Flexural damage assessment for UHPC panels under blast loadings
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摘要: 为构建爆炸荷载作用下超高性能混凝土（UHPC）板弯曲损伤等级评估的p-I（压力-冲量）曲线：采用条带法进行截面分析，建立了考虑UHPC材料拉/压软化和塑性铰影响的UHPC简支单向板的非线性抗力方程和等效单自由度（ESDOF）理论模型；通过与六炮次爆炸实验中UHPC板的挠度时程，以及UFC 3-340-02和FHWA规范推荐方法的计算结果对比，验证了本文理论模型的可靠性；基于验证的ESDOF模型，构建了评估UHPC板的不同弯曲损伤等级的p-I曲线并开展了参数影响分析，提出并验证了UHPC板弯曲损伤评估的p-I曲线经验公式。结果表明：提高混凝土强度等级和钢筋屈服强度、增加受拉钢筋配筋率和板厚，以及减小净跨均可提升UHPC板的抗爆性能。Abstract: To establish the p-I (pressure-impulse) diagram for flexural damage assessment of ultra-high performance concrete (UHPC) panels under blast loadings, cross-sectional analysis using the strip method was performed to establish the moment curvature relationship for simply supported one-way UHPC panels. This process involved considering the tensile/compressive softening of UHPC through the utilization of material constitutive models with softening properties and describing the strain rate effect of UHPC and reinforcement with the dynamic increase factor (DIF) that varies according to different strip layers. Subsequently, the nonlinear resistance function considering the effect of plastic hinge was developed, based on the moment curvature relationship and a simplified half-span symmetric beam model. Then, an equivalent single degree of freedom (ESDOF) theoretical model, adopting the nonlinear resistance function, was established and employed to predict the deflection-time histories of UHPC panels under explosions. The reliability of the above theoretical model was verified by comparing the predicted results with the deflection time histories of test UHPC panels in six shots of explosion tests. Additionally, the superiority of the proposed ESDOF model was proved by comparing with the corresponding calculation results obtained from the recommended methods using bilinear ideal elastic-plastic resistance functions based on the UFC 3-340-02 and FHWA codes. Furthermore, based on the verified ESDOF model, p-I diagrams for evaluating the flexural damage level of UHPC panels were established and parametric analysis was carried out. The results indicate that increasing the concrete strength grade, yield strength of reinforcement, tensile reinforcement ratio, and panel thickness, while reducing the clear span, are beneficial for the blast-resistant performance of UHPC panels. Finally, empirical formulae for p-I diagrams, taking into consideration the abovementioned influencing factors, were proposed and verified for assessing the flexural damage of UHPC panels. These formulae can serve as a valuable reference for evaluating blast-induced damage in UHPC panels.
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超高性能混凝土（ultra-high performance concrete, UHPC）因其优异的抗压和抗拉强度、断裂韧性、抗渗和耐久性，在结构抗爆领域具有广泛的应用前景。学者们针对爆炸荷载作用下UHPC板的动态响应和损伤破坏已开展了实验[1-4]和数值模拟[1-3, 5-6]研究工作。相比较而言，实验手段实施复杂且成本较高，数值模拟计算耗时长且需要开展大量的本构模型参数标定工作，而理论分析是一种更为简便且高效的手段。
理论分析中，等效单自由度（equivalent single degree of freedom, ESDOF）模型因其易于操作和计算已在相关规范中得到使用，如UFC 3-340-02[7]。此外，Silva等[8-9]将位移设计方法与ESDOF模型相结合，提出了一种用于评估未加固和加固两种RC板抗爆性能的分析方法，并通过与实验结果对比验证了该方法的可靠性。Jacques[10]采用ESDOF模型分析了爆炸荷载作用下未加固和碳纤维增强聚合物（carbon fiber reinforced polymer, CFRP）加固RC板的动态响应，基于截面分析获得了不同类型RC板的抗力方程，通过与实验中RC板的峰值挠度和峰值前的挠度时程对比，验证了建立的ESDOF模型的准确性。Maazoun等[11]采用双线性理想弹-塑性抗力方程和ESDOF模型准确地预测了未加固和CFRP加固RC板的峰值挠度，其相对误差范围为2%～14%。Schleyer等[4]指出传统的双线性理想弹-塑性抗力方程不能考虑构件屈服后的软化行为，基于静力弯矩-曲率实验数据建立了可描述UHPC板软化行为的抗力方程，并基于ESDOF模型预测了UHPC板在爆炸荷载作用下的挠度响应，峰值挠度预测值与实验吻合良好。
