混凝土材料广泛应用于防护结构中，研究其抗常规武器打击性能是防护工程领域关注的重要问题。常规武器的战斗部主要由壳体和柱形装药两部分组成，当其侵彻进入目标后，首先内部装药完成爆轰，然后壳体破碎，进而形成爆炸应力波（简称爆炸波）对防护结构造成破坏。已有研究表明，壳体会在一定程度上影响爆炸波的峰值以及衰减规律^[1]。

带壳装药在混凝土中爆炸涉及炸药能量的释放、壳体的破碎、爆轰产物-壳体-混凝土材料之间的相互作用以及爆炸波在混凝土中传播等问题，是一个极其复杂的非线性过程，目前实验和数值模拟是两种主要研究手段。实验方面，带壳装药的爆炸试验大多是在空气自由场中进行，主要研究爆炸冲击波和破片的荷载特性，以及冲击波和破片联合作用下结构构件的毁伤特点和动力响应。Locking等^[2]、梁斌等^[3]采用不同的壳体材料开展了空气自由场中的带壳装药爆炸试验，发现壳体材料对冲击波强度有明显影响；Grisaro等^[4]进行了裸装装药与带壳装药爆炸对钢筋混凝土构件毁伤破坏效应的实验研究，结果表明，相比裸装装药，带壳装药爆炸对钢筋混凝土构件的破坏更严重；Li等^[5]同样通过实验研究了冲击波和破片联合作用下混凝土板的破坏特征，结果表明破片会使混凝土板发生局部贯穿、裂缝等损伤破坏。注意到上述带壳装药爆炸试验均在空气自由场中开展，而混凝土中带壳装药爆炸的实验研究相对较少，已有文献仅发现刘彦等^[6]和王新生等^[7]开展了相关研究。为研究弹壳厚度对混凝土毁伤效果的影响，刘彦等^[6]将7种不同壳体厚度的柱形装药埋入混凝土中开展爆炸试验，实验数据表明，壳体厚度较小时，混凝土的爆炸漏斗坑尺寸大于裸装装药时的漏斗坑尺寸，而随着壳体厚度的增大，漏斗坑尺寸呈下降趋势；王新生等^[7]在上述实验的基础上，改变了炸药的埋置深度，发现随着埋置深度变大，爆坑体积先增大后减小，存在一个最佳埋置深度。

综上所述，带壳装药爆炸需考虑壳体材料、壳体厚度以及壳体与其他介质之间的相互作用，仅通过实验研究难以阐明其中的影响规律。随着数值计算方法的发展和计算效率的提升，数值模拟已成为研究带壳装药爆炸问题的重要工具。学者基于商用有限元软件LS-DYNA和AUTODYN，结合不同的数值算法，针对空爆产生的冲击波和破片的荷载特性、混凝土靶体在冲击波和破片荷载作用下的毁伤特性等方面展开了研究。传统的数值方法模拟带壳装药爆炸大多采用Lagrange网格描述壳体、Euler网格描述炸药，结合ALE算法考虑流体和固体之间的耦合作用。张奇等^[8]采用该方法模拟了带壳装药壳体厚度对冲击波传播特性和壳体飞散的影响规律；李茂等^[9]、Nyström等^[10]也采用该方法分别研究了固支方形钢板结构和钢筋混凝土墙在冲击波和破片联合作用下的破坏模式和动态响应；苏波等^[11]则是基于该方法对比分析了裸装装药和带壳装药在土壤中爆炸的破坏作用；孙善政等^[12]基于二维轴对称ALE算法，模拟了侵彻后带壳装药埋入混凝土内爆炸的过程，分析了壳体厚度对侵彻后爆炸毁伤效果的影响规律；梁斌等^[13]基于三维ALE算法，通过数值模拟研究了带壳装药对混凝土的爆炸破坏效应，结果发现爆炸波是造成混凝土结构破坏的主要因素，破片只产生局部效应。上述研究采用Lagrange网格描述壳体破碎，需引入单元删除准则来解决大变形问题，这会低估破片的质量和能量以及壳体对装药的约束作用。为了避免该问题，部分学者采用光滑粒子流体动力学法（SPH）^[14]和光滑粒子伽辽金算法（SPG）^[15]两种粒子法来模拟壳体的破碎。王新征等^[16]和Kong等^[17]基于AUTODYN软件中的SPH算法对柱形钢筒在内部装药爆轰作用下的破碎过程进行了模拟，主要研究了爆轰波的传播和金属壳体的膨胀破裂过程；李营等^[18]采用LS-DYNA软件中的SPH-FEM算法，模拟了战斗部在空中爆炸形成爆炸冲击波与破片并毁伤钢筋混凝土桥梁的全过程；廖南等^[19]则是基于SPG算法建立了带壳装药爆炸的精细化数值模型，系统研究了带壳装药爆炸产生的冲击波和破片的荷载特性。

