A fast equivalent-isotropic-plate model for stiffened circular plates under pulse loading
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摘要: 加筋板在爆炸与冲击防护中应用广泛，而其动力响应的快速求解一直是工程中关注的重点。对于径向均匀加筋的圆板，基于刚度叠加思想，提出了一种将其等效为各向同性平板的方法，用于分析其在脉冲载荷下弹性阶段的动力响应。结合理论推导与数值方法，显式地给出了简洁的等效平板厚度公式。经验证，提出的等效方法建立了加筋圆板与均质圆板间的内在联系，适用于多种加筋尺寸、材料及载荷形式。等效圆板与加筋圆板的最大挠度偏差不超过6%，低阶振动频率偏差不超过10%。相比于直接对加筋圆板进行计算，等效分析方法大大提高了求解效率，且保证了很高的计算精度，在冲击响应预测和结构优化等工程应用中具有重要意义。Abstract: Stiffened panels are widely used in the explosion and impact protection, thus a fast and accurate method for solving their dynamic response is highly desired in engineering. Based on the idea of stiffness superposition, a novel equivalent-isotropic-plate method is proposed in this paper to convert the radial and uniformly stiffened circular plate into an isotropic flat plate, so as to analyze its dynamic response in the elastic stage under uniform pulse loading. Since obtaining the dynamic response of an isotropic plate is mature and convenient, the equivalent analysis can overcome the computational difficulty of anisotropy in direct modeling, thus greatly improving the solving efficiency. Through the linear superposition of the plate and stiffener dynamic equations, a concise formula of the equivalent plate thickness is derived explicitly. The equivalent parameter in the formula is obtained with the assistance of simulation and numerical fitting, which directly measures the strengthening effect of the stiffeners on the plate. Employing the equivalent-isotropic-plate model, the overall dynamic response of a stiffened circular plate can be represented by that of an equivalent isotropic plate with acceptable accuracy, especially for low-order vibrations and center deflections. It is verified that the equivalent method can be successfully applied to a variety of stiffening types, materials, and load