基于ESDOF模型，可得到构件的p-I (压力-冲量)曲线，用于快速评估爆炸荷载作用下构件的损伤等级。Wang等[12]基于三线性抗力方程和ESDOF模型，提出了爆炸荷载作用下固支单向RC板弯曲和剪切破坏模式的p-I曲线生成方法，并进一步评估了板跨、混凝土强度和配筋率对p-I曲线的影响。Liao等[13]采用基于双线性理想弹-塑性抗力方程的ESDOF模型获得了普通和高强RC梁的p-I曲线，验证了高强RC梁较普通RC梁更加优异的抗爆性能。陈柏锟[14]采用基于非线性抗力方程的ESDOF模型，建立了超高韧性水泥基复合材料板不同弯曲损伤等级的p-I曲线，提出了考虑材料强度、板跨和厚度等不同影响因素的p-I曲线经验公式。Hou等[15]采用传统的双线性理想弹-塑性抗力方程，基于ESDOF模型建立了预测UHPC简支板失效模式的p-I曲线。潘建军等[16]基于双线性抗力方程和ESDOF模型构建了考虑阻尼比、轴向力和高温效应的钢管UHPC柱弯曲破坏的p-I曲线，用于对火灾和爆炸荷载作用后钢管UHPC柱残余性能的损伤评估。
可以看出，现行规范[7]和已有ESDOF模型多采用双线性理想弹-塑性抗力方程，不能描述材料的非线性软化行为，无法准确预测UHPC板的挠度响应，尤其是爆炸荷载作用下的大变形挠度响应。此外，目前基于p-I曲线的损伤评估多集中于普通RC板，针对UHPC板的工作较少。因此，本文首先基于截面分析构建考虑UHPC材料拉/压软化和塑性铰影响的配筋UHPC板的非线性抗力方程和ESDOF理论模型；随后，基于已有三组UHPC板的抗爆实验，对ESDOF模型以及现行规范方法的适用性进行评估；进一步构建UHPC板不同弯曲损伤等级的p-I曲线，并开展混凝土强度等级、钢筋屈服强度、纵筋配筋率、板厚和净跨的参数影响分析；最后，构建考虑上述影响因素的p-I曲线经验公式并对其可靠性进行验证。
1. ESDOF模型建立
1.1 动力平衡方程
如图1(a)所示，ESDOF模型将具有分布质量和荷载的系统转化为等效集中质量的单自由度系统。在爆炸荷载作用下，其动力平衡方程为：
$$ {K_{\text{M}}}m\ddot \delta (t) + {K_{\text{L}}}C\dot \delta (t) + {K_{\text{L}}}R ( {\delta (t)} ) = {K_{\text{L}}}Ap(t) $$ (1) $$ {K_{{\text{LM}}}}m\ddot \delta (t) + C\dot \delta (t) + R ( {\delta (t)} ) = Ap(t) $$ (2) 式中：t为时间；
$ \delta (t) {\text{、}} \dot \delta (t) {\text{和}} \ddot \delta (t) $ 分别为ESDOF系统的位移（即试件的挠度）、速度和加速度；KM和KL分别为等效质量和等效荷载系数，KLM=KM/KL为荷载-质量转换系数；m、C、R(δ(t))和A分别为构件的总质量、黏性阻尼系数、抗力方程和受荷面积；p(t)为作用在构件上的爆炸压力荷载。对于爆炸荷载，如图1(b)所示，计算时通常忽略其负压段的影响，并基于等冲量原则将真实爆炸荷载简化为三角形荷载，其中pe和te分别为冲击波峰值反射压力和持时。表1给出了用于模型验证的三组爆炸实验中六块UHPC板对应的爆炸荷载的特征参数pe和te，其取值根据UFC 3-340-02规范[7]确定：对于远场爆炸，可认为结构表面爆炸荷载近似均布，简化爆炸荷载特征参数根据规范计算得到的峰值反射压力和反射冲量确定；对于近场爆炸，考虑结构表面爆炸荷载的不均匀分布，简化爆炸荷载特征参数根据规范计算得到的等效均布峰值反射压力和等效均布冲量确定。表 1 简化爆炸荷载特征参数Table 1. Characteristic parameters of simplified blast loadings1.2 UHPC板的非线性抗力方程
已有研究中，RC简支单向板的抗力方程较多采用图2所示的双线性理想弹-塑性抗力方程，图中δ和R分别为构件的挠度和抗力；δe、δm、δr1和δr2分别为弹性极限挠度、峰值挠度、考虑和不考虑刚度退化的残余挠度；Ku和ξ分别为卸载刚度和刚度退化因子；Ru和Ke分别为极限抗力和弹性刚度，对于均布荷载有Ru=8Mp/L，Ke=384EJ/5L3，其中Mp、L、E和J分别为RC板的极限弯矩、净跨、弹性模量和惯性矩。根据UFC 3-340-02[7]和FHWA-HIF-13-032规范[17]，可分别确定不考虑和考虑混凝土受拉性能的配筋UHPC板的极限弯矩：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{M_{\text{p}}} = {A_{\text{s}}}{f_{{\text{dy}}}}({h_0} - a/2)} \\ {a = {A_{\text{s}}}{f_{{\text{dy}}}}/(0.85{f_{{\text{dc}}}}b)} \end{array}} \right. $$ (3) $$ \left\{ \begin{array}{l} {M_{\text{p}}} = {f_{{\text{dt}}}}b(h - a)(3h - a)/6 + {A_{\text{s}}}{f_{{\text{dy}}}}({h_0} - a/3) \\ a = ({\rho _{\text{t}}}{f_{{\text{dy}}}} + {f_{{\text{dt}}}})h/({f_{{\text{dt}}}} + 0.0035{E_{{\text{UHPC}}}}a(h - a)) \end{array} \right. $$ (4) 式中：As为受拉钢筋的截面面积；h0为截面的有效高度，即受压纤维边缘到受拉钢筋中心的距离；a为混凝土受压区高度；b和h分别为构件的截面宽度和高度；ρt为受拉钢筋配筋率；EUHPC为UHPC的弹性模量；fdy、fdc和fdt分别为考虑应变率效应的受拉钢筋动态屈服强度、混凝土动态抗压和动态抗拉强度，可由对应的静态强度乘以相应的动态增强因子（dynamic increase factor, DIF）确定。根据UFC 3-340-02规范[7]，远场爆炸时混凝土和钢筋的DIF取值分别为1.19和1.17，近场爆炸时混凝土和钢筋的DIF取值分别为1.25和1.23。
为了更准确地描述UHPC构件的抗力行为，本文采用Jacques等[18-19]提出的理想半跨对称梁模型，基于截面分析建立考虑混凝土材料软化行为和塑性铰影响的非线性抗力方程。如图3所示，Jacques等[18-19]在计算爆炸荷载作用下简支RC构件的抗力时，把塑性铰等效为非线性转动弹簧，从而将真实构件简化为跨中带非线性转动弹簧的理想半跨对称梁模型，其荷载-挠度（w-δ）方程以及抗力R分别为[19]：
$$ \begin{gathered} \delta (x) = wx( - {x^3} + 2L{x^2} - {L^3})/(24EJ) - w{L^2}x/(8{k_{{\text{sp}}}}) \\ \left\{\begin{gathered} w = 8M/{L^2} \\ k_{{\text{sp}}} = M/\theta \\ \end{gathered} \right. \end{gathered} $$ (5) $$ R = 8M/L $$ (6) 式中：x为距端部支座的距离；w为均布荷载密度，N/m；L为简支构件的净跨；ksp为转动弹簧的割线刚度，由弯矩M和转角θ确定。由式(5)和式(6)可知，确定构件的非线性抗力方程需要得到构件的弯矩-转角（M-θ）关系。
本文采用如图4所示的条带法对配筋UHPC板进行截面分析，确定其弯矩-转角关系。图中，zi为第i个条带中心到截面高度中心y-y轴的距离，
$ {a_{\text{s}}} $ 和$ {a'_{\text{s}}} $ 分别为受拉/压钢筋中心到混凝土受压/拉区边缘的距离，$\phi $ 为截面曲率，$ {\bar \varepsilon _j} $ 为y-y轴处应变，$ {\varepsilon _{{\text{c}},i}} $ 为第i个混凝土条带应变，$ {\varepsilon _{\text{s}}} $ 和$ {\varepsilon '_{\text{s}}} $ 分别为受拉和受压钢筋的应变，$ {\sigma _{{\text{c}},i}} $ 为第i个混凝土条带应力，${\sigma _{\text{s}}}$ 和${\sigma '_{\text{s}}}$ 分别为受拉和受压钢筋的应力。计算时做如下假定：(1) 截面符合平截面假定，即截面在变形后仍为平面，应变沿截面高度线性分布，忽略剪切变形的影响；(2) 钢筋和混凝土为完美粘结，不考虑钢筋和混凝土之间的相对滑移。UHPC的单轴压缩应力（σc）-应变（εc）行为采用Naeimi[21]提出的三阶段曲线（图5(a)）描述，具体关系为：
