文献[1]在不考虑杆中应力波弥散效应^[2-5] 的情况下，对三种典型入射波作用下加载阶段夹心杆系统内透反射波的形成开展了定量计算，研究结果表明，在加载阶段，由于时间极短，任何塑性波都没有完成往返运动而实现对反射波的影响；然而，入射波平台段持续时间远大于加载阶段，此阶段内试件中塑性波的往返运动对系统中的透反射波有着不可忽略的影响，这一阶段中，试件内的应力波传播与相互作用也复杂得多。首先，由于塑性模量比杨氏模量小约3个数量级，使得压缩加载下其应变非常大而不可忽略，导致塑性波在试件中往返运动所需的时间不断缩短，系统中反射波的衰减过程也变得更复杂，特别是定量计算中更是如此。其次，一般而言金属材料可认为塑性不可压，即泊松比为0.5，在轴向大变形情况下，试件的径向膨胀效应也非常明显，如端面摩擦效应^[6-7]与试件横向惯性效应^[8]等影响更加明显。即使不考虑这些因素，由于膨胀导致试件的广义波阻抗增大，改变了界面上的广义波阻抗比以及原本应力平衡界面上的连续性，从而在界面上产生了更复杂的应力波群，导致试件内应力波透反射计算更加复杂。第三，由于涉及塑性波的往返运动，试件内弹塑性波的相互作用必须被准确地计算，利用简化理论分析所给出的结果是非常不准确的，而且初步分析表明，此时间内可能会产生弹塑性交界面，使得试件内存在大量的内反射或内透射特征，使得准确计算进一步复杂化。总而言之，这一阶段的应力波传播、演化与相互作用非常复杂，使得准确的分析计算明显较难；然而，从分离式Hopkinson压杆（split Hopkinson pressure bar，SHPB）试验数据的分析与处理过程可以看出，与入射波平台段对应的反射波准平台段与透射波相应阶段的应力一般相对均匀，因而是给出试件应力-应变曲线的关键区间，准确深入地分析该阶段透反射波的形成机制，定量地剖析此区间试件内弹塑性波传播与演化的过程，对于精细化设计SHPB试验和精确处理数据极其重要。

本文中针对SHPB中入射杆、试件与透射杆系统，即所谓的夹心杆系统，基于固体中的弹塑性增量波理论，结合数值仿真计算，定量地分析矩形入射波平台阶段作用下试件中的弹塑性波演化与相互作用机理以及系统中透反射波的形成机制；重点描述试件内弹塑性交界面的形成机理与运动特征，以及该界面上的内反射行为。在此基础上，定量研究塑性阶段试件的径向膨胀与轴向压缩对透反射波的影响机理，分析反射波平台段的衰减特征；进一步揭示平台段试件直径、密度与塑性模量对试件内弹塑性演化与透反射波的影响规律。

1.   杆2中弹塑性交界面的形成与运动特征

夹心杆系统如图1所示，其中杆1与杆3为线弹性材料、杆2即试件为弹塑性材料。杆1长2 m，杆2长7.25 mm，杆3长1.5 m；三个杆的密度$\rho$均为7.83 g/cm³、杨氏模量${E_{\text{e}}}$为210 GPa，杆1和杆3的直径D为14.5 mm、泊松比为0。杆2的泊松比为0.29、直径d为8 mm，本构模型为双线性模型，屈服强度Y为200 MPa、塑性模量${E_{\text{p}}}$为500 MPa。数值仿真模型与矩形入射波、梯形入射波参数同文献[1]，波长$\lambda$为800 mm，压缩波强度为250 MPa。

图  1  夹心杆系统示意图

Figure  1.  Schematic of the sandwich rod system

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可以给出界面1和界面2两端皆处于弹性状态的弹性波广义阻抗比${k_{1,{\text{e}}}}$和${k_{2,{\text{e}}}}$，以及杆2处于塑性状态且杆1与杆3处于弹性状态时的弹塑性界面1和界面2的弹塑性广义波阻抗比${k_{1,{\text{p}}}}$和${k_{2,{\text{p}}}}$分别为：

