A fast equivalent-isotropic-plate model for stiffened circular plates under pulse loading
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摘要: 加筋板在爆炸与冲击防护中应用广泛，而其动力响应的快速求解一直是工程中关注的重点。对于径向均匀加筋的圆板，基于刚度叠加思想，提出了一种将其等效为各向同性平板的方法，用于分析其在脉冲载荷下弹性阶段的动力响应。结合理论推导与数值方法，显式地给出了简洁的等效平板厚度公式。经验证，提出的等效方法建立了加筋圆板与均质圆板间的内在联系，适用于多种加筋尺寸、材料及载荷形式。等效圆板与加筋圆板的最大挠度偏差不超过6%，低阶振动频率偏差不超过10%。相比于直接对加筋圆板进行计算，等效分析方法大大提高了求解效率，且保证了很高的计算精度，在冲击响应预测和结构优化等工程应用中具有重要意义。Abstract: Stiffened panels are widely used in the explosion and impact protection, thus a fast and accurate method for solving their dynamic response is highly desired in engineering. Based on the idea of stiffness superposition, a novel equivalent-isotropic-plate method is proposed in this paper to convert the radial and uniformly stiffened circular plate into an isotropic flat plate, so as to analyze its dynamic response in the elastic stage under uniform pulse loading. Since obtaining the dynamic response of an isotropic plate is mature and convenient, the equivalent analysis can overcome the computational difficulty of anisotropy in direct modeling, thus greatly improving the solving efficiency. Through the linear superposition of the plate and stiffener dynamic equations, a concise formula of the equivalent plate thickness is derived explicitly. The equivalent parameter in the formula is obtained with the assistance of simulation and numerical fitting, which directly measures the strengthening effect of the stiffeners on the plate. Employing the equivalent-isotropic-plate model, the overall dynamic response of a stiffened circular plate can be represented by that of an equivalent isotropic plate with acceptable accuracy, especially for low-order vibrations and center deflections. It is verified that the equivalent method can be successfully applied to a variety of stiffening types, materials, and load forms. The deviation of the maximum deflection response of the equivalent flat plate from that of the original stiffened circular plate does not exceed 6%, and the deviation of the response