$$ {\sigma _{\text{c}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f_{\text{c}}}\left\{ {{\beta _1}{\varepsilon _{\text{c}}}/[{\varepsilon _{{\text{cc}}}}({\beta _1} - 1 + \varepsilon _{\text{c}}^{{\beta _1}}/\varepsilon _{{\text{cc}}}^{{\beta _1}})} ]\right\} & \qquad{{\varepsilon _{\text{c}}} {\text{≤}} {\varepsilon _{{\text{cc}}}}}\\ {f_{\text{c}}}\left\{ {{\beta _2}{\varepsilon _{\text{c}}}/[{\varepsilon _{{\text{cc}}}}({\beta _2} - 1 + \varepsilon _{\text{c}}^{{\beta _3}}/\varepsilon _{{\text{cc}}}^{{\beta _3}})}] \right\} & \qquad {{\varepsilon _{{\text{cc}}}} {\text{＜}} {\varepsilon _{\text{c}}} {\text{≤}} {\varepsilon _{{\text{cd}}}}}\\ {\mu _{\text{d}}}{f_{\text{c}}}{{\text{e}}^{ - {k_1}}}{{^{\left[ {({\varepsilon _{{\text{cc}}}} - {\varepsilon _{{\text{cd}}}})/{\varepsilon _{{\text{cc}}}}} \right]}}^{^{{k_2}}}} & \qquad{{\varepsilon _{\text{c}}} {\text{＞}} {\varepsilon _{{\text{cd}}}}} \end{array}} \right. $$ (7) $$ \left\{ \begin{gathered} {\varepsilon _{{\text{cc}}}} = 2.54 \times {10^{ - 5}}\left( {{f_{\text{c}}} - 6.26{v_{\text{f}}}} \right) + 7.82 \times {10^{ - 5}}{v_{\text{f}}} \\ {\beta _1} = 1/\left[ {1 - {f_{\text{c}}}/({\varepsilon _{{\text{cc}}}}{E_{\text{c}}})} \right] \\ {\beta _2} = 3.096 - 0.094\;1{v_{\text{f}}} \\ {\beta _3} = 3.793 - 0.231\;4{v_{\text{f}}} \\ {\mu _{\mathrm{d}}} = 0.289 + 0.004{v_{\text{f}}} \\ {k_1} = 0.239\;2 + 0.011\;2{v_{\text{f}}} \\ {k_2} = 0.897\;5 - 0.061\;3{v_{\text{f}}} \\ \end{gathered} \right. $$ (8) 式中：fc、Ec和vf分别为UHPC的单轴抗压强度、弹性模量和纤维体积掺量，εcc和εcd分别为峰值应力对应的应变和软化段的转折点应变，μd为转折点应力与峰值应力之比，β1、β2、β3、k1和k2为曲线形状控制参数。
采用如图5(b)所示的三折线描述UHPC的单轴拉伸应力（σt）-应变（εc）曲线，其中三个特征点(εt, ft)、(ε1, ft1)和(εfrac, 0)根据实验数据或如下经验公式[22]确定：
$$ \left\{ \begin{gathered} {f_{\text{t}}} = 0.3{f_{\text{c}}}^{2/3} \\ {\varepsilon _{\text{t}}} = {f_{\text{t}}}/{E_{\text{c}}} \\ {\varepsilon _1} = 0.6{f_{\text{c}}}^{2/3}{l_{\text{f}}}/\left( {{d_{\text{f}}}{E_{\text{f}}}} \right) \\ {f_{{\text{t}}1}} = 0.3{f_{\text{c}}}^{2/3}{v_{\text{f}}}{l_{\text{f}}}/{d_{\text{f}}} \\ {\varepsilon _{{\text{frac}}}} = 0.02 \\ \end{gathered} \right. $$ (9) 式中：εt和ft分别为弹性极限应变和应力，ε1和ft1分别为二、三阶段临界点的应变和应力，εfrac为断裂应变，lf、df和Ef分别为钢纤维的长度、直径和弹性模量。
钢筋的本构采用图5(c)所示的双折线模型[23]，具体关系为：
$$ {\sigma _{\text{s}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{E_{\text{s}}}{\varepsilon _{\text{s}}}}&\qquad {{\varepsilon _{\text{s}}} {\text{≤}} {\varepsilon _{\text{y}}}} \\ {{f_{\text{y}}} + ({\varepsilon _{\text{s}}} - {\varepsilon _{\text{y}}}){E_{\text{t}}}}&\qquad {{\varepsilon _{\text{y}}} {\text{＜}} {\varepsilon _{\text{s}}} {\text{≤}} {\varepsilon _{\text{u}}}} \end{array}} \right. $$ (10) 式中：Es、fy、Et和εsu分别为钢筋的弹性模量、屈服强度、硬化模量和断裂应变，εy=fy/Es为钢筋的屈服应变。
与UFC 3-340-02规范[7]不同，本文对爆炸荷载作用下UHPC板截面各条带采用不同的DIF。UHPC的压缩和拉伸动态增强因子（分别记为γc和γt）分别根据Fib Model Code 2010[24]和文献[6]前期提出的经验公式确定
$$ {\gamma _{\text{c}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {\dot \varepsilon /{{\dot \varepsilon }_{{\text{c}}0}}} \right)}^{0.014}}}&\qquad {\dot \varepsilon {\text{≤}} 30{\text{ }}{{\text{s}}^{ - 1}}} \\ {0.012{{\left( {\dot \varepsilon /{{\dot \varepsilon }_{{\text{c}}0}}} \right)}^{1/3}}}&\qquad {\dot \varepsilon {\text{＞}} 30\;{{\text{s}}^{{{ - 1}}}}} \end{array}} \right. $$ (11) $$ {\gamma _{\text{t}}} = \left\{ \begin{array}{ll} {\left( {\dot \varepsilon / {{\dot \varepsilon }_{{\text{t}}0}}} \right)^{0.012}} &\qquad {\dot \varepsilon {\text{≤}} 32\;{{\text{s}}^{ - 1}}} \\ 2.899 \times {10^{ - 6}}{\left( {\dot \varepsilon /{{\dot \varepsilon }_{{\text{t}}0}}} \right)^{3/4}}&\qquad {\dot \varepsilon {\text{＞}} 32\;{{\text{s}}^{ - 1}}} \end{array} \right. $$ (12) 钢筋的动态增强因子为[25]
