质量参数对空爆荷载梁构件振动位移的影响

耿少波; 洪欣; 郑毅; 沈新月

doi:10.11883/bzycj-2023-0241

质量参数对空爆荷载梁构件振动位移的影响

doi: 10.11883/bzycj-2023-0241

中北大学环境与安全工程学院土木工程学科部, 山西太原 030051

基金项目: 国家自然科学基金（51408558）；山西省基础研究计划（202203021211099）

详细信息

作者简介:
耿少波（1982－　），男，博士，副教授，gengshaobo@nuc.edu.cn

中图分类号: O383.2
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出版历程
- 收稿日期: 2023-07-07
- 修回日期: 2023-11-02
- 网络出版日期: 2023-12-29
- 刊出日期: 2024-05-08

Effect of mass parameter on vibration displacement of beam member under air blast loading

Department of Civil Engineering, School of Environment and Safety Engineering, North University of China, Taiyuan 030051, Shanxi, China

摘要

摘要: 为研究质量参数对空爆荷载梁构件振动位移的影响，以等效单自由度法为基本方法，理论推导了柔性及刚性2类梁构件含质量参数在弹性、塑性各阶段的振动位移解，选择矩形截面、圆截面为梁构件典型截面，设计并计算了质量参数在1.00~1.20范围内的13种典型工况。结果表明：对于空爆荷载柔性及刚性2类梁构件，增大其截面面积后，仅考虑质量参数计算振动位移时误差较大，应按质量参数及产生的附加刚度参数耦合效应分析；对于矩形截面梁构件，采用质量参数与刚度参数耦合计算时，其最大弹性位移、最大弹塑性位移和残余变形降低幅度分别约为仅采用质量参数计算结果的4.75、3.28和2.96倍；对于圆截面梁构件，则分别为3.57、2.56和2.32倍；该结论在柔性梁构件及刚性梁构件均适用且无明显差异。
- 空爆荷载 /
- 质量参数 /
- 梁构件 /
- 动力响应 /
- 刚度 /
- 残余变形
Abstract: By exploring the effect of mass parameter on the vibration displacement of beam members under air blast loading, an effective method was proposed to reduce the vibration displacement of beam members by increasing mass. An equivalent single degree of freedom (SDOF) system was used to analyze vibration displacement for beam members. The displacement formulas with mass parameter for flexible and rigid beam members in each stage under air blast loading were respectively established. These stages included elastic forced vibration, elastic free vibration, plastic forced vibration, plastic free vibration, and rebound vibration. Rectangular and circular sections were selected as typical cross sections of beam members, and 13 typical calculation cases with mass parameters ranging from 1.00 to 1.20 were designed. The vibration displacement-time history curves, maximum elastic displacement, maximum elastic-plastic displacement, and residual deformation were calculated and analyzed. Taking the data with a mass parameter value of 1.0 as the reference value, the displacement reduction rate of other calculation cases relative to the reference value could be obtained. The difference between the types of beam members for displacement reduction rate was further analyzed. The results are as follows. For flexible and rigid beam members subjected to air blast loading, increasing the cross-sectional area and considering only the mass parameter will result in a smaller reduction in vibration displacement. Therefore, the displacement should be analyzed according to the coupling effect of the mass parameter and additional stiffness parameter. For beam members with rectangular cross-sections, the reduction ranges of maximum elastic displacement, maximum elastic-plastic displacement, and residual deformation calculated from the coupled effect of mass parameter and stiffness parameter are about 4.75, 3.28, and 2.96 times that of mass parameter alone. For beams with circular cross-section, the data are 3.75, 2.56, and 2.32 times. These conclusions apply to both flexible beam members and rigid beam members, and there is no significant difference.
- air blast loading /
- mass parameter /
- beam member /
- dynamic response /
- stiffness /
- residual deformation

HTML全文

梁构件被广泛应用于建筑、桥梁、船舶和车辆等结构中，其空爆荷载下的振动响应及控制是当前研究热点之一。现有的抗爆设计规范^[1-4]常将该问题简化为等效单自由度体系（single degree of freedom，SDOF)^[5]进行分析。质量、阻尼和刚度是影响梁构件振动的内在决定性因素，学者们主要从这3个方面开展相关试验和理论研究。

在试验方面：Yao等^[6]、Yan等^[7]、Liao等^[8]和Li等^[9-10]开展了钢筋混凝土梁构件空爆试验，通过增加配筋率以提高构件刚度，有效地观察到了梁构件的不同动力响应；赵卫坤等^[11]和周广盼等^[12]采用有限元软件对不同配筋率梁构件在空爆荷载下的动态响应进行了分析，发现提高梁构件的配筋率能够降低梁构件的振动位移峰值；Kou等^[13]采用有限元软件对钢构件及接头空爆荷载下的动力响应进行了分析，结果表明，刚度能影响最大塑性位移；梅志远等^[14]、张婧等^[15]以船体的梁构件为分析对象，发现提高刚度可以提高梁构件抗空爆冲击波的能力。在理论方面：方秦等^[16]分析了刚度系数、阻尼系数和质量比对门的动力响应的影响；耿少波等^[17]采用双折线抗力模型研究了塑性强化因素对梁构件最大弹塑性位移的影响；谢卫红等^[18]采用弹塑性抗力模型研究了刚度参数对梁构件动力响应的影响；董晓鹏等^[19]结合等效单自由度方法和有限元模拟，分析了约束刚度对梁端的动力响应的影响，认为约束刚度能减缓梁构件的振动位移；He等^[20]研究了含有弹簧-质量构件在爆炸荷载下的动力响应，结果表明，改变构件的刚度和质量，可以有效地降低振动位移峰值；Hao^[21]应用理论推导和数值模拟分析，发现质量增加有利于提高梁构件的抗爆能力。

可以看出，学者们对降低空爆荷载梁构件的振动位移已经进行了积极探索，但是，提高梁构件质量可在多大程度上改变梁构件的振动特征仍处于试验摸索和理论定性分析阶段，尚未完成含质量参数空爆荷载梁构件各振动阶段位移的详细推导。本文中，基于柔性梁构件和刚性梁构件的分类^[22]，分别给出不同阶段梁构件的振动位移方程解，通过设计典型工况，对不同质量参数的梁构件在空爆荷载下的最大弹性位移、最大弹塑性位移和残余变形进行研究和分析，并与质量参数不变的工况进行对比，考察质量参数对梁构件振动位移的影响，为开展梁构件抗爆设计提供理论基础。

1. 空爆荷载柔性梁构件位移响应求解

1.1 空爆荷载柔性梁构件的定义及振动阶段划分

定义t_i为空爆荷载作用时长，t_T为梁构件由弹性振动进入塑性振动的时间分界点。当t_i<t_T，空爆荷载结束时梁构件尚未完成弹性振动，定义此类梁构件为柔性梁构件。

由文献[1]可知，空爆荷载作用时长t_i很短，小于梁构件达到最大弹塑性位移所需时长t_m，即柔性梁构件时长参数的关系为t_i<t_T<t_m。因此，根据梁构件荷载作用时长分别与达到最大弹性位移、最大弹塑性位移时长关系，将柔性梁构件空爆荷载作用阶段划分为弹性强迫振动阶段（0≤t≤t_i）、弹性自由振动阶段（t_i<t≤t_T）、塑性自由振动阶段（t_T<t≤t_m）。

1.2 弹性强迫振动阶段

根据梁构件等效单自由度体系理论，在弹性阶段且在空爆荷载作用时间范围内（0≤t≤t_i，t为梁构件振动时间变量），弹性强迫振动阶段等效单自由度动力方程为：

${M_{\text{e}}}\ddot y + {C_{\text{e}}}\dot y + {K_{\text{e}}}y = \Delta {p_{\text{e}}}\left( t \right)$

(1)

式中：M_e为等效质量，C_e为等效阻尼，K_e为等效刚度，y为梁构件的振动位移，Δp_e(t)为梁构件所承受的随时间t变化的空爆荷载。各等效参数的计算公式分别为：

