钻地武器打击会造成建筑结构严重破坏甚至倒塌，而准确预测作用于建筑结构的爆炸荷载是武器毁伤效能和结构抗爆性能评估，以及结构加固与设计的基础。已有规范^[1-5]针对球形装药中心起爆的空中爆炸或半球形装药平面中心起爆的地面爆炸工况，给出了爆炸入射和反射冲击波峰值超压随比例距离Z（Z=R/W^1/3，R为爆炸中心到目标的距离，W为等效TNT装药质量）的变化规律。此外，诸多学者基于爆炸试验和数值模拟提出了中心起爆的球形装药空中爆炸冲击波入射峰值超压的预测公式^[6-12]。与球形装药相比，柱形装药的爆炸荷载还受装药形状（长径比L/D，L和D分别为柱形装药的长度和直径）、起爆方式（起爆点位置和数量）和方位角等因素影响^[13-15]。因此，已有针对球形和半球形装药的爆炸荷载预测公式不适用于武器战斗部等柱形弹药爆炸的入射和反射冲击波荷载的计算。

Stoner等^[6]基于爆炸试验提出了柱形装药空中爆炸的无量纲入射冲击波峰值超压的计算公式，得出：柱形装药爆炸初始阶段爆炸波接近于柱形，当传播距离超过约20倍装药直径时逐渐演化为球形波。Simoens等^[15]指出，柱形装药长径比增大会引起入射冲击波峰值超压和最大冲量在径向增大而在轴向降低。Anastacio等^[16]和Knock等^[17-19]开展了一系列柱形装药的空中爆炸试验，提出了考虑长径比的径向和轴向入射冲击波峰值超压和最大冲量的计算公式。Gao等^[20]基于数值模拟探讨了1≤L/D≤8的柱形TNT装药空中爆炸的入射冲击波峰值超压和最大冲量的分布规律，提出了考虑方位角和长径比影响的入射峰值超压和最大冲量计算公式。Wu等^[21]基于爆炸试验和数值模拟研究了柱形装药空中爆炸作用于钢筋混凝土板上的反射冲击波峰值超压和最大冲量分布规律，提出了L/D=1的柱形装药轴向正反射冲击波峰值超压和最大冲量的计算公式。

柱形装药常见的起爆方式有中心、单端和双端起爆。Simoens等^[15]基于爆炸试验发现中心起爆时装药两端入射冲击波峰值超压和最大冲量呈对称分布，而单端起爆会造成起爆点相对一侧的峰值超压增大，但对最大冲量分布的影响较小。Hu等^[22]认为双端起爆会产生自马赫反射效应，从而增强装药端面和侧面冲击波的相互作用并使其形状更加复杂。Sherkar等^[23]通过数值模拟发现起爆方式会影响入射冲击波的形状和峰值超压分布，单端起爆中起爆点同侧的峰值超压较相对一侧小，而当Z≥3 m/kg^1/3时，可忽略起爆方式对超压的影响。Xiao等^[24]基于数值模拟发现单端起爆会产生最大的爆炸荷载，其入射冲击波峰值超压和最大冲量约为等质量球形装药中心起爆的4.5和4倍，3种起爆方式按其峰值超压大小排列的顺序为：单端、中心和双端。Tham^[25]发现双端延时起爆会降低装药径向爆轰产物的膨胀速度并改变其分布的对称性，与单端起爆的峰值超压分布特征相似。

上述工作表明，对柱形装药空中爆炸荷载的研究主要还存在以下不足：（1）现有规范^[1-5]和研究^[6-12]多基于球形或半球形装药假设，而爆炸荷载受装药形状、起爆方式和方位角等影响，基于球形装药中心起爆提出的计算公式预测柱形装药的爆炸荷载会引起较大误差；（2）现有工作较多针对柱形装药爆炸入射冲击波超压荷载，对于考虑比例距离、长径比、起爆方式、入射角和反射面相对位置等多种因素影响的柱形装药空中爆炸作用于结构的反射冲击波荷载的研究较少；（3）现有针对柱形装药空中爆炸提出的冲击波入射荷载计算方法^[20]考虑的比例距离（0.3 m/kg^1/3≤Z≤10 m/kg^1/3）和长径比（1≤L/D≤8）范围较小，且缺乏充分的试验验证，其结论适用范围有限。

本文中首先开展柱形TNT装药单端起爆的空中爆炸试验，基于有限元软件AUTODYN对本文中试验、Shi等^[13]开展的球/柱形装药爆炸试验和UFC 3-340-02规范^[4]中球形装药空中爆炸工况进行数值模拟。通过对比数值模拟与试验的入射/反射冲击波超压时程曲线以及规范的入射峰值超压-比例距离关系，对采用的材料模型参数和网格尺寸的适用性进行充分验证。进一步基于验证的有限元分析方法，开展考虑比例距离、长径比、起爆方式、方位角和入射角及反射面相对位置等多种因素影响的共48组柱形装药空中爆炸冲击波自由场传播和960组冲击波刚性反射工况的数值模拟。基于计算结果对柱形装药空中爆炸入射冲击波峰值超压和最大冲量及其形状因子的分布特征、反射冲击波超压和反射系数的变化规律以及峰值超压/最大冲量临界比例距离的判定准则和确定方法进行探究。最终提出柱形装药空中爆炸入射和反射冲击波峰值超压和持时的计算方法，并开展试验对比验证，以期为柱形装药空中爆炸冲击波入射和反射超压荷载的快速计算提供参考。