$$ {\gamma _{\text{s}}} = 1 + {\left( {\dot \varepsilon /40.4} \right)^{1/5}} $$ (13) 式中：混凝土的压缩和拉伸参考应变率
$ {\dot \varepsilon _{{\text{c}}0}} $ 和$ {\dot \varepsilon _{{\text{t}}0}} $ 分别取3×10−5和1×10−6 s−1。应变率$ \dot \varepsilon $ 由混凝土条带或钢筋中心到截面高度中心处y-y轴的距离d和曲率变化率$ \dot \phi $ 确定[26]：$$ \begin{array}{c}\dot{\varepsilon }=d\dot{\phi }=48d\dot{\delta }/\left(5{L}^{2}\right)\\ \left\{ \begin{array}{l}d=\left\{ \begin{array}{ll}\left|{{\textit{z}}}_{i}\right|&\qquad 混凝土条带\\ h/2-{a}'_{\text{s}}& \qquad 受压钢筋\\ h/2-{a}_{\text{s}}& \qquad 受拉钢筋\end{array}\right.\\ \dot{\delta }=I/m\end{array}\right.\end{array} $$ (14) 构件的弯矩-转角（M-θ）关系的计算步骤如下：
(1) 如图4所示，将构件截面划分为n条平行于y-y轴的条带，通过收敛分析确定条带高度为1 mm；
(2) 假定一个截面曲率
$\phi $ 以及位于截面高度中心h/2处y-y轴的应变$ {\bar \varepsilon _j} $ ；(3) 基于平截面假定，取拉应变为正，则第i个混凝土条带的应变
$ {\varepsilon _{{\text{c}},i}} $ 、受压钢筋的应变$ {\varepsilon '_{\text{s}}} $ 和受拉钢筋的应变$ {\varepsilon _{\text{s}}} $ 为$$ \left\{ \begin{gathered} {\varepsilon _{{\text{c}},i}} = {{\bar \varepsilon }_j} - {z_i}\phi \\ {\varepsilon '_{\text{s}}} = {{\bar \varepsilon }_j} - (h/2 - {a'_{\text{s}}})\phi \\ {\varepsilon _{\text{s}}} = {{\bar \varepsilon }_j} + (h/2 - {a_{\text{s}}})\phi \\ \end{gathered} \right. $$ (15) (4) 根据图5中混凝土和钢筋材料的应力-应变关系确定混凝土条带和钢筋的应力，并考虑其应变率效应，取压应力为负，拉应力为正，计算考虑应变率效应的第i个混凝土条带的应力fc,i、受压钢筋的应力
$ {f'_{\text{s}}} $ 和受拉钢筋的应力$ {f_{\text{s}}} $ $$ \begin{gathered} {f_{{\text{c}},i}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\gamma _{\text{c}}}{\sigma _{\text{c}}}({\varepsilon _{{\text{c}},i}})}&\qquad {{\varepsilon _{{\text{c}},i}} {\text{＜}} 0} \\ {{\gamma _{\text{t}}}{\sigma _{\text{t}}}({\varepsilon _{{\text{c}},i}})}&\qquad {{\varepsilon _{{\text{c}},i}} {\text{≥}} 0} \end{array}} \right. \\ {f'_{\text{s}}} = {\gamma _{\text{s}}}{\sigma _{\text{s}}}({\varepsilon '_{\text{s}}}) \\ {f_{\text{s}}} = {\gamma _{\text{s}}}{\sigma _{\text{s}}}({\varepsilon _{\text{s}}}) \\ \end{gathered} $$ (16) 随后，由混凝土条带面积bh/n、受压钢筋面积
$ {A'_{\text{s}}} $ 和受拉钢筋面积$ {A_{\text{s}}} $ 和相应应力计算第i个混凝土条带的轴力Nc,i、受压钢筋的轴力$ {N'_{\text{s}}} $ 和受拉钢筋的轴力$ {N_{\text{s}}} $ $$ \left\{ \begin{gathered} {N_{{\text{c}},i}} = {f_{{\text{c}},i}}bh/n \\ {N'_{\text{s}}} = {A'_{\text{s}}}{f'_{\text{s}}} \\ {N_{\text{s}}} = {A_{\text{s}}}{f_{\text{s}}} \\ \end{gathered} \right. $$ (17) (5) 计算截面轴力合力
$$ F({\bar \varepsilon _j}) = \sum\limits_i^n {{N_{{\text{c}},i}} + {N'_{\text{s}}}} + {N_{\text{s}}} $$ (18) 检查是否满足轴力平衡方程
$ F({\bar \varepsilon _j}) = 0 $ ，若满足，再根据弯矩平衡方程计算截面弯矩M$$ M + \sum\limits_{i=1}^n {{N_{{\text{c}},i}}} + {A'_{\text{s}}}{f'_{\text{s}}}(h/2 - {a'_{\text{s}}}) - {A_{\text{s}}}{f_{\text{s}}}(h/2 - {a_{\text{s}}}) = 0 $$ (19) 储存(M, ϕ)；若不满足轴力平衡方程，调整
$ {\bar \varepsilon _j} $ 并重复步骤(3)～(5)，直至满足轴力平衡方程，并进一步计算满足弯矩平衡方程的截面弯矩M；根据步骤(2)～(5)，循环求解满足平衡方程的不同(M, ϕ)组合；(6) 确定弯矩-曲率关系后，建立转角-曲率关系
$$ \theta = (\phi - {\phi _{\text{y}}}){L_{{\text{pl}}}}\qquad\qquad \phi {\text{≥}} {\phi _{\text{y}}} $$ (20) 式中：ϕy为屈服曲率，Lpl为塑性铰长度，取为截面的有效高度[19]；根据式(20)确定构件的弯矩-转角关系；随后，根据式(5)和式(6)建立构件的非线性抗力方程，即抗力（R）-挠度（δ）关系。
1.3 荷载-质量转换系数及黏性阻尼系数
求解动力平衡方程（式(2)）还需考虑荷载-质量转换系数和构件的黏性阻尼系数。与UFC 3-340-02规范[7]仅采用弹性和塑性两个荷载-质量转换系数不同，本文考虑了荷载-质量转换系数KLM随挠曲变形的变化：
