等效单自由度（single degree of freedom，SDOF）方法作为一种计算效率高的动力分析方法，广泛用于工程抗爆规范^[1-4]，也常作为校核手段用于梁式构件空爆荷载试验的位移分析^[5-10]。考虑到建筑结构空爆荷载是一种概率较低的偶然作用，进行SDOF梁式构件位移分析时，建筑抗爆规范和大多数试验设计允许梁式构件具有一定程度的塑性位移。这也表明SDOF体系的构件刚度应包含弹性和塑性两部分；在表征塑性刚度时，常采用忽略塑性抗力的理想弹塑性抗力模型^[1-6,8,10]。因此，开展空爆荷载梁式构件振动位移精细化理论研究，有助于对弹塑性位移振动全过程的理解，也有利于对延性比、荷载时长等参数的准确把握。

从爆炸试验来看，陈万祥等^[10]、Li等^[11]、Stochino等^[12]和Zhang等^[13]的钢筋混凝土梁爆炸试验，Rokaya等^[14]的钢梁爆炸试验，Bruhl等^[15]的高强低合金钢梁爆炸试验，在塑性阶段均呈现了抗力强化且抗力刚度小于弹性阶段的特征。Fallah等^[16]也认识到塑性抗力较弹性抗力增大的特性，开展了爆炸作用梁式构件无阻尼、塑性强化抗力的超压-冲量曲线研究。方秦等^[17-18]采用理想弹塑性抗力模型，研究了阻尼参数对爆炸作用梁动力响应的影响；耿少波等^[19-20]开展了理想弹塑性抗力模式下阻尼参数在指数型爆炸荷载下对梁式构件振动动力系数的影响；郭东等^[21]指出在空爆这种极短的荷载作用下，阻尼对构件进入塑性阶段后的反弹位移存在影响。目前，开展的空爆作用梁式构件的响应及位移分析所采用的理想弹塑性抗力模型较简单，未对爆炸作用下梁式构件塑性阶段抗力强化效应的位移影响作深入研究，也未对爆炸作用下柔性构件和刚性构件进行区分对待。

双折线抗力模型是一种良好的、可精准描述塑性阶段抗力强化的本构关系^[22-23]，且它可退化为理想弹塑性抗力模型。若将该模型运用于空爆作用梁式构件振动位移分析，会得到更精准的弹塑性位移分析结果，也可以比较出常规弹塑性抗力模型对应的计算精度。本文中，对空爆作用梁式受力构件柔性、刚性分类后，分别采用双折线抗力模型建立精细化SDOF振动方程，由阻尼比与塑性抗力强化系数关系求解各条件下构件振动位移的解析解；结合典型工况，分析双折线抗力模型中塑性强化参数对最大弹塑性位移、塑性回弹位移和残余变形等的影响，以期为工程抗爆提供精细化理论依据。

1.   空爆荷载柔性构件正向振动动力响应求解

1.1   空爆荷载柔性构件的定义

定义t_i为空爆荷载作用时长，t_e为构件空爆作用下从静止至完成正向振动弹性状态所需时长。当t_i<t_e时，爆炸荷载作用结束时构件尚未完成弹性振动，称此类构件为柔性构件。由于常规武器空爆荷载作用时间t_i很短，往往小于构件达到最大弹塑性变形的所需时长t_m^[1]，即柔性构件时长参数的关系为t_i<t_e<t_m。

1.2   弹性阶段强迫振动

空爆作用梁式构件等效SDOF法最早被Biggs使用^[23]，如图1(a)～(b)所示。采用双折线抗力模型正向和回弹振动的构件抗力与变形的关系如图1(c)所示，具体表达式为：

图  1  双折线抗力模型等效单自由度体系

Figure  1.  Equivalent single-degree-of-freedom system of the bilinear resistance model

下载: 全尺寸图片 幻灯片

式中：r_m为构件弹性阶段最大抗力，R_m为构件弹塑性阶段最大抗力，K_e为构件弹性阶段等效刚度，K_p为构件塑性阶段等效刚度。因此，弹性阶段等效SDOF振动方程为：