frequency does not exceed 10%. This completely meets the engineering requirements. The equivalent-isotropic-plate model verifies the feasibility of isotropic equivalence, and reveals the intrinsic connection between the radial stiffened circular plate and the homogeneous circular plate, which is of great significance in engineering applications such as response prediction and structural optimization.
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Key words:
- stiffened plate /
- circular plate /
- dynamic response analysis /
- equivalent method /
- pulse loading
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随着民用航空业的迅速发展，民航客机的安全也日益受到关注。截至2022年，共发生超过90起简易爆炸装置袭击飞机事件，造成超过2 551人死亡[1]。2008年11月28日，美国联邦航空局颁布了25-127修正案[2]，要求制造商针对最大合格审定客座量大于60或起飞总质量超过45 359 kg的飞机，必须设计一个最小风险炸弹位置[3]，用于放置可疑爆炸物，以应对可能发生的爆炸袭击事件，最大限度地保护飞机的关键结构和系统。中国民用航空局在CCAR Part 121[4]中也对最小风险炸弹位置提出了相关要求。
截至目前，学者们针对航空抗爆容器已开展了大量的研究。Masi等[5]基于耦合欧拉-拉格朗日方法分析了使用单位载荷装置保护机身结构的可行性。Dang等[6]验证了在波音737飞机上使用内部防爆罩来抵御小型炸弹威胁的可行性，爆炸防护罩使用复合材料基于一体概念制造。Langdon等[7]指出，在防爆容器中引入通风装置可以有效减少后期的压力反射，从而减小机身结构在爆炸冲击载荷下的变形。Civil Aviation Authority[8]开发了加强的行李集装箱，用以减弱飞行过程中爆炸产生的影响，但因其质量大、成本高且不适用于大多数窄体客机，最终没有得到广泛使用。由此可见，国外侧重于研究包容性抗爆容器，即依靠容器自身结构吸收爆轰产生的能量，虽然应用场景较广，但也直接导致了容器质量大的问题。
我国针对民用飞机最小风险炸弹位置的研究起步较晚。陆鹏等[9]对最小风险炸弹位置的适航符合性验证方法进行了研究，为国内商用飞机的安全性和适航性发展提供了具有可操作性的设计方法。冯振宇等[10]和刘宗兴等[11]对爆炸冲击载荷下机身壁板的动态响应开展了研究，分析了增压、爆炸冲击位置、爆炸冲击距离和药量对机身壁板动态响应及破坏模式的影响。朱铮铮等[12]和韩璐等[13]基于定向泄爆思想，分别设计了便携式球形民机客舱定向防爆装置和聚能泄压民机客舱定向防爆装置，此类防爆装置虽然能减轻质量，但在使用时冲击波直接作用于机身壁板，容易造成壁板大破口。李永鹏等[14]研究了非包容抗爆结构约束下冲击波和端头对机身壁板的破坏效应，发现冲击端头作用时壁板破口面积较小。
综上可知，民机上配备的抗爆结构中较合理的是带有冲击端头的定向泄爆容器。然而，在实际使用过程中，爆炸物位置往往存在随机性，当爆炸物位于薄弱位置时，罐体易发生整体破碎，产生的高速破片会对舱内人员和设备构成威胁。除此之外，定向泄爆过程中产生的轴向作用力也对连接结构提出了更高的设计要求。因此，开展爆炸位置对钛合金定向泄爆容器冲击响应的影响研究十分必要。
本文中，以钛合金定向泄爆容器为研究对象，开展100 g TNT在典型位置爆炸后定向泄爆容器冲击响应试验，获得不同炸药位置下罐体和端头的冲击响应，并对试验工况开展数值模拟，分析爆炸物位置对罐体破坏模式、端头飞行姿态及罐体轴向受力的影响规律，以期为民机用定向泄爆容器及连接结构的设计提供参考。
1. 钛合金抗爆容器结构
采用带端头的定向泄爆容器放置爆炸物，以降低爆炸冲击波对飞机壁板的影响。定向泄爆容器由上海飞机设计研究院设计，结构如图1所示。
