Exploration of experimental study on constitutive relations of pulse waves
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摘要: 脉搏波本构关系决定着脉搏波的传播特征。如何通过实验研究来确定脉搏波本构关系，以及如何通过这些方法从现有文献数据来获得脉搏波本构关系，是当前研究的核心之一。本文中探索了3个可行途径：(1)由实测脉搏波波速对压力的关系C(p)进行反分析（无创法）；(2)直接对脉搏波p-V本构关系进行实测（有创法）；(3)由一系列实测脉搏波波形进行Lagrange反分析（无创法）。采用上述方法，根据现有文献数据，发现由C(p)关系的Rogers-Huang简化式可推得指数型p(V)本构关系；由MK-Hughes式可推得对数型p(V)本构关系。脉搏波传播特性随非线性本构参数发生显著变化。按中医体质分类观点，相应的脉搏波本构关系原则上也有不同类型，因人而定。在这个意义上，脉搏波的Lagrange反分析具有广阔发展前景，但它对正确选择测点和提高测量敏感性和精度等方面提出了更高要求。Abstract: The pulse wave constitutive relation determines propagation characteristics of pulse wave. How to determine it through experimental studies, and how to obtain it from the existing literature data through these methods, is one of the cores of the current research. Three feasible approaches were explored: (1) inverse analysis of the relationship C(p) (non-invasive method), (2) direct measurement of pulse wave p-V relationship (invasive method), and (3) Lagrange inverse analysis of a series of measured pulse wave (non-invasive method). By using the above methods and according to the existing literature data, it is found that the exponential p(V) constitutive relation can be deduced from the Rogers-Huang simplified formula of C(p) relation. The logarithmic p(V) constitutive relation can be deduced from the MK-Hughes equation. Pulse wave propagation characteristics vary significantly with nonlinear constitutive parameters. According to the viewpoint of body constitution classification in traditional Chinese medicine (TCM), the corresponding constitutive relation of pulse wave also has different types in principle, depending on people. In this sense, the Lagrange inverse analysis of pulse wave has a broad development prospect, but it puts forward higher requirements on the correct selection of measurement points and improving the sensitivity and accuracy of measurement.
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地下爆炸广泛应用于工业、农业和国防等领域。因此，有关地下介质的爆破破碎机理、爆炸波数值模拟、地震波传播特征和地震效应等，已经进行了大量研究[1-10]。尤其是地下爆炸发生的地震效应, 虽然爆炸地震和天然地震的形成机理存在很大差别，但是他们都激发地震波，引起地震动，对地表和人类工程建筑物造成破坏，在某种程度上，破坏效果是类似的。而造成地震破坏效应的强弱主要取决于爆炸激发的地震波引起的地介质质点运动参数大小。因此，有关地下爆炸引起的地震波传播规律、介质质点运动参数计算方法，一直备受关注。