根据上述带壳装药爆炸的实验和数值模拟研究可知，现有研究大多关注空气中爆炸冲击波和破片的联合作用，而对混凝土中带壳装药爆炸应力波传播衰减规律方面的研究较少，且多为定性研究，缺乏定量分析。本文基于文献[20]开展的柱形装药埋置爆炸实验，利用近年开发的Kong-Fang混凝土材料模型^[21-23]，结合LS-DYNA软件中的多物质ALE算法，对混凝土中带壳装药爆炸应力波的传播衰减规律进行数值模拟研究，分析完全封闭爆炸和埋置爆炸条件下不同长径比、不同壳体厚度对爆炸波峰值应力衰减规律的影响，推导埋置爆炸条件下带壳装药正下方峰值应力的实用化计算公式。

1.   数值模型及验证

爆炸实验成本高、周期长，且混凝土中传感器埋设及高幅值应力波测试困难，故有关于混凝土中爆炸波衰减规律的实验研究有限，特别是带壳装药爆炸波的实验研究几乎没有。而本文侧重研究的是爆炸波在混凝土介质中的传播衰减规律，因此采用裸装装药爆炸的实验数据对数值模型进行验证。

文献[20]中开展了一系列柱形装药在混凝土中的爆炸实验，并测得了混凝土内部爆炸波应力时程曲线和混凝土的损伤破坏情况。本节采用LS-DYNA软件中的多物质ALE算法（MM-ALE）和Kong-Fang混凝土材料模型建立上述实验的数值模型，对数值模拟方法以及材料模型参数进行验证，为后续分析带壳装药在混凝土中爆炸波的传播衰减规律奠定基础。

1.1   有限元模型

如图1(a)所示，圆柱形混凝土靶体直径为2.1 m，高1.4 m，靶体上表面中心预留直径为105 mm的圆柱形预制孔，靶体侧面为16 mm厚的Q235钢箍。混凝土为CF120超高性能混凝土，TNT装药直径为100 mm、长度为550 mm、质量为6.4 kg，埋置深度0.86 m，并采用尾部中心点起爆方式，进行了两发重复性爆炸试验。为测试装药正下方混凝土中的爆炸应力波，在每组试验装药正下方0.4 m处的混凝土中预埋了PVDF应力传感器（测点A）。

图  1  实验设置和有限元模型示意

Figure  1.  Schematic of experiment setup and finite element model

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为提高计算效率，在LS-DYNA软件中采用轴对称的方法建立有限元模型，如图1(b)所示。模型尺寸与实验实际尺寸保持一致，经单元敏感性分析后确定单元尺寸为4 mm×4 mm，空气边界采用透射边界，靶体上面和底面为自由边界。

根据文献[24]，对于混凝土中爆炸波的传播涉及爆轰产物的飞散和混凝土材料的破碎这类大变形问题，相比于传统的Lagrange算法和Euler算法而言，多物质ALE算法（MM-ALE）不仅可以避免网格畸变问题，也能很好地追踪多种物质的界面。因此，本文采用MM-ALE数值算法进行模拟，即炸药、空气、混凝土和钢箍均采用Euler网格描述。

1.2   材料参数

为了更好描述混凝土在侵彻爆炸等强动载下的动态损伤破坏，Kong等^[21]、Wang等^[22]和Zhang等^[23]针对现有混凝土材料模型的不足进行了改进，提出了Kong-Fang流体弹塑性损伤模型。高矗等^[25]采用上述模型研究了球形装药在混凝土中爆炸产生的应力波衰减规律，发现该模型能够很好地预测混凝土材料在爆炸荷载作用下的损伤破坏和爆炸波的传播衰减。本文采用Kong-Fang本构模型描述实验中的CF120超高性能混凝土，其实测抗压强度为133.5 MPa、密度2520 kg/m³。此外，Kong-Fang模型的参数还包括状态方程参数和强度面参数，对于状态方程参数，采用Yang等^[26]对Kong-Fang模型标定的超高性能混凝土参数；对于强度面参数，则采用高矗等人基于Williams等^[27]和Ren等^[28]三轴压缩实验数据标定得到的参数；其他参数的详细取值见文献[20]。