定向泄爆容器主要由罐体、后端盖、端头、剪切销、卡箍和定位螺栓组成。其中罐体、后端盖、端头的材料为Ti-6Al-4V合金，剪切销材料为15-5PH钢。罐体由2对环形卡箍固定于支架上，后端盖通过卡齿与罐体后端连接，并通过定位螺栓锁紧，后端盖中心处有中心孔，直径为4 mm，用于引出导爆索。端头位于罐体前方，通过外伸凸台与导槽配合，限制轴向和周向位置。剪切销连接罐体与端头，剪切销两端均有缺陷处，缺陷处直径为14.5 mm。抗爆容器内径为180 mm、长度为500 mm，两卡箍之间罐体的厚度为14 mm。
2. 内爆加载试验
2.1 试验装置
测试装置如图2所示。测试支架主体由Q235槽钢焊接而成，支架面板处留有圆形通孔，通孔左端有环形口框便于与罐体对接，支架面板右端用于安装模拟飞机壁板。罐体通过卡箍上的螺栓与测试支架连接。TNT炸药从罐体后端装入，雷管固定在TNT炸药端面上，导爆索从后端盖的中心孔处引出。
试验采用质量为100 g的圆柱TNT炸药，装药直径为40 mm，长度为50 mm。分别开展了炸药位于罐体轴线不同位置以及炸药紧贴罐体壁面不同位置的试验，具体工况如表1所示。
表 1 测试工况Table 1. Test condition工况 炸药位置 炸药示意图 工况 炸药位置 炸药示意图 1 罐体轴线靠近后端盖处 
4 罐体内壁靠近后端盖处 
2 罐体轴线中心 
5 罐体内壁中心 
3 罐体轴线靠近端头处 
6 罐体内壁靠近端头处 
2.2 测试方法与布局
图3给出了端头速度测试示意图。试验时，在罐体前方2 m处放置2根测速杆，测速杆间距为495 mm，在离测试装置15 m处安装有高速摄影系统，高速摄影机设置帧频为5 000 s−1。不考虑飞行过程中的速度衰减，通过高速摄影图像可获取端头经过2根测速杆的时间，即可求出平均速度，并以此作为端头飞行初速。
2.3 试验结果
TNT炸药位于不同位置时罐体的损伤情况如图4所示。工况1～3的罐体均不产生变形和开裂。工况4罐体完好，无变形开裂现象；工况5罐体正下方外壁出现明显凸起鼓包，鼓包顶部有贯穿性裂纹，左侧2条裂纹在鼓包最高点处合并，裂纹左右横跨罐体最薄处，裂纹长度116.1 mm；工况6罐体正下方外壁与右侧卡箍接触部位凸起，凸起部位为卡箍连接处，下边缘有贯穿性裂纹。
图 4 TNT位于不同位置时罐体的损伤情况Figure 4. Damage conditions of the tank when TNT was located at different positions由以上试验可以观察到，爆炸物位于罐体轴线不同位置时，罐体均保持完好，试验中爆炸物与罐体壁面均保持90 mm以上距离，爆炸物主要以冲击波的形式作用到罐体内壁上，可见罐体对爆炸冲击波有较好的防护效果。工况4中，后端盖限制了罐体后端壁面的径向扩张，吸收了一定的爆炸冲击载荷，使罐体形貌保持完好。工况5的罐体破坏最严重，此处罐体壁厚14 mm，为罐体最薄处。工况6的卡箍增加了壁面厚度，爆炸时阻碍了壁面径向扩张的趋势，导致卡箍连接螺栓变形松脱，卡箍上出现裂纹。可见，罐体贴壁承受冲击波载荷时会有较大破坏。
测试工况汇总如表2所示，试验中仅有工况2测到端头速度，所有工况均未得到有效应变数据。图5(a)给出了高速摄影系统记录的工况2的端头飞行图像，分别记录了测速开始和结束时端头的飞行姿态，两幅图像时间间隔为0.42 ms，两测速杆间距为495 mm，计算得到端头速度为117.9 m/s。图5(b)给出了高速摄影系统记录的工况3的端头飞行图像，左图可观察到端头姿态，右图由于爆炸产生的火光太强，未观察到端头的飞行轨迹，因此，该工况下无法计算端头飞行速度。
表 2 测试工况Table 2. Test conditions工况 炸药位置 端头速度/(m·s−1) 罐体损伤情况 1 罐体轴线靠近后端盖处 无变形、无开裂 2 罐体轴线中心位置 117.9 无变形、无开裂 3 罐体轴线靠近端头处 无变形、无开裂 4 罐体内壁靠近后端盖处 无变形、无开裂 5 罐体内壁中心位置 贯穿性裂纹，裂纹长度116.1 mm 6 罐体内壁靠近端头处 罐体凸起 3. 数值模拟
3.1 有限元模型建立
利用AUTODYN有限元程序，针对100 g TNT炸药在不同爆炸位置爆炸后，抗爆容器的动态响应开展数值模拟研究。采用八节点Solid164三维实体单元对罐体、卡箍、冲击端头及剪切销进行网格划分，整体网格总数为156 198，定向泄爆容器网格模型如图6所示。
将网格模型导入AUTODYN中，卡箍与支架连接处设置固定边界，用以限制抗爆罐体的位移，空气域四周设置流出边界以模拟无限大空域，空气与抗爆容器之间采用流固耦合算法定义其相互作用方式。根据试验工况在不同位置填充炸药，起爆点位于柱状炸药端面，所建立的有限元模型如图7所示。
3.2 材料参数
罐体、后端盖以及冲击端头的材料为Ti-6Al-4V钛合金，剪切销材料为15-5PH钢，均选用考虑应变率效应和温度效应的Johnson-Cook材料模型予以描述，具体的材料参数如表3[15-16]所示。表中：ρ为密度，G为弹性模量，A为静态屈服强度，B为应变硬化模量，C为应变率强化参数，M为热软化指数，n为硬化指数，cp为比定压热容，Tm为熔点，Tr为参考温度。