则根据弹塑性增量波在界面上的透反射理论，可以求出从杆1到杆2的弹性界面1的应力透射系数${T_{\sigma 1,{\text{e}}}}$与反射系数${F_{\sigma 1,{\text{e}}}}$、弹塑性界面1的应力透射系数${T_{\sigma 1,p}}$与反射系数${F_{\sigma 1,{\text{p}}}}$，以及从杆2到杆3的弹性界面2的应力透射系数${T_{\sigma 2,{\text{e}}}}$与反射系数${F_{\sigma 2,{\text{e}}}}$、弹塑性界面2的应力透射系数${T_{\sigma 2,{\text{p}}}}$与反射系数${F_{\sigma 2,{\text{p}}}}$分别为：

另外5种不同杆2直径时两个界面上的透反射系数如表1所示。

表  1  入射增量波在不同直径双线性杆2时两个界面上的应力透反射系数

Table  1.  Stress transmission coefficient on two interfaces of the incident incremental wave in bilinear rods of different diameters

杆2直径/mm	${F}_{\sigma 1,\text{e}}(=-{F}_{\sigma 2,\text{e}})$	${T_{\sigma 1,{\text{e}}}}$	${T_{\sigma 1,{\text{p}}}}$	${F}_{\sigma 1,\text{p}}(=-{F}_{\sigma 2,\text{p}})$	${T_{\sigma 2,{\text{e}}}}$	${T_{\sigma 2,{\text{p}}}}$
4	−0.859	1.859	0.097	−0.993	0.141	0.152
6	−0.708	1.708	0.097	−0.983	0.292	0.340
8	−0.533	1.533	0.096	−0.971	0.467	0.600
10	−0.355	1.355	0.095	−0.955	0.645	0.930
12	−0.187	1.187	0.094	−0.935	0.813	1.326

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定义无量纲时间$\bar t$和无量纲应力$\bar \sigma$分别为：

式中：t和$\sigma$分别表示时间和应力。

以矩形脉冲入射为例，实际仿真过程中，由于人工黏性等原因入射波的上升阶段并不是理想的单一强间断波，而是近似为一个斜线的加载波，如图2所示。加载段直线起点为点A，终点为点B，斜率k为−83.33，加载段无量纲时间宽度为0.012。

图  2  矩形入射波加载段简化线性图

Figure  2.  Simplified linear diagram of the rectangular incident wave loading phase

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从文献[1]可知，入射加载阶段对应的杆1和杆2中透反射波是由应力波在弹性交界面与弹塑性交界面上的透反射组合而成的；由于该研究中只需要考虑加载段的反射波与透射波问题，时间很短，约0.012个无量纲单位，此时杆2中的弹塑性波相互作用特别是内反射问题对加载段在界面1上的透反射行为基本没有影响，因而相关物理平面图是简化物理平面图；而在平台段，应力波作用时间相对长得多，需要考虑杆2内部弹塑性波迎面加载等细节问题。

如果不考虑杆2内弹塑性波的相互作用，可以给出应力波在杆2中首次往返一次的简化物理平面图（图3）。图中点B对应入射波应力为${\bar \sigma _{{\text{I}},B}}$的峰值点、点C对应入射波中应力为${\bar \sigma _{{\text{I}},C}}$的弹塑性转换点^[1]，入射波强度为${{{\bar \sigma }}_{{\text{I}},D}}$的点即点D对应的透射波为DF到达界面2瞬间反射、设该反射波后方的应力正好为杆2材料的屈服应力，即：

图  3  矩形入射波点G之前的物理平面图

Figure  3.  Physical plane before point G of the rectangular incident wave

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在图3中CHK以上区域由于材料一直处于塑性状态，由于弹性波与塑性波波速都是固定的，因而可以将若干增量波等效为一个较大的强间断波来处理。可以给出CB之间入射波透射到杆2并到达界面2瞬间发生反射、该反射波到达界面1瞬间透射到杆1所得到的透射波强度为0.356，明显大于仿真计算所给出的衰减量0.186，因而以上简化理论计算是不准确的。