式中：M_e为等效质量，C_e为等效阻尼，y为构件的振动位移，Δp_e(t)为等效构件所承受的等效空爆荷载。

各等效参数计算公式分别为：

式中：m为构件线密度，l为构件跨长，ξ为构件阻尼比，K为构件刚度，k_M为弹性阶段质量变换系数，k_L为弹性阶段荷载变换系数。

由 GB 50038—2005《人民防空地下室设计规范》^[1]，空爆荷载为：

式中：Δp_m为构件超压线荷载峰值。

求解方程(2)，可得构件位移、速度表达式分别为：

式中：ω为构件无阻尼振动频率，ω_d为构件阻尼振动频率，y_st为空爆峰值作为静载时构件静位移。ω、ω_d和y_st的计算公式分别为：

将t_i代入式(5)～(6)，得到构件强迫振动结束时位移y_i和速度v_i分别为：

1.3   弹性阶段自由振动

空爆荷载作用消失后，构件进入以位移y_i、速度v_i为初始条件的弹性自由振动，即t_i<t<t_e时，构件等效SDOF方程为：

求解方程(10)，得到位移和速度分别为：

其中：

构件在t_e时刻达到弹性振动最大位移，此时位移和速度的表达式分别为：

1.4   塑性阶段自由振动

弹性振动结束后，构件进入以y_e和v_e为初始条件的塑性自由振动，即t_e<t<t_m时，考虑双折线抗力模型中构件的塑性阶段抗力强化的等效SDOF方程为：

式中：m_e为等效质量，c_e为等效阻尼力。M_e、c_e、K_e和K_p的计算公式分别为：

式中：α为构件塑性阶段与弹性阶段等效刚度之比，被称为塑性强化系数；k_m和 k_l分别为塑性阶段质量和荷载变换系数。根据阻尼比ξ和塑性强化系数α大小关系，方程(16)需按3种情况分别求解。

(1)当ξ²<α时，方程(16)的位移和速度解分别为：

将初始条件y_e和v_e代入式(18)～(19)，解得C₁和C₂分别为：

式中：${\omega _{\text{e}}} = \omega \sqrt {\alpha - {\xi ^2}}$，k_M-L和k_m-l分别为弹性阶段和塑性阶段的质量变换系数与荷载变换系数的比。

令式(19)中v=0，可求出构件达到正向振动最大弹塑性位移y_m时对应的总时长为：

(2)当ξ²=α时，方程(16)的位移和速度解分别为：

且可解得C₃和C₄分别为：

同理，可求得：

(3)当ξ²>α时，方程(16)的位移和速度解分别为：

且可解得C₅和C₆分别为：

同理，可求得：

2.   空爆荷载刚性构件动力响应求解

2.1   空爆荷载刚性构件定义

与柔性构件定义类似，空爆作用时长内构件从静止进入弹性继而塑性振动，空爆作用结束后构件继续塑性振动至最大弹塑性位移，称此类构件为刚性构件，其时长参数大小关系为：t_e<t_i<t_m。

2.2   弹性阶段强迫振动

刚性构件在此弹性阶段，即0<t<t_e时，其等效SDOF方程与式(1)相同，由式(4)～(5)，得到刚性构件弹性振动结束时的位移和速度分别为：

2.3   塑性阶段强迫振动

刚性构件刚进入塑性振动时，空爆荷载尚未消失，即当t_e<t<t_i时，其等效SDOF方程为：

类似于柔性构件塑性阶段自由振动求法，对方程(32)也分3种情况进行求解。

(1)当ξ²<α时，方程(32)的位移和速度解分别为：

将初始条件y_e、v_e代入式(33)～(34)，解得C₇和C₈分别为：

(2)当ξ²=α时，方程(32)的位移和速度解分别为：

且可解得C₉和C₁₀分别为：

(3)当ξ²>α时，方程(32)的位移和速度解分别为：

且可解得C₁₁、C₁₂分别为：

依ξ²与α的大小关系，将t=t_i分别代入上述位移和速度表达式，即可得空爆荷载结束时对应各情况的y_i和v_i。

2.4   塑性阶段自由振动

空爆荷载作用结束后，柔性构件进入以y_i、v_i为初始条件的塑性阶段自由振动，即t_i<t<t_m时，考虑塑性阶段强化效应的等效SDOF方程为：

类似于柔性构件塑性阶段自由振动求法，方程(42)也需分3种情况进行求解。

(1)当ξ²<α时，方程(42)的位移和速度解分别为：

将初始条件y_i、v_i代入式(43)～(44)，解得C₁₃和C₁₄分别为：

令式(44)中v=0，可得构件达到正向振动最大位移y_m对应的总时长为：

(2)当ξ²=α时，方程(42)的位移和速度解分别为：

且可解得C₁₅和C₁₆分别为：

即：

(3)当ξ²>α时，方程(42)的位移和速度解分别为：

且可解得C₁₇、C₁₈分别为：

即：

依ξ²与α的大小关系，将t=t_m分别代入上述位移和速度表达式，即可得正向弹塑性振动结束时对应的各y_m、v_m值。

3.   两类构件回弹阶段动力响应求解

3.1   弹性回弹阶段

构件正向振动至t_m时刻达到弹塑性位移峰值y_m时，振动速度v_m为零，构件抗力也达到弹塑性抗力最大值R_m，开始反方向的弹性回弹振动。结合式(1)和图1(c)，此时构件等效SDOF方程为：

