A two-step iterative method for damage calculation of a ship hullsubjected to underwater close-up non-contact explosion
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摘要: 船体水下近距非接触爆炸产生的破口计算过程复杂，涉及船体板架、武器装药和爆距方位等诸多因素，工程实践中通常应用经验公式求解。基于舰船遭受定向型战斗部攻击、毁伤面近似垂直于毁伤轴和爆炸过程瞬时发生满足近似能量守恒基本条件，根据爆炸冲击波初始动能与爆炸作用区域结构塑性变形能等量传递的假设，给出了计算方法。考虑了附着加强筋的船体壳板等效厚度对抵御冲击波毁伤的影响，运用爆炸冲击波作用下船体壳板产生的极限应变超过板材动态极限应变导致壳板开裂这一基本原理，设计了两步迭代法计算流程，给出了简捷易用的迭代计算表格。针对4种典型装药当量冲击波作用下，5~20 m长度舱段，11 m以内爆炸距离，6 和8 mm这2种典型厚度船体壳板遭受爆炸冲击受损情况进行了768组数据计算。引入平面拟合方程，通过判断截平面相似度分析，给出了计算方法的适用性判据，探讨了计算参数的适用范围，以保证两步迭代法能够客观反映水下近距非接触爆炸的实际破坏效果。结合经验公式计算结果和破损舰船受损实测数据，对该方法进行了检验，实践表明：两步迭代法易于工程实践且具有较好的准确性。Abstract: The calculation of the break of ship hull caused by underwater close-range non-contact explosion is a complex process, involving many factors such as the hull frame, weapon charge, explosion distance and orientation, etc., so empirical formulas are usually used in engineering design. If the ship is attacked by a directional warhead, it is usually assumed that the damage surface is approximately perpendicular to the damage axis, and the explosion process instantaneously meets the basic condition on approximate energy conservation, then the calculation method is proposed according to the assumption that the initial kinetic energy of the explosion shock wave is equally transmitted to the plastic deformation energy of the structure in the explosion action area. Considering the effect of the equivalent thickness of the hull shell-plate attached with stiffeners on the resistance to shock wave damage, and using the fundamental principle that cracking of the shell plate will take place when the ultimate strain of the hull plate under the action of explosion shock wave exceeds the dynamic ultimate strain of the plate, the calculation flow of the two-step iterative method is designed, and a simple and easy-to-use iterative calculation table is given. 768 sets of data are calculated for the damage of hull shell-plates with the typical thicknesses of 6 mm and 8 mm under the action of four typical charge equivalent shock waves, with an explosion distance within 11 m, acting on a compartment with 5-20 m span. By introducing the plane fitting equation, the applicability criterion of the calculation method is given by judging the similarity analysis of the section plane, and the valid range of the calculation parameters is discussed to ensure that the two-step iteration method can objectively reflect the actual damage effect of the underwater short-range non-contact explosion. Combined with the calculation results of empirical formulas and the measured data of damaged ships, the method is verified. The practice shows that the two-step iterative method is easy for engineering practice and has good accuracy.