forms. The deviation of the maximum deflection response of the equivalent flat plate from that of the original stiffened circular plate does not exceed 6%, and the deviation of the response frequency does not exceed 10%. This completely meets the engineering requirements. The equivalent-isotropic-plate model verifies the feasibility of isotropic equivalence, and reveals the intrinsic connection between the radial stiffened circular plate and the homogeneous circular plate, which is of great significance in engineering applications such as response prediction and structural optimization.
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Key words:
- stiffened plate /
- circular plate /
- dynamic response analysis /
- equivalent method /
- pulse loading
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随着炸药性能的不断提升和水中兵器（例如鱼雷、水雷等）制导技术的发展，水下近距/接触爆炸是导致潜艇、UUV（unmanned underwater vehicle）等水下航行器圆柱壳体结构失效的主要攻击方式之一，因此，研究水下近距/接触爆炸加载下圆柱壳体结构的动态响应与破坏特性具有重要的理论和工程应用价值。水下近距/接触爆炸过程涉及冲击波、爆轰产物、高速破片等多载荷耦合以及加载结构材料、几何、边界非线性等问题，一直是水下爆炸毁伤研究的难点。
近年来，针对圆柱壳结构在水下爆炸冲击波加载下的动力响应问题，学者们从数值、试验等方面开展了大量的研究工作。数值研究方面，姜涛等[1]采用AUTODYN有限元软件，分析了潜艇典型双壳体舱段结构在鱼雷近距/接触爆炸（W= 400 kg；R = 2，4，6 m；R/R0 =5.1，10.2，20.4，其中W为等效TNT当量，R为爆距，R0为等效药球半径）加载条件下壳体的动态变形及破坏形态。计算结果表明，潜艇在鱼雷接触加载条件下，耐压及非耐压壳体出现撕裂破口，且耐压壳体破口范围更大；在近距爆炸加载条件下，耐压及非耐压壳体主要呈现塑性大变形毁伤模式。Yuan等[2]采用MSC-DYTRAN有限元软件模拟研究爆炸角度、深度对典型圆柱壳的毁伤影响规律（W = 0.08 kg，R = 0.83 m，R/R0 = 36.2），结果表明：90°加载方向圆柱壳毁伤最严重，0°加载方向圆柱壳毁伤较轻；随着水深的增加，圆柱壳毁伤程度加大，呈现屈曲压溃毁伤模式。Brochard等[3]采用LS-DYNA软件数值研究了爆炸深度对圆柱壳结构变形的影响规律，随着静水压力的增大，圆柱壳迎爆面塑性凹陷大变形加剧（W = 1.1 kg，R = 0.42 m，R/R0 = 7.6）。上述文献的数值模拟计算中仅给出了最终的破坏形态，没有给出冲击波、气泡与圆柱壳的相互作用过程。Nguyen等[4]采用自主开发的两相流数值模拟程序开展了单发装药和双发装药水下爆炸加载圆柱壳结构数值计算（W = 8 kg；R = 0.25，0.50 m；R/R0 = 2.3，4.7），获得了冲击波、气泡与圆柱壳结构流固耦合作用过程的物理图像，然而，模拟中壳体为刚性，并没有考虑壳体的变形。