${M_{\text{e}}} = {\alpha _{\text{m}}}{k_{\text{M}}}ml,\qquad {C_{\text{e}}} = 2\xi {\alpha _{\text{c}}}\sqrt {{\alpha _{\text{m}}}{k_{\text{M}}}ml{\alpha _{\text{k}}}{k_{\text{L}}}K} {\text{,}}\qquad {K_{\text{e}}} = {\alpha _{\text{k}}}{k_{\text{L}}}K$

(2)

式中：m为梁构件单位长度的质量，l为梁构件的跨长，ξ为梁构件的阻尼比，K为真实梁构件的刚度，k_M为梁构件在弹性阶段的质量变换系数，k_L为梁构件在弹性阶段的荷载变换系数，α_m为梁构件质量参数，α_c为梁构件阻尼参数，α_k为梁构件刚度参数。空爆荷载正超压作用时间非常短，常简化为等冲量的线性荷载，规范^[1]采用如下等效空爆荷载：

$\Delta {p_{\text{e}}}(t) = \left\{ \begin{split} & \Delta {p_{\text{m}}}l{k_{{\text{L}}\left( 1 \right)}}\left( {1 - \dfrac{t}{{{t_{\text{i}}}}}} \right)\;\;\;\;\;\; 0 {\text{≤}} t {\text{≤}} {t_{\text{i}}} \\ &0\;\;\;\;\;\;\qquad\qquad\qquad\quad t {\text{＞}} {t_{\text{i}}} \end{split} \right.$

(3)

式中：Δp_m为冲击波超压峰值，k_L(1)为梁构件在弹性阶段的荷载变换系数k_L或塑性阶段的荷载变换系数k₁。

求解式(1)，结合以位移、速度均为零的初始条件，可解出其位移和速度的表达式，此时将t=t_i分别代入这些表达式，可求出空爆荷载结束的t_i时刻对应的位移y_i和速度v_i分别为：

${y_{\text{i}}} = \frac{{{y_{{\text{st}}}}}}{{{\alpha _{\text{k}}}}}\left\{ {{{\text{e}}^{ - {\alpha _{\text{c}}}\xi \omega {t_{\text{i}}}}}\left[ {\left( {\frac{{1 - 2{\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2}}}{{{t_{\text{i}}}}} - \xi {\alpha _{\text{c}}}\omega } \right)\frac{{\sin ({\omega _{\text{g}}}{t_{\text{i}})}}}{{{\omega _{\text{g}}}}} - \left( {1 + \frac{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}}}{{\omega {t_{\text{i}}}}}} \right)\cos ({\omega _{\text{g}}}{t_{\text{i}}}}) \right] + \frac{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}}}{{\omega {t_{\text{i}}}}}} \right\}$

(4)

${v_{\text{i}}} = \frac{{{y_{{\text{st}}}}}}{{{\alpha _{\text{k}}}}}\Bigg\{ {{{\text{e}}^{ - {\alpha _{\text{c}}}\xi \omega {t_{\text{i}}}}}\left\{ {\frac{{\cos ({\omega _{\text{g}}}{t_{\text{i}})}}}{{{t_{\text{i}}}}} + \left[ {{\omega _{\text{g}}} + \frac{{{\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2}{\omega ^2}}}{{{\omega _{\text{g}}}}} + \frac{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}{\omega _{\text{g}}}}}{{\omega {t_{\text{i}}}}} + \frac{{\xi {\alpha _{\text{c}}}\omega }}{{{t_{\text{i}}}{\omega _{\text{g}}}}}\left( {2{\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2} - 1} \right)} \right]\sin ({\omega _{\text{g}}}{t_{\text{i}}}} )\right\} - \frac{1}{{{t_{\text{i}}}}}} \Bigg\}$

(5)

式中：ω₁为质量不变无阻尼振动频率，ω为质量改变无阻尼振动频率，ω_g为含阻尼振动频率，y_st为质量不变时梁构件超压峰值视为静载时对应的位移。各参数计算公式分别为：

${\omega _{\text{1}}^2} = \frac{{{k_{\text{L}}}K}}{{{k_{\text{M}}}ml}}{\text{,}}\quad {\omega ^2} = \frac{{{\alpha _{\text{k}}}}}{{{\alpha _{\text{m}}}}}{\omega _{\text{1}}^2},\quad {\omega _{\text{g}}} = \omega \sqrt {1 - {\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2}}$

(6)

$\frac{{{C_{\text{e}}}}}{{{M_{\text{e}}}}} = 2{\alpha _{\text{c}}}\xi \omega ,\quad \frac{{{K_{\text{e}}}}}{{{M_{\text{e}}}}} = {\omega ^2},\quad \frac{{{C_{\text{e}}}}}{{{K_{\text{e}}}}} = \frac{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}}}{\omega },\quad {y_{{\text{st}}}} = \frac{{\Delta {p_{\text{m}}}l}}{K}$

(7)

1.3 弹性自由振动阶段

当空爆荷载卸载，梁构件进入无外荷载、以位移y_i及速度v_i为初始条件的弹性自由振动阶段，即当t_i<t≤t_T时，弹性自由振动阶段等效单自由度动力方程为：

${M_{\text{e}}}\ddot y + {C_{\text{e}}}\dot y + {K_{\text{e}}}y = 0$

(8)

求解式(8)，可得此阶段的位移和速度表达式分别为：

$y = {{\text{e}}^{ - {\alpha _{\text{c}}}\xi \omega \left( {t - {t_{\text{i}}}} \right)}}\left\{ {{y_{\text{i}}}\cos \left[ {{\omega _{\text{g}}}\left( {t - {t_{\text{i}}}} \right)} \right] + \frac{{{v_{\text{i}}} + {\alpha _{\text{c}}}\xi \omega {y_{\text{i}}}}}{{{\omega _{\text{g}}}}}\sin \left[ {{\omega _{\text{g}}}\left( {t - {t_{\text{i}}}} \right)} \right]} \right\}$

(9)

$v = {{\text{e}}^{ - {\alpha _{\text{c}}}\xi \omega \left( {t - {t_{\text{i}}}} \right)}}\left\{ {{v_{\text{i}}}\cos \left[ {{\omega _{\text{g}}}\left( {t - {t_{\text{i}}}} \right)} \right] - \left[ {\frac{{{\alpha _{\text{c}}}\xi \omega }}{{{\omega _{\text{g}}}}}\left( {{v_{\text{i}}} + {\alpha _{\text{c}}}\xi \omega {y_{\text{i}}}} \right) + {\omega _{\text{g}}}{y_{\text{i}}}} \right]\sin \left[ {{\omega _{\text{g}}}\left( {t - {t_{\text{i}}}} \right)} \right]} \right\}$

(10)

θ_i、θ_T为梁构件时长参数，r_g为阻尼系数，表示为：

${\theta _{\text{i}}} = \omega {t_{\text{i}}},\;\;\;\;\;\;{\text{ }}{\theta _{\text{T}}} = \omega {t_{\text{T}}}{\text{,}}\;\;\quad{r_{\text{g}}} = \sqrt {1 - {\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2}}$

(11)

在t_T时刻，梁构件弹性振动达到最大位移，为简洁表达此时的位移、速度，令：

$f_1^ * = \frac{1}{{{r_{\text{g}}}{\alpha _{\text{k}}}}}\left( {\frac{{1 - 2{\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2}}}{{{\theta _{\text{i}}}}} - \xi {\alpha _{\text{c}}}} \right){\text{,}}\;\;\quad f_2^ * = - \frac{1}{{{\alpha _{\text{k}}}}}\left( {1 + \frac{{2\xi {\alpha _{\rm{c}}}}}{{{\theta _{\text{i}}}}}} \right)$

(12)

$f_3^ * = \frac{1}{{{\alpha _{\text{k}}}}}\left( {\frac{{{\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2}}}{{{r_{\text{g}}}}} + \frac{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}{r_{\text{g}}}}}{{{\theta _{\text{i}}}}} + {r_{\text{g}}}} \right){\text{,}}\;\;\quad f_4^ * = \frac{{\xi {\alpha _{\text{c}}}}}{{{r_{\text{g}}}{\alpha _{\text{k}}}{\theta _{\text{i}}}}}\left( {2{\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2} - 1} \right){\text{,}}\;\;\quad f_5^ * = \frac{1}{{{\alpha _{\text{k}}}{\theta _{\text{i}}}}}$