本文中，基于第四纪砂砾层中小当量(即当量在公斤级至百公斤级范围)的封闭爆炸的观测资料，针对波形中优势横波进行分析处理，分析爆炸地震波水平与垂向质点速度随当量和距离变化，并对几种模型在描述观测数据方面的残差进行分析对比，确定描述第四纪砂砾层介质的地震波质点运动速度模型。
1. 数学模型
介质的质点运动参数与爆炸当量、方式、源区介质和观测距离等众多因素有关。一般地, 爆炸当量越大, 激发的地震波就越强, 爆炸封闭越好, 爆炸能量耦合到介质中能量越高。爆炸能量耦合到介质中的比例(即能量耦合系数)主要和爆炸方式及爆炸所处的介质等因素有关。学者建立数学模型时，对地下封闭爆炸和抛洒爆炸、岩石与土层分别研究，从而大大简化了模型，使数学模型更有实用性[5]。归结起来，现有模型主要有以下几种。
(1) Sadauskas模型。Sadauskas模型[5]的地下爆炸质点速度为：
v=K(3√WR)α (1) 式中：质点速度v的单位为cm/s，当量W的单位为kg，距离R的单位为m。对于岩石，K=50，对于土壤，K=200，α=1~2。
(2) 显函模型。谢毓寿等[10]基于炸药量为0.05~2.0 kg TNT、距离在35~404 m范围内的数据，确定了振动质点速度为：
lgv=K0+αlgW+βlgR 上式可改写为：
v=KWαRβ (2) 式中：K=10K0，对于坚硬岩石，K0=2.2~2.6，α=0.60，β=1.80。
双极模型。用Sadauskas模型参数计算时，先计算比例距离，并且规定恒定的指数。而用显函模型计算α、β时，要基于较多样本参量，且需要各次爆炸空间位置不变等条件，否则将带来一定数据误差。为解决这个问题，双极模型[6]被提了出来。该模型在计算模型参数时不同于传统的上述两个模型计算方法，而是在一定当量指数变化区间内，查找最合适参数，使模型预测数据和实测数据具有更高的一致性。质点速度为：
v=K(WαR)β (3) 式中：对于黄土层，K为0.40，α为2.0，β为2.3。
2. 实验与检测
2.1 场地介质
野外爆炸实验场地相当开阔, 地形没有明显起伏，地面十分平坦。整个场地未见坚硬基岩，出露的地层为第四纪冲积层，为砂砾石混合体，砾石大小不一，多数砾石呈现长椭球和不规则形状，具有较低的磨圆度和筛选度。在地表以下至6 m之间，砂砾层中含砂比例较高, 6 m以下直至20 m深处, 砂砾层中含砂比例明显降低。实验场地构造相对简单，未发育大的断裂构造。砂砾石混合体结构十分松散，地表仅被一些植物稀疏覆盖，宏观上为一片植被不甚发育的荒漠区域。
2.2 检测仪器与布设
所用的检测地震波仪器是短周期型LE-3Dlite，机电换能灵敏度为400V/(m·s-1), 检波器噪声很低，能够检测1~80 Hz范围内的振动信号。该地震检波仪器为三分向组合体，可以在三维方向检测地震波质点振动幅值。
地表出露的为第四纪砂砾层，地势比较平坦。在爆炸点周围不同方向，距离在0.5~5 km范围内，布设了十几个地震波检测点，爆炸源与检测点分布如图 1所示。
系列爆炸源主要为20、100和300 kg的TNT炸药，从地表向下开挖约20 m深井，将炸药放在井底部，然后用挖出来的砂砾石进行回填，增强爆炸能量耦合，提高弹性能在爆炸能量中的比例。
3. 测量结果
3.1 测量概况
为确定本底噪声，在E1台站记录信号前截取了20s的数据。其本底波形比较稳定，振幅大约为0.5 μm/s，傅立叶振幅从低频到高频渐渐降低，最大傅立叶振幅为零频极限值，优势频带主要限制在3 Hz以下。针对这次实验布设十几个观测点，均记录到了良好的数据。地震波形持时很短，仅为数秒钟，两个水平方向的地震波形，在振动幅值大小、包络线形态和波形持时方面具有较好的一致性，而垂向和水平向波形在上述几方面明显不同，波形振幅远强于水平向振幅。随着距离增大，波形复杂性明显增加，如图 2所示。
3.2 质点运动速度
实验所用的LE-3Dlite地震计，能够测量东西、南北和垂向3个方向的地运动数据，通过灵敏度换算，可以直接得出地运动质点速度ve、vn、vv。表 1为爆炸当量为300 kg爆炸实验部分观测点质点速度。根据表 1，质点水平速度ve与南北速度vn互有大小，ven为水平均值，均大于垂直速度。统计上ve大于vn，垂向vv小于任意水平上幅值。数据表明，爆炸激发的地震波，水平上振幅强于垂向振幅。