试验研究方面：Brett等[5-6]采用两端刚固的钢制圆柱壳模型进行水下爆炸远场加载试验（W = 0.005，0.01 kg；R = 0.15，0.3m；R/R0 = 16.5，26.1），测量获得了冲击波和气泡载荷作用下圆柱壳典型部位的加速度曲线、挠度变化值，初步阐明了冲击波和气泡载荷对结构毁伤的影响；试验的加速度曲线充分说明目标载荷对于结构的毁伤过程分为冲击波和气泡两个阶段，圆柱壳结构迎爆面主要呈现弹塑性小变形凹陷。Hung等[7]在水箱中开展了水下不同爆距加载下不同加筋形式铝制/钢制圆柱壳结构毁伤试验研究（W = 0.001 kg，R = 0.35～2.1 m，R/R0 = 65.7～394.3），测试了应变、加速度响应等动态参数并采用高速相机获得了加筋圆柱壳结构在爆炸加载下的动态响应物理图像，试验结果表明：远场加载下圆柱壳主要产生弹性冲击振动，近场加载下圆柱壳迎爆面主要产生弹塑性小变形。Gannon等[8-9]在爆炸水池中开展近自由面和近刚性底面炸药水下爆炸冲击波/气泡载荷作用下不同长径比铝制圆柱壳结构毁伤试验（W = 0.0015 kg；R = 0.0365，0.1775 m；R/R0 = 5.99，29.1），并测试了典型位置应变和压力载荷数据，同时采用高速相机获得了近自由面/底面附近气泡与圆柱壳结构流固耦合作用图像。上述文献中的试验研究主要集中在水下远场、中近场（R/R0>6）加载下圆柱壳结构的弹塑性小变形，而水下近距/接触爆炸加载下圆柱壳结构会出现弹塑性大变形、局部撕裂等毁伤特征，也是现代高精度制导水中兵器作战的主要命中工况，对其物理过程的认识将为武器设计和毁伤评估提供参考和依据，具有重要的物理意义和工程应用价值。
为此，本文中将开展水下近距/接触爆炸（R/R0<6）加载下圆柱壳结构动态响应行为的光电联合测试试验研究，获得圆柱壳结构动态响应历程高速光学物理图像、典型部位应变及毁伤模式数据，揭示水下爆炸冲击波、气泡与圆柱壳结构相互作用物理过程，加深对水下爆炸近距/接触加载下圆柱壳结构毁伤机理的认识。
1. 试验模型及测试布置
1.1 试验模型
试验模型为典型的圆柱壳结构，长400 mm、内径200 mm、壳体厚3 mm，两端面采用10 mm厚的封板进行密封，并设置上下吊耳，便于使用细钢丝绳在水中悬挂圆柱壳结构，壳体材料采用Q235结构钢，图1为圆柱壳结构的实物图。
1.2 测试布置
试验在4 m×4 m×5 m的爆炸水箱中开展，水箱采用厚钢板外加筋方式焊接，前部设置透光性较好的有机玻璃窗口，便于高速物理图像的拍摄，可承载150 g TNT当量的水下爆炸，满足本次试验加载的要求。
本次试验共设置两种爆炸工况，试验装药为JH-14，其组分为96.5%的黑索今和3.5%的添加剂，密度约1.70 g/cm3，爆压27.67 GPa，爆速8190 m/s，爆热5795 kJ/kg，约1.2倍的TNT当量；试验装药为药柱，采用26#雷管在药柱上端面中心处进行单点起爆。工况1：药柱尺寸为
∅ 30 mm×60 mm，药量为72 g，炸药中心距离圆柱壳迎爆面上沿中心130 mm（R/R0 = 4.33），主要模拟圆柱壳结构在水下近距爆炸加载下动态响应行为；工况2：药柱尺寸为∅ 30 mm×30 mm，药量为36 g，炸药中心距离圆柱壳迎爆面上沿中心15 mm（R/R0 = 1.0），主要模拟圆柱壳结构在接触爆炸加载下的动态响应行为。图2为试验加载工况图。本次试验测试参数主要包括圆柱壳结构动态响应过程高速光学物理图像、圆柱壳典型部位应变、水中压力。结构响应过程的高速光学测试，利用高功率、长照明无频闪冷光灯实现前照明，采用高速相机进行拍摄，拍摄幅频为50000 s−1，曝光时间为5.0 μs。动态应变测试方面，工况1为近距爆炸加载，圆柱壳迎爆面以弯曲塑性大变形为主，在圆柱壳外表面设置4个应变测点。其中，圆柱壳迎爆面上沿布置2个测点：P1～P2，背爆面下沿布置2个测点：P3～P4，沿着圆柱壳轴向粘贴应变片，主要用于获得近距爆炸加载下圆柱壳典型部位轴向应变响应特征。工况2为接触爆炸加载，圆柱壳迎爆面以剪切冲塞和撕裂破坏为主，炸药与圆柱壳结构上表面接触处无法布置应变测点，因此设置3个应变测点，圆柱壳迎爆面上沿布置1个测点：P1，背爆面下沿布置2个测点：P2～P3，沿着圆柱壳环向粘贴应变片，主要用于获得接触爆炸加载下圆柱壳典型部位的环向应变响应特征；针对水中爆炸压力测试，布置1个压力测点，两种工况测点与装药爆心在同一深度平面上，且距离爆心的直线距离分别为1640、1660 mm，主要用于监测炸药爆轰的完全性。图3给出了试验测试布置示意图。
