆2中自界面1上反射回的系列弹性波通过界面1透射到杆1，能够使得杆1中的反射波产生衰减，这使得矩形入射波对应的反射波应力峰值略高于梯形波与半正弦波，梯形波也对应地高于半正弦波；这也导致半正弦波入射加载后期由于入射加载斜率过小，产生的反射波反而小于这种衰减，使得半正弦波的反射波峰值并不是入射波峰值对应形成的，而是有所提前。

(3)与简单的利用弹性波在界面上的透反射计算完全不同的是，无论是矩形波还是梯形波、半正弦波入射的情况，杆2材料的密度与杨氏模量的变化虽然导致波阻抗的变化，但实际上反射波波形及其应力峰值并没有明显变化，如密度变化6倍时反射波基本重合，峰值应力变化可以忽略。导致这种现象的主要原因有两个：其一，如同结论(1)所言，实际上反射行为基本上是在弹塑性界面上产生的，而塑性阶段界面1的广义波阻抗比极小，此时密度的变化影响极小；其二，密度减小导致广义波阻抗比减小即反射波强度略微增大，但也导致杆2中的波速增大，从界面2上反射回的弹性波对杆1中的反射波衰减更加明显，两者几乎抵消。