根据固体中的应力波理论可知，图3中线FG并不是直线，而是曲线；其物理意义即是由于弹塑性波相互作用形成了弹塑性交界面，且该交界面一直在运动。事实上，入射波DC之间的无数无限小增量波在杆2中传播时，不能一直以弹性波速到达界面2，这种假设导致以上的计算不准确。参考物理平面图3，容易计算点F相对于点A的无量纲时间${\bar t_{AF}}$为：

式中：${\bar t_{AG}}$表示点G相对于点A的无量纲时间，其他符号意义类似。式（5）说明点F在点G上方、点G在点B上方。从${\bar t_{AB}}$到${\bar t_{AG}}$时刻，杆2左侧从界面1上透射过来的弹性波和塑性波一直沿着杆2轴向向右运动；同时杆2右侧存在从界面1透射过来的波在界面2上反射并向左传播；在${\bar t_{AG}}$时刻，向左传播的弹性波波头EG正好与向右传播弹性前驱波波头CG重合于点G。根据固体中的应力波基础理论可知，此时杆2中点G处存在一个内交界面，姑且简称为点G界面。

由于点B和点R处于同一条特征线上，点K和点C处于同一条特征线上，且KG之间无增量波传播，因而有：

式中：${\bar \sigma _{{\text{T}},R}}$中下标T表示从界面1透射到杆2中的无量纲应力、下标R表示点R对应的无量纲应力，其他符号意义类似。

在RK之间无量纲应力随着拉氏坐标X的变化斜率为：

式中：${c_{\text{e}}}$表示杆2材料弹性声速。点G到界面2之间的无量纲应力随着拉氏坐标X的变化斜率为：

也就是说，在这两个区间内，随着X的增大，无量纲应力呈线性增大，其绝对值即压缩强度呈线性减小。

在图3中，点A与点E对应的时间内，矩形入射波中近似线性加载波从完全弹性界面1透射到杆2，并在杆2中形成一个强度绝对值从零开始线性增大的加载波，该加载波的斜率与入射波斜率之比正好等于完全弹性界面1的透射系数。此时杆2左端传入的线性强化加载波以弹性波速向右传播，直到$\bar t = {\bar t_{AE}}$时刻，该波波阵面到达完全弹性界面2上；之后，到达界面2上的加载波会在完全弹性界面2上发生反射。当$\bar t = {\bar t_{AC}}$时，杆2左端输入的透射波峰值应力正好等于材料的屈服应力，此时杆2轴向方向的应力波波形为两个不同斜率的线性加载波；当$\bar t {\text{＞}} {\bar t_{AC}}$时，向右传播的透射波呈现“双波”结构。当$\bar t = {\bar t_{AG}}$时，从界面2向左反射的弹性波正好到达杆2中的弹塑性界面，弹塑性“双波”结构中的弹性加载波由双线性波转化为单线性波；而若不考虑杆2中应力波的内反射，则在$\bar t = {\bar t_{AF}}$时，杆2所有介质皆处于塑性状态，其中最右端正好等于屈服应力。从$\bar t = {\bar t_{AG}}$到$\bar t = {\bar t_{AF}}$时刻，应力平衡条件始终得到满足，然而，在弹塑性交界面两端的连续条件却得不到满足。

设在${\bar t_{AG}} + {\text{d}}\bar t$（${\text{d}}\bar t \to 0$）时刻，一个强度为${\text{d}}\sigma$的弹性加载增量波自界面2反射到内界面FG上的点R处，如图4所示。由于该增量波强度极小，近似认为点R与点K重合，根据应力波波阵面上的运动方程可知，该增量波在界面FG右端引起的质点速度增量${\text{d}}{v_{\text{e}}}$为：

图  4  ${\bar t_{AG}} + {\text{d}}\bar t$时刻应力波传播物理平面图

Figure  4.  Physical plane of stress wave propagation at a certain moment ${\bar t_{AG}} + {\text{d}}\bar t$

