Numerical simulation study on the mechanism and characteristics of high-speed water entry of hollow projectiles
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摘要: 为分析空心弹高速入水的机理及其特性，基于雷诺时均Navier-Stokes方程、VOF（volume of fluid）多相流模型、Realizable k-ε湍流模型，引入Schnerr-Sauer空化模型和重叠网格技术对空心弹高速入水进行数值模拟研究，获得了通孔孔径和头部形状对空心弹的空化特性、空泡形态和入水运动特性的影响规律。研究显示数值计算的空泡形态和入水速度、位移曲线与实验结果吻合较好，验证了数值模拟方法的可行性。结果表明：当通孔孔径不同时，通孔孔径越大，空化现象越明显，通孔射流越长，但对空泡半径的影响不大；通孔孔径越小，空泡闭合时间越早，与水面碰撞产生的阻力系数峰值越高，空心弹入水稳定后其阻力系数也越大；无量纲直径在0.575~0.600之间时，空心弹的运动最为稳定。当头部锥角不同时，头部锥角越大，空泡直径越大，空化现象出现得越晚，但空化生成的速度更快；随着头部锥角的增大，阻力系数变大，空心弹的速度衰减变快，相同时间运动的距离较短；头部锥角越大，俯仰角的变化越小，空心弹的运动越稳定。Abstract: To analyze the mechanism and characteristics of high-speed water entry of hollow projectiles, a numerical simulation study of the high-speed water entry of the hollow projectiles was carried out based on the Reynolds average Navier-Stokes equation (RANS), the volume of fluid (VOF) multi-phase flow model, the realizable k-ε flux model, the Schnerr and Sauer aeration model, the six-degrees-freedom (6-DOF) motion simulation method, and the overlapping grid technology. The effects of through-hole aperture and head shape on the cavitation characteristics, cavity morphology, and water entry kinematic properties of the hollow projectile were obtained. The effectiveness of the calculation method was verified by comparing it with the water entry experiment. The results show that the numerically calculated cavity morphology and water entry velocity and displacement curves are in good agreement with the experimental results, which verify the effectiveness of the numerical simulation method. When the through-hole aperture is different, the larger the through-hole aperture, the more pronounced the cavitation phenomenon and the longer the through-hole jet, but the effect on the radius of the cavity is not significant. The smaller the through-hole aperture, the earlier the closure time, the higher the peak drag coefficient resulting from impact with the water surface, and the greater the drag coefficient after the hollow projectile has stabilized in the water. The movement of the hollow projectile is most stable when the dimensionless diameter is between 0.575 and 0.600. When the head cone angle is varied, the larger the head cone angle, the larger the diameter of the cavity, and the later the cavitation phenomenon begins, but the faster the cavitation is generated. As the head cone angle increases, the drag coefficient becomes larger and the velocity of the hollow projectile decays faster, moving a shorter distance at the same time. However, the larger the head cone angle, the smaller the change in pitch angle and the more stable the motion of the hollow projectile.