TNT爆炸采用High-Explosive-Burn模型描述，并采用Jones-Wilkins-Lee（JWL）状态方程，即：

式中：p为爆轰产物的压力；V为爆轰产物的相对体积；E为单位体积内能，取值为6 GPa；A、B、R₁、R₂、ω为状态方程参数，取值分别为374 GPa、3.75 GPa、4.15、0.9、0.3。实验中TNT密度约为1530 kg/m³，但后续数值模拟研究将采用TNT的实际密度1630 kg/m³；爆轰速度6930 m/s^[29]。

空气采用理想气体状态方程描述，即：

式中：p为空气压力；ρ为空气密度；ρ₀为空气初始密度，取1.225 kg/m³；E₀为初始内能，取2.5×10⁵ Pa；常数γ取为1.4^[30]。

1.3   数值模型的验证

图2给出了装药中心正下方测点A处应力时程曲线实验数据和数值模拟结果的对比图，可以看出在相同位置处两组实验测得的波形基本一致，验证了实验数据的可靠性；另外数值模拟结果得到的波形与实验数据吻合很好。

图  2  测点A应力时程曲线实验数据和数值模拟的对比

Figure  2.  Comparison of stress-time histories between experimental data and numerical predictions of Gauge A

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为了进一步验证数值模型，图3给出了混凝土靶体内部损伤破坏情况和数值模拟总损伤云图。可以发现，实验和数值模拟预测的混凝土靶体损伤破坏均可分为四个区域，即顶部的开坑区、装药附近的破碎区、底部的震塌区和侧面径向裂纹区。上述分析验证了Kong-Fang模型结合MM-ALE算法在模拟混凝土中爆炸波的传播衰减规律和损伤破坏两方面均具有较高的准确度和可靠度，这为后文采用Kong-Fang模型和MM-ALE算法研究带壳装药爆炸波的传播衰减规律奠定了良好的基础。

图  3  靶体内部损伤破坏情况

Figure  3.  Failure mode inside concrete target

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2.   完全封闭爆炸条件下带壳装药正下方峰值应力衰减规律

为了研究带壳装药爆炸与裸装装药爆炸的区别，本节基于上述经过验证的数值算法和材料模型，开展了一系列数值模拟研究。主要建立了不同长径比、不同壳体强度和厚度的柱形装药完全封闭爆炸的数值模型，主要分析了装药形状和弹壳厚度对地冲击荷载的影响规律，并得到了完全封闭爆炸条件下带壳装药正下方峰值应力的计算公式。

2.1   弹壳材料模型

本文主要进行的是带壳装药爆炸的数值模拟研究，因此需要合理确定弹壳材料模型及参数。现有研究大多采用Johnson-Cook (JC)材料模型和Grüneisen状态方程描述弹壳材料。其中，Li等^[5]开展了空气自由场中带壳装药爆炸的实验和数值模拟研究，表明采用JC材料模型能够较好模拟弹壳材料的飞散过程以及与混凝土构件的相互作用。廖南等^[19]采用与Li等^[5]相同的材料模型和参数，结合SPG算法对上述带壳装药爆炸的实验进行了数值模拟，同样较好模拟出弹壳的飞散和冲击波的传播衰减规律。

因此，本文采用JC材料模型描述弹壳材料，其屈服应力可表示为：

式中：T_H=(T−T_room)/(T−T_melt)为相对温度，T为材料温度，T_melt=1775 K为熔点，T_room=300 K为室温；A为常温下材料静态屈服应力，B、n分别为参考应变率$\dot{\varepsilon }$和室温T_room下的材料应变硬化模量和硬化指数，C为材料的应变率强化参数，ε_p为等效塑性应变，m为材料热软化参数，其中A、B、n、C、m取值分别为249.2 MPa、45.6 MPa、0.875、0.32和0.76^[17]。Grüneisen状态方程的详细参数的取值见文献[16]。需要指出，混凝土中带壳装药爆炸波的实验研究未见公开报道，故无法直接验证弹壳材料参数。但根据本文数值模拟结果发现，带壳装药在混凝土中爆炸时壳体几乎未发生断裂、破碎，其影响有限。故本文将直接采用能够准确描述弹壳基本力学特性的JC材料进行混凝土中带壳装药爆炸的数值模拟研究。

2.2   有限元模型及计算工况

图4(a)给出了带壳装药爆炸的有限元模型。数值算法、网格尺寸以及材料模型均与第1节保持相同。为了较好模拟弹壳破碎的大变形问题，弹壳采用Euler网格描述，其材料模型及状态方程的参数根据2.1节确定。炸药及其起爆方式与1.1节中的实验相同。

图  4  带壳装药爆炸的有限元模型和流体状态

Figure  4.  Finite element model of cased charge explosion and the fluid state of each part