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式中：$\rho$表示杆2的材料密度；若不考虑内界面上的透反射，则该增量波在界面FG左端引起的质点速度增量${\text{d}}{v_{\text{p}}}$为：

式中：${c_{\text{p}}}$表示杆2材料塑性波速。

由于${c_{\text{p}}} \ll {c_{\text{e}}}$，因而必有：

即不满足界面连续条件。因而可以判断增量波到达界面FG上必会发生透反射。

事实上，可以将入射波DC自完全弹性界面1透射到杆2中的无量纲强度为${\bar \sigma _{{\text{T}},DC}}$的连续波视为无数多个强度为${\text{d}}{\bar \sigma _{{\text{T}},DC}}$且无限小的增量波的代数和，即：

类似地，可以将入射波AD自完全弹性界面1透射到杆2，再在完全弹性界面2上反射强度为${\bar \sigma _{{\text{TR}},AD}}$的连续波视为无数多个强度为${\text{d}}{\bar \sigma _{{\text{TR}},AD}}$且无限小的增量波的代数和，即：

暂取m=n=5进行分析，以杆2的直径8 mm为例，可以求出：

可以发现，此时从杆1左端向右传播的透射波与从右端向左传播的增量波强度相等；可以绘制此两个波相遇时应力波传播的特征线物理平面图，如图5所示。

图  5  DC段透射波与EF反射波相遇透反射特征

Figure  5.  Transmission characteristics when the DC segment transmitted wave meets the EF reflected wave

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容易知道，图5中CG以上区域、G-eE-e2以上区域、e2-d2-d3以上区域、d3-c3-c4以上区域、c4-b4-b5以上区域和b5-D5-F以上区域处于塑性状态，因而弹性加载波CG与EG相遇后，反射波和透射波必有塑性波，弹性波e-e2与2-e2、d-d3与3-d3、c-c4与4-c4、b-b5与5-b5相遇时透反射情况也是如此。根据交界面上连续方程、应力波传播的运动方程和边界条件，可以解得强度为${\text{d}}\sigma$的增量波到达此弹塑性交界面上同时向左传播和向右传播的增量波$\left[ {{\sigma _{\text{l}}}} \right]$和$\left[ {{\sigma _{\text{r}}}} \right]$的强度均为：

图5中显示的内界面FG为多段线，当加密特征线网格，可知FG的组成线段数增多；由此可知，当增量为无穷小时，FG必为一个光滑曲线。

2.   入射波平台段反射波的衰减特征与机理

根据图3和以上分析可以计算出，若入射波AB在界面1上透射后再从界面2上反射回到界面1右侧，将入射波AB按照透反射特征分为三个较大的强间断波：AD、DC和CB，其强度分别为${\bar \sigma _{{\text{I}},D}}$、${\bar \sigma _{{\text{I}},DC}} = {\bar \sigma _{{\text{I}},C}} - {\bar \sigma _{{\text{I}},D}}$和${\bar \sigma _{{\text{I}},CB}} = {\bar \sigma _{{\text{I}}.B}} - {\bar \sigma _{{\text{I}},C}}$，前两个间断波在界面2上反射后还需要在弹塑性交界面上发生内透射行为，可以计算出其总反射波的无量纲强度${\bar \sigma _{{\text{TR}},AB}}$为：

式中：弹塑性交界面的等效波阻抗比

对应的反射波的无量纲时间波长

式中：0.371是指纯塑性波在杆2中往返一次所需的无量纲时间，0.012是指实际入射波的无量纲时间宽度，0.134是指入射波波头在杆2中经过弹性与塑性传播返回到界面1右侧所需的无量纲时间。

根据仿真计算可以给出，当杆2直径为8 mm时，反射波平台段即从加载上升段终点到卸载段起点之间总的无量纲应力衰减值（下文简称反射波平台段总衰减值）约为0.186，可以计算出，入射波经界面2透射到杆2，之后在杆2两个界面上连续反射而往返运动，若不考虑杆2在加载波透反射过程中轴向长度和径向截面积的变化，经过简单估算可知，需要4.86次才能够达到该值，即：