图 3 试验测试布置示意图（左为俯视图，右为正视图）Figure 3. Experimental layout (left: top view, right: front view)2. 试验结果分析
2.1 水下近距爆炸动态响应物理图像及毁伤模式分析
图4给出了近距爆炸冲击波、气泡与圆柱壳结构相互作用时的物理图像（工况1）。由图1可知，由于装药长径比为2，装药起爆后，爆炸近场冲击波以近似椭球波的形式于t = 60 μs入射到圆柱壳结构迎爆面，到达结构壁面后发生正规则反射，随着规则反射区的增大，壁面空化区开始形成。反射波于t = 100 μs左右与爆炸气泡界面相遇，由于气泡阻抗较小，反射波冲击气泡界面将反射稀疏波使得空化区进一步扩大（图4中t = 160 μs时刻）。反射波对气泡界面的冲击作用使得气泡界面形态由原来的椭圆形演化为梨形（图4中t = 100～240 μs时刻）；之后，由于圆柱壳结构的Bjerknes吸引力，气泡逐渐被拉伸成下端变尖的椭球形态，气泡界面与圆柱壳结构之间的间距逐渐缩小，空化区域开始逐渐溃灭，在t = 300 μs左右空化区基本溃灭消失，此时冲击波已经扫过整个圆柱壳结构，冲击波及空化区溃灭的二次冲击加载使得圆柱壳结构迎爆面呈现局部弯曲小变形。随着气泡的进一步膨胀，圆柱壳结构变形加剧，迎爆面呈现弯曲大变形凹陷，背爆面呈现中拱弯曲小变形（图4中t = 800～1500 μs）。
图 4 近距爆炸加载圆柱壳结构动态响应物理图像（工况1）Figure 4. Physical picture of dynamic response of cylindrical shell under near-field explosion（case 1）针对圆柱壳结构壁面空化区的形成机理，可根据文献[10]中修正的Taylor平板理论进行解释，壁面空化发生时刻tva为：
tvaθ=lnψaψa−1 (1) 式中：无量纲参数
ψa = ρwcwθ/m；θ为冲击波衰减常数，s；m为单位面积平板的质量，kg/m2；ρw为水的密度，取值为1000 kg/m3；cw为水的声速，m/s，由于试验工况1为近距爆炸，水的声速在近场区域内变化具有强烈的非线性，不能采用传统的远场声速1 500 m/s，其计算方法采用水的非线性D-u关系拟合得到的经验公式[10]：cw=53.92(R/W1/3)−1.429+1 496 (2) 工况1中，圆柱壳壁面为3 mm厚的Q235钢板，根据式(1)计算可知，tva ≥17.4 μs，即空化将在入射冲击波到达结构壁面后约17.4 μs之后开始形成；从图4中t = 80~100 μs时间段中可清晰看到，随着反射冲击波的传播，壁面区域附近逐渐出现肉眼可见的空化区域，这说明在薄壁圆柱壳结构壁面附近流场的空化形成主导机制是Taylor平板效应。
图5中给出了工况1中圆柱壳结构弹塑性大变形毁伤模式图像。从图中可知：近距爆炸加载下圆柱壳结构总体毁伤模式主要为迎爆面塑性凹陷大变形，变形最大值约为91.6 mm，接近圆柱壳的半径值，背爆面塑性凹陷小变形，变形最大值约为22.5 mm，圆柱壳长度方向中心位置剖面的上下端面两点间距离为55.3 mm，上端面中心点距离变形边缘的水平距离为118.6 mm。圆柱壳迎爆面塑性大变形拉伸使得左右两个封板出现向内的扭曲，扭曲角度约为9.2°。
图 5 近距爆炸加载圆柱壳毁伤模式图像（工况1）Figure 5. Damage mode of cylindrical shell under near-filed explosion （case 1）2.2 水下接触爆炸动态响应物理图像及毁伤模式分析
图6中给出了接触爆炸冲击波、爆轰产物与圆柱壳结构相互作用的物理图像（工况2）。分析可知，装药起爆后，爆炸冲击波以半球波的形式沿着圆柱壳结构迎爆面传播，随着爆轰产物的膨胀压缩，圆柱壳结构迎爆面中心区域开始出现局部凹陷（图6中t = 120 μs）；在吉帕量级高压爆轰产物驱动下，圆柱壳迎爆面会形成局部冲塞破片，该冲塞破片在爆轰产物的驱动下，在t = 160 μs左右高速撞击圆柱壳结构背爆面形成冲塞块，冲塞块高速冲击入水使得圆柱壳背爆面出现二次冲击波（图6中t = 160～220 μs）；随着冲塞块在水中的高速运动，水中逐渐出现竖向尖椭球形空腔，在此过程中，爆轰产物也将通过背爆面冲塞破口逐渐溢出到空腔中，具体溢出过程需要详细的数值模拟进行分析；随着爆轰产物的膨胀压缩，圆柱壳结构迎爆面逐渐形成V字形凹陷（图6中t = 400～1000 μs）。