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Key words:
- warship survivability /
- hull damage /
- underwater close-up explosion /
- breach calculation
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空中强爆炸会释放热辐射，在冲击波到达前，地面附近会形成热空气层，即热层。热层温度在400 K以上，最高可达2 000 K[1]。由于热层气体的温度、声速均高于大气环境中气体的温度、声速，强爆炸冲击波经过热层时可能形成热层前驱波[2]，后文简称前驱波。前驱波可能导致地面附近的动压峰值、动压冲量大幅增大[3-6]，使地面目标遭受更严重的毁伤。
了解前驱波的形成机理、载荷历程特性是开展前驱波毁伤效应研究的前提。目前，关于前驱波的研究，特别是关于冲击波以一定角度入射热层这类问题的相关研究较少，已有的研究多以理论分析和数值模拟为主。Miller等[7]针对SMOKY实验进行了系列仿真计算，发现冲击波与实验场地的斜坡地形作用形成的马赫杆在热层的影响下发生明显前倾，该前倾特征可作为前驱波形成的证明。Zaslavskii等[8]通过理论计算研究了斜入射平面冲击波与水平热层的相互作用，发现当冲击波与水平方向的夹角小于某一临界值时不会出现前驱波，并进一步指出形成前驱波的必要条件是入射波波速的水平分量小于热层中冲击波的波速。乔登江[9]依据冲击波在不同性质气体界面的折射规律，分析得到形成前驱波的临界入射角的正弦等于热层内外声速的比。贾雷明等[10]通过仿真计算研究了前驱波特性，发现入射角为60°时，热层中靠近壁面处的压力曲线出现双峰结构，其中第1个峰值远小于无热层时的压力峰值，第2个峰值与无热层时的压力峰值相近，认为第1个峰是前驱波到达导致，第2个峰与波后的漩涡结构相关。关于前驱波特性的实验研究，大多针对入射角为90°时冲击波与水平热层相互作用的特殊工况。例如：Griffith[11]研究了激波管中入射波马赫数小于1.14时前驱波结构的演化过程，发现冲击波运动经过10倍热层厚度后，波阵面的形状趋于稳定。Gion[12]采用与文献[11]中相同的装置观测了更高热层温度的前驱波，发现前驱波与主激波之间存在一个过渡区，并利用纹影图像计算得到了过渡区内的温度分布。
综上，目前对于冲击波以一定角度入射热层这类问题的研究较少，且研究方法以理论计算和数值仿真为主，实验研究仅涉及入射角为90°时冲击波与水平热层相互作用的特殊工况，主要关注前驱波的结构特征及产生条件，对于前驱波的超压、动压历程特性及其影响因素的研究还未见公开报道。本文中，利用可同时模拟冲击波超压、动压特征的激波管平台，开展入射角对热层前驱波影响的研究实验，并建立数值仿真模型，分析入射角对热层前驱波形成和超压、动压历程特性的影响机理，以期研究结果可为强爆炸热层前驱波毁伤效应研究提供支撑。
1. 实验设计
实验中使用的爆炸波模拟激波管如图1所示。该激波管驱动段为直径100 mm的圆柱体，实验段横截面为边长234 mm的正四边形。在实验段上设有测试光窗，光窗中心距实验段起点1.75 m。在光窗前15 cm处设有压力测点，用于监测入射冲击波的强度。光窗两侧设有
∅ 200 mm的纹影仪。实验时将楔形模型固定在光窗位置，实验现场如图2所示。加热楔形模型产生厚约1 cm的热层，利用纹影系统记录冲击波与热层的作用过程，冲击波波阵面与热层之间的夹角β即为入射角，如图3所示。在入射波强度和热层状态一致的前提下，本文中通过改变楔形模型冲击波来流方向一侧的角度改变冲击波入射角，进行了4组8次实验，实验条件如表1所示。通过对比不同入射角时有热层和无热层的纹影图像，判断是否出现前驱波，得到热层温度300 ℃对应的临界入射角（简称临界角）的范围，并进一步分析入射角对前驱波的影响。
表 1 实验条件Table 1. Experimental conditions实验
编号入射冲击波
压力/kPa入射角
β/(°)温度/
℃有无
热层1-1 50 75 15 无 1-2 300 有 2-1 50 60 15 无 2-2 300 有 3-1 50 45 15 无 3-2 300 有 4-1 50 30 15 无 4-2 300 有 2. 实验结果分析与讨论
从图3可以看出：冲击波进入热层时，楔形模型表面的热层已基本稳定，高温楔形模型对周围空气的影响较小，仅在图像的右上角产生了轻微的扰动，而冲击波与热层相互作用的区域并未受到影响。因此，分析过程中对流以及高温楔形模型对周围空气的影响忽略不计。