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图4(b)给出了数值模拟中各物质的流体状态示意图，可看出完全封闭爆炸工况下，弹壳材料在混凝土的限制下未发生严重的断裂、破碎，仅产生一定程度的扩张变形。

长径比为装药总长l与装药直径d的比；壳厚比为弹壳厚度t和装药直径d的比，现有常规武器的壳厚比通常在0～0.15范围内，仅有部分钻地弹为了增加其侵彻性能，壳厚比较大，可达0.20。综合考虑上述因素，共设置6种不同长径比（l/d）、5种不同壳厚比（t/d=0, 0.05, 0.10, 0.15, 0.20）的柱形带壳装药，共30组数值模拟计算工况。柱形装药详细的尺寸信息见表1。

表  1  柱形装药尺寸

Table  1.  Size of cylindrical charge

l/d	l/m	d/m		l/d	l/m	d/m
1	0.215	0.216		6	0.716	0.118
2	0.346	0.170		8	0.862	0.108
4	0.543	0.136		10	1.000	0.100

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图5分别给出了长径比为4时，壳厚比为0和0.10两种工况装药中心正下方测点的y方向应力时程曲线。可以看出，在0.30～0.60 m/kg^1/3比例距离内，一方面，两种工况爆炸波的传播衰减规律基本相同，峰值应力随着比例爆距的增加逐渐减小，且带壳装药爆炸的峰值应力比不带壳装药爆炸的峰值应力高约10%～13%；另一方面，可观察明显的弹性前驱波和塑性波（图中拐点），由于弥散效应，弹性前驱波的峰值应力会随着比例距离的增加而逐渐减小。

图  5  装药正下方0.30～0.60 m/kg^1/3范围内测点应力时程曲线

Figure  5.  Stress-time histories of gauges at scaled distances varied from 0.30 to 0.60 m/kg^1/3

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综上所述，从应力波的角度上来看，带壳装药爆炸与裸装装药产生的爆炸波传播衰减规律相同，仅爆炸波幅值有所不同。因此本文后续内容将不再细致讨论测点的应力波形，而是重点关注测点峰值应力的差异与变化规律。

2.3   长径比的影响

已有研究表明，装药形状对峰值应力的影响不可忽略^[31-32]。为了分析装药形状对爆炸波衰减规律的影响，沿装药中心正下方选取比例爆距R^*在0.3～1.0 m/kg^1/3范围内的所有单元，采用双对数坐标系，将其峰值应力绘制在图6中。可以看出，不同壳厚比情况下，峰值应力的衰减规律基本一致，仅大小有所差异，后续将对该差异进行定量分析。这里只给出了壳厚比为0、0.10、0.20三种工况的峰值应力随比例爆距衰减的散点图。

图  6  装药正下方峰值应力

Figure  6.  Peak stress below the cylindrical charge

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从图6(a)可以看出，在爆炸近区约0.3～0.5 m/kg^1/3比例爆距范围内，长径比越大，其峰值应力也就越大；随着比例爆距的增加，不同长径比的峰值应力衰减趋势逐渐趋于一致，且长径比越大，其峰值应力反而越小。也就是说，当比例距离增加时，长径比越大，柱形装药爆炸正下方峰值应力衰减速率越快。同样的规律在图6(b)和6(c)中也能观察到。

为了建立不同长径比的柱形装药爆炸产生的爆炸波峰值应力之间联系，本文引入长径比系数α，将其定义为任意长径比的柱形装药爆炸产生的峰值应力与相同位置处、等当量的长径比为1的柱形装药爆炸产生的峰值应力比值，即：

式中：σ_m为柱形装药正下方某点的峰值应力；σ_m1:1为长径比为1的柱形装药对应位置处的峰值应力。

根据式(4)，将图6中不同长径比的峰值应力散点图绘制成长径比系数散点图。注意到由于不同壳厚比的峰值应力变化规律基本相同，因此本文只对图6给出的三种壳厚比的长径比系数变化规律进行分析。图7分别给出了三种壳厚比的长径比系数散点图和对应的拟合曲线，其中拟合函数为：

图  7  长径比系数α的散点图和拟合曲线

Figure  7.  Scatter plot and fitting curves of α

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式中：Q为TNT装药质量，kg；R为装药中心到测点的距离，m；$R/\sqrt[3]{Q}=R^*$；k、b、c为拟合参数。