(13)

将t=t_T代入式(9)～(10)，由式(12)～(13)可求出此时刻的位移、速度分别为：

$\begin{gathered} {y_{\text{T}}} = {y_{{\text{st}}}}{{\text{e}}^{ - {\alpha _{\text{c}}}\xi \left( {{\theta _{\text{T}}} - {\theta _{\text{i}}}} \right)}}\Biggr\{ \frac{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}}}{{{\alpha _{\text{k}}}{\theta _{\text{i}}}}}\cos \left[ {{r_{\text{g}}}\left( {{\theta _{\text{T}}} - {\theta _{\text{i}}}} \right)} \right] - \left(f_1^ * + \frac{{\xi {\alpha _{\text{c}}}}}{{{r_{\text{g}}}{\alpha _{\text{k}}}}}\right)\sin \left[ {{r_{\text{g}}}\left( {{\theta _{\text{T}}} - {\theta _{\text{i}}}} \right)} \right] + \\ \qquad {{\text{e}}^{ - {\alpha _{\text{c}}}\xi {\theta _{\text{i}}}}}\left\{ \left[ {f_1^ * \sin ({r_{\text{g}}}{\theta _{\text{i}}}) + f_2^ * \cos ({r_{\text{g}}}{\theta _{\text{i}}}} )\right]\cos \left[ {{r_{\text{g}}}\left( {{\theta _{\text{T}}} - {\theta _{\text{i}}}} \right)} \right] + \left[ {f_1^ * \cos ({r_{\text{g}}}{\theta _{\text{i}}} )- f_2^ * \sin( {r_{\text{g}}}{\theta _{\text{i}}}}) \right]\sin \left[ {{r_{\text{g}}}\left( {{\theta _{\text{T}}} - {\theta _{\text{i}}}} \right)} \right] \right\} \Biggr\}\\\end{gathered}$

(14)

$\begin{gathered} {v_{\text{T}}} = \omega y_{{\text{st}}}{\text{e}}^{ - {\alpha _{\text{c}}}\xi \left( {{\theta _{\text{T}}} - {\theta _{\text{i}}}} \right)}\bigg\{ {\text{e}}^{ - {\alpha _{\text{c}}}\xi {\theta _{\text{i}}}}\left\{ \left[ \left( {f_3^ * + f_4^ * } \right)\sin ({r_{\text{g}}}{\theta _{\text{i}}}) + f_5^ * \cos( {r_{\text{g}}}{\theta _{\text{i}}} )\right]\cos \left[ {r_{\text{g}}}\left( {{\theta _{\text{T}}} - {\theta _{\text{i}}}} \right) \right] +\left[ \left( {f_3^ * + f_4^ * } \right)\cos( {r_{\text{g}}}{\theta _{\text{i}}}) - \right.\right.\\ \qquad \left.\left. f_5^ * \sin ({r_{\text{g}}}{\theta _{\text{i}}}) \right]\sin \left[ {r_{\text{g}}}\left( {{\theta _{\text{T}}} - {\theta _{\text{i}}}} \right) \right] \right\} - f_5^ * \cos \left[ {r_{\text{g}}}\left( {{\theta _{\text{T}}} - {\theta _{\text{i}}}} \right) \right] - \left( f_4^ * + 2\xi {\alpha _{\text{c}}}{r_{\text{g}}}f_5^ * \right)\sin \left[ {r_{\text{g}}}\left( {{\theta _{\text{T}}} - {\theta _{\text{i}}}} \right) \right] \bigg\}\\ \end{gathered}$

(15)

1.4 塑性自由振动阶段

当t>t_T时，梁构件进入无外荷载、以位移y_T及速度v_T为初始条件的塑性自由振动，即当t_T<t≤t_m时，塑性自由振动阶段等效单自由度动力方程为：

${m_{\text{e}}}\ddot y + {c_{\text{e}}}\dot y + {q_{\text{m}}} = 0$

(16)

式中：m_e为塑性阶段等效质量，c_e为塑性阶段等效阻尼，q_m为梁构件最大抗力。参数计算公式为：

${m_{\text{e}}} = {\alpha _{\text{m}}}{k_{\text{m}}}ml,\qquad {c_{\text{e}}} = 2\xi {\alpha _{\text{c}}}\sqrt {{\alpha _{\text{m}}}{k_{\text{m}}}ml{\alpha _{\text{k}}}{k_{\text{1}}}K,} \qquad {q_{\text{m}}} = {\alpha _{\text{k}}}{k_{\text{1}}}K{y_{\text{T}}}$

(17)

$\frac{{{c_{\text{e}}}}}{{{m_{\text{e}}}}} = 2{\alpha _{\text{c}}}\xi \omega \sqrt {\frac{{{k_{{\text{M-L}}}}}}{{{k_{{\text{m-1}}}}}}} {\text{,}}\qquad \frac{{{q_{\text{m}}}}}{{{c_{\text{e}}}}} = \frac{{{y_{\text{T}}}}}{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}}}\omega \sqrt {\frac{{{k_{{\text{M-L}}}}}}{{{k_{{\text{m-1}}}}}}} {\text{,}}\qquad \frac{{{q_{\text{m}}}}}{{{m_{\text{e}}}}} = {y_{\text{T}}}{\omega ^2}\frac{{{k_{{\text{M-L}}}}}}{{{k_{{\text{m-1}}}}}}$

(18)

式中：k_m为塑性阶段质量变换系数，k_M-L、k_m-1分别为弹性、塑性阶段质量变换系数与荷载变换系数之比。k_M-L、k_m-1的表达式分别为：

${k_{{\text{M-L}}}} ={{{k_{\text{M}}}}}/{{{k_{\text{L}}}}}{\text{,}}\qquad {k_{{\text{m-1}}}} = {{{k_{\text{m}}}}}/{{{k_{\text{1}}}}}$

(19)

求解式(16)，则此阶段位移和速度表达式为：

$y = {y_{\text{T}}} + \frac{{{m_{\text{e}}}}}{{{c_{\text{e}}}}}\left( {{v_{\text{T}}} + \frac{{{q_{\text{m}}}}}{{{c_{\text{e}}}}}} \right)\left[ {1 - {{\text{e}}^{ {- \frac{{{c_{\text{e}}}}}{{{m_{\text{e}}}}}} {\left( {t - {t_{\text{T}}}} \right)}}}} \right] - \frac{{{q_{\text{m}}}}}{{{c_{\text{e}}}}}\left( {t - {t_{\text{T}}}} \right)$

(20)

$v = \left( {{v_{\text{T}}} + \frac{{{q_{\text{m}}}}}{{{c_{\text{e}}}}}} \right){{\rm{e}}^{ {- \tfrac{{{c_{\text{e}}}}}{{{{m}_{\text{e}}}}}} {\left( {t - {t_{\text{T}}}} \right)}}} - \frac{{{q_{\text{m}}}}}{{{c_{\text{e}}}}}$

(21)

当运动达到最大位移y_m时，此对应t_m时刻的速度v_m=0，代入式(21)，得到：

${t_{\text{m}}} = {t_{\text{T}}} - \frac{{{m_{\text{e}}}}}{{{c_{\text{e}}}}}\ln {\frac{{{q_{\text{m}}}}}{{{c_{\text{e}}}{v_{\text{T}}} + {q_{\text{m}}}}}}$

(22)

将式(22)代入式(20)，得到梁构件弹塑性振动最大位移表达式为：

${y_{\text{m}}} = {y_{\text{T}}} + \frac{{{v_{\text{T}}}}}{{2{\alpha _{\text{c}}}\xi \omega }}\sqrt {\frac{{{k_{{\text{m-1}}}}}}{{{k_{{\text{M-L}}}}}}} - \frac{{{y_{\text{T}}}}}{{4{\alpha _{\text{c}}^2}{\xi ^2}}}\ln \left( {1 + 2\xi {\alpha _{\text{c}}}\frac{{{v_{\text{T}}}}}{{\omega {y_{\text{T}}}}}\sqrt {\frac{{{k_{{\text{m-1}}}}}}{{{k_{{\text{M-L}}}}}}} } \right)$