图 6 接触爆炸加载圆柱壳结构动态响应物理图像（工况2）Figure 6. Physical pictures of dynamic response of the cylindrical shell under contact explosion（case 2）图7中给出了工况2下圆柱壳结构撕裂破坏毁伤模式图像。分析可知：接触爆炸加载下圆柱壳结构总体毁伤模式主要以剪切冲塞破坏和撕裂型破坏为主，迎爆面破口边界呈现四瓣花瓣形破裂，破口形状近似为菱形，菱形长边、短边分别接近400、150.8 mm，平均破口半径约为137.7 mm；背爆面形成的剪切冲塞破口形状近似为椭圆形，长轴为28.5 mm，短轴为22.5 mm。从圆柱壳正视图来看，圆柱壳形成的V字形凹陷的角度接近76.6°，背爆面底部左右两端呈现略微上翘的挠度。由于接触爆炸炸药加载能量大部分被圆柱壳迎爆面塑性变形和撕裂破坏吸收，使得左右两个封板向内扭曲的角度较工况1减小，扭曲角度约为2.2°。
针对水下接触爆炸载荷作用下板壳破口半径的计算问题，已有大量的实验和理论研究。文献[11]中基于能量原理提出了水下爆炸破口的经验公式：
Rp=√2ηWQTNTπ tσyεf (3) 式中：
η 为装药能量转化为板变形的能量百分比，取值为0.1236；QTNT为炸药的爆热，取值为4.69 MJ/kg；σy为板的静态屈服强度，取值为235 MPa；εf为板破坏的极限应变，取值为0.2469；t为板的厚度，取值为3 mm。针对试验工况2计算可得估计的破口半径Rp = 302.6 mm，约为试验破口半径的2.2倍。分析认为，形成以上偏差的主要原因有以下3点：（1）当板尺寸相对装药直径足够大时，该公式预估结果较好，而本文的试验工况中圆柱壳板直径尺寸与装药直径比仅为6左右；（2）本文试验工况为圆柱壳结构，具有弧度特征，变形特征不同于平板结构；（3）圆柱壳结构背爆面和两端封板对迎爆面裂纹持续传播起到了一定的阻碍作用，也使得最终的破口尺寸减小。2.3 动态应变响应分析
图8中给出了近距加载下圆柱壳结构迎爆面和背爆面轴向动态应变响应时间历程曲线（工况1）。分析图8（a）可知，迎爆面测点P1在t = 62 μs受到冲击波加载（图4中t = 60 μs时刻），壳体在响应初期处于弹塑性小变形阶段，应变状态为压缩状态，压缩应变平台基本维持在4.0×10−3，持续时间约192 μs，随着壳体变形的增大，膜效应增强，壳体中面拉伸应变占主导，在274 μs后壳体应变状态由压缩应变反转为拉伸应变；由于迎爆面测点P2靠近圆柱壳端部，在t = 82 μs受到冲击波加载（图4中t = 80 μs时刻），由于端部强约束，靠近端部的壳体类似悬臂梁弯曲状态，处于快速拉伸应变状态；由于迎爆面应变测线在爆炸近区被冲击波拉断或应变过载失效导致后续的应变信号没有得到捕捉。分析图8（b）可知，背爆面测点P3、P4受载后，总体响应主要划分为三个阶段：第一个阶段为压缩应变响应时段，持续时间约980 μs（对应背爆面壳体的初期弹塑性小变形），第二个阶段为拉伸应变响应阶段，持续时间约为1146 μs，第三个阶段两个测点的应变约在4.5 ms左右达到平稳状态，最终残余塑性拉伸应变分别为8.215×10−3、0.939×10−3（对应背爆面壳体的后期弹塑性大变形）。
图9中给出了接触加载下圆柱壳结构迎爆面和背爆面环向动态应变响应时间历程曲线（工况2）。分析图9（a）可知，迎爆面测点P1在t = 60 μs受到冲击波加载（图6中t = 40～80 μs时刻），壳体在响应初期环向处于快速压缩应变状态，压缩应变持续时间约96 μs，在爆轰产物驱动下壳体沿着径向发生大变形凹陷，在t = 156 μs后壳体环向应变状态由压缩应变反转为拉伸应变并超出应变片最大量程，导致后续信号没有得到捕捉；测点P2在背爆面下沿中心位置，在t = 140 μs时刻圆柱壳迎爆面接触爆炸形成的高速破片直接撞击冲塞背爆面中心位置形成破口（图6中t = 160 μs时刻），使得该测点位置应变测线失效；背爆面测点P3靠近圆柱壳端部，在t = 210 μs左右开始受到背爆面冲塞破片入水形成的二次冲击波加载（图6中t = 200 ～220 μs时刻），环向处于压缩应变状态。分析图6（b）可知，测点P3受载后，总体响应主要划分为两个阶段：第一个阶段为压缩应变响应时段，持续时间约1.9 ms，第二个阶段为平稳响应阶段（约在2.5 ms左右到达），最终残余环向压缩应变为20.4×10−3。