从长径比系数散点数据可以看出，在爆炸近区，长径比越大，长径比系数越大，即对应的峰值应力也就越大；而在爆炸远区，随着比例爆距R^*的增加，长径比系数逐渐趋近于一个常数，且长径比越大，长径比系数反而越小，即对应的峰值应力也就越小，这与上述峰值应力的衰减规律一致。且相同长径比、不同壳厚比工况的长径比系数变化规律基本一致，这是因为长径比系数反映的是不同柱形装药的爆炸波在空间分布上的不同，而增加壳体厚度并未改变柱形装药的形状，故而壳体厚度对长径比系数的变化规律几乎无影响。因此对于不同壳厚比、相同长径比的长径比系数散点数据采用相同的参数进行拟合。

图7中实线为拟合曲线，可以看出式(5)很好描地述了长径比系数随着比例爆距的变化规律，拟合后式(5)中参数取值详见表2。从参数取值可以发现，不同长径比系数α的衰减指数b相同，但幅值系数k随着长径比的增大而增大，这反映了爆炸近区长径比越大其峰值应力越大的特点。随着比例爆距的增加，幅值系数k的影响逐渐减小，即式(5)的第一项逐渐趋于0，使得长径比系数逐渐趋近于常数c，这反映了随着比例爆距的增加长径比系数逐渐趋于稳定的规律。

表  2  公式(5)参数取值

Table  2.  Parameter values in Eq. (5)

l/d	k	b	c		l/d	k	b	c
1	0	4	1		6	28.9×10−4	4	0.89
2	3.63×10−4	4	0.98		8	54.5×10−4	4	0.86
4	13.4×10−4	4	0.94		10	93.0×10−4	4	0.82

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2.4   壳体强度和厚度的影响

常规武器的壳体一般为金属材料，因此可能影响其爆炸波峰值应力大小的主要有两方面因素，即壳体强度和壳体厚度。注意到2.3节中通过引入长径比系数α考虑了不同长径比之间的关系，所以本节只需讨论长径比为1时，不同壳体强度和厚度对峰值应力分布的影响规律。

图8为150、250、350、450、550、650 MPa六种壳体强度下，装药正下方比例爆距在0.3～1.0 m/kg^1/3范围内所有单元的峰值应力。可以看出，不同壳体强度的峰值应力几乎相等，即壳体强度对峰值应力影响有限。主要原因在于爆炸初期压力非常高（10 GPa量级），此时壳体材料强度不再起主导作用。

图  8  不同壳体强度的峰值应力散点图

Figure  8.  Peak stress for different shell strengths

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比较图6(a)、图6(b)和图6(c)可发现，长径比和位置相同时，峰值应力随着壳厚比的增加小幅度的增加，其中，壳厚比为0.10工况中各测点的峰值应力大小比裸装装药工况中平均高约为12%；壳厚比为0.20工况中则平均高约为17%。因此，仍需进一步定量研究壳体厚度对爆炸波峰值应力的影响。现有研究给出的常规武器在不同介质中爆炸时所产生的压缩波峰值应力计算公式大都是在爆炸相似律的理论基础上^[33]，结合大量的实验数据，建立比例爆距R^*和炸药爆炸产生的地冲击荷载之间的关系，即

式中：σ_m为介质中某点的峰值应力，系数S的取值和介质类型相关，n为衰减指数。

图9给出了长径比为1、不同壳厚比的柱形装药正下方比例爆距在0.3～1.0 m/kg^1/3范围内所有单元的峰值应力。从图9(a)中可以看出，在双对数坐标系中，峰值应力随着比例爆距的增加近似呈线性衰减趋势，与式(6)的规律一致，即：带壳装药在混凝土中爆炸时，正下方峰值应力计算公式应与式(6)具有相同的形式。采用式(6)对图9(a)中的峰值应力进行拟合，精度R²均大于0.99，拟合曲线与数值模拟结果吻合较好，结果见图9(b)和表3。

图  9  长径比为1的柱形装药正下方峰值应力散点图和拟合曲线

Figure  9.  Scatter plot and fitting curve of peak stress below the cylindrical charge with the length-diameter ratio of 1

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表  3  公式(6)参数取值

Table  3.  Parameter values of Eq. (6)

t/d	S	n		t/d	S	n
0	58.5	1.39		0.15	67.8	1.39
0.05	63.1	1.39		0.20	69.0	1.39
0.10	65.9	1.39