需要说明的是，往返次数有小数，这也是合理的，因为从平台端相对光滑衰减可知，反射波的衰减是由许多小的增量波透射到杆1造成的，因而4.86次代表并不是所有入射加载波都只往返了4次，还有86%的入射加载波往返了5次。

理论上，平台段的无量纲时间波长等于1，由于各种因素，在传播过程中该值一般略大于1；而根据以上计算实际反射次数约为4.86。可以计算出：若平台段从点G开始计时，第一个反射塑性波到达界面1的无量纲时间为0.122；纯塑性波从杆1端传播到另一端所需无量纲时间为0.1857；结合式（18），可以给出平台段的无量纲时间为1.821，远大于入射波长1。这是因为与弹性应变值极小而可以忽略的情况不同，塑性波在杆2中传播的过程中，杆2的轴向应变不可忽略。如图6所示，以杆2直径为8 mm为例，试件的最大工程应变约为0.175。

图  6  矩形入射波时杆2的工程应变

Figure  6.  Engineering strain of rod 2 during rectangular wave incidence

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而在塑性阶段，泊松比为0.5，最大工程应变0.175对应的截面积增量为0.212，根据图6中杆2直径为8 mm的情况，可以给出不同时间下杆2截面积的变化，如图7所示。这种截面积的增大会引起两个效应。

图  7  矩形入射波杆2径向面积与轴向应变变化率

Figure  7.  Rate of change of radial area and axial strain of rod 2 during rectangular wave incidence

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第一，根据界面1两端的受力平衡条件可知，当界面1右侧即杆2左端的截面积增大21.2%时，若应力不变，则压缩力也随之增大21.2%，这势必会导致界面2向左传播压缩加载波的同时向左传播卸载波，为了简化分析，这里不考虑平台阶段杆2截面积的增大过程，直接将无数个增量波等效为一个强间断波；同时，由于杆2左端塑性波阻抗远小于杆2的弹性波阻抗，卸载波强度远小于向杆1传播的加载波，因而可以进一步忽略向杆2传播的卸载波；根据这种简化分析可以求出到达平台段右端向杆1传播的加载波无量纲应力近似值为−0.0547。

因而，由于杆2中塑性波透反射导致反射波在平台段无量纲应力波衰减值只有约−0.131，此时不考虑其他因素，只考虑界面1两端的受力平衡因素，塑性波在杆2中的透反射次数从以上初步计算的4.86减小为3.28，此时平台段的无量纲时间近似为1.306。

第二，在杆2截面积增大时，根据广义波阻抗的定义可知，界面1右侧杆2 的广义波阻抗也随之增大，因而塑性加载波从界面2反射到界面1右侧再透射到杆1的透射系数也随之增大。暂不考虑杆2轴向变形对塑性波传播时间的影响，若平台段从点G开始计时，第一个反射塑性波到达界面1的无量纲相对时间为0.122，第二次到达界面1的无量纲相对时间为0.493，第三次为0.865，第四次为1.236。从图7可以看出，杆2截面积与时间呈近似线性正比关系，因而可以计算出第一个塑性反射波到达界面1时杆2的截面积系数为1.0198，第二次为1.0801，第三次为1.1404，第四次为1.2007。考虑截面积对广义波阻抗比的影响，可以计算出杆2中塑性波反射次数约为3时，即第四次反射波波头刚达到界面1时，其对杆1中反射波的衰减就达到了−0.131，即理论上平台段的无量纲时间取值为（0.865，1.236），若再考虑杆2轴向长度逐渐减小，则这个理论无量纲时间进一步减小，与仿真值即无量纲时间为1就相符了。

根据表1和以上杆2直径为8 mm时的分析，可以给出杆2直径从4 mm到12 mm时特征点参数以及入射加载波AB首次从界面2反射的无量纲应力；根据图7可以给出并计算出杆2的最大压缩应变和最大截面积膨胀率，如表2所示。