表 1 300 kg实验部分观测点质点速度Table 1. Partial observation data of 300 kg explosion台站 R/km ve/(μm·s-1) vn/(μm·s-1) vv/(μm·s-1) ven/(μm·s-1) W2 1.038 0 288.00 619.29 179.55 453.65 W3 1.599 3 126.17 119.70 99.95 122.94 W4 2.144 7 170.35 92.06 51.20 131.20 W5 2.980 6 49.70 33.14 31.43 41.42 W6 4.967 7 13.10 8.73 4.77 10.92 E1 0.521 6 1 172.70 1 227.42 361.80 1 200.10 E3 1.151 8 221.67 122.48 96.97 172.08 E4 1.844 2 61.54 141.97 48.56 101.75 4. 模型确定
4.1 Sadauskas模型
根据式(1)，基于一系列小当量地下爆炸不同观测点的距离和相应地表质点速度，先计算各观测点的数据 3√W/R ，然后，采用最小二乘法，进行回归计算。本文中对水平向质点速度vh和垂直向质点速度vv进行处理和回归，计算结果显示：水平向的线性相关因子0.960，残差0.245，模型中α为2.37，K为3.81；垂向的线性相关因子0.938，残差0.297，模型中α为2.26，K为2.28。拟合曲线如图 3所示，于是Sadauskas模型为：
{vh=3.81(3√WR)2.37vv=2.28(3√WR)2.26 (4) 根据上述回归参数，水平向质点速度相对于垂向质点速度，随3√W/R增长比垂直向快，二者的线性相关性更强。
4.2 显函模型
式(2)是距离R、W的二元函数，该式反映了地介质质点速度随距离增加而衰减、随当量增长而增长的关系，随距离的衰减指数可以通过一次实验不同距离的检测点速度计算确定，而随当量的指数可以通过同一观测点不同当量的实验数据得出。由于地下介质的复杂性，存在介质能量吸收和球面扩散作用，地震波在传播过程中，能量逐渐消耗，地震波幅值随着距离增加发生衰减，不同介质中衰减指数是不同的。本文中采用最小二乘法，对地震波的水平和垂直数据进行了回归计算，其计算结果如图 4所示。
图 4 质点速度与当量、距离的拟合曲线Figure 4. Relation between particle velocities and yields distances图 4(a)为质点水平速度与距离的拟合曲线。图中3种不同当量爆炸的拟合曲线大致是平行的，距离指数为-2.07，相关系数为0.97。图 4(c)为质点垂直速度与距离拟合曲线, 距离指数为-1.57，相关系数为0.99。二者相比，质点垂直速度相比于水平速度，与距离的相关性更强。图 4(b)为质点水平速度与当量拟和曲线。图为20~300的4次爆炸，在0.51、1.03和4.99 km的距离测点上的数据拟和曲线，这几条曲线大致是平行，但存在一定差别，当量指数约为1.09，相关系数为0.99。图 4(d)为质点垂直速度与当量拟合曲线, 当量指数为0.77，相关系数为0.97。于是显函模型为：
{vh=1.79W1.09R−2.07vv=2.82W0.77R−1.57 (5) 4.3 双极模型
由于爆炸激发的质点振动参数和爆炸当量正相关，随着当量增大而增大，且呈显出指数增长关系。双极模型参数测定完全不同于传统的Sadauskas模型和显函模型模型测定方法，采用区间寻优方法，确定最佳的当量指数[4]。具体计算时，首先，给定一个当量指数，计算与距离的比值，利用最小二乘法进行回归计算，得出模型参数，采用模型反演质点速度数据，并和实测数据进行对比，确定实测和反演数据之间的残差值。然后, 用一定的步长，选择下一个当量指数，计算残差，步长越小，计算的结果越细致，但计算量也越大。将选定的区间内所有点计算完毕，从所有计算残差列表中选取最小残差所对应的参数，即为速度模型参数。本文中在1.0至2.5之间采用0.05步长进行计算，部分计算结果见表 2，如图 5所示。α、β、b、γ和σ分别表示当量开方次数、比例距离指数、回归截距、相关系数和残差。
表 2 双极模型部分计算数据Table 2. Partial calculating data from double extreme modelα βh bh γh σh βv bv γv σv 1.70 1.891 4 0.141 0 0.976 4 0.188 7 1.760 8 -0.289 8 0.930 0 0.314 2 1.80 1.957 6 0.078 7 0.978 7 0.179 6 1.827 1 -0.235 7 0.934 5 0.304 1 1.90 2.017 4 -0.016 3 0.980 0 0.174 1 1.887 5 -0.181 2 0.938 1 0.296 1 2.00 2.071 2 0.045 6 0.980 5 0.172 0 1.942 4 -0.126 6 0.940 7 0.289 9 2.10 