1.   柱形装药爆炸试验和数值模拟

为验证有限元分析方法的可靠性，首先开展柱形TNT装药空中爆炸试验，获取3组比例距离下冲击波入射/反射超压时程曲线。进一步基于AUTODYN软件对本文中试验、Shi等^[13]试验和UFC 3-340-02规范^[4]工况进行数值模拟，对采用的材料模型和参数以及网格尺寸的适用性进行充分验证。

1.1   爆炸试验

图1给出了爆炸试验设置和传感器布置，其中柱形TNT炸药长度L=224 mm，直径D=120 mm，质量W=4 kg，起爆点位于装药一端中心。在装药中心径向距离R处布置反射超压传感器P_r2，并在其两侧水平距离各0.5 m处等高布置反射超压传感器P_r1和P_r3。共开展3次爆炸试验，R分别为0.95、1.27和1.59 m。每次试验中，在装药径向距离为4.85 m处，以及起爆点相对一侧距离为4.96和7.75 m处分别等高布置笔式自由场超压传感器P_i1、P_i2和P_i3。

图  1  柱形装药爆炸试验传感器布置

Figure  1.  Cylindrical charge explosion test setup and sensor layout

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1.2   数值模拟

图2给出了对爆炸试验进行数值模拟的有限元模型。基于AUTODYN软件和重映射策略建模，包括局部和全域模型。局部模型尺寸为0.6 m×0.5 m，通过填充建立柱形TNT炸药，起爆点位于装药一端（靠近P_r1），可计算得到冲击波产生和传播初始阶段的高精度结果。全域模型为含测点的整体空气域模型，分为模拟冲击波入射和反射的入射模型和反射模型，测点按实际位置布置（P_i1～P_i3和P_r1～P_r3），尺寸分别为8.0 m×5.0 m（入射）和2.0 m×1.59 m（反射），目的是高效求解冲击波的传播和反射过程。计算过程中，首先计算局部模型，然后将求解结果作为初始条件映射到全域模型中计算得到最终结果。模型为2D轴对称模型并采用Euler, 2D multi-material求解器求解，分别通过Fill unused和Flow out命令模拟刚性反射和自由边界。

图  2  柱形装药空中爆炸试验有限元模型

Figure  2.  Finite element model of cylindrical charges air explosion test

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空气采用AIR材料模型和理想气体状态方程：

式中：p₁为压力；γ为空气常数，取1.4；密度ρ=1.225 kg/m³；比内能e₀=206.8 kJ/kg。炸药采用TNT材料模型和Jones-Wilkins-Lee状态方程：

式中：p₂和V分别为爆轰产物压力和相对体积；E是单位体积初始内能，取6.0 GJ/m³，A=373.77 GPa、B=3.7471 GPa、R₁=4.15、R₂=0.9和ω=0.35为材料常数。

为平衡计算精度和效率，首先进行网格敏感性分析。局部和全域模型分别依次采用0.8～3.0 mm和8～25 mm网格尺寸计算，在Z=0.3，1.0 m/kg^1/3处布置测点获取不同网格尺寸下的入射冲击波压力时程曲线，如图3所示。可以看出，当网格尺寸分别小于1和10 mm时，计算结果收敛。因此分别取1和10 mm作为局部和全域模型的网格尺寸进行有限元建模和计算。

图  3  不同网格尺寸下的压力时程曲线

Figure  3.  Pressure-time histories corresponding to different grid sizes

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1.3   结果对比

1.3.1   试验

图4分别给出了试验中P_i1、P_i2和P_i3等测点处的入射冲击波超压时程曲线，以及比例距离分别为0.6、0.8和1.0 m/kg^1/3时P_r3测点处的反射冲击波超压时程曲线的试验和数值模拟结果。可以看出，数值模拟和试验结果吻合较好，说明建立的有限元模型以及采用的材料模型和参数、网格尺寸等可以较好地预测柱形装药空中爆炸冲击波的入射和反射荷载。

图  4  入射和反射超压时程曲线的试验和数值模拟结果对比

Figure  4.  Comparisons of the test and simulated incident and reflected overpressure-time histories

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1.3.2   Shi等^[13]试验

Shi等^[13]开展了一系列1 kg球形和柱形TNT装药（L/D=1，垂直放置）的爆炸试验。装药悬吊于空中，起爆点均位于顶部中心，下方0.8 m固定一块1.50 m×1.20 m×0.025 m的钢板，板上布置反射超压传感器P_r1～P_r5：正下方布置P_r2，P_r2两侧沿钢板短边方向各0.2 m处分别布置P_r1和P_r3，P_r2一侧沿钢板长边方向0.4 m和0.776 m处分别布置P_r4和P_r5。此外，距装药1.31 m处等高布置自由场超压传感器P_i6。试验设置和有限元模型如图5所示，其中有限元模型材料参数和网格尺寸同1.2节。图6给出了球形装药典型测点处的入射（P_i6）和反射（P_r5）超压时程曲线，以及柱形装药在P_r1处反射超压时程曲线的试验和数值模拟结果对比。可以看出，计算结果与试验结果吻合很好，验证了采用的有限元分析方法对预测球形和柱形装药爆炸荷载的适用性。

图  5  Shi等^[13]爆炸试验设置和有限元模型

Figure  5.  Explosion test setup, finite element model of Shi et al.^[13]