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Key words:
- hollow projectile /
- cavity evolution /
- high-speed water entry /
- motion characteristics
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在持枪作案、恐怖袭击等案件或事故的调查中，经常需要对现场进行弹道重建[1-2]。而木材是城市中家具制作和建筑结构中的常用材料，弹丸对木材的冲击试验是弹道重建研究中的一种重要技术手段，试验中靶板上留存的弹坑深度或弹头穿透靶板的能量损耗可以对射击位置和射击角度的判定提供依据[3-4]。科研工作者针对装甲毁伤以及防护工作进行过大量的弹丸或破片高速冲击试验[5-8]，木质靶板在侵彻试验中应用较少。木制材料中25 mm厚松木靶曾被看作人员模拟靶[9]；法医和刑侦人员针对弹道重建进行过一些其他木质材料的侵彻试验，通过记录子弹轨迹，可以使研究人员更好地理解所发生事件的性质和顺序。当前的研究主要集中在临界跳弹角和跳弹或穿孔后弹头的偏斜[10-12]。其中，Kerkhoff等[10]采用2种口径的手枪弹对4种不同密度的木材进行过弹道侵彻试验，研究发现，弹头发生跳弹的临界角度与弹头口径和木材特性相关，并且弹头发生跳弹的临界角度与木材的密度和硬度存在极强的线性关系；Mattijssen等[13]对石膏板、中密度板和金属板进行了不同角度的侵彻试验，提出根据靶板厚度以及材料特性应选用合适的测量方法，以减小系统误差，提高测量的准确度和精确度，其中探针法、椭圆法和带入法三种测量方法最为常见。考虑到木材中，中密度板（medium density fiberboard, MDF）是一种廉价的建筑材料，广泛应用于家具、橱柜和其他室内建筑。因此，开展手枪弹侵彻MDF的弹道特性研究可以为涉枪案件的快速侦破提供数据支撑。
本文中以MDF为研究对象，通过开展不同速度、不同弹着角手枪弹侵彻MDF的试验，获得弹头侵彻MDF的深度、弹头入射速度和出射速度等关键信息，并对试验结果进行分析，建立弹头侵彻密度板的数值仿真模型，进一步分析弹头侵入MDF后的弹道特性。
1. 试 验
1.1 试验装置及方法
试验装置由9 mm弹道枪、不同装药量的9 mm手枪弹、厚度为25 mm的MDF和靶架（靶架角度可调节）组成，其中弹头质量为8 g。试验中通过光幕靶和高速摄影分别获得弹头的入射速度（v1）和出射速度（v2）。试验时靶板距离枪口10 m，手枪弹射击距离较短时（9～18 m），弹道轨迹可看作是一条直线，出枪口到MDF的距离始终相等，因此每发试验弹着点具有一致性。
1.2 试验数据
表1为手枪弹侵彻MDF试验的有效数据，表中：θ为着靶角度，P1为靶板厚度方向上弹头侵彻密度板的深度，ΔE为弹头贯穿或者嵌入MDF状态时弹头损失的能量。
表 1 弹头侵彻中密度纤维板的试验数据Table 1. Tested data of bullet penetrating medium density fiberboard试验 θ/（°） v1/（m·s−1） v2/（m·s−1） P1/mm ΔE/J 试验编号 θ/（°） v1/（m·s−1） v2/（m·s−1） P1/mm ΔE/J 1 90 395 343 25.00 153.5 11 90 56 0 3.57 12.5 2 90 250 189 25.00 107.1 12 90 43 0 2.42 7.5 3 90 221 154 25.00 100.5 13 60 385 331 25.00 153.5 4 90 212 143 25.00 98.0 14 60 214 151 25.00 92.0 5 90 177 95 25.00 89.0 15 45 384 322 25.00 175.1 6 90 170 94 25.00 80.3 16 45 205 122 25.00 108.6 7 90 132 19 25.00 68.3 17 30 372 283 25.00 233.2 8 90 111 0 13.80 49.3 18 30 245 121 25.00 60.1 9 90 95 0 10.80 36.1 19 30 201 0 9.72 0 10 90 92 0 9.34 34.1 20 30 86 0 0 0 由表1可知，弹头正侵彻厚度为25 mm的MDF时，穿透状态下，弹头的剩余速度和能量损失量与入射速度均为正相关性；弹头嵌入中密度板时，嵌入深度与入射速度为正相关性。其中入射速度为111、95、92 m/s时，P1分别为13.8、10.8、9.34 mm；入射速度为56 m/s和43 m/s时，密度板表面分别留存3.57 mm和2.42 mm深度的弹坑。