解方程，得到该阶段的位移和速度分别为：

将y_m和v_m代入式(56)～(57)，解得C₁₉和C₂₀分别为：

若构件振动无塑性回弹，令式(57)中v=0，可得构件达到回弹位移最大值$y'_{\rm{m}}$对应的时间$t'_{\rm{m}}$。若构件振动有塑性回弹，令式(56)中y=y_m−2y_e对应的时间即为弹性回弹总时长t_n，将t_n代入式(56)～(57)可得到构件第一次回弹最大弹性位移y_n和速度v_n。

3.2   塑性回弹阶段

若构件弹性回弹位移量自0开始至y_m−2y_e范围内，其振动速度均不为0，构件将会进入塑性回弹状态，此时构件等效SDOF方程为：

方程(59)仍需分3种情况进行求解。

(1)当ξ²<α时，方程(59)的位移和速度解分别为：

将初始条件y_n和v_n代入式(60)～(61)，解出C₂₁和C₂₂分别为：

(2)当ξ²=α时，方程(59)的位移和速度解分别为：

且C₂₃和C₂₄分别为：

(3)当ξ²>α时，方程(59)的位移和速度解分别为：

且C₂₅和C₂₆分别为：

若令各情况下速度为0对应的t为$t'_{\rm{m}}$，此$t'_{\rm{m}}$对应的位移为构件回弹阶段最大弹塑性位移$y'_{\rm{m}}$。

3.3   第二次弹性回弹

经计算分析，构件到达第一个回弹最大弹塑性位移$y'_{\rm{m}}$后，受阻尼和抗力影响，沿相反方向继续做周期性弹性回弹，不再发生塑性回弹，此时构件等效SDOF方程为：

求解后得到此阶段的位移和速度解分别为：

将初始条件$y'_{\rm{m}}$和$v'_{\rm{m}}$代入式(70)～(71)，解得C₂₇和C₂₈分别为：

4.   典型工况计算分析

4.1   典型工况及计算结果

为考查双折线抗力模型塑性强化系数对空爆作用两类构件动位移响应的影响，以简支梁为受力构件，在弹塑性等效质量-荷载系数之比k_M-L/k_m-l按文献[23]取1.18，典型阻尼比ξ=0.1，荷载时长参数ωt=0～50下，抗力强化系数α=0～0.2范围内开展研究，采用塑性强化系数分别为0、0.01、0.05、0.10、0.20等5种典型工况数值，分别表征无、低、中低、中高、高等5种类型强化程度。

取ωt_i=0.2, ωt_i=2.0分别为柔性构件、刚性构件典型参数，其空爆作用下弹塑性振动时程曲线分别如图2～3所示。

图  2  柔性构件（ωt_i=0.2）弹塑性振动时程曲线

Figure  2.  Time history curves of elastoplastic vibration for flexible members (ωt_i=0.2)

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图  3  刚性构件（ωt_i=2.0）弹塑性振动时程曲线

Figure  3.  Time history curves of elastoplastic vibration for rigid members (ωt_i=2.0)

下载: 全尺寸图片 幻灯片

4.2   结果分析

以理想弹塑性即α=0工况计算的延性比β、残余变形y_r数值为基准，双折线抗力模型中塑性强化系数α>0典型工况的延性比β和残余变形y_r的计算差异性分别记作γ_β和γ_r，其数值如表1所示。

表  1  相对于理想弹塑性抗力模型的差异性结果

Table  1.  Difference results relative to ideal elastoplastic resistance model

α	柔性构件						刚性构件
	β=2			β=5			β=2			β=5
	γβ/%	γr/%		γβ/%	γr/%		γβ/%	γr/%		γβ/%	γr/%
0.01	−0.5	−1.4		−1.2	−2.5		−0.5	−1.5		−1.2	−2.6
0.05	−1.0	−6.9		−5.2	−12.7		−1.5	−7.1		−5.6	−13.0
0.10	−2.0	−13.6		−9.4	−31.1		−2.5	−13.9		−10.0	−30.5
0.20	−3.5	−30.1		−15.6	−60.7		−4.0	−30.4		−16.6	−61.2