截取4组实验所得纹影图像中波阵面周围50 mm×50 mm范围进行局部放大，如图4所示，依据Miller等[7]得到的前驱波出现的证明判断是否出现前驱波。当入射角为75°和60°时，冲击波与楔形模型作用发生马赫反射，在有热层时形成了清晰的前驱波，如图4(a)～(b)所示。根据冲击波反射理论[13]，超压为50 kPa的冲击波与楔形模型作用发生马赫反射的临界角为46°。当入射角为45°时，由于接近马赫反射临界角，因此无热层时，只观察到楔形模型表面的反射波波阵面较厚，三波点位置不清晰；但当楔形模型表面有热层时，可以看到有较弱的前驱波形成，说明入射角45°接近前驱波形成的临界角，如图4(c)所示。当入射角为30°时，冲击波与楔形模型作用发生规则反射，有热层时无前驱波出现，说明形成前驱波的临界角大于30°。按照形成前驱波的临界角的正弦等于热层内外声速的比[9]，计算得到热层温度为300 ℃时形成前驱波的临界角为43°。通过实验发现，形成前驱波的临界角为30°～45°，这与理论结果可以互相验证。
图 4 不同入射角度、有无热层实验纹影图像对比Figure 4. Comparison of experimental schlieren images with thermal layer with ones without thermal layer at different incident angles借鉴Ethridge等的方法[3]，以前驱波与马赫杆的相对位置作为前驱波特性的表征量之一。对比有热层和无热层时纹影图像的差异，以无热层时马赫杆所在位置为基准，将前驱波超前马赫杆的距离（leading distance，LD）定义为Dl，如图5所示。以马赫杆到达斜面中点的时刻为准，入射角为45°且无热层时，三波点的位置不清晰，Dl无法确定。入射角为60°和75°时，Dl分别为3.7和7.9 mm。
图 5 前驱波超前马赫杆的距离示意图Figure 5. Diagram of the distance of the precursor wave leading the Mach stem入射角为60°和75°时，冲击波与楔形模型作用发生马赫反射。记马赫杆到达斜面中点的时刻为t1，此时马赫杆与楔形模型斜面的交点位置为X1，记t1+Δt时刻马赫杆与楔形模型斜面的交点位置为X2，则2个时刻的位置差即为马赫波在Δt内的位移D。位移D和时间差Δt已知，且时间差Δt足够小，即可得到t1时刻马赫波的波速vM。同理，可得相同时刻的前驱波波速vp，进一步得到前驱波波速与马赫波波速之差Δv=vp−vM。
在本实验中，纹影视场直径为200 mm，所用高速相机的拍摄帧频为39 000 s−1。入射角为75°和60°时前驱波和马赫波的波速及波速差如表2所示。在有热层的情况下，入射角为75°和60°时冲击波前驱波波速相近，但在无热层的情况下入射角为75°的冲击波马赫波的波速远低于入射角为60°的冲击波马赫波的波速。这表明：随入射角的增大，前驱波波速变化较小，马赫波波速大幅降低，前驱波与马赫波的波速差增大。这是导致入射角为75°时的Dl大于入射角为60°时的Dl的原因。
表 2 不同入射角时前驱波、马赫波波速及波速差Table 2. Precursor and Mach wave velocities as well as their differences at different incident anglesβ/(°) vp/(m∙s−1) vM/(m∙s−1) Δv/(m∙s−1) 75 493.36 447.53 45.83 60 500.77 478.98 21.79 3. 数值仿真模型的建立与验证
为深入研究入射角对热层前驱波压力特征的影响，本文中结合实验构型建立仿真模型，采用分步计算法开展研究。第1步，如图6所示，建立与实验完全相同的完整二维轴对称激波管模型，并在模型中与实验时压力测点对应的位置设数据监测点，得到该位置的总压、静压和总温数据。第2步，以数据监测点为起点，从完整模型中截取部分建立二维平面模型，部分模型长度L为2 m。部分模型左边界为压力入口边界，第一步计算得到的总压、静压和总温数据为该边界的输入；部分模型右边界为无反射压力出口边界；上下边界为绝热壁面，温度与实验时激波管壁温保持一致。在部分模型下壁面距压力入口15 cm处添加倾斜固壁边界模拟楔形模型，斜壁上方厚度1 cm的空气域为热层，如图7所示。依据Griffith[11]得到的热层温度分布公式，设置热层区域内的空气温度沿垂直斜面方向呈指数分布，靠近固壁的空气温度最高为300 ℃。在计算过程中，对气体采用理想气体模型[14]，对湍流选用标准k-ε湍流模型[14]，忽略对流对冲击波的影响。
图 6 在完整二维轴对称模型中截取部分模型Figure 6. Interception of the partial model from a complete two-dimensional axisymmetrical model
图 7 部分模型中添加斜面及高温热层Figure 7. Addition of inclined plane and high-temperature thermal layer in the partial model数值仿真方法的验证结果如图8～9所示。从图8可以看出，在相同位置，数值仿真所得入射波超压和动压曲线与实验所得压力测点处超压和动压曲线均吻合较好。图9为入射角75°时数值仿真所得压力云图，可以看到有热层时出现清晰的前驱波，与实验现象一致。对比实验和数值仿真的LD发现：数值仿真结果略大于相同入射角时的实验结果。入射角为60°时，LD的实验值为3.7 mm，LD的数值仿真值为4.8 mm，两者的相对误差约为22%；入射角为75°时，LD的实验值为7.9 mm，LD的数值仿真值为8.3 mm，两者的相对误差约为5%。入射角60°和75°对应的LD的大小关系数值仿真结果与实验结果一致。综上说明，利用分步计算法研究入射角对前驱波的影响是可行的。