(23)

根据弹塑性理论，延性比β为梁构件振动弹塑性变形最大值与弹性变形最大值的比，动力系数k_h为梁构件振动弹性变形最大值与将冲击波超压峰值视为静载时的变形之比，表达式为：

$\beta = {{{y_{\text{m}}}}}/{{{y_{\text{T}}}}},\;\;\;\;\;\;{\text{ }}{k_{\text{h}}}{\text{ = }}{{{y_{\text{T}}}}}/{{{y_{{\text{st}}}}}}$

(24)

且令：

$\begin{gathered}f_6^ * = {\text{e}}^{ - {\alpha _{\text{c}}}\xi \left( {\theta _{\text{T}}} - {\theta _{\text{i}}} \right)}\bigg\{ {\text{e}}^{ - {\alpha _{\text{c}}}\xi {\theta _{\text{i}}}}\left\{ \left[ \left( {f_3^ * + f_4^ * } \right)\sin ({r_{\text{g}}}{\theta _{\text{i}}}) + f_5^ * \cos ({r_{\text{g}}}{\theta _{\text{i}}} )\right]\cos \left[ {r_{\text{g}}}\left( {{\theta _{\text{T}}} - {\theta _{\text{i}}}} \right) \right] + \left[ \left( {f_3^ * + f_4^ * } \right)\cos ({r_{\text{g}}}{\theta _{\text{i}}} )- \right.\right. \\ \quad\;\;\; \left.\left.f_5^ * \sin ({r_{\text{g}}}{\theta _{\text{i}}}) \right]\sin \left[ {{r_{\text{g}}}\left( {{\theta _{\text{T}}} - {\theta _{\text{i}}}} \right)} \right] \right\} - f_5^ * \cos \left[ {{r_{\text{g}}}\left( {{\theta _{\text{T}}} - {\theta _{\text{i}}}} \right)} \right] - \left( {f_4^ * + 2\xi {\alpha _{\text{c}}}{r_{\text{g}}}f_5^ * } \right)\sin \left[ {{r_{\text{g}}}\left( {{\theta _{\text{T}}} - {\theta _{\text{i}}}} \right)} \right] \bigg\} \\ \end{gathered}$

(25)

将式(14)~(15)代入式(23)，并结合式(24)~(25)，可得柔性梁构件延性比β的表达式：

$\beta = 1 + \frac{{f_6^*}}{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}{k_{\text{h}}}}}\sqrt {\frac{{{k_{{\text{m-1}}}}}} {{{k_{{\text{M-L}}}}}}} - \frac{1}{{4{\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2}}}\ln \left( {1 + 2\xi {\alpha _{\text{c}}} \frac{{f_6^ * }}{{{k_{\text{h}}}}}\sqrt {\frac{{{k_{{\text{m-1}}}}}}{{{k_{{\text{M-L}}}}}}} } \right)$

(26)

2. 空爆荷载刚性梁构件位移响应求解

2.1 空爆荷载刚性梁构件定义及振动阶段划分

与柔性梁构件定义类似，空爆荷载尚未卸载时，梁构件已完成弹性振动并进入塑性振动，空爆荷载卸载后，梁构件继续振动达到最大弹塑性位移，定义此类构件为刚性梁构件。

由文献[1]可知，此时可将刚性梁构件空爆荷载作用阶段划分为弹性强迫振动阶段（0≤t≤t_T）、塑性强迫振动阶段（t_T<t≤t_i）、塑性自由振动阶段（t_i<t≤t_m）。

2.2 弹性强迫振动阶段

刚性梁构件在空爆荷载作用时长0≤t≤t_T内，为弹性强迫振动，该阶段的等效单自由度动力方程为：

${M_{\text{e}}}\ddot y + {C_{\text{e}}}\dot y + {K_{\text{e}}}y = \Delta {p_{\text{e}}}\left( t \right)$

(27)

由此可见，此方程与式(1)相同，即将t_T代入式(4)～(5)，可得弹性阶段结束时位移和速度的表达式为：

${y_{\text{T}}} = \frac{{{y_{{\text{st}}}}}}{{{\alpha _{\text{k}}}}}\left\{ {{{\text{e}}^{ - {\alpha _{\text{c}}}\xi \omega {t_{\text{T}}}}}\left[ {\left( {\frac{{1 - 2{\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2}}}{{{t_{\text{i}}}}} - \xi {\alpha _{\text{c}}}\omega } \right)\frac{{\sin ({\omega _{\text{g}}}{t_{\text{T}})}}}{{{\omega _{\text{g}}}}} - \left( {1 + \frac{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}}}{{\omega {t_{\text{i}}}}}} \right)\cos ({\omega _{\text{g}}}{t_{\text{T}}}} )\right] + \left( {1 + \frac{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}}}{{\omega {t_{\text{i}}}}} - \frac{{{t_{\text{T}}}}}{{{t_{\text{i}}}}}} \right)} \right\}$

(28)

${v_{\text{T}}} = \frac{{{y_{{\text{st}}}}}}{{{\alpha _{\text{k}}}}}\left\{ {{{\text{e}}^{ - {\alpha _{\text{c}}}\xi \omega {t_{\text{T}}}}}\left\{ {\frac{{\cos ({\omega _{\text{g}}}{t_{\text{T}}})}}{{{t_{\text{i}}}}} + \left[ {{\omega _{\text{g}}} + \frac{{{\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2}{\omega ^2}}}{{{\omega _{\text{g}}}}} + \frac{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}{\omega _{\text{g}}}}}{{\omega {t_{\text{i}}}}} + \frac{{\xi {\alpha _{\text{c}}}\omega }}{{{t_{\text{i}}}{\omega _{\text{g}}}}}\left( {2{\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2} - 1} \right)} \right]\sin ({\omega _{\text{g}}}{t_{\text{T}}}} )\right\} - \frac{1}{{{t_{\text{i}}}}}} \right\}$

(29)

2.3 塑性强迫振动阶段

当梁构件转入塑性振动时，空爆荷载仍在，为以位移y_T、速度v_T为初始条件的塑性强迫振动，即当t_T<t≤t_i时，塑性强迫振动阶段等效单自由度动力方程为：

${m_{\text{e}}}\ddot y + {c_{\text{e}}}\dot y + {k_{\text{e}}}{y_{\text{e}}} = \Delta {p_{\text{e}}}\left( t \right)$

(30)

求解式(30)后，为简洁表达位移和速度，令：

$f_{\text{7}}^ * = {y_{{\text{st}}}}\left\{ {{{\text{e}}^{ - {\alpha _{\text{c}}}\xi \omega {t_{\text{T}}}}}\left[ {\left( {\frac{{1 - 2{\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2}}}{{4{\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2}{t_{\text{i}}}}} - \frac{\omega }{{4\xi {\alpha _{\text{c}}}}}} \right)\frac{{\sin ({\omega _{\text{g}}}{t_{\text{T}})}}}{{{\omega _{\text{g}}}{\alpha _{\text{k}}}}} - \left( {\frac{1}{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}}} + \frac{1}{{\omega {t_{\text{i}}}}}} \right)\frac{{\cos ({\omega _{\text{g}}}{t_{\text{T}}})}}{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}{\alpha _{\text{k}}}}}} \right] + \frac{1}{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}{\alpha _{\text{k}}}}}\left( {\frac{{{t_{\text{i}}} - {t_{\text{T}}}}}{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}{t_{\text{i}}}}} + \frac{1}{{\omega {t_{\text{i}}}}}} \right)} \right\}$

(31)