材料 ρ/(g·cm−3) G/GPa A/GPa B/GPa C M n cp/(J·kg−1·K−1) Tm/K Tr/K TC4钛合金 4.428 109.778 1 098 1 092 0.014 1.1 0.930 560 1 878 293 15-5PH 7.800 196.507 1 077 499 0 0 0.568 502 1 713 293 炸药爆轰产物采用Jones-Wilkins-Lee（JWL）状态方程[17]描述：
p=a(1−ωR1V)e−R1V+b(1−ωR2V)e−R2V+ωEV (1) 式中：p为爆轰产物的压力；E为单位体积爆轰产物的内能；V为爆轰产物的相对体积，即爆轰产物体积与初始体积的比值；a、b、R1、R2、ω均为表征炸药特性的常数，相关参数如表4[18]所示。
ρ/(g·cm−3) 爆速/(m·s−1) 爆压/GPa a/GPa b/GPa R1 R2 ω E V 1.63 6 930 21 373.77 3.7471 4.15 0.9 0.35 6.0 1 3.3 数值模拟模型验证
数值模拟结果和试验结果如表5所示。可以看出，工况2中，端头飞行速度的模拟值为125.5 m/s，试验值为117.9 m/s，误差仅为6.45%；工况5中，试验所得裂纹长度为116.1 mm，与数值模拟裂纹长度109.6 mm相比，误差仅为5.60%。工况5的罐体和剪切销破坏形貌与数值模拟结果的对比如图8所示。从图8可以看出，此工况下，罐体在爆炸冲击载荷作用下呈现贯穿裂纹破坏模式，剪切销沿缺陷处剪断但中段卡滞于端头中，模拟所得抗爆容器破坏模式与试验情况类似。由此说明，所建立的数值模型参数设置合理，计算结果可靠。
表 5 数值模拟结果与试验结果的对比Table 5. Comparison between simulation results and test results工况 爆炸物质量/g 爆炸物位置 破坏模式 端头飞行速度 贯穿裂纹长度 试验/(m·s−1) 模拟/(m·s−1) 误差/% 试验/mm 模拟/mm 误差/% 2 100 罐体轴线中心 无变形、无开裂 117.9 125.5 6.45 − − − 5 100 罐体内壁中心 贯穿性裂纹 − 120.1 − 116.1 109.6 5.60 
图 8 工况5中试验与数值模拟破坏形貌对比Figure 8. Comparison of failure morphologies by test and simulation in case 54. 计算结果
爆炸物位于不同位置时，罐体的破坏情况存在明显差别，因此，有必要对爆炸冲击载荷作用于不同典型位置时罐体壁面的动态响应开展研究。
4.1 典型爆炸位置下罐体壁面的破坏情况
试验时，工况1～3（爆炸物位于罐体轴线）和工况4（爆炸物位于罐体内壁靠近后端盖处）的罐体壁面均未发生破损，工况5（爆炸物位于罐体内壁中心位置）和工况6（爆炸物位于罐体内壁靠近端头处）的罐体外壁产生破坏，因此，着重分析工况5和工况6的罐体破坏形貌。工况5和工况6的罐体破坏损伤形貌云图和罐体内空气域的压力云图如图9~10所示。
图 10 工况5和工况6罐体内空气域的压力云图Figure 10. Air domain pressure nephograms in the tanks in case 5 and case 6从工况5罐体的破坏形貌损伤云图（图9(a)）可以看出，0.05 ms时，罐体外壁靠近后端盖处出现裂纹并不断向端头方向延伸。从工况6罐体内空气域的压力云图（图10(a)）可以看出，0.05 ms时，贴壁炸药已经完成爆轰，冲击波直接作用在贴壁处，导致壁面鼓起并产生裂纹，同时冲击波由贴壁处向四周传播；0.15 ms时，冲击波到达罐体后端盖与冲击端头处，此过程中壁面凸起减小；0.25 ms时，冲击波经过罐体内壁反射再次汇聚于炸药贴壁处，此过程中凸起处挠度增大，导致裂纹进一步延伸；0.35 ms时，冲击波经过罐体下壁面反射汇聚于上壁面处。说明贴壁处罐体壁面凸起变形是由冲击波的汇聚和多次反射造成的。
从工况6罐体的破坏形貌损伤云图（图9(b)）可以看出，0.05 ms时，罐体外壁开始出现损伤并不断扩展。从工况6罐体内空气域的压力云图（图10(b)）可以看出，0.05 ms时，爆轰产生的冲击波已经作用在罐体壁面上；0.15 ms时，冲击波向罐体左侧及上方传播，在后端盖内壁形成高压区；0.25 ms时，高压区向后端盖左下方转移；0.35 ms时，冲击波高压区转移到罐体上方。由于图10(b)中位置A处罐体环向有卡箍约束，导致罐体外壁凸起不明显，试验中位置A处的卡箍连接螺栓失效，限制了罐体的变形（见图4）。