图 8 入射波超压和动压随时间的演化Figure 8. Evolution of incident overpressure and dynamic pressure with time
图 9 有无热层时压力云图数值仿真结果Figure 9. Numerically-simulated pressure clouds with and without thermal layer4. 入射角对冲击波超压和动压特性的影响
本文中分别计算了入射角为90°、75°、60°、45°和30°的5组工况。与文献[15]中分析不同距离处前驱波参数的方法相似，选取斜面中心处距壁面0.1 mm的位置为压力测点，以冲击波到时、超压峰值、动压峰值和动压冲量为参数分析入射角对冲击波超压和动压特性的影响。
入射角对冲击波到时及其提前程度的影响如图10所示。从图10(a)可以看出：随着入射角的增大，冲击波到时逐渐延迟，延迟增速则随入射角的增大而减小；与无热层时冲击波到时相比，有热层时前驱波到时提前且提前量随入射角的增大而增大。从图10(b)可以看出：入射角为30°时，无前驱波出现，有热层和无热层时冲击波到时相同；入射角为45°时，冲击波到时提前0.015 ms；入射角为90°时，冲击波到时提前0.065 ms。
图 10 入射角对冲击波到时及其提前程度的影响Figure 10. Influences of incident angle of shock wave on arrival time and its advance degree此外，从图10(a)可以看出，有热层时入射角60°和75°的冲击波到时相差仅0.005 ms，但无热层时二者相差0.035 ms。这表明入射角60°和75°的前驱波波速相近，而入射角为75°时的马赫波波速小于入射角为60°时的马赫波波速。相较于入射角为60°时，入射角为75°时前驱波波速与马赫波波速的差值更大，所以冲击波到时提前量更大，这与在第2节得出的结论一致。
入射角对超压峰值及其减小程度的影响如图11所示。从图11(a)可以发现，随入射角的增大，超压峰值减小；有热层时测点处的超压峰值小于无热层时该点的超压峰值。出现前驱波后，超压峰值减小的程度（超压峰值差）随入射角的增大而减小，如图11(b)所示。入射角为45°时，超压峰值差最大，约为8 kPa；入射角为90°时，超压峰值差最小，约为2 kPa；当入射角为30°、无前驱波出现时，测点处超压峰值仍减小，超压峰值差约为4 kPa。
图 11 入射角对超压峰值及其减小程度的影响Figure 11. Influence of incident angle of shock wave on peak overpressure and its decreasing degree入射角对动压峰值的影响如图12所示。从图12(a)可以看出，有热层存在时，测点处动压峰值增大。从图12(b)可以看出，动压峰值增大的程度（动压峰值差）整体上逐渐增大，当入射角达到一定阈值后开始在一定范围内波动。Ekler等[16]研究发现，有热层时，动压峰值增大的主要原因是热层中的波后粒子速度大幅度提高。图13为入射角为60°时粒子速度和气流密度随时间的演化曲线。可以看到，测点处的粒子速度在冲击波到达后迅速上升到最大值然后逐渐降低，如图13(a)所示；气流密度与之不同，是先上升到一个较小的平台，然后继续增大，如图13(b)所示。这是由于，有热层时前驱波到达以后，经过一段时间入射波后的高密度气体才到达[7]。这导致了当气流密度达到峰值时，粒子速度已经在下降过程中了。粒子速度与气流密度上升过程不同步，使有热层时测点处动压的峰值时刻和峰值大小产生了偏差。因此，动压峰值差在入射角达到一定阈值后开始在一定范围内波动。
图 12 入射角对动压峰值及其增大程度的影响Figure 12. Influence of incident angle of shock wave on peak dynamic pressure and its increase degree
图 13 入射角为60°时测点的粒子速度和气流密度随时间的演化Figure 13. Evolutions of particle velocity and airflow density with time at the measured point when the incident angle of shock wave is 60°图14为入射角对动压冲量的影响。有热层存在时，测点处动压冲量增大。动压冲量增大的程度（动压冲量差）随入射角的增大而增大。入射角为30°时，无前驱波出现，动压冲量差仅为0.57 Pa·s；入射角为90°时，动压冲量差达到了3.92 Pa·s，约为无热层时动压冲量的17.7%。