$f_{\text{8}}^ * = {y_{{\text{st}}}}\left\{ {{{\text{e}}^{ - {\alpha _{\text{c}}}\xi \omega {t_{\text{T}}}}}\left[ {\frac{{\cos ({\omega _{\text{g}}}{t_{\text{T}}})}}{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}\omega {\alpha _{\text{k}}}{t_{\text{i}}}}} + \left( {\frac{{{\omega _{\text{g}}}}}{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}\omega {\alpha _{\text{k}}}}} + \frac{{\xi {\alpha _{\text{c}}}\omega }}{{2{\omega _{\text{g}}}{\alpha _{\text{k}}}}} + \frac{{{\omega _{\text{g}}}}}{{{\omega ^2}{\alpha _{\text{k}}}{t_{\text{i}}}}} + \frac{{2{\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2} - 1}}{{2{\alpha _{\text{k}}}{t_{\text{i}}}{\omega _{\text{g}}}}}} \right)\sin ({\omega _{\text{g}}}{t_{\text{T}}}}) \right] - \frac{1}{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}\omega {\alpha _{\text{k}}}{t_{\text{i}}}}}} \right\}$

(32)

$f_9^ * = {y_{{\text{st}}}}\left[ {\frac{{\omega \left( {{t_{\text{i}}} - {t_{\text{T}}}} \right)}}{{4{\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2}{\alpha _{\text{k}}}\omega {t_{\text{i}}}}} + \frac{1}{{8{t_{\text{i}}}{\xi ^3}{\alpha _{\text{c}}^3}\omega {\alpha _{\text{k}}}}}\sqrt {\frac{{{k_{{\text{m-1}}}}}}{{{k_{{\text{M-L}}}}}}} } \right] - f_{\text{7}}^ * - f_{\text{8}}^ * \sqrt {\frac{{{k_{{\text{m-1}}}}}}{{{k_{{\text{M-L}}}}}}}$

(33)

结合式(31)～(33)，可解出式(30)的位移及速度表达式，此时将t=t_i分别代入这些表达式，可求出空爆荷载卸载时刻t_i对应的位移y_i和速度v_i分别为：

$\begin{gathered} {y_{\text{i}}} = 4{\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2}f_7^ *-f_9^ * \left[ {1-{{\text{e}}^{-2{\alpha _{\text{c}}}\xi \omega \left( {{t_{\text{i}}}-{t_{\text{T}}}} \right)\sqrt {\tfrac{{{k_{{\text{M-L}}}}}}{{{k_{{\text{m-1}}}}}}} }}} \right]-\frac{{\omega {y_{{\text{st}}}}{{\left( {{t_{\text{i}}}-{t_{\text{T}}}} \right)}^2}}}{{4\xi {\alpha _{\text{c}}}{\alpha _{\text{k}}}{t_{\text{i}}}}}\sqrt {\frac{{{k_{{\text{M-L}}}}}}{{{k_{{\text{m-1}}}}}}} + \\ \qquad {y_{{\text{st}}}}\left[ {\frac{{\omega \left( {{t_{\text{i}}}-{t_{\text{T}}}} \right)}}{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}{\alpha _{\text{k}}}{t_{\text{i}}}}}\sqrt {\frac{{{k_{{\text{M-L}}}}}}{{{k_{{\text{m-1}}}}}}} + \frac{1}{{4{\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2}{\alpha _{\text{k}}}{t_{\text{i}}}}}} \right]\left( {{t_{\text{i}}}-{t_{\text{T}}}} \right)-2\omega \xi {\alpha _{\text{c}}}f_7^ * \sqrt {\frac{{{k_{{\text{M-L}}}}}}{{{k_{{\text{m-1}}}}}}} \left( {{t_{\text{i}}}-{t_{\text{T}}}} \right) \\ \end{gathered}$

(34)

${v_{\text{i}}} = {y_{{\text{st}}}}\left[ {\frac{{\omega \left( {{t_{\text{i}}}-{t_{\text{T}}}} \right)}}{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}{\alpha _{\text{k}}}{t_{\text{i}}}}}\sqrt {\frac{{{k_{{\text{M-L}}}}}}{{{k_{{\text{m-1}}}}}}} + \frac{1}{{4{\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2}{\alpha _{\text{k}}}{t_{\text{i}}}}}} \right]-2{\alpha _{\text{c}}}\xi \omega \sqrt {\frac{{{k_{{\text{M-L}}}}}}{{{k_{{\text{m-1}}}}}}} \left[ {f_7^ * + f_9^ * {{\text{e}}^{-2{\alpha _{\text{c}}}\xi \omega \left( {{t_{\text{i}}}-{t_{\text{T}}}} \right)\sqrt {\tfrac{{{k_{{\text{M-L}}}}}}{{{k_{{\text{m-1}}}}}}} }}} \right]-\frac{{\omega {y_{{\text{st}}}}\left( {{t_{\text{i}}}-{t_{\text{T}}}} \right)}}{{2\xi {\alpha _{\text{k}}}{\alpha _{\text{c}}}{t_{\text{i}}}}}\sqrt {\frac{{{k_{{\text{M-L}}}}}}{{{k_{{\text{m-1}}}}}}}$

(35)

2.4 塑性自由振动阶段

当t>t_i时，空爆荷载卸载，梁构件进入以位移y_i、速度v_i为初始条件的塑性自由振动，即当t_i<t≤t_m时，塑性自由振动阶段等效单自由度动力方程为：

${m_{\text{e}}}\ddot y + {c_{\text{e}}}\dot y + {q_{\text{m}}} = 0$

(36)

该方程与柔性梁构件塑性自由振动阶段方程求解一样，将式(20)～(21)中的t_T替换为t_i后，就可以得到此阶段的位移和速度的表达式，其中y_m的表达式为：

${y_{\text{m}}} = {y_{\text{i}}} + \frac{{{v_{\text{i}}}}}{{2{\alpha _{\text{c}}}\xi \omega }}\sqrt {\frac{{{k_{{\text{m-1}}}}}}{{{k_{{\text{M-L}}}}}}}-\frac{{{y_{\text{T}}}}}{{4{\alpha _{\text{c}}^2}{\xi ^2}}}\ln \left( {1 + 2\xi {\alpha _{\text{c}}}\frac{{{v_{\text{i}}}}}{{\omega {y_{\text{T}}}}}\sqrt {\frac{{{k_{{\text{m-1}}}}}}{{{k_{{\text{M-L}}}}}}} } \right)$

(37)

且令：

$\begin{gathered} f_{10}^ * = \frac{{4{\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2}f_7^ * }}{{{y_{{\text{st}}}}}} - \frac{{f_9^ * }}{{{y_{{\text{st}}}}}}\left[ {1 - {{\text{e}}^{ - 2{\alpha _{\text{c}}}\xi \omega \left( {{t_{\text{i}}} - {t_{\text{T}}}} \right)\sqrt {\tfrac{{{k_{{\text{M-L}}}}}}{{{k_{{\text{m-1}}}}}}} }}} \right] - \frac{{\omega {{\left( {{t_{\text{i}}} - {t_{\text{T}}}} \right)}^2}}}{{4\xi {\alpha _{\text{c}}}{\alpha _{\text{k}}}{t_{\text{i}}}}}\sqrt {\frac{{{k_{{\text{M-L}}}}}}{{{k_{{\text{m-1}}}}}}} + \\ \qquad \left[ {\frac{{\omega \left( {{t_{\text{i}}} - {t_{\text{T}}}} \right)}}{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}{\alpha _{\text{k}}}{t_{\text{i}}}}}\sqrt {\frac{{{k_{{\text{M-L}}}}}}{{{k_{{\text{m-1}}}}}}} + \frac{1}{{4{\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2}{\alpha _{\text{k}}}{t_{\text{i}}}}}} \right]\left( {{t_{\text{i}}} - {t_{\text{T}}}} \right) - \frac{{2\omega \xi {\alpha _{\text{c}}}f_7^ * }}{{{y_{{\text{st}}}}}}\sqrt {\frac{{{k_{{\text{M-L}}}}}}{{{k_{{\text{m-1}}}}}}} \left( {{t_{\text{i}}} - {t_{\text{T}}}} \right) \\ \end{gathered}$

(38)