试验7中，弹头穿透MDF后剩余速度为19 m/s，共损失了68.3 J能量，弹头剩余能量为1.44 J。试验8中，弹头穿深为13.8 mm，能量损失为49.3 J。这表明，弹头正侵彻25 mm厚MDF时极限穿透速度介于111 m/s和132 m/s之间，并且更靠近132 m/s。试验19中，弹头最大侵彻深度为9.72 mm，弹头在密度板表层滑移一段距离后，最终产生跳弹现象。试验20中，直接产生跳弹现象，密度板表面存在轻微擦痕。这表明，弹头速度降低和着靶角度减小均会引起跳弹现象，弹头着靶角度减小相比速度降低致使跳弹现象发生的概率更大。
部分MDF受损伤区域如图1所示：图1(a)中，弹头高速穿透MDF，MDF背面出现脱落，损伤区域呈圆形，但损伤面积较小；图1(b)中，MDF背面出现较大区域的隆起和部分脱落的现象，这是由于弹头穿深较大或者刚刚穿透MDF时，MDF上出射面弹孔区域承受拉伸作用；图1(c)中，弹头嵌入MDF的深度为9.34 mm，MDF背面未见损伤。
弹头正侵彻且穿透MDF时剩余速度与入射速度拟合曲线和弹头能量损失量与入射速度拟合曲线分别如图2和图3所示。
由图2可知，弹头的速度不高于250 m/s时，速度降接近常数；弹头速度为395 m/s时，弹头的速度降减小。由图3可知，弹头正侵彻且穿透25 mm厚MDF的情况下，能量消耗量与入射速度表现出线性相关性。经由Origin软件拟合得出，弹头穿透密度板的情况下，能量损失量与入射速度之间经验公式为：
ΔE=0.3175v1+28.893 (1) 式中：ΔE为弹头损失的能量，J；v1为入射速度，m/s。
侵彻力学中，Poncelet阻力模型[14]应用较广泛，其中侵彻阻力主要基于牛顿第二定律，弹头侵彻木板过程中的侵彻阻力公式为：
mdvdt=F=−β−αv2 (2) 式中：m为弹头质量，v为特定时刻t的瞬时速度；F为t时刻的侵彻阻力，β为靶板材料的强度参数，α为靶板的惯性应力。
由式（2）可推导出弹头侵彻木靶的侵彻深度(P)与弹头的着靶速度v0和特定时刻t的速度v之间的关系式为：
P=m2αln(β+αv20β+αv2) (3) 当α=0时，模型称作Robins-Euler模型，P与v0之间的关系式为：
P=mv202β (4) 在此模型中，弹头的速度降为常数。根据试验中弹头侵彻MDF的嵌入深度可求得：α=0.012 kg/m，β=3 342 kg·m/s2。因此，弹头侵彻MDF时，P（m）与弹头侵彻速度之间的关系式为：
P=13ln(3342+0.012v203342+0.012v2) (5) 根据侵彻阻力公式，弹头的速度较低时，靶板的强度项参数β占主要优势，这时的惯性项参数往往可以忽略；当弹头的速度较高时，弹头的惯性项参数αv2占主导地位。因此，当弹头最终嵌入密度板时，根据式（4）可知，弹头的能量损耗量与嵌入深度呈线性关系；且弹头低速穿透MDF时，弹头的速度降为常数。随着弹头速度增大，弹头的惯性项参数相比密度板的强度项参数不可忽略时，弹头的速度降减小。
2. 弹头侵彻MDF的数值模拟
2.1 数值模型与材料参数
选用LS-DYNA有限元软件开展数值模拟。使用Truegrid参数化建模构造弹头侵彻MDF的物理模型。调整参数化中网格的参数即可获得不同状态的物理模型。网格化的物理模型如图4所示。
弹头由钢芯、铅套、头壳组成，质量为8 g。MDF与弹头相比刚度较低，侵彻MDF过程中弹头不会发生变形。因此，数值模型中将弹头各部分视作刚体，材料模型选用*MAT_RIGID来表征。MDF呈交叉错落结构，结构均匀，各部方向性能基本相同，因此将MDF视作弹性体，材料模型选用*MAT_ELASTIC来表征。弹头各个结构以及MDF的材料参数如表2所示[15-17]，且MDF最大失效应力为0.1 GPa。
表 2 弹头以及中密度板的材料参数Table 2. Material parameters for bullet and medium density fiberboard结构 密度/（kg·m−3） 弹性模量/GPa 泊松比 弹头壳 7920 90 0.35 铅套 11340 17 0.42 钢芯 7800 201 0.30 中密度板 716.7 0.24 0.31 2.2 仿真判据
表3为弹头侵彻25 mm厚MDF时的部分试验与数值计算结果，表中v3为数值模拟中的剩余速度。
表 3 剩余速度试验与数值模拟结果Table 3. Tested and numerically simulated residual velocitiesθ/（°） v1/（m·s−1） v2/（m·s−1） v3/（m·s−1） v2/v1 v3/v1 误差/% 30 245 121 123 0.49 0.50 1.6 45 205 122 137 0.60 0.66 12.3 60 214 151 163 0.70 0.76 7.9 由表3可知，数值模拟所得剩余速度相比试验所得剩余速度略高。剩余速度的误差在15%以内。当弹着角为30°时，剩余速度的试验值与数值模拟结果之间的误差最小。弹着角为30°，试验中弹头入射孔和出射孔在密度板平面上的水平距离为80 mm，数值模拟中偏转的水平距离为82.6 mm。弹道轨迹如图5所示。