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图  6  典型测点处超压时程曲线

Figure  6.  Overpressure-time histories at typical measurement points

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1.3.3   UFC 3-340-02规范^[4]

UFC 3-340-02规范^[4]给出了球形TNT装药中心起爆入射峰值超压与比例距离的关系。对其建模分析，如图7所示，采用1 kg球形装药中心起爆空中爆炸，材料模型参数和网格尺寸同1.2节，并在不同方位角和距离处布置测点记录冲击波压力时程曲线。计算结果与规范对比如图8所示，二者吻合良好，再次验证了采用的有限元分析方法的适用性。

图  7  UFC 3-340-02规范^[4]球形装药中心起爆有限元模型

Figure  7.  Finite element model of spherical charges ignited at the central point in UFC 3-340-02 specification^[4]

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图  8  入射峰值超压的规范^[4]和模拟结果对比

Figure  8.  Comparisons of simulated and specified^[4] peak incident overpressure

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2.   柱形装药空中爆炸有限元模型

采用有限元分析方法，分别对柱形装药空中爆炸冲击波自由场传播和遇刚性墙反射两类工况进行有限元建模。考虑比例距离Z、装药长径比L/D、起爆方式和方位角α，以及入射角θ和刚性墙相对位置的影响，分别建立48组空中爆炸的自由场模型和960组刚性反射场模型。

2.1   空中爆炸的自由场模型

柱形装药空中自由场爆炸共考虑12组装药长径比（0.25≤L/D≤10）和3种起爆方式（中心、单端和双端起爆），装药质量为1 kg，如图9（a）～（b）所示。规定装药轴向为0°/180°方向，装药径向为90°/270°方向，空气域中任一点的方位角α定义为该点到装药中心的连线与装药轴线0°方向的夹角，如图9（c）所示。图10给出了相应的有限元模型，其中局部和全域模型尺寸分别为0.6 m×0.5 m和15 m×15 m，材料参数和网格尺寸同1.2节，并在不同方位角和距离处布置测点记录冲击波压力时程曲线。为提高计算效率，根据装药形状和冲击波传播特征分别对中心起爆和双端起爆建立2D的1/4轴对称模型，对单端起爆分别建立起爆点位于0°和180°方向的2D的1/2轴对称局部模型。

图  9  柱形装药长径比、起爆方式和方位角

Figure  9.  Length-to-diameter ratio, initiation method, and azimuth angle of cylindrical charges

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图  10  柱形装药空中爆炸自由场有限元模型

Figure  10.  Finite element model of cylindrical charges air explosion

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2.2   空中爆炸的反射场模型

对柱形装药空中爆炸冲击波在轴向和径向遇刚性墙发生反射的工况进行有限元建模，装药长径比和起爆方式同图9。图11分别给出了3种起爆方式下柱形装药轴向和径向冲击波反射示意图。对于柱形装药轴向和径向垂直于刚性墙，在比例距离Z为1～5 m/kg^1/3范围内设置刚性墙并布置测点记录冲击波反射超压时程曲线。规定刚性墙上任一点的入射角θ为冲击波入射方向（即装药中心指向墙面该点方向）与墙面法线方向构成的锐角，此处到装药在刚性墙的投影点的距离为投影距离D_p。对中心和双端起爆工况建立1/4轴对称模型，即在装药轴向和径向一侧建立刚性墙，如图11（a）所示。对单端起爆工况，在起爆点一侧（0°方向）和相对一侧（180°方向）分别设置刚性墙，如图11（b）～（c）所示。单端起爆径向反射工况中，规定起爆点同侧的入射角为θ，相对一侧的入射角为−θ。此外，需按照上述建模策略建立无刚性墙的有限元模型以获取入射波超压时程曲线。有限元模型材料参数、网格尺寸和反射边界同1.2节。以L/D=1的柱形装药中心起爆为例，图12给出了Z=5 m/kg^1/3时径向反射场的有限元模型和测点布置。

图  11  柱形装药轴向和径向冲击波反射示意图

Figure  11.  Schematic diagram of axial and radial blast wave reflection of cylindrical charge

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图  12  典型柱形装药空中爆炸的反射场有限元模型

Figure  12.  Typical finite element model for reflections of cylindrical charges air explosion

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3.   柱形装药空中爆炸入射冲击波荷载

基于2.1节48组柱形装药空中爆炸冲击波自由场传播有限元模型的计算结果，对冲击波在理想空气中的传播规律进行分析，包括入射冲击波的特征、峰值超压p_so、最大冲量I_so和峰值超压/最大冲量形状因子S_p和S_I分布，提出基于S_p和S_I的临界比例距离的判定准则和确定方法，以及柱形装药空中爆炸p_so、I_so和等效正相持时t_d,e的计算方法。