$f_{11}^ * = \left[ {\frac{{\left( {{t_{\text{i}}} - {t_{\text{T}}}} \right)}}{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}{\alpha _{\text{k}}}{t_{\text{i}}}}}\sqrt {\frac{{{k_{{\text{M-L}}}}}}{{{k_{{\text{m-1}}}}}}} + \frac{1}{{4{\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2}{\alpha _{\text{k}}}\omega {t_{\text{i}}}}}} \right] - \frac{{2{\alpha _{\text{c}}}\xi }}{{{y_{{\text{st}}}}}}\sqrt {\frac{{{k_{{\text{M-L}}}}}}{{{k_{{\text{m-1}}}}}}} \left[ {f_7^ * + f_9^ * {{\text{e}}^{ - 2{\alpha _{\text{c}}}\xi \omega \left( {{t_{\text{i}}} - {t_{\text{T}}}} \right)\sqrt {\tfrac{{{k_{{\text{M-L}}}}}}{{{k_{{\text{m-1}}}}}}} }}} \right] - \frac{{\left( {{t_{\text{i}}} - {t_{\text{T}}}} \right)}}{{2\xi {\alpha _{\text{k}}}{\alpha _{\text{c}}}{t_{\text{i}}}}}\sqrt {\frac{{{k_{{\text{M-L}}}}}}{{{k_{{\text{m-1}}}}}}}$

(39)

将式(28)和(34)~(35)代入式(37)，且结合式(24)和(38)~(39)，可得刚性梁构件延性比的表达式为：

$\beta = \frac{{f_{10}^ * }}{{{k_{\text{h}}}}} + \frac{{f_{11}^ * }}{{2\xi {\alpha _{\text{c}}}{k_{\text{h}}}}}\sqrt {\frac{{{k_{{\text{m-1}}}}}}{{{k_{{\text{M-L}}}}}}} - \frac{1}{{4{\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2}}}\ln \left( {1 + 2\xi {\alpha _{\text{c}}}\frac{{f_{11}^ * }}{{{k_{\text{h}}}}}\sqrt {\frac{{{k_{{\text{m-1}}}}}}{{{k_{{\text{M-L}}}}}}} } \right)$

(40)

3. 回弹振动阶段

当t=t_m时，梁构件达到正向弹塑性振动最大位移y_m后，开始进行反方向的弹性回弹运动，受理想弹塑性抗力模型影响，构件不再进入塑性回弹阶段^[17]。因此，回弹振动阶段等效单自由度动力方程为：

${M_{\text{e}}}\ddot y + {C_{\text{e}}}\dot y + {K_{\text{e}}}y = {K_{\text{e}}}{y_{\text{m}}} - {q_{\text{m}}}$

(41)

求解式(41)，可得到此阶段位移和速度的表达式分别为：

$y = {{\text{e}}^{ - \xi {\alpha _{\text{c}}}\omega \left( {t - {t_{\text{m}}}} \right)}}\left\{ {{y_{\text{T}}}\cos \left[ {{\omega _{\text{g}}}\left( {t - {t_{\text{m}}}} \right)} \right] + \frac{{\xi {\alpha _{\text{c}}}\omega {y_{\text{T}}}}}{{{\omega _{\text{g}}}}}\sin \left[ {{\omega _{\text{g}}}\left( {t - {t_{\text{m}}}} \right)} \right]} \right\} + {y_{\text{m}}} - {y_{\text{T}}}$

(42)

$v = - {y_{\text{T}}}{{\text{e}}^{ - \xi {\alpha _{\text{c}}}\omega \left( {t - {t_{\text{m}}}} \right)}}\left\{ {{\omega _{\text{g}}}\sin \left[ {{\omega _{\text{g}}}\left( {t - {t_{\text{m}}}} \right)} \right] + \frac{{{\xi ^2}{\alpha _{\text{c}}^2}{\omega ^2}}}{{{\omega _{\text{g}}}}}\sin \left[ {{\omega _{\text{g}}}\left( {t - {t_{\text{m}}}} \right)} \right]} \right\}$

(43)

4. 典型工况计算分析

4.1 典型工况及其计算结果

为探讨质量参数对空爆荷载梁构件振动位移的影响程度，分别选用矩形和圆形为梁构件代表性横截面，以矩形截面梁的高和圆截面梁的直径为变量参数，进一步分析由此产生的刚度变化。矩形截面梁高变化时，其质量参数α_m及其产生的刚度参数α_k可表示为：

${\alpha _{\text{m}}} = 1 + {d_{{h}}}/h,\;\;\;\;{\text{ }}{\alpha _{\text{k}}} = 1 + 3{d_{{h}}}/h + 3{d_{{h}}^2}/{h^2} + {d_{{h}}^3}{\text{/}}{h^3}{\text{ }}$

(44)

类似地，圆截面的直径变化时，其质量参数α_m及其产生的刚度参数α_k可表示为：

${\alpha _{\text{m}}} = 1 + 2{d_{{x}}}/x + {d_{{x}}^2}{\text{/}}{x^2},\;\;\;\;{\text{ }}{\alpha _{\text{k}}} = {\left( {1 + {d_{{x}}}/x} \right)^4}$

(45)

式中：h为矩形截面梁的初始高度，d_h为矩形截面梁高改变量，x为圆截面初始直径，d_x为圆截面直径改变量。

典型工况设计分2种情况：(1) 设质量参数变量α_m=1.00为工况C1，即将质量未改变的原始构件作为基准；考虑质量参数变量α_m单一变化且取值范围为1.05～1.20，代表质量增加为5%～20%，忽略其产生的刚度变化，与截面类型无关，工况编号C2～C5；(2) 质量参数α_m的变化范围仍为1.05～1.20，考虑其引起的刚度参数α_k，需指出的是，刚度参数公式（式(44)～(45)）不是独立公式，它是以质量参数为变量的函数，依据不同截面刚度公式（式(44)～(45)），计算出矩形截面α_k的范围为1.16～1.73，设计为工况C6～C9；圆截面α_k的取值为1.10～1.44，设计为工况C10～C13。各工况的具体参数如表1所示。

表 1 质量参数典型工况

Table 1. Typical calculation cases for mass parameter

工况（矩形、圆）	α_m	α_k	工况（矩形）	α_m	α_k	工况（圆）	α_m	α_k
C1	1.00	1.00	C6	1.05	1.16	C10	1.05	1.10
C2	1.05	1.00	C7	1.10	1.33	C11	1.10	1.21
C3	1.10	1.00	C8	1.15	1.52	C12	1.15	1.32
C4	1.15	1.00	C9	1.20	1.73	C13	1.20	1.44
C5	1.20	1.00

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选固端梁为梁构件受力类型，阻尼比ξ=0.1，阻尼参数α_c=1，k_M-L/k_m-1=1.17^[23]，荷载时长参数0≤ωt≤50。ωt_i取0.2和1.0，分别为柔性梁构件和刚性梁构件的典型参数，延性比β取2和5，代表较低和较高塑性程度的弹塑性位移参数，将动位移y无量纲处理后，分类完成梁构件各工况弹塑性振动位移时程计算，如图1～3所示。

图 1 工况C1～C5两类梁构件的弹塑性振动位移时程曲线

Figure 1. Displacement-time curves of elastoplastic vibration for beam members of cases C1–C5

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图 2 工况C1与C6～C9两类梁构件的弹塑性振动位移时程曲线

Figure 2. Displacement-time curves of elastoplastic vibration for beam members of cases C1 and C6–C9

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图 3 工况C1与C10～C13两类梁构件的弹塑性振动位移时程曲线

Figure 3. Displacement-time curves of elastoplastic vibration for beam members of cases C1 and C10–C13

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将没有质量参数改变的基础工况C1的弹性振动最大位移y_T、弹塑性最大位移y_m和残余变形y_r视为基准值，参数α_m>1时的各工况弹性振动最大位移、弹塑性最大位移、残余变形与基准值对比，其降低程度分别记作Δ_T、Δ_m、Δ_r，如图4、表2～3所示。

图 4 本文中相对基准工况的位移降低率曲线

Figure 4. Displacement reduction ratios of the calculation cases relative to the reference case