2.3 入射速度变化对侵彻过程的影响
弹着角为30°，入射速度分别选定为380、350、300、250 m/s。弹头偏转角度φ随时间的变化曲线如图6所示。
图 6 不同入射速度时偏转角随时间的变化Figure 6. Change of deflection angle with time at different incident velocities由图6可知，弹头开始侵入MDF时，均会向着靶角度减小的方向（负方向）偏转。这是由于弹头开始侵入MDF时，向负方向偏转所受的阻力相比原弹道方向阻力小。随着侵彻深度的增大，弹头向射出中密度板表面的方向偏转相比沿原来侵彻方向所受的侵彻阻力小，此时偏转角度向正方向增大。
弹头侵入中密度板后的负方向偏转角度与着靶的速度呈负相关性。弹头速度为300、350、380 m/s时，弹头射出中密度板时偏转角度小于2°。弹头速度为250 m/s时，弹头首先向负方向偏转16.8°，射出中密度板时向正方向偏转6.8°，弹头在中密度板内发生了大角度偏转。这表明，弹头高速穿透中密度板的过程中偏转角度始终较小；弹头低速穿透中密度板时，在侵彻过程中会发生大角度偏转。
2.4 弹着角变化对侵彻过程的影响
入射速度为300 m/s，弹着角分别为30°、45°、60°、75°和90°，弹头的剩余速度随弹着角的变化曲线如图7所示，且弹头侵彻MDF过程中弹头偏转角度随时间的变化曲线如图8所示。
图 7 入射速度为300 m/s时，剩余速度随着靶角的变化Figure 7. Change of residual velocity with landing angle at the incident velocity of 300 m/s
图 8 入射速度为300 m/s，不同弹着角时偏转角度随时间变化曲线Figure 8. Change of deflection angle with time at different landing angles in the case of the same incident velocity 300 m/s由图7可知，入射速度相同时，剩余速度随着靶角度减小而降低，而弹头速度降逐渐增大。当弹着角在75°～90°之间时，剩余速度变化较小。弹着角在30°～45°时，剩余速度变化最显著。剩余速度随着靶角度变化的曲线整体呈开口向下的半抛物线形状。入射速度为300 m/s时，弹头剩余速度v3与着靶角度θ之间的关系式为：
v3=272.39−212.07(e−θ/10.9789+e−θ/12.19+e−θ/13.418) 由图8可知，弹头正侵彻时，弹头侵入MDF过程中发生小角度偏转，射出MDF时偏转角度φ为0°。弹头侵彻过程中负方向偏转角度与弹着角呈负相关性。着靶角度不小于45°时，弹头负方向最大偏转角度为3°，弹着角为30°时，弹头向负方向偏转最大角度为8.5°。5种工况下弹头射出MDF时，射出角度均接近原初始着靶角度。这表明，当弹着角小于45°时，弹头侵彻MDF过程中易发生偏转。
当弹头偏转角度较大时，弹头容易产生跳弹现象。通过数值模型计算了弹头入射速度为370、300、250、200、150 m/s时发生跳弹的最大弹着角分别为14°、19°、24°、30°、39°。经过Origin软件拟合可得临界跳弹的着靶角度θ与着靶的速度v0之间的关系式为：
θ=81.7exp(−v0175)+4.214∘≤θ≤39∘ (6) 由此可得，此9 mm弹头侵彻25 mm厚MDF的临界跳弹角为14°。
3. 结 论
通过试验和数值模拟研究了某9 mm手枪弹侵彻中密度板（medium density fiberboard, MDF）的弹道特性，得到如下结论。
（1）弹头侵彻25 mm厚的MDF的过程中，侵彻深度（P，m）与着靶速度（v0，m/s）和剩余速度（v，m/s）之间的关系式为：
P=13ln(3342+0.012v203342+0.012v2) ；弹头穿透密度板的情况下，能量损失量（ΔE，J）与入射速度（v1，m/s）之间经验公式为：ΔE=0.3175v1+28.893。（2）弹着角在14°～39°时临界跳弹着靶角度（
θ ，°）与入射速度（v0，m/s）的关系式为：θ=81.7exp(−v0175)+ 4.2 。此9 mm弹头以370 m/s的速度侵彻25 mm厚的MDF时，临界跳弹角为14°。（3）弹头侵入MDF时，均会产生向负方向偏转现象；入射速度降低和弹着角减小均会使负方向偏转角增大，弹着角小于45°时，弹头侵彻MDF过程中更易发生偏转；弹头射出MDF时出现弹道转正现象。