3.1   入射冲击波特征

柱形装药的入射冲击波传播特征与装药形状密切相关。如图13（a）所示，以L/D=1装药中心起爆为例，根据装药方向将周围空气域分为轴向区和径向区，二者之间称为过渡区。装药爆炸时在端部和侧面方向分别产生端部主波和侧面主波，二者相遇形成为桥波。不同方位角的冲击波强度不同，端部和侧面主波压力高于桥波，原因在于装药端面和侧面是主要的能量释放部位，对应区域压力较高。图13给出了L/D=1的柱形装药在3种起爆方式下的冲击波压力云图。可以看出：中心和双端起爆压力云图呈现明显对称性，后者爆轰波从两端面同时产生并在径向相遇合成增强的侧面主波，波形较前者更加尖锐；而单端起爆波阵面不对称，在起爆点一侧端部主波强度弱于相对一侧，且侧面主波靠近起爆点的部分也弱于另一侧。图14给出了典型长径比的柱形装药在中心起爆下的冲击波压力云图，当L/D=0.25时，轴向区和过渡区范围较大，端部主波波阵面近似为平面波，随着L/D增大，装药侧面与端面面积之比增大，二者释放的爆炸能量之比也随之增大，在压力云图上表现为轴向区减小和径向区扩大。图15进一步给出了L/D=1的柱形装药中心起爆在不同时刻的冲击波压力云图。可以看出：入射波在空气中自由传播的初始阶段波阵面形状近似为椭球形，波阵面压力分布不均，随着距离增大波阵面逐渐演变为球形，压力值也逐渐趋于一致。

图  13  柱形装药3种起爆方式下的压力云图（L/D=1）

Figure  13.  Pressure contours of cylindrical charge under three ignition methods (L/D=1)

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图  14  典型长径比柱形装药中心起爆压力云图

Figure  14.  Pressure contours of central ignited cylindrical charge with typical L/D

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图  15  柱形装药中心起爆不同时刻的压力云图（L/D=1）

Figure  15.  Instantaneous pressure contours of central ignited cylindrical charge (L/D=1)

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3.2   入射冲击波峰值超压

3.2.1   峰值超压分布特征

以长径比L/D=0.25的柱形装药中心起爆为例，图16（a）第一象限给出了各方位角入射峰值超压p_so的分布，其中水平轴为装药中心轴。可以看出：不同各方位角的p_so在比例距离Z较小时差异较大，轴向区和径向区p_so明显大于过渡区；随着Z增大，等压线逐渐趋近于圆形，标志着各方位角的p_so趋于一致，即柱形装药的冲击波随Z增大逐渐演变为球形波。

图  16  典型长径比柱形装药3种起爆方式的峰值超压分布

Figure  16.  Peak overpressure distributions of cylindrical charge with typical L/D and three ignition methods

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不同长径比柱形装药中心起爆的入射峰值超压分布存在较大的差异。图16（a）还给出了其他典型长径比柱形装药中心起爆的入射峰值超压分布，可以看出：在0.25≤L/D≤10范围内，随着L/D不断增大，轴向p_so先减小后增大，位于轴向区其他方向的p_so也存在相同趋势；径向的p_so随L/D增大先增大后减小，但减小的幅值较低，且径向区范围不断增大。上述变化的原因在于，随着L/D的增大，端面与侧面的表面积和爆轰产物分布的变化引起了炸药能量释放路径的变化，从而造成不同方位角的p_so变化。此外，随着L/D增大，p_so的分布差异逐渐减小，如7≤L/D≤10时，p_so值和分区差异均较小。原因在于，随着L/D增大，柱形装药的侧面面积远大于端面面积，径向区和过渡区远大于轴向区范围，而端面直径变化几乎可以忽略，因此爆轰产物和初始爆轰波的变化不大。

此外，起爆方式的改变也会引起入射峰值超压的分布差异。图16(b)、(c)分别给出了典型长径比柱形装药单端和双端起爆下p_so的分布情况。可以看出：对于单端起爆，以L/D=0.25装药为例，在较小比例距离处，由于起爆点的不对称性，180°方向（起爆点相对一侧）p_so明显高于0°方向（起爆点一侧）；而单端起爆中径向的p_so则低于中心起爆，且随着L/D的增大，0°方向p_so不断减小而180°方向p_so不断增大，不对称性愈加明显；对于双端起爆，径向和轴向p_so明显高于中心起爆，而过渡区的超压值则小于后者，超压分布曲线呈现十字形，随着L/D不断增大，十字形横轴缩小而纵轴增大，差异逐渐减小。

3.2.2   峰值超压形状因子分布特征

由上述分析可知，柱形装药爆炸入射波波阵面随比例距离Z的增大逐渐趋近于球面波。为定量分析两种形状装药爆炸冲击波超压的关系，Simones等^[26]提出了峰值超压形状因子S_p，定义为：

式中：p_so和p_s分别代表等质量的柱形和球形装药在同一距离处的入射峰值超压。

基于48组自由场模型的计算结果和UFC 3-340-02规范^[4]中相应的球形装药中心起爆的冲击波超压值，计算得到柱形装药的S_p。图17分别给出了典型长径比柱形装药在3种起爆方式下S_p的分布。可以看出，当Z较小时，轴向区S_p较大而径向区S_p较小，随着Z增大，S_p逐渐趋近于定值。

图  17  典型长径比柱形装药3种起爆方式的峰值超压形状因子分布

Figure  17.  Peak overpressure shape factor distributions of cylindrical charge with typical L/D and three ignition methods

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以L/D=0.25装药为例，图18（a）进一步给出了中心起爆方式下柱形装药的峰值超压形状因子随比例距离的变化曲线。可以看出,当Z较小时各方位角的S_p变化较大，当Z超过某一值后S_p趋于1，即装药形状对入射峰值超压的影响可以忽略，该比例距离称为峰值超压临界比例距离Z_c,p。Sherkar等^[23]认为当S_p≤1.1时可忽略装药形状对超压的影响，因此S_p=1.1时所对应的Z为Z_c,p，此为Z_c,p的第一判定准则。