表  2  矩形波入射时不同直径双线性杆2的特征点参数和首次反射波强度

Table  2.  Characteristic point parameters and first reflected wave strength of bilinear rod 2 with different diameters under rectangular wave incidence

杆2直径/mm	点C无量纲应力	点D无量纲应力	首次反射波强度	最大压缩应变	最大截面积膨胀率
4	−0.430	−0.232	−0.091	0.237	0.311
6	−0.468	−0.274	−0.083	0.209	0.264
8	−0.522	−0.340	−0.071	0.175	0.212
10	−0.590	−0.435	−0.057	0.133	0.153
12	−0.674	−0.568	−0.041	0.091	0.100

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结合文献[1]中对不同杆2直径时无量纲反射波峰值的理论计算，由于杆2直径为8 mm时，杆2直径膨胀导致界面1两端的广义波阻抗比增大和力的瞬间不平衡，使得界面1向杆1和杆2中分别同时传播压缩波和拉伸波，可以计算出不同杆2直径时，由于径向膨胀导致反射波衰减的无量纲应力（下文简称膨胀引起的衰减量），如表3所示。设不考虑杆2截面积膨胀引起的广义波阻抗比的变化和杆2长度的变化，只进行简化分析，类似地考虑杆2中塑性反射波在杆2中反射次数为3.28次，可以计算出平台段由于杆2中塑性加载波透反射引起杆1中反射波的衰减量，两者之和为总衰减量，如表3所示。

表  3  矩形波入射时不同直径双线性杆2截面积的膨胀效应

Table  3.  Cross-sectional area expansion effect of bilinear rod 2 with different diameters under rectangular wave incidence

杆2直径/ mm	反射波峰值 应力	膨胀引起 直接衰减	塑性波反射 衰减	反射波 总衰减
4	−0.935	−0.0202	−0.0445	−0.065
6	−0.854	−0.0385	−0.0890	−0.127
8	−0.742	−0.0547	−0.1305	−0.186
10	−0.601	−0.0610	−0.1565	−0.218
12	−0.431	−0.0569	−0.1537	−0.211

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事实上，根据图6可知，杆2直径为4 mm时，轴向工程应变最大对应的截面积膨胀也更大，因此，如果考虑这个问题，则表3中杆2直径越小，反射波平台段总衰减值会增大得越多。然而，整体而言这种增加量有限，从表3可以看出，以上5种直径中10 mm对应的反射波衰减最大，4 mm对应的反射波衰减最小，而且明显小于其他情况，这种规律与仿真结果即图8所示规律一致。

图  8  不同杆2直径时反射波的衰减

Figure  8.  Attenuation of reflected waves varied with rod 2 diameters

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3.   杆2密度与模量对平台段衰减的影响规律

设杆2材料的杨氏模量相同但密度改变，定义杆2材料密度与杆1密度比为无量纲密度；随着杆2材料的无量纲密度从1减小到1/6，可以给出杆2在不同无量纲密度时的弹性波速和塑性波速、弹塑性波在杆2内往返一次的无量纲时间等参数，同时可以求出杆2与杆1的广义弹性波阻抗比和广义弹塑性波阻抗比等参数。

类似以上杆2直径为8 mm、无量纲密度为1时的计算方法，可以求出无量纲密度为1/2和1/3时，入射波上点C、D的无量纲应力，以及入射波AB从界面2首次反射到达界面1右侧时反射波的无量纲总应力值。当杆2无量纲密度为1/4和1/5时，点C在入射波上的无量纲相对时间皆为0.0099，而对应弹性波在杆2中往返一次所需无量纲时间分别为0.0090和0.0082，不难求出，杆2中第一个从界面2反射到达界面1上对应的点E应该在点D的上方，如图9所示。因而类似无量纲密度为1时的计算方法可以给出入射波上点D对应的无量纲应力，根据图9可以求出点H的无量纲相对时间；同理可以求出入射波AB首次从弹塑性界面2上全部反射回界面1右侧时的总强度。当杆2无量纲密度为1/6时，类似无量纲密度为1时的计算方法，可以给出入射波上点D对应的无量纲相对时间为0.074，稍大于弹性波在杆2中往返一次所需的时间，点E与点D两者相差极小，因而可以认为近似重合，类似地，可以求出入射波AB首次从弹塑性界面2上全部反射回界面1右侧的总强度。