4.2 典型爆炸位置下冲击端头动态响应
端头的动态响应是研究壁板破坏模式和飞出物对飞机外部结构（如发动机、尾翼等）二次破坏的基础，选取爆炸物位于罐体轴线中心（工况2）和爆炸物位于罐体内壁靠近端头处（工况6）的典型工况，对冲击端头的初始飞行姿态及速度进行分析。
图11展示了工况2和工况6冲击端头的损伤情况。由于冲击端头与剪切销的相互作用，冲击端头销孔后端处的材料发生明显损伤，但损伤区域长度与整个端头的厚度相比较小，因而冲击端头能可靠剪断缺陷处直径为14.5 mm的剪切销。工况6中，冲击端头外伸的凸台发生明显的局部损伤，说明在端头向外冲出的过程中与罐体导槽发生明显的相互作用。这主要是由于炸药位于偏心位置，端头受力不均匀所致。
图12展示了工况2和工况6冲击端头的前期偏转角度。工况2因爆炸物位于轴线中心，冲击波作用到环向内壁的时间相同，冲击波经反射叠加后均匀作用到端头上，端头飞出空气域时仅向下偏转1.4°。工况6的爆炸物位于罐体内壁靠近端头处，冲击波压力不对称导致端头飞离空气域时向下偏转2.3°。
图 12 工况2和工况6端头的偏转角度Figure 12. Deflection angles of the impact plugs in case 2 and case 6炸药位于不同位置时的端头速度如图13所示。可见，端头的出口速度均在124.45 m/s上下浮动，中间贴壁和前端贴壁的速度较低，是由于壳体破损导致爆轰产物泄露，爆炸产生的能量没有完全作用到端头上。其余不同位置对端头出口速度影响较小。
图 13 炸药位于不同位置时端头的速度Figure 13. Terminal velocity when the explosives at different locations4.3 罐体轴向受力分析
爆炸物在罐体内爆炸时，产生的冲击载荷巨大且往往具有不对称性，对罐体连接件提出了更高的强度要求，连接件强度过低容易导致罐体脱落，对机舱内人员和设备造成严重威胁。因此，需对典型当量爆炸物在抗爆装置中爆炸后罐体的轴向受力开展研究，为罐体与飞机连接件设计提供参考。
为了分析罐体的轴向受力，取消卡箍的固定约束。将TNT炸药爆炸完成后的作用过程分为2个阶段：第1阶段是炸药起爆到剪切销断裂之前，此时罐体、卡箍剪切销和冲击端头可以看作一个整体，罐体轴向受力包括冲击波作用于罐体、剪切销和端头上的力，可通过提取冲击波与罐体、冲击端头、剪切销之间的轴向耦合力来表征罐体的轴向力；第2阶段是剪切销断裂之后到冲击端头飞出罐体，此时端头和剪切销已经与罐体分离，只需考虑罐体受到的耦合力。
当爆炸物位于轴线中心位置时，剪切销在0.26 ms断裂，冲击端头在2.56 ms时飞出罐体。爆炸物位于不同位置时第1阶段的罐体轴向力如图14所示。TNT位于轴线前端的作用力峰值为1 556.89 kN，方向沿罐体轴线正方向，这是因为冲击波首先汇聚到罐体前端；TNT位于轴线后端的作用力峰值为1 231.47 kN，方向沿罐体轴线负方向；TNT位于轴线中心时作用力峰值出现在0.062 ms处，最大作用力为423.46 kN，方向沿罐体轴线正方向。
爆炸物位于不同位置时，第2阶段的罐体轴向力如图15所示。TNT位于罐体轴线中心位置时，最大轴向力出现在0.395 ms，为569.89 kN，方向沿罐体轴线负方向；TNT位于轴线前端的轴向力峰值为728.87 kN，方向沿罐体轴线负方向；TNT位于轴线后端的轴向力峰值为530.89 kN，方向沿罐体轴线负方向。
如图16所示，爆炸物位于轴线中心、轴线前端和轴线后端时，罐体轴向力最大值分别为569.29、1 556.89和1 231.47 kN，相比于轴线中心处的最大轴向力，轴线前端和后端处的最大轴向力分别增大了173%和116%。可见爆炸物位于轴线中心位置时轴向力较小。
5. 结 论
以定向泄爆容器为研究对象，通过试验与数值模拟研究，得到以下主要结论。
(1) 通过内爆加载试验表明，100 g TNT炸药位于轴线时，罐体产生弹性形变；紧贴内壁中间位置时，罐体外壁鼓包并贯穿开裂；紧贴内壁近端头处时，罐体外壁凸起，抗爆容器主体结构完整，不产生破片。
(2) 数值模拟结果表明，100 g TNT炸药位于罐体内壁靠近端头处时，冲击端头的损伤最明显，但端头整体结构完整，由于导槽的约束，端头最大偏转角为2.3°；端头的平均出口速度为124.45 m/s，爆炸物在不同位置对端头出口的速度影响较小。
(3) 爆炸物位于罐体轴线中心时，轴向力较小，能够降低爆炸冲击载荷对罐体及连接件的破坏；爆炸物位于轴线前端和后端时，轴向力分别增大了173%和116%，最大轴向力为1 556.89 kN。
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图 2 加强肋方向s1和s2的坐标变换