图 14 入射角对动压冲量及其增大程度的影响Figure 14. Influences of incident angle of shock wave on dynamic pressure impulse and its increase degree5. 结 论
利用爆炸波模拟激波管平台开展实验，研究了热层温度为300 ℃时前驱波出现的临界角，并与理论值进行了比较，进一步采用分布计算法，开展数值仿真研究了热层温度为300 ℃时入射角对热层前驱波压力特征的影响，得到了以下主要结论。
(1)热层温度为300 ℃时，冲击波与热层相互作用产生前驱波的临界角介于30°～45°，与理论结果一致。入射角越大，前驱波超过马赫杆的距离越大。
(2)有热层时冲击波到时明显提前，入射角越大，到时提前量越大，入射角为90°时，冲击波到时提前量最大。
(3)热层会导致超压峰值减小，随入射角的增大，超压峰值差先增大后减小。无前驱波出现时，超压峰值减小的现象仍然存在。
(4)动压峰值差整体上逐渐增大，当入射角达到一定阈值后，动压峰值差开始在一定范围内波动。这是由于，粒子速度与气流密度上升过程不同步，导致动压峰值时刻和峰值大小不确定，而气流密度的特殊变化则是前驱波与入射波先后到达所致。
(5)前驱波会导致动压冲量增大，动压冲量差随入射角的增大而增大，入射角为90°时动压冲量差达到最大值。
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图 1 炸点与船舶舱室之间的位置关系
Figure 1. Positional relationship between explosion point and ship cabin
图 2 水下近场非接触爆炸毁伤船体壳板基本原理
Figure 2. Basic principle of hull plate damaged by underwater near-field non-contact explosion
图 4 不同TNT装药当量对厚度8 mm船壳板产生的破坏作用计算结果
Figure 4. Calculation results of damage effect of different TNT charge equivalents on the 8-mm-thickness ship shell plate
图 5 不同TNT装药当量对厚度6 mm船壳板产生的破坏作用计算结果
Figure 5. Calculation results of damage effect of different TNT charge equivalents on 6-mm-thickness ship shell plate
图 6 TNT装药当量350 kg对不同厚度船板破坏作用计算结果平面型数据拟合方程
Figure 6. Calculation results of the destructive effect of TNT charge equivalent 350 kg on ship plates with different thicknesses
表 1 部分典型炸药的相似常数计算参数[10]
Table 1. Calculation parameters of similarity constants of some typical explosives[10]
炸药 kp kθ αp αθ TNT 52.5 0.094 1.13 −0.18 RS211鱼雷装药 59.6 0.101 1.17 −0.23 HLZY-1含铝炸药 49.0 0.132 1.11 −0.22 
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表 2 水下爆炸船体破口计算表
Table 2. Calculation of hull break caused by underwater explosion
序号 项目 物理量 数值 说明 操作方法 1 装药量 W/kg 267 TNT当量 需要输入 2 爆炸产生的破口半径（半宽） R/m 2.71 计算结果，这个半宽数值对应中间完全撕裂破洞，实际破坏要比这个计算数值略小，这个结果越靠近炸点，与实际结果越接近。 输入半宽值试算，结果显示在C区域 3 炸药水中爆炸相似常数KE KE/（KPa∙m） 84.4 经验常数，根据实际查表由式（7）计算/采用TNT装药,代入公式时乘103 不输入 4 炸药水中爆炸相似常数αE αE 2.04 经验常数，根据实际查表由式（8）计算/采用TNT装药 不输入 5 两道水密隔墙之间的半宽距离 L/m 8.00 整个舱段长度为2L（m） 按水密段实际宽度一半输入 6 船壳板原始厚度 H/mm 8.000 直接输入不必转换成单位m 按实际输入 7 船壳板等效厚度（考虑加强筋） ˉh/m 0.064 按实际板厚度8倍计算 不输入 8 爆距 R/m 3.00 炸点距离舷板垂直距离 按实际输入，接触爆炸可按0.01输入 9 爆炸区域冲击波初始动能 EK/（kg∙m2∙s−2） 