图  9  无量纲密度为1/4和1/5时透反射物理平面图

Figure  9.  Physical plane of transmission at dimensionless densities of 1/4 and 1/5

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若不考虑不同无量纲密度时应力波在杆2中传播导致杆2长度变化和体积变化，即根据无量纲密度为1时塑性波在杆2中往返3.28次，可以得到其他无量纲密度时对应的往返次数近似值；求出杆2中首次从界面2反射回的塑性波到达界面1瞬间透射到杆1中对杆1中反射波应力的衰减量；类似无量纲密度为1时的计算方法，可以近似给出在入射波平台段时间内杆2中塑性波透反射对杆1中反射波的衰减总量的近似估算值。

根据仿真计算，得到杆2在不同无量纲密度时的轴向工程应变时程曲线，如图10所示。从图中可以看出，虽然杆2无量纲密度变化了6倍，但杆2的轴向工程应变时程曲线近似重合，最大工程应变也基本相等，均近似为0.175。根据无量纲密度为1时的计算可以看出，杆2的截面积最大膨胀率为0.212，由于膨胀导致的杆1中的反射波衰减量也容易计算出，将该值与杆2中塑性波透反射引起的衰减值对应相加，可以计算出在入射波平台段，反射波无量纲应力的总衰减值。计算结果显示，不同无量纲密度时杆1中反射波衰减量基本相等。

图  10  矩形波入射时杆2在不同无量纲密度时的工程应变

Figure  10.  Engineering strain of rod 2 at different dimensionless densities during rectangular wave incidence

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若杆2无量纲密度为1，其他条件同上，只是改变双线性本构中的塑性模量——从500 MPa减小到400、300、200、100 MPa，此时杆2中的波速会逐渐减小；在弹性杆2中往返一次所需无量纲时间皆为0.009。由于弹性模量都相等，因而当界面1两侧介质都处于弹性状态时，透反射系数均相等，弹性波传播定量规律也完全相同，因而入射波上弹塑性转换点点C对应的无量纲应力与无量纲相对时间也完全相同，皆分别为−0.522和0.0063；对应的点D在入射波上的无量纲应力与无量纲相对时间也完全相同，分别为−0.340和0.0041。而当入射波CB段到达界面1上时，界面1右侧杆2处于塑性状态，即界面1为弹塑性界面，此时杆2塑性模量从500 MPa减小到100 MPa，对应的广义弹塑性波阻抗比也呈开方地减小，对应塑性透射波强度也逐渐减小；容易计算出，杆2材料塑性模量从500 MPa减小到100 MPa时，入射波AB通过弹塑性界面1的无量纲透射波强度和无量纲反射波强度。

杆2材料的塑性模量从500 MPa减小到100 MPa时，可以计算出不同塑性模量情况下，首次从界面2反射到达界面1上的首次反射波强度；该反射波通过弹塑性界面1透射到杆1，从而造成杆1中反射波的衰减。不考虑杆2的轴向压缩应变和径向膨胀假设下，同上塑性模量为500 MPa时的计算，塑性波在杆2中往返次数近似为3.28次，根据不同塑性模量时塑性波的波速，可以给出对应的往返次数；类似地，可以给出因为杆2中塑性波透反射对杆1中反射波的衰减量。

同时，由于杆2的径向膨胀，导致界面1两端受力不平衡而使得杆1中反射波会进一步衰减，其衰减量与杆2截面积的膨胀率相关。根据仿真得到杆2在不同塑性模量时的工程应变时程曲线，见图11所示。从图中可知，随着塑性模量的减小，杆2的最大工程应变值逐渐增大，如塑性模量为500 MPa时，最大压缩工程应变值为0.175，而塑性模量为100 MPa时，最大压缩工程应变值增大为0.188。