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表 2

$\beta=2$ 时位移降低率以及两类梁构件差异性结果

Table 2. Displacement reduction ratios and difference between flexible beam members with

$\beta=2$ and rigid beam members

工况	柔性梁构件			刚性梁构件			Δ_2T/%	Δ_2m/%	Δ_2r/%
工况	Δ_T/%	Δ_m/%	Δ_r/%	Δ_T/%	Δ_m/%	Δ_r/%	Δ_2T/%	Δ_2m/%	Δ_2r/%
C2	2.16	2.51	2.85	1.09	2.77	4.45	1.07	−0.26	−1.60
C3	4.18	4.84	5.49	2.15	5.32	8.49	2.03	−0.48	−3.00
C4	6.08	7.01	7.93	3.19	7.69	12.18	2.89	−0.68	−4.25
C5	7.87	9.04	10.20	4.21	9.89	15.56	3.66	−0.85	−5.36
C6	9.78	9.11	8.44	11.80	8.59	5.38	−2.02	0.52	3.06
C7	18.24	17.01	15.78	21.85	16.05	10.24	−3.61	0.96	5.54
C8	25.60	23.91	22.22	30.46	22.57	14.68	−4.86	1.34	7.54
C9	32.04	29.97	27.89	37.87	28.32	18.76	−5.83	1.65	9.13
C10	7.30	6.96	6.62	8.33	6.70	5.07	−1.03	0.26	1.55
C11	13.77	13.15	12.52	15.66	12.66	9.66	−1.89	0.48	2.86
C12	19.54	18.67	17.80	22.13	17.99	13.85	−2.59	0.68	3.95
C13	24.70	23.62	22.55	27.88	22.78	17.68	−3.18	0.84	4.87

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表 3

$\beta=5$ 时位移降低率以及两类梁构件差异性结果

Table 3. Displacement reduction ratios and difference between flexible beam members with

$\beta=5$ and rigid beam members

工况	柔性梁构件			刚性梁构件			Δ_5T/%	Δ_5m/%	Δ_5r/%
工况	Δ_T/%	Δ_m/%	Δ_r/%	Δ_T/%	Δ_m/%	Δ_r/%	Δ_5T/%	Δ_5m/%	Δ_5r/%
C2	1.87	2.71	2.91	0.62	3.25	3.91	1.25	−0.54	−1.00
C3	3.64	5.21	5.60	1.23	6.25	7.50	2.41	−1.04	−1.90
C4	5.31	7.53	8.09	1.83	9.02	10.82	3.48	−1.49	−2.73
C5	6.89	9.70	10.40	2.41	11.58	13.88	4.48	−1.88	−3.48
C6	10.34	8.72	8.31	12.58	7.68	6.46	−2.24	1.04	1.85
C7	19.25	16.29	15.55	23.14	14.43	12.25	−3.89	1.86	3.30
C8	26.99	22.91	21.89	32.08	20.40	17.48	−5.09	2.51	4.41
C9	33.75	28.73	27.47	39.69	25.71	22.21	−5.94	3.02	5.26
C10	7.58	6.77	6.56	8.75	6.24	5.61	−1.17	0.53	0.95
C11	14.29	12.78	12.40	16.38	11.82	10.67	−2.09	0.96	1.73
C12	20.26	18.16	17.63	23.10	16.83	15.26	−2.84	1.33	2.37
C13	25.60	22.99	22.34	29.03	21.36	19.44	−3.43	1.63	2.90

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为进一步分析质量参数α_m对柔性和刚性2类梁构件的最大弹性位移、最大弹塑性位移、残余变形降低的影响程度，对同种参数条件下，其他工况相对于工况C1的位移降低率做了差值计算：延性比为β=2时，柔性梁构件相对于刚性梁构件的最大弹性位移降低率、最大弹塑性位移降低率和残余变形降低率的差值分别记作Δ_2T、Δ_2m和Δ_2r；类似地，延性比为β=5时的差值分别记作Δ_5T、Δ_5m和Δ_5r，其数值分别如表2～3所示。

4.2 结果分析

由图1和4、表2～3可知：仅考虑质量参数时，对2类梁构件的最大弹性位移y_T、最大弹塑性位移y_m和残余变形y_r的降低程度较小，如工况C2的梁构件质量提高5%时，y_T、y_m、y_r的最大降低程度为2.16%、3.25%、4.45%；类似地，工况C5的梁构件质量提高20%时，对y_T、y_m、y_r的最大降低程度为7.87%、11.58%、15.56%；在梁构件类型差异性方面影响也较小，如工况C2下柔性、刚性2类梁构件误差范围为0.26%～1.60%，工况C5对应的数据为0.85%～5.36%；梁构件质量提高10%和15%的中间工况C3、C4也可得出类似结论。

提高梁构件质量常带来梁构件刚度的增加，即考虑质量参数α_m与刚度参数α_k耦合作用梁构件位移降低作用效应更加准确。由图2和4、表2～3可知，工况C6中，梁构件质量提高5%且梁构件刚度提高16%时，y_T、y_m和y_r的最大降低程度为12.58%、9.11%和8.44%，分别是不考虑刚度参数对应工况C2的5.82、2.80和1.90倍；工况C9中，梁构件质量提高20%且梁构件刚度提高73%时，y_T、y_m和y_r的最大降低程度为39.69%、29.97%和27.89%，分别是不考虑刚度参数对应工况C5的5.04、2.59和1.79倍；质量参数对梁构件类型差异性影响较小，如工况C6中，2类梁构件的误差范围为0.52%～3.06%，工况C9的误差范围为1.65%～9.13%。

相同质量参数下，圆截面的刚度参数低于矩形截面的刚度参数，即圆截面梁构件位移降低率要低于矩形截面梁构件。如图3和4、表2～3中，工况C10中，梁构件质量提高5%的同时刚度提高10%，对y_T、y_m和y_r的最大降低程度为8.75%、6.96%和6.62%；工况C13中，梁构件质量提高20%的同时刚度提高44%，对y_T、y_m和y_r的最大降低程度为29.03%、23.62%和22.55%，其降低程度均低于相同质量参数矩形截面工况C6和C9；质量参数对圆截面梁构件类型差异性影响较小，如工况C10中，2类梁构件的误差范围为0.26%～1.55%，工况C13的误差范围为0.84%～4.87%。

相同条件下，工况C2～C5中，Δ_T与Δ_m的比为0.21～0.87，Δ_2r和Δ_5r均小于零，即仅考虑质量参数时，该参数对y_m的影响大于y_T的影响，对刚性梁构件y_r的影响大于对柔性梁构件y_r的影响；工况C6～C13中，Δ_T与Δ_m的比为1.05～1.64，Δ_2r和Δ_5r均大于零，即考虑质量参数及刚度参数耦合效应时，耦合效应对y_T的影响大于y_m的影响，对柔性梁构件y_r的影响大于对刚性梁构件y_r的影响。

因此，对于2类梁构件进行空爆荷载位移分析时，仅考虑质量参数α_m对2类梁构件的最大弹性位移y_T、最大弹塑性位移y_m和残余变形y_r的影响，计算误差较大，考虑其与刚度参数α_k耦合效应时，计算结果更准确。

5. 结　论

(1) 给出了2类梁构件含质量参数和刚度参数的空爆荷载振动位移理论解，分别计算了质量参数及质量参数与刚度参数耦合情况下对振动位移的影响，具有明确的理论意义，为梁构件抗爆设计降低位移峰值的参数选择提供了理论依据。

(2) 相同参数和条件下，2类梁构件抗爆设计关注的最大弹性位移、最大弹塑性位移和残余变形数值，若仅考虑质量参数的影响，其降低幅度小于质量参数变化幅度；若考虑质量参数与刚度参数的耦合效应，则降低幅度较大，其降低幅度大于质量参数变化幅度，且是仅考虑质量参数计算结果的2.56～4.75倍。