图  18  典型峰值超压形状因子与最大峰值超压形状因子

Figure  18.  Typical shape factor and maximum shape factor of peak overpressure

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由于比例距离相等时柱形装药在各方位角的S_p不一致，保守估计选取最大的S_p（即S_p,max）进行比较。图18（b）给出了中心起爆方式下不同长径比柱形装药爆炸冲击波在不同方位角处S_p,max与Z的关系。可以发现：存在较大比例距离处S_p>1.1的情况。根据《爆破安全规程》^[5]和相关研究^[27]，认为2种形状装药在同一比例距离处p_so的差值小于2 kPa时，对结构影响的差距可忽略，即二者等效，此为Z_c,p的第二判定准则。

根据上述判定准则，可分别求得不同L/D柱形装药在3种起爆方式下的Z_c,p，如图19所示。可以看出：当L/D<1时，3种起爆方式的Z_c,p均随L/D的增大而减小；当L/D≥1时，中心起爆和单端起爆的Z_c,p变化趋势相同，随L/D的增大逐渐递减并趋于平缓，双端起爆则相反。

图  19  3种起爆方式下不同长径比柱形装药的峰值超压临界比例距离

Figure  19.  Critical scaled distance of peak overpressure for cylindrical charge with different L/D under three ignition methods

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3.2.3   峰值超压计算公式

Knock等^[28]提出了柱形装药轴向入射峰值超压经验计算公式：

式中：入射峰值超压p_so单位为kPa，A、B和C为拟合参数。式(4)中未考虑柱形装药起爆方式和方位角α的影响。基于48组自由场模型计算结果，可进一步拟合得到综合考虑L/D、Z、α和起爆方式等因素影响的系数值。篇幅所限，表1仅给出3种起爆方式下L/D≥1工况部分角度的系数取值，比例距离适用范围为0.3 m/kg^1/3≤Z≤15 m/kg^1/3。

表  1  $L/D{\text{≥}}1$柱形装药入射峰值超压拟合公式系数

Table  1.  Fitted formula coefficients for peak incident overpressure of central ignited cylindrical charges with $L/D{\text{≥}}1$

起爆方式	α/(°)	0.3 m/kg1/3≤Z≤1 m/kg1/3					1 m/kg1/3<Z≤15 m/kg1/3
		A	B	C	R2		A	B	C	R2
中心起爆	0	173	9	399	0.943 7		−211	390	31	0.612 6
	30	−33	503	−166	0.904 5		−200	424	40	0.902 7
	60	−103	958	−491	0.988 3		−202	644	−11	0.969 0
	90	−242	1 352	−141	0.926 4		281	501	−11	0.986 3
单端起爆	0	−56	1 013	−900	0.884 5		−491	619	22	0.616 4
	30	−39	365	−96	0.800 2		−284	546	1	0.880 1
	60	60	−131	693	0.940 7		−114	509	9	0.961 8
	90	−225	1 438	−244	0.941 8		306	512	−19	0.976 8
	120	−205	1 732	−1 360	0.977 9		−238	721	−16	0.969 6
	150	−27	580	−261	0.943 1		−171	431	43	0.915 8
	180	77	1 246	−1 057	0.909 9		−531	574	34	0.775 3
双端起爆	0	−25	865	−796	0.875 3		−887	1 096	−56	0.733 9
	30	−29	304	−24	0.793 5		−313	593	4	0.914 4
	60	29	22	602	0.954 3		−69	505	18	0.968 2
	90	−255	2 054	−1 068	0.923 7		187	694	−74	0.932 8

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3.3   入射冲击波最大冲量

3.3.1   最大冲量分布特征

定义入射冲击波最大冲量I_so为正相超压-时间（p-t）曲线围成的面积，即：

以L/D=0.25装药中心起爆为例，图20（a）给出了柱形装药中心起爆入射冲击波I_so随比例距离Z和方位角α的分布。可以看出：与超压分布类似，当比例距离较小时，不同方位角的I_so差异较大，并随Z的增大逐渐减小，I_so曲线演变为圆形。不同的是，I_so曲线出现了穿透现象，即在某些方位角（如α=0°），当Z₁>Z₂时，I_so,1>I_so,2，表明柱形装药的I_so并非随Z增大单调衰减。其原因在于：冲击波在空气中自由传播，波阵面以超声速传播，而正压区尾部以声速传播，造成正压区不断拉长，即正压区持时增大，虽然空气压力持续减小，但最大冲量仍可能增大；柱形装药在特定的方位角会出现由于装药形状引起的二次冲击波波峰，总冲量增大，这与Knock等^[19]的试验结论一致。

图  20  典型长径比柱形装药3种起爆方式的最大冲量分布

Figure  20.  Maximal impulse distributions of cylindrical charge with typical L/D and three ignition methods

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图20(b)～(c)进一步给出了典型长径比柱形装药在单端和双端起爆下的最大冲量分布。可以看出：以柱形装药中心起爆为例，当L/D较小时，最大冲量I_so在轴向区较大，随着L/D增大，I_so峰值向径向区转移；与中心起爆不同，单端起爆下起爆点一侧的I_so明显低于相对一侧，I_so分布随L/D的变化趋势与中心起爆相同；双端起爆下随着L/D增大，径向区的I_so的增大程度明显高于中心起爆工况，而过渡区的I_so衰减更加明显。其原因在于双端起爆下爆轰波从两端面同时产生，其在径向合成的侧面主波压力幅值更高，因而径向区冲量更大，而过渡区压力也因此迅速衰减。