图  11  杆2在不同塑性模量时的矩形入射波工程应变

Figure  11.  Engineering strain during rectangular wave incidence at different plastic module

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由于塑性阶段金属材料体积不变假设，可以计算出杆2材料在不同模量时截面积的最大膨胀率；对应导致杆1中反射波中衰减量也可以计算出。随着塑性模量的减小，截面积膨胀率也逐渐增大，从而导致对应杆1中反射波衰减量也逐渐增大；将截面积膨胀导致的反射波衰减量与塑性波透反射导致杆1中反射波的衰减量代数相加，可以给出总反射波衰减量的估算值。从反射波衰减量与塑性模量之间的关系可以看出，随着杆2材料塑性模量的减小，反射波衰减量也逐渐减小，这与图12所示仿真结果的规律完全一致。

图  12  不同塑性模量时反射波衰减理论与仿真

Figure  12.  Theoretical and simulated attenuation of reflected waves varied with different plastic module

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若假设反射波的衰减是近似线性的，可以给出理论衰减线，如图12所示。从图中的对比图可以看出，以上理论分析结果与仿真结果的定量规律是一致的。

由于杆2截面积的膨胀和杆2中塑性波的透反射，入射波平台段对应的杆3中透射波也必然逐渐增大；类似地，也可以分析得到结论：随着塑性模量的增大，杆3中透射波增量也增大；这个结论与仿真结果一致，如图13所示。

图  13  不同塑性模量时矩形入射波的透射波

Figure  13.  Transmitted waves of rectangular incident waves varied with different plastic module

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4.   结　论

当矩形入射波到达界面1时会产生透反射行为，在加载阶段，由于时间极短，杆2中的应力波在两个界面上的透反射行为及其对反射波或透射波的影响相对简单，不用考虑杆2中弹塑性波的相互作用以及塑性波透反射对透反射波的影响。然而，在入射波平台阶段，由于持续时间较长、杆2压缩膨胀以及弹塑性的相互作用等问题，使得系统中应力波传播与演化问题变得复杂得多。本文中以增量波理论研究为核心，结合数值仿真分析，开展了矩形入射波平台段系统中应力波透反射行为定量分析，主要结论如下：

(1)入射波加载作用下，杆2中存在一个弹塑性交界面，使得杆2在界面2侧达到塑性状态的速度远高于利用弹塑性解耦简化分析的速度；该弹塑性交界面从界面2处以超过弹性声速的速度向界面1方向传播，在此区域，弹塑性波的透反射行为主要在该交界面上完成，即存在明显的内反射特征。考虑弹塑性交界面的运动以及弹塑性的内反射特征，是给出准确平台段反射波衰减准确定量规律的必要前提。

(2)入射波平台阶段，反射波的衰减和透射波的递增特性定量分析过程中，试件的塑性变形即截面积膨胀与轴向压缩应变是主要因素，不可忽视，前者使得界面波阻抗发生持续变化，在界面上不断反射卸载波而导致反射波持续衰减，也使得从界面2反射回的塑性波到达界面1上时透射系数增大，进一步放大了衰减量，后者使得试件长度持续减小从而增加了塑性波在试件中的往返次数，导致反射波衰减量增大。

(3)杆2的密度变化虽然影响塑性波波速，使得在相同时间内塑性波往返次数明显增大，从无量纲密度为1时的3.28次增加到无量纲密度为1/6时的8.03次，但无论是膨胀引起的衰减量和缩短引起的衰减量都没有明显差别，总衰减量皆约为0.186；塑性模量的增大虽然减小了由于膨胀引起的衰减量，但增加了塑性波的反射次数，从而增大了反射衰减量，两者之和整体呈减小趋势；杆2直径增大时，无论是膨胀引起的衰减量还是塑性波往返引起的衰减量都是呈先增后减的趋势，理论计算结果与仿真结果一致，杆2的5种不同的直径中，直径为10 mm时衰减量最大。