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从图9和表3可以看出，带壳装药爆炸产生的峰值应力大于裸装装药爆炸产生的峰值应力，且随着壳厚比逐渐增大，峰值应力也在逐渐增大。这是因为弹壳壳体的存在限制了波阵面的径向扩散，延缓了爆轰产物的飞散，对爆炸破坏效果有增强效应^[1]。需要注意，该规律与空气中带壳装药爆炸产生的超压峰值变化规律存在区别。张奇等^[8]和廖南等^[19]认为空气中带壳装药爆炸产生的超压峰值在近区偏大，远区则偏小，主要是因为在爆炸远区壳体因破碎、运动吸收了较多的爆炸能量，使得超压峰值减小。但是对于混凝土中带壳装药爆炸而言，壳体破碎受到混凝土限制，因此在本文的比例距离范围内，峰值应力偏大。同时从图9也可看出，随着比例距离的增加，不同壳厚比之间的峰值应力的差距有一定的减小趋势。这与Li等^[34]实测的水中带壳装药爆炸产生峰值应力的变化规律一致。

为了考虑因壳体厚度不同而引起的峰值应力差异，引入壳厚比系数γ，将其定义为任意壳厚比的柱形装药爆炸产生的峰值应力与对应的裸装柱形装药产生的峰值应力的比值，即：

式中：σ_m为任意壳厚比的柱形装药正下方某点的峰值应力，σ_m0为裸装柱形装药对应位置处的峰值应力。表4给出了5种壳厚比工况下数值模拟得到的的壳厚比系数γ。可以看出，随着壳厚比的增加，峰值应力增强不再显著。

表  4  壳厚比系数取值

Table  4.  Values of γ

t/d	0	0.05	0.10	0.15	0.20
γ	1.00	1.08	1.13	1.16	1.18

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2.5   峰值应力计算公式

基于上述分析，通过式(6)计算得到长径比为1、裸装柱形装药完全封闭爆炸时正下方的峰值应力后，结合壳厚比系数可进一步得到长径比为1、任意壳厚比的柱形装药爆炸时产生的峰值应力，最后基于式(5)计算得到的长径比系数，便可计算出任意长径比、任意壳厚比的柱形装药完全封闭爆炸时产生的峰值应力。

因此，完全封闭爆炸条件下带壳装药正下方峰值应力的计算公式可表示为：

式中：σ_m为某点的峰值应力，MPa；Q为TNT装药质量，kg；R为装药中心到测点的距离，m。α和γ按照表2和表4取值，长径比和壳厚比落在已有取值之间的，α和γ可按照区间内线性插值的原则取值。

需要注意的是本公式仅适用于计算带壳装药在CF120等高强混凝土中爆炸时产生的峰值应力，且比例爆距在0.3～1.0 m/kg^1/3范围内，其对其它介质中峰值应力计算的适用性有待进一步验证。

3.   埋置爆炸条件下带壳装药正下方峰值应力衰减规律

注意到第2.5节得到的式(8)仅适用于装药在混凝土中完全封闭爆炸情况，但实际上常规武器命中目标时的埋深常介于接触爆炸和封闭爆炸之间。因此，有必要研究装药埋深对峰值应力衰减规律的影响。本节在第2节设置的6种长径比、5种壳厚比的柱形装药工况的基础上，进一步考虑了9种装药埋置深度，共建立了270个数值模型。首先通过引入峰值应力耦合系数，建立完全封闭爆炸和部分埋置爆炸之间的关系，然后分析不同的装药埋深对长径比系数和壳厚比系数的影响规律，最终构建埋置爆炸条件下带壳装药正下方峰值应力的计算公式。

3.1   峰值应力耦合系数

图10(a)给出了带壳装药埋置爆炸的有限元模型示意图，其中模型算法、网格尺寸以及材料模型等均与前文保持一致。图10(b)给出了数值模拟中各物质的流体状态示意图，可看出裸露在空气中的弹壳发生了较为严重的断裂和破碎，但是埋置在混凝土内的弹壳却并未发生断裂，这与图4(b)给出的完全封闭爆炸工况的流体状态示意图类似。

图  10  带壳装药埋置爆炸的有限元模型示意图和流体状态示意图

Figure  10.  Fnite element model of explosion of buried cased charge and the fluid state of each part

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为了探讨柱形装药埋深对混凝土中爆炸波峰值应力分布的影响，如图10(a)所示，本文采用Gao等^[20]提出的相对埋置深度：

式中：H为柱形装药底部至混凝土上表面的距离。

共设置了9种装药埋置深度，如表5所示。为了更好地描述柱形装药在不同埋置深度产生的峰值应力之间的关系，以D_r=1.00的工况为基准，对其他柱形装药产生的峰值应力进行归一化处理，即定义峰值应力耦合系数为

表  5  不同相对埋深下的峰值应力耦合系数$f_0$（比例爆距范围0.47～1.0 m/kg^1/3）

Table  5.  Coupling coefficient of peak stress ( f₀) at different relative buried depth (D_r) within the range of 0.47−1.0 m/kg^1/3