Figure 2. The coordinate transformation of the directions s1 and s2 of the stiffeners
图 3 LS-DYNA中十字形加筋圆板的壳单元网格划分
Figure 3. The mesh of cross-stiffened circular plate using shell element in LS-DYNA
图 4 不同厚度圆板在线性衰减脉冲（压力峰值50 kPa，衰减时间2 ms）作用下的最大响应挠度及拟合曲线
Figure 4. The maximum deflections and fitting curve of circular flat plates with different thicknesses under linear decaying pulse with the peak pressure of 50 kPa and the decay time of 2 ms
图 5 3种不同十字形加筋圆板的
h2s 和h2e 的关系Figure 5. The relations between
h2s andh2e for three different cross-stiffened circular plates
图 6 不同n、β设置下加筋圆板的等效参数K
Figure 6. The equivalent parameter K of the stiffened circular plates with different n and β
图 7 等效参数K(n, β)拟合函数图
Figure 7. The fitting function graphs of equivalent parameter K(n, β)
图 8 3种不同加筋圆板及其等效平板、等质量修正板、等质量分布修正板的中心挠度-时间曲线对比
Figure 8. Comparisons of the central deflection-time curves among three different stiffened circular plates and the corresponding equivalent plates, equal mass revised plates, equal mass distribution revised plates
图 9 不同时刻n4β0.07加筋圆板(左)与对应等效平板(右)的挠度分布云图
Figure 9. The deflection contour maps of the stiffened circular plate n4β0.07 (left) and the corresponding equivalent plate (right) at different times
图 10 不同n、β设置下加筋圆板及其等效平板（采用式(16)或式(19)）在同等线性衰减脉冲载荷下的响应情况对比
Figure 10. Comparisons of the dynamic response of the stiffened circular plates and the corresponding equivalent plates (by Eq.(16) or Eq. (19)) with different n and β under the same linear decaying pulse
图 12 不同线性衰减脉冲压力下的n4β0.07加筋圆板与对应等效平板的最大挠度
Figure 12. The maximum deflections of the stiffened circular plate n4β0.07 and the corresponding equivalent plate under the triangle decaying pulse with different pressure
图 13 矩形脉冲（RP）、线性衰减脉冲（LDP）和等腰三角脉冲（ITP）下的n4β0.07加筋圆板与对应等效平板的中心挠度-时间曲线
Figure 13. The central deflection-time curves of the stiffened circular plate n4β0.07 and the corresponding equivalent plate under the rectangle pulse (RP), linear decaying pulse (LDP), and isosceles triangular pulse (ITP)
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