$$ \left\{ \begin{gathered} {K_{\text{M}}} = {{\int_0^L {m(x){\varphi ^2}(x){\mathrm{d}}x} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\int_0^L {m(x){\varphi ^2}(x){\mathrm{d}}x} } {\int_0^L {m(x){\mathrm{d}}x} }}} \right. } {\int_0^L {m(x){\mathrm{d}}x} }} \\ {K_{\text{L}}} = {{\int_0^L {p(x)\varphi (x){\mathrm{d}}x} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\int_0^L {p(x)\varphi (x){\mathrm{d}}x} } {\int_0^L {p(x){\mathrm{d}}x} }}} \right. } {\int_0^L {p(x){\mathrm{d}}x} }} \\ {K_{{\text{LM}}}} = {K_{\text{M}}}/{K_{\text{L}}} \\ \end{gathered} \right. $$ (21) 式中：m(x)和p(x)分别为沿构件长度方向的质量和荷载分布；
$ \varphi (x) $ 为构件的变形形状函数，由式(5)确定。构件的黏性阻尼系数C定义为
$$ C = {C_{{\text{cr}}}}\zeta = 2\sqrt {{K_{\text{e}}}m{K_{{\text{LM}}}}} \zeta $$ (22) 式中，Ccr为临界阻尼；
$ \zeta $ 为阻尼比，加载阶段取值为0.05，卸载阶段取值为0.3。1.4 数值求解
按前述方法，编程迭代求解得到构件的弯矩-曲率和弯矩-转角关系，并由弯矩-转角关系确定构件抗力-挠度和KLM-挠度关系，以UHPC-1为例，上述四种关系分别如图6所示。
图 6 非线性抗力方程的建立及荷载-质量转换系数与挠度关系Figure 6. Nonlinear resistance function and the relationship between KLM and deflection为进一步获得构件的挠度时程δ(t)，采用线性加速度法求解动力平衡方程（式(2)），加速度和速度项表达式为：
$$ \left\{ \begin{gathered} \ddot \delta = \left[ {\delta (k + 2) - 2\delta (k + 1) + \delta (k)} \right]/\Delta {t^2} \\ \dot \delta = \left[ {\delta (k + 1) - \delta (k)} \right]/\Delta t \\ \end{gathered} \right. $$ (23) 式中：δ(k)为第k个时刻的构件位移，Δt为相邻两个时刻的间隔。
2. 模型验证
本文基于表1中三组UHPC板爆炸实验，采用提出的ESDOF模型对配筋UHPC板的挠度时程进行预测和对比，并对UFC 3-340-02[7]和FHWA[17]规范推荐方法的可靠性进行评估。
2.1 Su等[1]实验
文献[1]对三块配筋UHPC板（UHPC-1、UHPC-2和UHPC-3）开展了比例距离为0.5～0.8 m/kg1/3的爆炸实验，试件的尺寸、配筋及材料特性等关键参数见表2，其中UHPC的单轴拉伸本构模型参数根据实验数据[27]确定，如图7所示。图8给出了不同爆炸工况下UHPC板的挠度时程预测曲线、基于UFC 3-340-02[7]和FHWA规范[17]推荐的双线性理想弹-塑性抗力方程的ESDOF模型预测挠度时程、实验数据和文献[1]中经验证的数值模拟结果。表3进一步给出了相应的峰值挠度。
表 2 UHPC板的尺寸、配筋及材料特性参数Table 2. Dimensions, reinforcement and material properties parameters of UHPC panels
图 8 UHPC板的预测挠度时程与实验/数值模拟结果对比Figure 8. Comparisons of predicted deflection-time histories and experimental/simulated results of UHPC panels表 3 ESDOF模型预测峰值挠度与实验/数值模拟结果对比Table 3. Comparisons of ESDOF model predicted and experimental/simulated maximum deflections实验 试件 实验值/mm 模拟值/mm UFC 3-340-02 FHWA 本文 预测值/mm 误差/% 预测值/mm 误差/% 预测值/mm 误差/% Su等[1] UHPC-1 27.86 27.44 27.73 −0.5 17.39 −37.6 26.42 −5.2 UHPC-2 − 38.90 41.89 7.6 24.92 −35.9 37.25 −4.2 UHPC-3 − 48.13 55.98 16.3 32.56 −32.3 47.67 −1.0 Li等[2] UHPC-D4 72 − 123.99 72.2 49.95 −30.6 73.11 1.5 Mao等[3] A 110 − 113.24 2.9 88.24 −19.8 111.44 1.3 B 210 − 193.32 −7.9 145.24 −30.8 213.46 1.6 从图8和表3可以看出：对于峰值挠度，采用基于UFC 3-340-02[7]的抗力方程时，由于忽略了混凝土的抗拉性能，导致其低估了UHPC板的峰值抗力，预测结果偏大，相对误差最大达到16.3%；FHWA方法[17]虽然考虑了混凝土受拉性能的影响，但未考虑材料的软化和塑性铰的形成等损伤行为，因此低估了构件的挠度响应，对峰值挠度的预测相对误差达−37.6%～−32.3%，对于设计偏于危险；采用本文基于非线性抗力方程的ESDOF模型时，对三种爆炸工况下UHPC板的峰值挠度值的预测均较为准确，相对误差为−1.0%～5.2%。
对于残余挠度，下文均仅针对本文建立的ESDOF模型的预测结果进行讨论。如图2所示，残余挠度是以峰值挠度为起点按照卸载路径计算获得，故影响残余挠度预测值的主要因素为卸载刚度。对于上述三块UHPC板，构件的损伤程度较低，卸载刚度Ku采用弹性刚度Ke（Ke取钢筋屈服时对应的刚度）即可较为准确地预测UHPC板的残余挠度。
2.2 Li等[2]实验
采用ESDOF模型分析Li等[2]的UHPC-D4板爆炸实验中的动态挠度时程，试件关键参数见表2。由于文献[2]中未给出UHPC的单轴拉伸性能参数，其三折线特征参数根据式(9)确定。图9对比了基于不同抗力方程的ESDOF模型预测得到的挠度时程曲线，表3对比了相应的峰值挠度。结果表明，UFC 3-340-02[7]推荐方法严重高估了UHPC板的峰值挠度（偏差为72.2%），而FHWA[17]推荐方法预测结果的相对误差为−30.6%。采用本文所建立的非线性抗力方程，峰值挠度预测结果的相对误差仅为1.5%。对于残余挠度，与2.1节不同，由于UHPC-D4产生了较大的损伤，将卸载刚度取为弹性刚度会高估构件的残余挠度，如图9中红色实线所示。适度考虑刚度退化，如卸载刚度取0.2Ke，可以准确地预测构件的残余挠度，如图9中蓝色实线所示。
图 9 UHPC-D4的预测挠度时程与实验结果的对比Figure 9. Comparisons of predicted and experimental deflection-time histories of UHPC-D42.3 Mao等[3]实验
采用ESDOF模型对Mao等[3]开展的UHPC板爆炸实验中的两块配筋UHPC板（试件编号为A和B）进行了挠度时程分析，试件的关键参数列于表2。图10和表3分别给出了实验和预测的UHPC板挠度时程和相应的峰值挠度。可以看出：UFC 3-340-02[7]规范预测结果高估了板A的峰值挠度，但较为显著地低估了板B的峰值挠度，其原因在于构件的损伤程度会随着挠度响应的增强而加剧，其抗力随之减小，而该规范未考虑构件的抗力衰减，导致其高估了大变形条件下UHPC板的抗力，从而低估了其挠度响应；FHWA[17]规范预测得到的板A和板B的峰值挠度相对误差分别为−19.8%和−30.8%；本文模型可以准确地预测两块UHPC板的峰值挠度，其相对误差分别为1.3%和1.6%。对于残余挠度，同2.2节，由于板A和板B均产生较大损伤，需适当考虑刚度退化才能获得与实验数据吻合的预测值。