Dr	0.00	0.13	0.25	0.37	0.50	0.63	0.75	0.87	1.00
f0	0.68	0.76	0.81	0.87	0.91	0.94	0.97	0.99	1.00

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式中：σ_m为任意相对埋置深度的柱形装药正下方某点峰值应力，$\sigma _{\text{m}}^*$为相对埋置深度为1.00时对应位置处的峰值应力。

根据式(10)和数值模拟数据，可得到长径比为1的裸装柱形装药在不同埋置深度时的峰值应力耦合系数，如图11和表5所示。可以看出，在比例爆距0.47～1.0 m/kg^1/3范围内，峰值应力耦合系数几乎保持不变。

图  11  不同相对埋深D_r下的峰值应力耦合系数f₀

Figure  11.  Coupling coefficient of peak stress (f₀) at different relative buried depth (D_r)

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为了与完全封闭爆炸工况建立联系，比较了长径比为1的裸装装药完全封闭爆炸时产生的峰值应力和相对埋置深度为1.00时的峰值应力，如图12所示。从可以看出，完全封闭爆炸工况（实线）和相对埋置深度为1.00工况（散点）的峰值应力基本相同。也就是说，从装药中心正下发爆炸应力波的角度上来看，可认为炸药完全埋入混凝土时（D_r=1）与完全封闭爆炸工况等同。

图  12  完全封闭爆炸工况和相对埋置深度为1的峰值应力对比

Figure  12.  Comparison of peak stress between closed explosion and buried explosion with the relative buried depth of 1

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综上所述，结合峰值应力耦合系数（表5），通过式(8)可以计算得到长径比为1的裸装柱形装药（壳厚比为0）在任意埋深爆炸时正下方的峰值应力。

3.2   埋深对长径比系数的影响

在3.1节的基础上，若要计算得到埋置爆炸条件下其他任意长径比的柱形装药爆炸时产生的峰值应力，则需要研究不同长径比的峰值应力之间的关系。基于2.3节的分析讨论，已经明确了完全封闭爆炸条件下不同长径比的柱形装药爆炸产生的峰值应力关系。为了研究埋置爆炸条件下不同长径比的柱形装药爆炸时产生的峰值应力关系，首先需要研究变埋深对长径比系数的影响规律。

由于数值模拟工况较多、数据冗杂，本小节只选取了壳厚比为0、0.10、0.20，相对埋置深度为0.13、0.50、0.75、1.00工况的数据进行分析，如图13所示。从图中可以看出，不同壳厚比之间的长径比系数变化趋势基本一致，且装药埋深对长径比系数的变化规律影响较小。对于实际工程而言，可以忽略这些微小的差别，直接采用完全封闭爆炸的长径比系数计算式(5)即可。

图  13  不同埋深下的长径比系数

Figure  13.  Coefficient of length-to-diameter ratio α at different relative buried depth (D_r)

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因此，结合长径比系数，通过长径比为1的柱形装药正下方的峰值应力可计算得到其他长径比柱形装药正下方的峰值应力。

3.3   埋深对壳厚比系数的影响

图14给出了长径比为1的5种不同壳厚比柱形装药在同一埋置深度爆炸时产生的峰值应力。由于峰值应力的衰减规律基本一致，图中只给出了D_r=0.26, 0.50, 0.75和1.00四种埋置深度的峰值应力。可以看出，其峰值应力随着比例爆距的增加呈现指数衰减，且随着壳厚比的增加，峰值应力整体有较小幅度的增加，这与完全封闭爆炸的规律基本相同。因此参考2.4节的研究思路，采用式(6)对各工况下的峰值应力散点图进行拟合，然后根据式(7)便可计算得到9种不同埋置深度数值模拟工况对应的壳厚比系数，见表6和图15。

图  14  埋深D_r对不同壳厚比t/d下峰值应力σ_m的影响

Figure  14.  Affection of buried depth (D_r) on peak stress (σ_m) at different ratio of case-thickness to charge-diameter (t/d)

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表  6  不同埋深$D_{\mathrm{r}}$下的壳厚比系数γ

Table  6.  Coeffient of case-thickness to charge-diameter ratio (γ) at different burid depths (D_r)

Dr	γ
	t/d=0	t/d=0.05	t/d=0.10	t/d=0.15	t/d=0.20
0	1	1.14	1.22	1.28	1.28
0.13	1	1.13	1.22	1.28	1.3
0.26	1	1.11	1.19	1.25	1.27
0.37	1	1.10	1.16	1.21	1.23
0.50	1	1.09	1.15	1.19	1.20
0.63	1	1.08	1.13	1.17	1.18
0.75	1	1.08	1.13	1.16	1.17
0.87	1	1.08	1.13	1.16	1.17
1.00	1	1.08	1.13	1.16	1.18