3.3.2   最大冲量形状因子分布特征

与峰值超压类似，为评价装药形状对入射冲击波最大冲量的影响，定义最大冲量形状因子S_I为：

式中：I_so和I_s分别代表等质量的柱形和球形装药在同一比例距离处的最大冲量。

图21给出了典型长径比柱形装药在3种起爆方式下S_I的分布情况。以L/D=0.25装药中心起爆为例，可以看出：S_I在比例距离Z较小时分布极不规则，在装药表面积较大的端面突出，随着Z增大逐渐趋向于圆形。随着L/D增大，轴向区S_I逐渐减小而径向区S_I逐渐增大，与I_so的变化趋势一致；单端和双端起爆的情况基本类似，但前者在Z较大时S_I趋向于卵状，起爆点一侧S_I较小，而双端起爆在比例距离较大时S_I趋于扁平的椭圆状，其中长轴为装药轴向。此外，3种起爆方式下随着Z变大，S_I趋向于某个小于1的值，说明柱形装药的最大冲量I_so在一定比例距离范围内将持续低于等质量球形装药的I_so。

图  21  典型长径比柱形装药3种起爆方式的最大冲量形状因子分布

Figure  21.  Maximal impulse shape factor distributions of cylindrical charge with typical L/D and three ignition methods

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与峰值超压形状因子S_p相同，当各方位角中最大的S_I不超过1.1时，可忽略装药形状对最大冲量的影响，对应的Z为最大冲量临界比例距离Z_c,I。图22～23分别给出了柱形装药在3种起爆方式下的S_I-Z、S_I,max-Z和Z_c,I-L/D曲线。可以看出：3种起爆方式下Z_c,I均随L/D增大不断减小并趋于定值，说明随着L/D的增大，装药形状引起的冲量差异逐渐减小。进一步可拟合得到Z_c,I与L/D的关系式，为：

图  22  典型最大冲量形状因子与最大的最大冲量形状因子

Figure  22.  Typical shape factor and maximum shape factor of maximal impulse

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图  23  3种起爆方式下不同长径比柱形装药的最大冲量临界比例距离

Figure  23.  Critical scaled distance of maximal impulse for cylindrical charge with different L/D under three ignition methods

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式中：k、a、b和c分别为拟合系数，取值见表2所示。

表  2  最大冲量临界比例距离拟合公式系数

Table  2.  Coefficients of fitted formula for the maximal impulse critical scaled distance

起爆方式	拟合公式系数
	k	a	b	c	R2
中心起爆	2.13	0.25	1.14	0.32	0.945 0
单端起爆	2.48	0.24	1.09	0.61	0.981 2
双端起爆	2.60	0.23	0.97	0.46	0.927 8

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3.3.3   最大冲量计算公式

由3.3.1节可知，在轴向区±15°范围内，入射最大冲量I_so沿比例距离Z的变化较复杂，难以进行准确拟合。本节针对不同起爆方式下柱形装药其余方位角的I_so随Z'的变化规律进行拟合，得到：

式中：i_so为比冲量，$Z' = {{R \mathord{\left/ {\vphantom {R W}} \right. } W}^{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. } 3}}}$为名义比例距离，A_i,1、A_i,2、A_i,j,1和A_i,j,2为拟合系数，取值见表3，适用范围分别为0.3 m/kg^2/3≤$Z'$＜0.8 m/kg^2/3和0.8 m/kg^2/3≤$Z'$≤15 m/kg^2/3，篇幅所限仅给出前者系数取值。

表  3  最大冲量拟合公式系数

Table  3.  Coefficients of the fitted formula for the maximal impulse

起爆方式	公式拟合系数
	A1,1	A1,2	A1,1,1	A1,1,2	A1,2,1	A1,2,2	A1,3,1	A1,3,2	A1,4,1	A1,4,2
中心	2 088	−2 044	1 222	−1 043	−4 422	4 503	2 583	−2 715	−971	1 101
单端	341	−110	276	−257	186	−163	247	−236	−27	105
双端	640	−384	1 304	−783	−2077	1 352	1 026	−620	85	−190
起爆方式	A2,1	A2,2	A2,1,1	A2,1,2	A2,2,1	A2,2,2	A2,3,1	A2,3,2	A2,4,1	A2,4,2
中心	−543	568	−550	459	1 321	−1 436	−677	824	173	−293
单端	−135	21	−127	101	−43	22	−106	95	−40	−23
双端	−88	−123	−516	225	528	16	−154	−126	−174	250
起爆方式	A3,1	A3,2	A3,1,1	A3,1,2	A3,2,1	A3,2,2	A3,3,1	A3,3,2	A3,4,1	A3,4,2
中心	45	−50	60	−49	−110	134	42	−73	3	21
单端	18	−1	17	−12	7	−2	13	−11	11	2
双端	15	28	57	−16	−63	−33	12	34	25	−38

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3.4   入射冲击波持时

图24给出了TNT炸药空中爆炸理想入射（蓝实线）和反射（红实线）冲击波超压时程曲线。忽略负压的影响^[29]，入射和反射冲击波超压时程曲线可近似简化为无升压时间的突加三角形线性衰减荷载（浅色实线）。对于同一位置，认为入射和反射冲击波超压正相持时t_d相等^[4]，基于等冲量原则可得：