下载: 导出CSV 

| 显示表格

由图2、表1可知：柔性构件（ωt_i=0.2）无量纲处理后的各工况最大弹性位移y_e/y_st均为0.0491、延性比β=2时，α=0.01～0.20对应的各工况延性比降低范围在0.5%～3.5%；若柔性构件（ωt_i=0.2）各工况最大弹性位移y_e/y_st为0.0269、延性比β=5时，α=0.01～0.20对应的各工况延性比降低范围在1.2%～15.6%。值得注意的是：柔性构件β=2时，只有α=0.20工况存在塑性回弹振动，其残余变形是理想弹塑性抗力体系计算结果的70.1%，降低程度达30.1%；柔性构件β=5时，α=0.05, 0.10, 0.20等3种工况均存在塑性回弹振动，其残余变形降低程度随α的增大而提高，最大降低程度约为60.7%。

由图3、表1可知：刚性构件（ωt_i=2.0）无量纲处理后的各工况最大弹性位移y_e/y_st均为0.5737或0.3565，且延性比仍为β=2或5时，α=0.01～0.20对应的各工况延性比降低范围在0.5%～4.0%及1.2%～16.6%，与柔性构件规律差异性很小，β=2时仍是只有α=0.20工况存在塑性回弹振动，β=5时，α=0.05, 0.10, 0.20等3种工况均存在塑性回弹振动，其残余变形随α的增大而降低的程度与柔性构件仍较类似。

可以看出，塑性强化系数α对两类构件的影响规律及程度基本一致。延性比较小（如β=2）时，强化系数α对所有工况的最大弹塑性位移y_m影响均在4.0%以内，影响非常小，在构件进行抗爆设计时，均可忽略塑性强化抗力的影响。延性比较大（如β=5）时，强化系数α≤0.05对最大弹塑性位移y_m影响在5.7%以内，α=0.20对最大弹塑性位移y_m影响在16.0%左右。强化系数α对存在塑性回弹的工况残余变形影响显著，若忽略塑性强化抗力，采用理想弹塑性抗力模式完成构件位移分析，将对残余变形计算结果产生很大误差。

由上述分析可知：延性比较大时，即弹塑性位移中塑性位移成分较大时，两类构件在较小的塑性强化系数下，仍能进入塑性回弹。从理论上看：当y_m−2y_e>$y'_{\rm{m}}$时，可进入塑性回弹；y_m−2y_e<$y'_{\rm{m}}$时，无法进入塑性回弹。考虑到阻尼比ξ对构件塑性回弹存在影响，补充ξ=0.05工况，并对y_m−2y_e与$y'_{\rm{m}}$做差后除以y_st，完成无量纲处理，作为坐标纵轴参数，以塑性强化系数α为坐标横轴参数，其汇总结果见图4。

图  4  塑性回弹状态与塑性强化系数的关系

Figure  4.  Relationship between plastic rebound state and plastic hardening coefficient

下载: 全尺寸图片 幻灯片

由图4可知：在相同的延性比β、阻尼比ξ下，两类构件在进入塑性回弹时对应的塑性强化系数α数值并无差别；延性比越大、阻尼比越小，构件越易进入塑性回弹，如β=5, ξ=0.05时，构件进入塑性回弹对应的塑性强化系数最小值为0.019，而β=2, ξ=0.1时对应的塑性强化系数最小值增大为0.155。

5.   结　论

(1)提出了基于双折线抗力模型的两类梁式构件空爆荷载下振动位移分析方法，给出了梁式构件弹塑性正向振动和弹塑性回弹振动的位移解析解，该方法比理想弹塑性抗力模型方法适用范围更广，更具有普遍意义。

(2)相同条件下，随着双折线抗力模型塑性强化系数的增大，两类梁式构件的最大弹塑性位移、残余变形均会减小，且残余变形比最大弹塑性位移降低程度更明显，当塑性强化系数较大时，会出现塑性回弹现象。

(3)延性比为2.0时，塑性抗力强化系数对两类构件的最大弹塑性位移影响均较小，其最大弹塑性位移计算误差在4%以内，进行构件抗爆设计时可忽略塑性强化抗力因素；但在进行残余变形计算分析时，忽略塑性强化系数将会过高估计残余变形数值，带来较大误差。

(4)在相同的延性比、阻尼比下，两类梁式构件在进入塑性回弹时对应的塑性强化系数数值并无差别，且延性比越大、阻尼比越小，构件越易进入塑性回弹。