图 10 UHPC板的ESDOF模型预测挠度时程与实验结果对比Figure 10. Comparisons of ESDOF model predicted deflection time histories and experimental results of UHPC panels综上，基于现有规范的ESDOF模型不适于预测爆炸荷载作用下的配筋UHPC板的峰值挠度。本文建立的基于非线性抗力方程的ESDOF模型的预测效果很好，对峰值挠度的预测相对误差为−5.2%～1.6%，其适用性得到验证。对于残余挠度，当构件损伤较小时，卸载刚度采用钢筋屈服时对应的弹性刚度即可获得较为准确的残余挠度预测值，构件损伤较为严重时，应适当地考虑卸载刚度的退化。但构件的损伤程度与刚度退化程度的关系有待进一步研究。
3. UHPC板弯曲损伤评估
本节基于上节经验证的ESDOF模型，首先构建评估UHPC板弯曲损伤等级的p-I曲线。通过对p-I曲线开展参数影响分析，进一步构建相应的p-I曲线经验公式。最后，通过与ESDOF模型分析结果对比验证提出的经验公式的可靠性。
3.1
$p{\text{-}}I $ 曲线生成方法p-I曲线是描述不同爆炸荷载作用下构件的等损伤线，可用于评估构件的损伤等级。对于弯曲破坏，构件的损伤等级根据其在支座处的转角θ判断，转角由构件跨中的峰值挠度δm和净跨L确定，即tanθ=2δm/L。根据UFC 3-340-02规范[7]划分受弯构件的损伤等级：0°<θ<2°，轻度损伤；2°<θ<5°，中度损伤；5°<θ<12°，严重损伤。考虑到θ>5°时，受弯构件已发生严重损伤，故本文仅关注θ=2°和θ=5°时弯曲损伤的p-I曲线。
3.2
$p{\text{-}}I $ 曲线参数分析为开展p-I曲线的参数影响分析，设置了基准板，其关键参数为：尺寸为2000 mm (净跨L)×1000 mm×100 mm；UHPC的单轴抗压强度和弹性模量分别为150 MPa和50 GPa；UHPC的纤维体积掺取为实际工程中的最常用掺量，即2%；UHPC拉伸应力-应变曲线特征参数ft=8 MPa，ε1=0.001，ft1=4 MPa，εfrac=0.011；受拉和受压钢筋的配筋率均为0.864%，屈服强度、弹性模量、硬化模量和断裂应变分别为500 MPa、200 GPa、2 GPa和0.15。采用第2节经验证的基于非线性抗力方程的ESDOF模型开展动力响应分析，得到了基准板在θ=2°和θ=5°对应的p-I曲线，如图11所示。每条p-I曲线具有压力和冲量两条渐近线，对应的压力和冲量分别为p0和I0。
开展了p-I曲线参数分析，影响因素包括UHPC强度等级、钢筋屈服强度、纵筋配筋率、板厚和净跨。图12～16分别给出了不同混凝土强度等级（100～250 MPa）、钢筋屈服强度（300～600 MPa）、纵筋配筋率（0.393%～1.728%，受压和受拉钢筋配筋率分别记为ρc和ρt）、板厚（100～250 mm）和净跨（1～4 m）的UHPC板在θ=2°和θ=5°对应的p-I曲线。需要说明的是：评估UHPC强度等级的影响时，改变UHPC抗压强度的同时依据公式ft=0.3fc2/3 [22]、ft1=0.5ft和Ec=9500fc1/3 [28]计算与强度等级相关的参数值，其余参数与基准板一致。
图 12 不同混凝土强度等级UHPC板的p-I曲线Figure 12. p-I diagrams for UHPC panels with different concrete strength grades
图 13 不同钢筋屈服强度UHPC板的p-I曲线Figure 13. p-I diagrams for UHPC panels with different yield strengths of reinforcement
图 14 不同纵筋配筋率UHPC板的p-I曲线Figure 14. p-I diagrams for UHPC panels with different longitudinal reinforcement ratios
图 15 不同厚度UHPC板的p-I曲线Figure 15. p-I diagrams for UHPC panels with different thicknesses从图12可以看出，随着混凝土强度等级的提高，相同损伤等级下的p-I曲线向右上方偏移，表明损伤程度相同时，UHPC板可以承受的爆炸荷载增大；图12同时给出了混凝土抗压强度为30 MPa的普通RC板的p-I曲线，可知与普通RC板相比，UHPC板的抗爆性能更优异。从图13可以看出：UHPC板的p-I曲线随着钢筋屈服强度的增大向右上方偏移，且θ=5°时偏移幅度更大，这表明UHPC板的抗爆性能随着钢筋屈服强度的增大而提高，且其影响随着板损伤等级的增加而增大。图14表明：随着纵筋配筋率的增加，UHPC板的抗爆性能提升较明显，且在板损伤等级较高时，其影响更为显著，如ρt（ρc）由0.393%增加至0.864%时，θ=2°对应的p-I曲线的p0和I0分别增大58%和24%，θ=5°对应的p-I曲线的p0和I0分别增大79%和32%；此外，得到了仅配置受拉钢筋且配筋率为0.864%的UHPC板的p-I曲线，对比发现，与基准板相比，不配置受压钢筋的UHPC板的抗爆能力仅有轻微降低，说明受压钢筋对UHPC板弯曲损伤p-I曲线影响较小。图15可以看出：板厚对UHPC板弯曲损伤p-I曲线的影响显著，厚度每增加50 mm，θ=2°对应的p0和I0分别增大45%～98%和34%～81%，θ=5°对应的p0和I0分别增大34%～87%和32%～76%，故增大板厚可以有效提高UHPC板的抗爆性能，但效果随着板厚的增大而降低。图16可知：随着净跨增大，p-I曲线向左下方偏移，净跨每增加1m，θ=2°对应的p0和I0分别减小51%～80%和20%～39%，θ=5°对应的p0和I0分别减小48%～78%和18%～36%，故增大净跨将导致UHPC板的抗爆性能大幅降低。
图 16 不同净跨UHPC板的p-I曲线Figure 16. p-I diagrams for UHPC panels with different clear spans3.3
$p{\text{-}}I $ 曲线经验公式建立UHPC板弯曲损伤p-I曲线的经验公式[14]：
$$ (p - {p_0})(I - {I_0}) = {\left( {{p_0}/2 + {I_0}/2} \right)^\beta } $$ (24) 式中：β为控制p-I曲线曲率的参数。采用最小二乘法根据式(24)拟合图12～16中由ESDOF模型分析获得的p-I曲线，确定了不同配置UHPC板弯曲损伤p-I曲线的三个控制参数p0、I0和β的取值，其拟合优度R2范围为0.92～0.99，说明采用式(24)能够准确地描述UHPC板弯曲损伤p-I曲线。进一步假定各因素的影响相互独立，则可以得到考虑不同参数影响的p-I曲线的控制参数表达式为：
$$ \left\{ \begin{gathered} {p_0} = {\eta _{{f_{\text{c}}}}}{\eta _{{f_{\text{y}}}}}{\eta _{{\rho _{\text{t}}}}}{\eta _h}{\eta _L}{p_{{\text{b0}}}}{\text{ }} \\ {I_0} = {\lambda _{{f_{\text{c}}}}}{\lambda _{{f_{\text{y}}}}}{\lambda _{{\rho _{\text{t}}}}}{\lambda _h}{\lambda _L}{I_{{\text{b0}}}}{\text{ }} \\ \beta = {\alpha _{{f_{\text{c}}}}}{\alpha _{{f_{\text{y}}}}}{\alpha _{{\rho _{\text{t}}}}}{\alpha _h}{\alpha _L}{\beta _{\text{b}}}{\text{ }} \\ \end{gathered} \right. $$ (25) 式中：η、λ和α分别表示各影响因素对p0、I0和β的影响因子，下标fc、fy、ρt、h和L分别对应于UHPC抗压强度、钢筋屈服强度、受拉钢筋配筋率、板厚和净跨的贡献，如