3349689 A区域：炸药爆炸冲击波初始动能计算值 不输入，用与B区域结果比对 10 钢板强度 σ/MPa 235.00 直接输入不必转换成Pa，对于Q235钢板，此数值是235 MPa，船板一般取值235～440 MPa，代入公式时乘106 按实际输入 11 船壳板变形内凹陷试算角度 Φ/（°） 2.27 从0°～90°取数值试算 输入角度试算，结果显示在B区域 12 内凹陷角度转换弧度制 Φ/rad 0.04 此处是中间转换数值 不输入 13 爆破区计算作用动能 EA/（kg∙m2∙s−2） 3332283 B区域：爆炸冲击波做功近似转化为船壳板塑性变形能 不输入，用与A区域数值比对，直至EK=EA时止 14 动态极限应变 εm/% 0.2 钢板的极限应变是0.2% 不输入 15 计算极限应变 ε/% 0.2 C区域：此处计算得到临界极限应变 不输入 注：*以上计算方法适用于舱室跨度大于7 m，爆距小于9 m。
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表 3 典型TNT装药当量爆炸破坏10 m跨度隔舱6 mm厚度舷板的计算结果
Table 3. Calculation results of equivalent explosion damage of typical TNT charge to 10 m span compartment and 6 mm thick sideboard
爆距/m 典型TNT当量条件下的破口半宽/m 350 kg 267 kg 240 kg 170 kg 9 0.92 0.87 0.81 0.76 11 0.66 0.61 0.56 0.51
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表 4 典型TNT装药当量爆炸破坏10 m跨度隔舱8 mm厚度舷板的计算结果
Table 4. Calculation results of equivalent explosion damage of typical TNT charge to 10 m span compartment and 8 mm thick sideboard
爆距/m 典型TNT当量条件下的破口半宽/m 350 kg 267 kg 240 kg 170 kg 9 0.68 0.63 0.63 0.53 11 0.48 0.43 0.43 0.39
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表 5 7 m以内跨度6 mm厚度舷板隔舱典型TNT装药当量爆距1 m破坏的计算结果
Table 5. Calculated damage results of typical TNT charge equivalent explosive distance of 1 m with span of 6 mm and the thickness of the bulkhead compartment within 7 m
隔舱跨度/m 典型TNT当量条件下的破口半宽/m 350 kg 267 kg 240 kg 170 kg 7 3.15 3.11 3.08 3.03 6 2.79 2.76 2.75 2.71 5 2.41 2.40 2.39 2.36
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表 6 7 m以内跨度8 mm厚度舷板隔舱典型TNT装药当量爆距1 m破坏的计算结果
Table 6. Calculated damage results of typical TNT charge equivalent explosive distance of 1 m with span of 8 mm and the thickness of the bulkhead compartment within 7 m
隔舱跨度/m 典型TNT当量条件下的破口半宽/m 350 kg 267 kg 240 kg 170 kg 7 3.07 3.01 2.99 2.9 6 2.76 2.72 2.71 2.64 5 2.42 2.39 2.38 2.34
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表 7 运用经验公式和两步迭代法的计算结果比较
Table 7. Comparison of calculation results between the empirical formula and the two-step iterative method
案例 运用吉田隆经验公式计算破坏半径 运用两步迭代法计算破坏半径 罗伯茨号 2.77 m 2.63 m 科尔号 3.29 m（装药181 kg）/4.07 m（装药317 kg） 5.07 m（装药181 kg）/5.67 m(装药317 kg)
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