(3) 相同参数和条件下，仅考虑质量参数时，该参数对梁构件最大弹塑性位移的影响高于其对最大弹性位移的影响，对刚性梁构件残余变形的影响高于其对柔性梁构件的影响；考虑质量参数与刚度参数耦合效应时，该参数对梁构件最大弹塑性位移的影响低于其对最大弹性位移的影响，对刚性梁构件残余变形的影响低于其对柔性梁构件的影响。

(4) 矩形截面梁增大梁高与圆形截面梁增大直径对应的质量参数相同时，若考虑刚度参数耦合效应，在降低空爆荷载梁构件位移峰值及残余变形方面，矩形截面梁具有较明显优势。

图 1 工况C1～C5两类梁构件的弹塑性振动位移时程曲线

Figure 1. Displacement-time curves of elastoplastic vibration for beam members of cases C1–C5

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图 2 工况C1与C6～C9两类梁构件的弹塑性振动位移时程曲线

Figure 2. Displacement-time curves of elastoplastic vibration for beam members of cases C1 and C6–C9

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图 3 工况C1与C10～C13两类梁构件的弹塑性振动位移时程曲线

Figure 3. Displacement-time curves of elastoplastic vibration for beam members of cases C1 and C10–C13

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图 4 本文中相对基准工况的位移降低率曲线

Figure 4. Displacement reduction ratios of the calculation cases relative to the reference case

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表 1 质量参数典型工况

Table 1. Typical calculation cases for mass parameter

工况（矩形、圆）	α_m	α_k	工况（矩形）	α_m	α_k	工况（圆）	α_m	α_k
C1	1.00	1.00	C6	1.05	1.16	C10	1.05	1.10
C2	1.05	1.00	C7	1.10	1.33	C11	1.10	1.21
C3	1.10	1.00	C8	1.15	1.52	C12	1.15	1.32
C4	1.15	1.00	C9	1.20	1.73	C13	1.20	1.44
C5	1.20	1.00

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表 2 $\beta=2$ 时位移降低率以及两类梁构件差异性结果

Table 2. Displacement reduction ratios and difference between flexible beam members with $\beta=2$ and rigid beam members

工况	柔性梁构件			刚性梁构件			Δ_2T/%	Δ_2m/%	Δ_2r/%
工况	Δ_T/%	Δ_m/%	Δ_r/%	Δ_T/%	Δ_m/%	Δ_r/%	Δ_2T/%	Δ_2m/%	Δ_2r/%
C2	2.16	2.51	2.85	1.09	2.77	4.45	1.07	−0.26	−1.60
C3	4.18	4.84	5.49	2.15	5.32	8.49	2.03	−0.48	−3.00
C4	6.08	7.01	7.93	3.19	7.69	12.18	2.89	−0.68	−4.25
C5	7.87	9.04	10.20	4.21	9.89	15.56	3.66	−0.85	−5.36
C6	9.78	9.11	8.44	11.80	8.59	5.38	−2.02	0.52	3.06
C7	18.24	17.01	15.78	21.85	16.05	10.24	−3.61	0.96	5.54
C8	25.60	23.91	22.22	30.46	22.57	14.68	−4.86	1.34	7.54
C9	32.04	29.97	27.89	37.87	28.32	18.76	−5.83	1.65	9.13
C10	7.30	6.96	6.62	8.33	6.70	5.07	−1.03	0.26	1.55
C11	13.77	13.15	12.52	15.66	12.66	9.66	−1.89	0.48	2.86
C12	19.54	18.67	17.80	22.13	17.99	13.85	−2.59	0.68	3.95
C13	24.70	23.62	22.55	27.88	22.78	17.68	−3.18	0.84	4.87

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表 3 $\beta=5$ 时位移降低率以及两类梁构件差异性结果

Table 3. Displacement reduction ratios and difference between flexible beam members with $\beta=5$ and rigid beam members

工况	柔性梁构件			刚性梁构件			Δ_5T/%	Δ_5m/%	Δ_5r/%
工况	Δ_T/%	Δ_m/%	Δ_r/%	Δ_T/%	Δ_m/%	Δ_r/%	Δ_5T/%	Δ_5m/%	Δ_5r/%
C2	1.87	2.71	2.91	0.62	3.25	3.91	1.25	−0.54	−1.00
C3	3.64	5.21	5.60	1.23	6.25	7.50	2.41	−1.04	−1.90
C4	5.31	7.53	8.09	1.83	9.02	10.82	3.48	−1.49	−2.73
C5	6.89	9.70	10.40	2.41	11.58	13.88	4.48	−1.88	−3.48
C6	10.34	8.72	8.31	12.58	7.68	6.46	−2.24	1.04	1.85
C7	19.25	16.29	15.55	23.14	14.43	12.25	−3.89	1.86	3.30
C8	26.99	22.91	21.89	32.08	20.40	17.48	−5.09	2.51	4.41
C9	33.75	28.73	27.47	39.69	25.71	22.21	−5.94	3.02	5.26
C10	7.58	6.77	6.56	8.75	6.24	5.61	−1.17	0.53	0.95
C11	14.29	12.78	12.40	16.38	11.82	10.67	−2.09	0.96	1.73
C12	20.26	18.16	17.63	23.10	16.83	15.26	−2.84	1.33	2.37
C13	25.60	22.99	22.34	29.03	21.36	19.44	−3.43	1.63	2.90

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参考文献(23)

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1. 空爆荷载柔性梁构件位移响应求解
1.1 空爆荷载柔性梁构件的定义及振动阶段划分
1.2 弹性强迫振动阶段
1.3 弹性自由振动阶段
1.4 塑性自由振动阶段
2. 空爆荷载刚性梁构件位移响应求解
2.1 空爆荷载刚性梁构件定义及振动阶段划分
2.2 弹性强迫振动阶段
2.3 塑性强迫振动阶段
2.4 塑性自由振动阶段
3. 回弹振动阶段
4. 典型工况计算分析
4.1 典型工况及其计算结果
4.2 结果分析
5. 结　论

1. 空爆荷载柔性梁构件位移响应求解
1.1 空爆荷载柔性梁构件的定义及振动阶段划分
1.2 弹性强迫振动阶段
1.3 弹性自由振动阶段
1.4 塑性自由振动阶段
2. 空爆荷载刚性梁构件位移响应求解
2.1 空爆荷载刚性梁构件定义及振动阶段划分
2.2 弹性强迫振动阶段
2.3 塑性强迫振动阶段
2.4 塑性自由振动阶段
3. 回弹振动阶段
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质量参数对空爆荷载梁构件振动位移的影响

doi: 10.11883/bzycj-2023-0241

作者简介: 耿少波（1982－ ），男，博士，副教授，gengshaobo@nuc.edu.cn

计量

出版历程

Effect of mass parameter on vibration displacement of beam member under air blast loading

1. 空爆荷载柔性梁构件位移响应求解

1.1 空爆荷载柔性梁构件的定义及振动阶段划分

1.2 弹性强迫振动阶段

1.3 弹性自由振动阶段

1.4 塑性自由振动阶段

2. 空爆荷载刚性梁构件位移响应求解

2.1 空爆荷载刚性梁构件定义及振动阶段划分

2.2 弹性强迫振动阶段

2.3 塑性强迫振动阶段

2.4 塑性自由振动阶段

3. 回弹振动阶段

4. 典型工况计算分析

4.1 典型工况及其计算结果

4.2 结果分析

5. 结 论

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目录

1. 空爆荷载柔性梁构件位移响应求解

1.1 空爆荷载柔性梁构件的定义及振动阶段划分

1.2 弹性强迫振动阶段

1.3 弹性自由振动阶段

1.4 塑性自由振动阶段

2. 空爆荷载刚性梁构件位移响应求解

2.1 空爆荷载刚性梁构件定义及振动阶段划分

2.2 弹性强迫振动阶段

2.3 塑性强迫振动阶段

2.4 塑性自由振动阶段

3. 回弹振动阶段

4. 典型工况计算分析

4.1 典型工况及其计算结果

4.2 结果分析

5. 结 论

作者简介:
耿少波（1982－　），男，博士，副教授，gengshaobo@nuc.edu.cn

5. 结　论

5. 结　论