2.119 4 0.106 5 0.980 2 0.173 0 1.992 1 -0.072 6 0.942 6 0.285 4 2.20 2.162 6 0.166 2 0.979 4 0.176 5 2.036 9 -0.019 3 0.943 8 0.282 5 2.30 2.201 1 0.224 3 0.978 1 0.182 1 2.077 3 0.033 0 0.944 3 0.281 1 2.40 2.235 3 0.280 8 0.976 3 0.189 2 2.113 5 0.084 0 0.944 4 0.280 9 2.50 2.265 6 0.335 6 0.974 2 0.197 4 2.146 1 0.133 6 0.944 1 0.281 8 2.60 2.292 4 0.388 4 0.971 7 0.206 4 2.175 2 0.181 8 0.943 3 0.283 6 
图 5 双极模型质点速度残差与距离曲线Figure 5. Curves on particle velocities and remains from double extreme model根据表 2，水平向在当量指数1.7至2.0区间内，反演与实测数据之间的残差，从开始的逐渐减小，到2.0时达到极小值，为0.172，从2.0到2.6之间又逐渐回升增大。整个曲线为凹向上形态，如图 5(a)所示。而相关系数在在2.0达到极大值，相关性最强。垂直向在当量指数2.4时，同时达到残差最小和相关系数最大。残差变化如图 5(b)所示。图 5(c)~(d)为水平与垂直向质点速度拟合曲线。双极模型为：
{vh=1.11(W1/2.0R)2.07vv=1.21(W1/2.40R)2.11 (6) 5. 模型分析
Sadauskas模型中，质点水平向与垂向速度随3√W/R变化的指数分别为2.37和2.28，相关系数分别为0.960和0.938。数据表明，质点速度和3√W/R相关性是比较强的。
显函模型中，采用固定系列爆炸位置，确定质点速度随当量增大指数。事实上，爆炸位置尽管变化不大，但每次的地下爆炸不能完全重复，各爆炸位置之间依然有数十米的距离。严格来讲，位置不变，工程上是难以实现。因此当量指数测定存在一定误差。水平质点速度的当量指数具有一定分散性，均值为1.09、20~300 kg的质点速度随距离的衰减指数，一致性比较好，均值为-2.07。垂直向质点速度的当量指数为0.77、20~300 kg的质点速度随距离的衰减指数在-1.55至-1.58之间，均值为1.57。距离衰减指数相对于当量增长指数，精度要高得多。
双极模型中，水平与垂直向质点速度当量的指数分别是1/2.0和1/2.4，其残差分别0.172和0.280。而Sadauskas模型的水平与垂直向速度的残差分别为0.245和0.297，显函模型的水平与垂直向速度的残差分别为0.171和0.300。双极模型与Sadauskas模型和显函模型相比，在反演或预测质点速度参数方面，更加接近实际数据。
6. 结论
在第四纪砂砾介质中进行了公斤至百公斤级系列地下封闭爆炸，通过对0.5~5.0 km范围地震波测量和数据分析，得出如下结论。
地震波水平振幅强于垂向振幅, 质点速度随当量呈现指数增加，水平指数为1.09，垂直指数为0.77，质点速度随距离呈现指数衰减，水平指数为2.07，垂直指数为1.57。Sadauskas模型、显函模型和双极模型都能够描述小当量地下爆炸地震波质点速度。反演计算结果显示，双极模型的残差最小，显函模型次之，Sadauskas模型最大。换言之，采用双极模型反演的数据更加接近实际。
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图 1 波速C取决于本构方程p-V曲线的局部斜率（dp/dV）
Figure 1. The wave velocity C depends on the local slope (dp/dV) of the p-V curve
图 2 RH简化式（式(7b)）与RH模型（式(7a)）和文献实测舒张压数据的比较
Figure 2. Comparison of the RH simplified formula (Eq.(7b)) with the RH model (Eq. (7a)) and the measured diastolic blood pressure (DBP) literature data
图 3 不同情况下RH简化式（式(7b)对应的p-V曲线
Figure 3. p-V curves for the RH simplified formula (Eq. (7b)) under different conditions
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