2.4 超压测试结果分析
JH-14炸药的完全爆轰，是可靠加载圆柱壳结构毁伤的前提，图10中给出了两种试验工况下自由场超压的时间历程曲线。
图 10 两种试验工况下超压的时间历程曲线Figure 10. Overpressure time histories of two experimental cases分析图10（a）可知，装药爆炸后，初始冲击波在t = 1.064 ms到达超压测点，峰值压力为12.457 MPa；在t = 1.145 ms时刻，圆柱壳体迎爆面反射冲击波（见图4中t = 80～300 μs时间段内壁面反射冲击波传播）到达超压测点，峰值压力为5.053 MPa；由于传感器测点放置在箱体角隅处，两个壁面反射冲击波分别在t=1.957，2.030 ms到达超压测点，峰值压力分别为5.406、5.171 MPa。分析图10（b）可知，装药爆炸后，初始冲击波在t = 1.095 ms到达超压测点，峰值压力为7.403 MPa；由于传感器测点放置在箱体角隅处，两个壁面反射冲击波分别在t = 2.032，2.089 ms到达超压测点，峰值压力分别为2.556、3.702 MPa。
进一步通过文献中经验公式检验试验过程中装药爆轰完全性。不同装药水中爆炸冲击波超压峰值计算的经验公式为：
pm=k(3√WR)α (4) 式中：pm为冲击波超压峰值，MPa；k和α为炸药在水中爆炸时冲击波的超压系数，与炸药物理化学性质有关，其大小由试验确定。传统TNT炸药的k和α值分别为52.4和1.13；针对本文试验采用的JH-14炸药，文献[12]在爆炸水池中测试了200 g JH-14炸药在不同水深和作用距离处的冲击波峰值超压，拟合给出k和α值分别为57.01和1.131，即JH-14炸药的水下爆炸冲击波峰值压力计算公式为：
pm-JH-14=57.01(3√WR)1.131 (5) 试验工况1中的药量为72 g，根据式(5)计算得到的初始冲击波峰值压力为12.083 MPa；试验测试值为12.457 MPa，与经验公式计算值偏差约为3.1%，认为装药已经完全爆轰。试验工况2药量为36 g，根据式(5)计算得到的初始冲击波峰值压力为9.177 MPa；试验测试值为7.403 MPa，与经验公式计算值偏差约为−23.3%，分析认为：主要由于试验工况2为接触爆炸，部分爆炸初始能量被用于破坏壳体结构，从而导致传播到自由场中的冲击波峰值减弱；根据超压峰值反推等效TNT当量的方法，则近似估算得到用于加载圆柱壳结构能量及气泡能占爆炸总能的比例约为43%，圆柱壳结构更精确的吸能占比需要结合理论分析和数值模拟进行确定。
3. 结 论
设计典型圆柱壳结构，在爆炸水箱中开展了水下近距/接触爆炸加载下圆柱壳结构动态响应行为光电联合测试试验研究，获得了圆柱壳结构动态响应高速光学物理图像、动态应变时历曲线以及压力载荷，通过试验数据的对比分析主要得到以下结论。
(1)本文爆炸工况下，近距加载下圆柱壳结构主要呈现弹塑性大变形毁伤模式，迎爆面呈现弯曲大变形凹陷，背爆面呈现中拱弯曲小变形；圆柱壳结构从弹性小变形到弹塑性大变形演变的过程中，膜力效应的增强会导致壳体应变状态发生转变。
(2)本文爆炸工况下，接触爆炸加载下圆柱壳结构主要呈现花瓣型撕裂和局部剪切冲塞毁伤模式，迎爆面破口形状接近菱形，整体变形为V字形凹陷，背爆面出现局部剪切冲塞破口，左右两端呈现略微上翘的挠度。
(3)近距加载下圆柱壳结构迎爆面会由于Taylor平板效应形成空化区，空化区溃灭形成的二次加载毁伤效应不容忽视；接触爆炸加载下迎爆面形成的高速冲塞破片可使得背爆面出现冲塞破口，在水中形成二次加载冲击波。
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图 2 加强肋方向s1和s2的坐标变换
Figure 2. The coordinate transformation of the directions s1 and s2 of the stiffeners
图 3 LS-DYNA中十字形加筋圆板的壳单元网格划分
Figure 3. The mesh of cross-stiffened circular plate using shell element in LS-DYNA