图  24  理想爆炸波超压时程曲线

Figure  24.  Ideal blast wave overpressure-time histories

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式中：t_d,e为入射（反射）冲击波等效正相持时。不同爆炸比例距离、长径比、起爆方式和方位角的柱形装药入射冲击波峰值超压p_so和最大冲量I_so可分别由式（4）和（8）计算得到。

4.   柱形装药空中爆炸反射冲击波荷载

对2.2节中960组柱形装药空中爆炸反射场有限元模型的计算结果进行分析，讨论柱形装药长径比L/D、起爆方式、入射角度θ、装药相对于刚性墙的方向（轴/径向）以及垂直比例距离Z对反射冲击波峰值超压p_r和超压反射系数μ的影响。

4.1   反射冲击波峰值超压

基于图11所示的爆炸工况，典型轴向反射峰值超压-投影距离（p_r-D_p）曲线如图25所示。以长径比L/D=1柱形装药中心起爆为例（图25（a）），可以看出：正反射超压（D_p=0，θ=0°）随比例距离Z增大不断减小，与入射峰值超压的衰减规律一致。3种起爆方式的反射峰值超压p_r均与投影距离D_p呈负相关关系：当Z较小时，p_r在墙面上随投影距离D_p增大呈现逐渐减小的趋势；随着Z增大，p_r随D_p的增大呈现先增大后减小的趋势。如图26所示，不同长径比的p_r随D_p增大整体保持负相关关系，随着长径比增大，p_r随D_p的增大出现先增后减的趋势。原因在于：轴向工况装药端面正对墙面，L/D较大时装药端面面积较小，能量释放较少，而侧面面积较大，能量释放较多；随着D_p增大，装药侧面取代端面成为墙面承受的爆炸能量的主要释放源，因此出现p_r先增大后减小的趋势。

图  25  3种起爆方式下柱形装药轴向反射峰值超压与投影距离的关系

Figure  25.  Dependence of axial reflected peak overpressure on projection distance of cylindrical charge with three ignition methods

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图  26  典型长径比下柱形装药轴向反射峰值超压与投影距离的关系

Figure  26.  Dependence of axial reflected peak overpressure on projection distance of cylindrical charge with typical L/Ds

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4.2   冲击波超压反射系数

为辅助结构设计，定量分析柱形装药反射与入射峰值超压的关系，定义峰值超压反射系数μ为：

式中：p_so和p_r分别为同一位置处的入射和反射冲击波峰值超压。

图27给出了典型长径比柱形装药中心起爆的超压反射系数-入射角（μ-θ）的关系，图中深色和浅色实线分别代表轴向和径向，图例的超压值代表垂直比例距离为Z处的正入射峰值超压p_so（θ=0°）。可以发现：p_so（θ=0°）越大，μ的初始值（θ=0°）越大，并随入射角θ的增大而递减；随着Z逐渐增大，p_so和p_r减小，μ的初始值也减小，μ随θ增大而下降的趋势也变缓；L/D和Z较小时，轴向反射系数μ衰减较径向快，随着L/D增大，轴向的μ值衰减趋缓而径向的μ值衰减加剧，随着Z的增大，轴向和径向的μ值衰减均趋于平缓。需要指出的是：μ下降过程中出现的小阶跃可能由冲击波在刚性墙上产生的马赫波或柱形装药的二次波峰引起。此外，θ=90°代表无限远处，此时p_so=p_r，即μ=1。

图  27  典型长径比柱形装药中心起爆的轴向和径向超压反射系数

Figure  27.  Axial and radial overpressure reflection coefficients of central ignited cylindrical charge with typical L/Ds

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由于单端起爆的不对称性，需要对轴向和径向分别进行阐述。图28（a）给出了L/D=0.25柱形装药单端起爆时轴向反射系数与入射角（μ-θ）的关系曲线，其中深色和浅色实线分别代表起爆点同侧（0°）和相对一侧（180°）。可以看出：等垂直比例距离Z处起爆点同侧（0°）的正入射峰值超压p_so（θ=0°）大于相对一侧（180°），对应的反射系数初始值μ（θ=0°）规律相同；随着θ增大，两侧的μ值均大体呈现递减并发生小阶跃的趋势。图28（b）给出了径向的μ-θ关系，其中横坐标沿用2.2节中关于入射角±θ的规定。可以看出，起爆点位置不对称造成μ值在起爆点两侧的不对称，即μ(−θ)>μ(θ)。图28（c）进一步给出了双端起爆时轴/径向反射系数与入射角（μ-θ）的关系曲线，其变化趋势与中心起爆基本相同。

图  28  L/D=0.25柱形装药单/双端起爆的轴向和径向峰值超压反射系数

Figure  28.  Axial and radial peak overpressure reflection coefficients of single/double-end ignited cylindrical charge with L/D=0.25

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5.   柱形装药爆炸荷载计算方法与验证

基于上述工作，可以建立柱形TNT装药空中爆炸的爆炸荷载计算方法。首先，输入柱形装药的长径比L/D、装药质量W、目标距离R和起爆方式，根据式（7）和图19、23得到峰值超压和最大冲量的临界比例距离Z_c,p和Z_c,I，然后判断目标位置的比例距离Z是否在临界比例距离Z_c,p和Z_c,I之外。一般情况下Z同时满足大于Z_c,p和Z_c,I即可认为装药形状无影响，此时通过UFC 3-340-02规范^[4]中关于球形装药爆炸荷载公式进行计算，否则需按照柱形装药进行计算。