$ {\eta _L} $ 表示净跨对p0的影响因子；pb0、Ib0和βb为基准板的三个p-I曲线控制参数。进一步，采用最小二乘法根据式(25)拟合p-I曲线的控制参数数据，确定了各影响因子的表达式，其对应的拟合优度R2的范围为0.96～0.99。表4给出了各影响因子的表达式，其中Ac和A0分别为计算板和基准板的横截面面积。至此，结合式(24)、(25)和表4，即可确定UHPC板弯曲损伤的p-I曲线。
表 4 UHPC板弯曲损伤$p{\text{-}}I $ 曲线经验公式相关参数Table 4. Parameters of the empirical formulae of flexural damage p-I diagrams for UHPC panels影响因素 参数 表达式 θ=2° θ=5° 基准板 pb0 106 127 Ib0 1214 2228 βb 1.634 1.642 100≤fc/MPa≤250 $ {\eta _{{f_{\text{c}}}}} $ 0.717 + 0.325 (fc/150) − 0.042 (fc/150)2 0.251 + 1.065 (fc/150) − 0.319 (fc/150)2 $ {\lambda _{{f_{\text{c}}}}} $ 0.839 + 0.187 (fc/150) − 0.025 (fc/150)2 0.614 + 0.550 (fc/150) − 0.167 (fc/150)2 $ {\alpha _{{f_{\text{c}}}}} $ 0.951 + 0.065 (fc/150) − 0.013 (fc/150)2 0.993 + 0.002 (fc/150) + 0.005 (fc/150)2 300≤fy/MPa≤600 $ {\eta _{{f_{\text{y}}}}} $ 0.293 + 1.061 (fy/500) − 0.354 (fy/500)2 0.191 + 1.106 (fy/500) − 0.295 (fy/500)2 $ {\lambda _{{f_{\text{y}}}}} $ 0.635 + 0.571 (fy/500) − 0.206 (fy/500)2 0.534 + 0.700 (fy/500) − 0.233 (fy/500)2 $ {\alpha _{{f_{\text{y}}}}} $ 1.034 − 0.081 (fy/500) + 0.047 (fy/500)2 0.999 − 0.017 (fy/500) + 0.017 (fy/500)2 0.393A0/Ac≤ρt/%
≤1.728A0/Ac$ {\eta _{{\rho _{\text{t}}}}} $ 0.292 + 0.791 (ρtAc/0.864A0) − 0.087 (ρtAc/0.864A0)2 0.159 + 0.947 (ρtAc/0.864A0) − 0.123 (ρtAc/0.864A0)2 $ {\lambda _{{\rho _{\text{t}}}}} $ 0.619 + 0.448 (ρtAc/0.864A0) − 0.071 (ρtAc/0.864A0)2 0.524 + 0.572 (ρtAc/0.864A0) − 0.107 (ρtAc/0.864A0)2 $ {\alpha _{{\rho _{\text{t}}}}} $ 0.998 − 0.001 (ρtAc/0.864A0) + 0.005 (ρtAc/0.864A0)2 0.973 + 0.032 (ρtAc/0.864A0) − 0.005 (ρtAc/0.864A0)2 100≤h/mm≤250 ηh −0.294 + 0.928 (h/100) + 0.377 (h/100)2 −0.603 + 1.536 (h/100) + 0.071 (h/100)2 λh −0.452 + 1.353 (h/100) + 0.101 (h/100)2 −0.438 + 1.376 (h/100) + 0.062 (h/100)2 αh 0.834 + 0.211 (h/100) − 0.045 (h/100)2 0.928 + 0.090 (h/100) − 0.018 (h/100)2 1000≤L/mm≤4000 ηL 0.187 − 28.977 0.029L/2000 0.218 − 23.259 0.034L/2000 λL 0.492 − 2.586 0.200L/2000 0.533 − 2.265 0.210L/2000 αL 1.201 − 0.213 (L/2000) + 0.022 (L/2000)2 1.185 − 0.203 (L/2000) + 0.021 (L/2000)2 为进一步验证上述经验公式的可靠性，随机选取三块不同配置的UHPC验证板，参数见表5所示。图17分别给出了经验公式和ESDOF模型预测的UHPC板支座转角分别为2°和5°时的p-I曲线。可以看出，本文提出的p-I曲线经验公式与模型预测结果吻合很好，且对于构件设计略偏于保守。
表 5 验证板的参数取值Table 5. Parameter values for the validation panels板编号 fc/MPa fy/MPa ρt/% h/mm L/mm 1 100 300 0.393 100 4000 2 200 300 0.864 200 3000 3 120 550 1.047 150 2500 
图 17 基于ESDOF模型分析生成的p-I曲线与经验公式预测结果对比Figure 17. Comapriosns between p-I diagrams from ESDOF model ananlysis and empirical formulae4. 结 论
本文以爆炸荷载作用下的UHPC板为研究对象，建立了考虑UHPC材料拉/压软化和塑性铰影响的UHPC简支单向板的非线性抗力方程和ESDOF理论模型。随后，通过与六炮次爆炸实验中UHPC板的挠度时程，以及UFC 3-340-02和FHWA规范推荐方法的计算结果对比，验证了所建立理论模型的可靠性。基于验证的ESDOF模型，构建了评估UHPC板弯曲损伤等级的p-I曲线并开展了参数影响分析。主要结论如下：
(1) 基于UFC 3-340-02和FHWA规范的双线性理想弹-塑性抗力方程建立的ESDOF模型不适于预测爆炸荷载作用下UHPC板的峰值挠度，本文建立的基于构件非线性抗力方程的ESDOF模型，考虑了UHPC的受拉性能、材料拉/压软化和塑性铰影响，可以准确地预测UHPC构件的峰值抗力以及大变形下的抗力衰减，因此对UHPC板的峰值挠度预测效果很好，其相对误差为−5.2%～1.6%；
(2) p-I曲线参数影响分析表明提高UHPC强度等级和钢筋屈服强度，增加受拉钢筋配筋率和板厚，以及减小净跨均可提升UHPC板的抗爆性能；
(3) 提出并验证了考虑UHPC强度、钢筋屈服强度、受拉钢筋配筋率、板厚和净跨影响的弯曲损伤p-I曲线经验公式，可为UHPC构件的抗爆损伤评估提供一定参考。
-
图 6 非线性抗力方程的建立及荷载-质量转换系数与挠度关系
Figure 6. Nonlinear resistance function and the relationship between KLM and deflection
图 8 UHPC板的预测挠度时程与实验/数值模拟结果对比
Figure 8. Comparisons of predicted deflection-time histories and experimental/simulated results of UHPC panels
图 9 UHPC-D4的预测挠度时程与实验结果的对比
Figure 9. Comparisons of predicted and experimental deflection-time histories of UHPC-D4
图 10 UHPC板的ESDOF模型预测挠度时程与实验结果对比