图 4 不同厚度圆板在线性衰减脉冲（压力峰值50 kPa，衰减时间2 ms）作用下的最大响应挠度及拟合曲线
Figure 4. The maximum deflections and fitting curve of circular flat plates with different thicknesses under linear decaying pulse with the peak pressure of 50 kPa and the decay time of 2 ms
图 5 3种不同十字形加筋圆板的
h2s 和h2e 的关系Figure 5. The relations between
h2s andh2e for three different cross-stiffened circular plates
图 6 不同n、β设置下加筋圆板的等效参数K
Figure 6. The equivalent parameter K of the stiffened circular plates with different n and β
图 7 等效参数K(n, β)拟合函数图
Figure 7. The fitting function graphs of equivalent parameter K(n, β)
图 8 3种不同加筋圆板及其等效平板、等质量修正板、等质量分布修正板的中心挠度-时间曲线对比
Figure 8. Comparisons of the central deflection-time curves among three different stiffened circular plates and the corresponding equivalent plates, equal mass revised plates, equal mass distribution revised plates
图 9 不同时刻n4β0.07加筋圆板(左)与对应等效平板(右)的挠度分布云图
Figure 9. The deflection contour maps of the stiffened circular plate n4β0.07 (left) and the corresponding equivalent plate (right) at different times
图 10 不同n、β设置下加筋圆板及其等效平板（采用式(16)或式(19)）在同等线性衰减脉冲载荷下的响应情况对比
Figure 10. Comparisons of the dynamic response of the stiffened circular plates and the corresponding equivalent plates (by Eq.(16) or Eq. (19)) with different n and β under the same linear decaying pulse
图 12 不同线性衰减脉冲压力下的n4β0.07加筋圆板与对应等效平板的最大挠度
Figure 12. The maximum deflections of the stiffened circular plate n4β0.07 and the corresponding equivalent plate under the triangle decaying pulse with different pressure
图 13 矩形脉冲（RP）、线性衰减脉冲（LDP）和等腰三角脉冲（ITP）下的n4β0.07加筋圆板与对应等效平板的中心挠度-时间曲线
Figure 13. The central deflection-time curves of the stiffened circular plate n4β0.07 and the corresponding equivalent plate under the rectangle pulse (RP), linear decaying pulse (LDP), and isosceles triangular pulse (ITP)
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