当Z在临界比例距离内时，输入目标位置相对于装药的方位角α，通过式（4）、（8）和（9）以及表1和表3计算得到入射冲击波荷载，包括入射峰值超压p_so、最大冲量I_so和等效正相持时t_d,e。然后输入入射角θ，基于数值计算得到的反射系数μ，结合式（10）计算得到反射峰值超压p_r。此时，得到了作用于结构任一点处的突加三角形荷载的反射峰值超压p_r和等效正相持时t_d,e，可直接用于结构计算与设计。上述方法适用范围为：0.25≤L/D≤10，0.3 m/kg^1/3≤Z≤15 m/kg^1/3（入射）和1 m/kg^1/3≤Z≤5 m/kg^1/3（反射），目标物迎爆面垂直和平行于装药轴向，以及中心、单端和双端起爆等3种起爆方式。

基于文献[16,19,21,28,30-33]中共360余组柱形装药空中爆炸试验数据，对上述计算方法进行验证。 Knock等^[19,28]开展了一系列0.1 kg≤W≤5 kg、4≤L/D≤6的柱形PE4装药，以及0.14 kg≤W≤0.42 kg、5≤L/D≤6.8的柱形B炸药单端起爆的空中爆炸试验，获取了装药轴向和径向的入射峰值超压p_so；Wisotski等^[30]开展了0.7 kg≤W≤3.7 kg、0.25≤L/D≤10的柱形B炸药单端起爆的空中爆炸试验，获取了装药径向的p_so；Plooster^[31]开展了3.63 kg≤W≤7.26 kg、0.25≤L/D≤6的柱形Pentolite炸药单端起爆的空中爆炸试验，并测得装药径向的p_so；Su等^[32]开展了一系列W=4 kg、L/D=1.87的柱形TNT装药单端起爆空中爆炸试验并测得其轴向和径向的p_so。上述试验中，p_so的试验结果与本文中的预测结果对比如图29（a）所示，可以看出提出的计算方法对p_so的预测准确性较好。

图  29  爆炸荷载试验与计算结果对比

Figure  29.  Comparisons of test data and calculated results of blast loadings

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Anastacio等^[16]开展了0.25 kg≤W≤0.45 kg、0.27≤L/D≤5.75的柱形PE4装药双端起爆的空中爆炸试验，在装药径向1～3.5 m范围内布置了压力传感器，得到了一系列入射冲击波最大冲量试验数据，相关的对比结果如图29（b）所示，可以看出预测结果与试验数据吻合很好。

Wu等^[21]开展了0.24 kg≤W≤8.0 kg、L/D=1的柱形B炸药单端起爆的空中爆炸试验，获取了比例距离在0.75～3 m/kg^1/3范围内的p_r和t_d；Tian等^[33]开展了W=4 kg、L/D=1.87的柱形TNT装药单端起爆的空中爆炸试验，获取了Z=1 m/kg^1/3处的p_r和t_d。Su等^[32]的试验也获得了一系列p_r和t_d。图29（c）～（d）分别给出了上述试验中的p_r与相应的计算结果p_r,c，以及等效持时t_d,e与计算等效持时t_d,ec的对比，可以看出数据基本在±25%误差区间内。考虑到爆炸波测试受海拔、天气和空气温湿度等多种环境因素影响，上述误差对于结构抗爆设计可以接受。需要指出的是，上述计算中炸药量均取等效TNT当量，其中PE4、B炸药、Pentolite炸药和TNT炸药的超压（冲量）等效当量换算系数分别取1.34（1.30）、1.11（0.98）和1.42（1.00）^{[1, 28, 34]}。

6.   结　论

本文中首先开展柱形TNT装药单端起爆的空中爆炸试验和数值模拟，通过与试验和UFC 3-340-02规范进行对比，验证了有限元分析方法的适用性。进一步基于1000余组柱形装药空中爆炸自由场和反射场工况的数值仿真，对柱形装药空中爆炸的冲击波场分布、冲击波传播规律、入射和反射超压荷载进行了研究，主要结论有：

（1）通过分析长径比L/D、起爆方式和比例距离Z对不同方位角α的自由场入射峰值超压p_so和最大冲量I_so的影响，得出L/D的增大会引起轴向p_so先减小后增大；而径向p_so则先增大后减小；其他方位角p_so的变化介于二者之间，但其值均小于轴向和径向值；I_so变化规律与之类似；1 kg装药工况下，单端起爆中起爆点相对一侧0.3 m/kg^1/3处的p_so和I_so约为同侧的1.53倍和1.23倍，双端起爆径向0.3 m/kg^1/3处的p_so和I_so约为中心起爆的2.47倍和1.68倍。

（2）通过分析装药L/D、起爆方式和Z等对不同α的入射冲击波峰值超压和最大冲量形状因子分布特征的影响，提出了峰值超压和最大冲量临界比例距离的判定准则与确定方法。阐明了3种起爆方式下不同L/D柱形装药空中爆炸反射冲击波峰值超压随刚性墙比例距离Z和投影距离D_p的变化规律，以及轴向和径向冲击波超压反射系数与Z和D_p的关系。

（3）提出了柱形装药空中爆炸入射冲击波荷载（入射峰值超压、最大冲量和等效正相持时）和反射冲击波荷载（反射峰值超压和等效正相持时）的计算方法，并得到试验验证。