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图  15  壳厚比系数γ随埋深D_r变化

Figure  15.  Relation between the coeffient of case-thickness to charge-diameter ratio (γ) and burid depth (D_r)

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结合图14、图15和表6可以看出，不同于长径比系数的影响较小，壳厚比系数则会受到埋深较大的影响：壳厚比系数随着相对埋置深度D_r的增加逐渐减小，最后趋于稳定；从壳厚比0.15到壳厚比0.20，对应的壳厚比系数仅有小幅度的增加，这说明弹壳厚度超过某一阈值时作用不再明显。该现象的主要原因是当炸药埋入混凝土中爆炸时，装药外层的弹壳及混凝土会增强爆轰过程，这与熟知的“填塞效应”原理基本相同。

另外，根据表4所给出的壳厚比系数的取值，便可基于长径比为1的裸装柱形装药（壳厚比为0）在不同埋置深度爆炸时产生的峰值应力计算到对应条件下其它壳厚比的峰值应力。

3.4   埋置爆炸条件下带壳装药正下方峰值应力计算公式

根据3.1～3.3节的内容可知，为了简化带壳装药在混凝土中爆炸这一复杂的过程，本文采用控制变量法对壳体厚度、长径比以及埋置深度这三个因素进行解耦分析。最终得到计算任意长径比、壳厚比的柱形装药在任意埋置深度处爆炸时产生的峰值应力计算公式。具体思路如下：

(a) 因完全封闭爆炸和相对埋置深度为1.00的柱形装药产生的峰值应力几乎相等，可以通过式(8)计算得到长径比为1的裸装柱形装药在相对埋置为1.00处爆炸产生的峰值应力；

(b) 结合表5给出的峰值应力耦合系数，可以计算得到长径比为1的裸装柱形装药在任意埋置深度爆炸时产生的峰值应力；

(c) 根据表6给出的壳厚比系数取值，可以计算得到长径比为1，任意壳厚比的柱形装药在任意埋置深度爆炸时产生的峰值应力；

(d) 根据式(5)计算得到的长径比系数，可以计算得到任意长径比、任意壳厚比的柱形装药在任意埋置深度爆炸时产生的峰值应力。

综上所述，埋置爆炸条件下带壳装药正下方峰值应力计算公式可表示如下：

式中：f₀取值参考表4；长径比系数α的取值参考式(8)；壳厚比系数γ的取值参考表5；其余参数适用范围与式(8)相同，即仅适用于计算带壳装药在CF120等高强混凝土中爆炸时产生的峰值应力，且比例爆距在0.3～1.0 m/kg^1/3范围内，其对其它介质中峰值应力计算的适用性有待进一步验证。

4.   结　论

为了明确混凝土中带壳柱形装药爆炸波的传播衰减规律，本文基于Kong-Fang混凝土材料模型和多物质ALE算法，开展了一系列CF120混凝土中带壳柱形装药爆炸波衰减规律的数值模拟研究。主要分析了完全封闭爆炸和埋置爆炸条件下不同长径比和壳厚比对爆炸波峰值应力衰减规律的影响。主要工作和结论如下：

(1) 通过引入长径比系数α定量的考虑了竖直柱状装药的长径比对正下方爆炸波峰值应力衰减规律的影响；在爆炸近区，长径比越大，峰值应力越大；在爆炸远区，长径比越大，其峰值应力越小；长径比越大，正下方峰值应力的衰减速率越快；

(2) 通过引入壳厚比系数γ定量的考虑了不同壳体厚度对峰值应力大小的影响；爆炸波峰值应力会随着壳体厚度的增加而增加，但峰值应力的增加幅度会逐渐减小；

(3) 结合长径比系数α、壳厚比系数γ和峰值应力耦合系数f，基于数值模拟数据拟合出混凝土中带壳柱形装药爆炸波峰值应力计算公式，可快速计算得到任意长径比、壳厚比的柱形装药在任意埋置深度处爆炸时产生的峰值应力——${\sigma _{\text{m}}}= 58.5{f_0}\alpha \gamma {(R/\sqrt[3]{Q})^{- 1.39}}$；

(4) 基于工程实用化角度，对带壳装药在混凝土中爆炸这一复杂的非线性过程进行解耦、简化分析；因此，对于带壳装药在混凝土中爆炸这一科学问题，需要进一步开展相关的实验研究。