Figure 10. Comparisons of ESDOF model predicted deflection time histories and experimental results of UHPC panels
图 12 不同混凝土强度等级UHPC板的p-I曲线
Figure 12. p-I diagrams for UHPC panels with different concrete strength grades
图 13 不同钢筋屈服强度UHPC板的p-I曲线
Figure 13. p-I diagrams for UHPC panels with different yield strengths of reinforcement
图 14 不同纵筋配筋率UHPC板的p-I曲线
Figure 14. p-I diagrams for UHPC panels with different longitudinal reinforcement ratios
图 15 不同厚度UHPC板的p-I曲线
Figure 15. p-I diagrams for UHPC panels with different thicknesses
图 16 不同净跨UHPC板的p-I曲线
Figure 16. p-I diagrams for UHPC panels with different clear spans
图 17 基于ESDOF模型分析生成的p-I曲线与经验公式预测结果对比
Figure 17. Comapriosns between p-I diagrams from ESDOF model ananlysis and empirical formulae
表 2 UHPC板的尺寸、配筋及材料特性参数
Table 2. Dimensions, reinforcement and material properties parameters of UHPC panels
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表 3 ESDOF模型预测峰值挠度与实验/数值模拟结果对比
Table 3. Comparisons of ESDOF model predicted and experimental/simulated maximum deflections
实验 试件 实验值/mm 模拟值/mm UFC 3-340-02 FHWA 本文 预测值/mm 误差/% 预测值/mm 误差/% 预测值/mm 误差/% Su等[1] UHPC-1 27.86 27.44 27.73 −0.5 17.39 −37.6 26.42 −5.2 UHPC-2 − 38.90 41.89 7.6 24.92 −35.9 37.25 −4.2 UHPC-3 − 48.13 55.98 16.3 32.56 −32.3 47.67 −1.0 Li等[2] UHPC-D4 72 − 123.99 72.2 49.95 −30.6 73.11 1.5 Mao等[3] A 110 − 113.24 2.9 88.24 −19.8 111.44 1.3 B 210 − 193.32 −7.9 145.24 −30.8 213.46 1.6
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表 4 UHPC板弯曲损伤
$p{\text{-}}I $ 曲线经验公式相关参数Table 4. Parameters of the empirical formulae of flexural damage p-I diagrams for UHPC panels
影响因素 参数 表达式 θ=2° θ=5° 基准板 pb0 106 127 Ib0 1214 2228 βb 1.634 1.642 100≤fc/MPa≤250 $ {\eta _{{f_{\text{c}}}}} $ 0.717 + 0.325 (fc/150) − 0.042 (fc/150)2 0.251 + 1.065 (fc/150) − 0.319 (fc/150)2 $ {\lambda _{{f_{\text{c}}}}} $ 0.839 + 0.187 (fc/150) − 0.025 (fc/150)2 0.614 + 0.550 (fc/150) − 0.167 (fc/150)2 $ {\alpha _{{f_{\text{c}}}}} $ 0.951 + 0.065 (fc/150) − 0.013 (fc/150)2 0.993 + 0.002 (fc/150) + 0.005 (fc/150)2 300≤fy/MPa≤600 $ {\eta _{{f_{\text{y}}}}} $ 0.293 + 1.061 (fy/500) − 0.354 (fy/500)2 0.191 + 1.106 (fy/500) − 0.295 (fy/500)2 $ {\lambda _{{f_{\text{y}}}}} $ 0.635 + 0.571 (fy/500) − 0.206 (fy/500)2 0.534 + 0.700 (fy/500) − 0.233 (fy/500)2 $ {\alpha _{{f_{\text{y}}}}} $ 1.034 − 0.081 (fy/500) + 0.047 (fy/500)2 0.999 − 0.017 (fy/500) + 0.017 (fy/500)2 0.393A0/Ac≤ρt/%
≤1.728A0/Ac$ {\eta _{{\rho _{\text{t}}}}} $ 0.292 + 0.791 (ρtAc/0.864A0) − 0.087 (ρtAc/0.864A0)2 0.159 + 0.947 (ρtAc/0.864A0) − 0.123 (ρtAc/0.864A0)2 $ {\lambda _{{\rho _{\text{t}}}}} $ 0.619 + 0.448 (ρtAc/0.864A0) − 0.071 (ρtAc/0.864A0)2 0.524 + 0.572 (ρtAc/0.864A0) − 0.107 (ρtAc/0.864A0)2 $ {\alpha _{{\rho _{\text{t}}}}} $ 0.998 − 0.001 (ρtAc/0.864A0) + 0.005 (ρtAc/0.864A0)2 0.973 + 0.032 (ρtAc/0.864A0) − 0.005 (ρtAc/0.864A0)2 100≤h/mm≤250 ηh −0.294 + 0.928 (h/100) + 0.377 (h/100)2 −0.603 + 1.536 (h/100) + 0.071 (h/100)2 λh −0.452 + 1.353 (h/100) + 0.101 (h/100)2 −0.438 + 1.376 (h/100) + 0.062 (h/100)2 αh 0.834 + 0.211 (h/100) − 0.045 (h/100)2 0.928 + 0.090 (h/100) − 0.018 (h/100)2 1000≤L/mm≤4000 ηL 0.187 − 28.977 0.029L/2000 0.218 − 23.259 0.034L/2000 λL 0.492 − 2.586 0.200L/2000 0.533 − 2.265 0.210L/2000 αL 1.201 − 0.213 (L/2000) + 0.022 (L/2000)2 1.185 − 0.203 (L/2000) + 0.021 (L/2000)2
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表 5 验证板的参数取值
Table 5. Parameter values for the validation panels
板编号 fc/MPa fy/MPa ρt/% h/mm L/mm 1 100 300 0.393 100 4000 2 200 300 0.864 200 3000 3 120 550 1.047 150 2500
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