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图 2 计算域和边界条件示意图
Figure 2. Schematic diagram of the calculation domain and boundary conditions
图 4 不同网格密度下速度、阻力变化曲线
Figure 4. Velocity and resistance variation diagrams for different grid densities
图 7 不同通孔孔径空心弹的空化效应
Figure 7. Cavitation effects of the hollow projectiles with different through-hole apertures
图 9 不同通孔孔径的空心弹射流长度的变化
Figure 9. Variation of jet length of hollow projectiles with different through-hole apertures
图 10 空心弹入水时刻0.055 ms时流体的压力和速度
Figure 10. Pressure and velocity of the fluid at 0.055 ms when the hollow projectile enters the water
图 11 不同通孔孔径空心弹的速度位移变化
Figure 11. Velocity and displacement variations for hollow projectiles with different through-hole apertures
图 12 不同孔径空心弹阻力系数
Figure 12. Resistance coefficients for hollow projectiles with different apertures
图 13 不同孔径空心弹俯仰角的变化
Figure 13. Variation of the pitch angles of the hollow projectiles with different apertures
图 14 不同无量纲直径下的俯仰角及其峰值
Figure 14. Pitch angle and its peak value at different dimensionless diameters
图 15 不同头型空心弹弹体周围网格
Figure 15. The grids around different head-shaped hollow projectiles
图 16 不同头型空心弹的空化效应
Figure 16. Cavitation effects of the hollow projectiles with different head types
图 17 不同入水时刻空心弹空泡形态对比
Figure 17. Comparison of cavity morphologies of hollow projectiles at different water entry moments
图 18 不同头型空心弹入水速度和入水位移变化
Figure 18. Velocity and displacement variation of hollow projectiles with different head types
图 19 不同头型空心弹入水阻力系数变化
Figure 19. Resistance coefficients of hollow projectiles with different head types
图 20 不同头型空心弹入水俯仰角的变化
Figure 20. Variation of the pitch angles of the hollow projectiles with different head types
表 1 空心弹模型参数
Table 1. Model parameters of hollow projectiles
弹丸模型 d1/mm d2/mm θ/(°) m/g rC/mm S/mm2 M1 1.6 4 60 13.215 14.535 36.474 M2 2 4 60 12.837 14.612 35.343 M3 2.4 4 60 12.412 14.773 33.961 M4 2.8 4 60 11.938 14.952 32.327 M5 2.4 4 120 12.528 14.151 33.961 M6 2.4 4 180 12.576 14.014 33.961 
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