Elastic compensation for dynamic rigid-plastic solutions of structures
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摘要: 近年来，我国学者以膜力因子法和饱和分析方法相结合为理论工具，对梁、板等结构件在脉冲载荷作用下的塑性大变形行为作了全面深入的研究，为脉冲加载下结构的最终挠度提供了优于历史上各种刚塑性近似解的最佳刚塑性预测公式。然而，由于实际工程应用中金属结构弹塑性动力响应的复杂性和数值模拟的局限性，与考虑材料弹性效应的结果相比，刚塑性解对脉冲加载下结构所预测的最终挠度的误差有多大，是一个亟待解决的关键问题。对这个问题的首阶段研究成果厘清了材料弹性对脉冲加载下结构塑性动态大变形的影响，定量评估了由最佳刚塑性理论解与弹塑性数值模拟得到的最终挠度预测结果之间的差异。在此基础上，提出了补偿弹性效应的策略和方法，即：在已有的最佳刚塑性解预测的挠度基础上添加一个补偿项，将补偿项表达为脉冲载荷强度的效应与结构自身刚度的效应分离的变量函数，并尽量减少待定系数/指数的数量，以求表达式的简洁；根据这些原则在金属结构的主要工程应用领域内选定结构刚度和外载参数的变化范围，对固支梁和固支方板的案例实施拟合与补偿，最后得到了对梁和板增添补偿项后的简单而实用的最终挠度预测公式，其相对误差在3%的范围之内，很适合工程设计应用。文末列表给出了符号与公式的一览，并对梁和方板的结果作了综合和比较。Abstract: In recent years, by combining membrane factor method (MFM) and saturation analysis (SA) as a powerful theoretical tool, scholars in China have made comprehensive studies on the large dynamic plastic deformation of beams, plates and other structures under pulse loading, leading to the best rigid-plastic predictions for the final deflection of the pulse-loaded structures, which are superior to the previously proposed various approximate rigid-plastic solutions. However, due to the complexity of the dynamic elastic-plastic response of structures used in engineering and the limitations of numerical simulations, it is critical to clarify how large is the error generated from the rigid-plastic solutions in predicting the final deflection of pulse-loaded structures compared to the result that takes the elastic effect of material into consideration. Our preliminary study on this issue, which has been published in leading international journals, reveals the effect of material’s elasticity on the large dynamic plastic deformation of structures under pulse loading, and quantitatively evaluates the discrepancies between the final deflection predicted by the best theoretical rigid-plastic solutions and that extracted from elastic-plastic numerical simulations. On this basis, the present paper proposes a strategy to compensate for elastic effect; that is, (1) adding a compensation term to the final deflection predicted by the existing best rigid-plastic solution; (2) expressing the compensation term as an elemental function of variables separation to respectively represent the effects of the pulse intensity and the structural stiffness; and (3) adopting minimum number of undetermined coefficients (or power) in the fitting function to achieve concise formulae. Meanwhile, the variation ranges of structural stiffness and dimensionless load parameter are investigated with reference to metallic structures used in their main application fields. Finally, by implementing the fitting and compensation for the cases of fully-clamped beams and square plates, simple and engineer-friendly formulae for predicting the final deflection of beams and plates are eventually obtained. With the compensation terms being added, the rigid-plastic-solution-based predictions on the final deflection of beams and plates possess a relative error within the range of 3%, which are appropriate and suitable for applications in the engineering design stage. A table at the end of the paper summarizes the major notations and formulae, as well as the comparison between the results on beams and square plates.
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压装PBX炸药非冲击点火剧烈爆炸能否发展为爆轰是炸药安全性研究中关注的重点问题。非冲击点火反应[1]指意外事故条件刺激（如低速撞击、摩擦以及火烧等）下炸药局部位置能量沉积温升点火，以及点火后由热传导机制主导的发生在炸药表面以亚声速推进的燃烧过程。对于压装PBX炸药，非冲击点火反应过程通常涉及产物气体驱动裂纹传播和裂纹、结构缝隙表面的层流燃烧等复杂过程[2-5]。在强约束条件下，炸药表面裂纹扩展形成的大比表面积燃烧会导致压力急剧增长，对应的压力剖面通常为吉帕、十微秒级的斜波[6-7]，外在表现为壳体快速膨胀破坏的剧烈爆炸现象。此类剧烈反应过程中，燃烧阵面前的炸药基体会受到吉帕级高幅值、宽前沿的压力脉冲作用，炸药基体中微介观热点反应能否被大规模激活（像典型冲击波载荷作用下那样发生SDT），答案并不清楚，是研究非冲击点火反应能否转爆轰即DDT的核心问题。
Salisbury等[8]和Winter等[9]为研究复杂加载条件下炸药的起爆特性，对EDC37进行了系列双冲击加载实验，发现相较于单次冲击加载，双冲击加载下转爆轰距离更长。Salisbury等[8]和Winter等[9]认为：较低幅值的预压缩波使炸药被压实，炸药基体中的孔洞大大减少，因此在预压缩区域更难以引发SDT，即存在“冲击钝化”效应。对于本文关注的非冲击点火剧烈爆炸中表现出的高幅值、缓前沿压力历程，燃烧表面相邻炸药基体在受到吉帕级压力脉冲前会经历毫秒级（包括毫秒级、100 MPa以下的压力缓慢增长和数十微秒历程的压力急剧增长）的低幅值压缩过程，其是否会产生类似的预压缩“钝化”效应甚至无法激活热点反应还没有系统的进行研究。Garcia等[10]测量了烤燃反应在临近炸药中产生的压力波，观测到相邻的PBX9501炸药在1.2 GPa、数十微秒前沿斜波压力作用下，随着应力波在炸药中传播，压力峰值快速降低，炸药四处飞散，Garcia等[10]认为此类宽前沿吉帕级载荷作用下受试PBX不会发生爆轰。目前有关此类高幅值、缓前沿斜波载荷下炸药准冲击起爆特性的实验研究较少，缺乏相应的实验数据，炸药基体中微介观热点点火行为与加载压力的前沿之间的关联机制并不清楚。
现有斜波加载技术如磁驱动准等熵加载和密度梯度飞片冲击加载，产生的斜波前沿宽度（亚微秒级）和压力幅值（10～100 GPa）不符合本文关注的非冲击点火剧烈爆炸表现出的微秒特征宽前沿斜波压力特征。受李涛等[7]臼炮实验装置的启发，本文设计一种强约束压装PBX炸药的非冲击点火反应驱动的吉帕级斜波加载装置，并借助该装置研究斜波载荷下受试炸药基体中微介观热点点火行为：采用炸药层流燃烧的燃速模型和自编的二维轴对称有限差分程序对装置输出的压力波形特性进行分析，讨论燃烧过程中加载炸药破碎程度、加载炸药外部壳体厚度以及加载炸药与受试炸药之间隔层厚度对输出压力波形的影响；并基于数值计算结果进行装置结构设计，通过实验对斜波加载装置的可行性进行验证。
1. 斜波加载装置的结构设计
实验装置示意图如图1所示。装置为轴对称结构（除底端的引线槽），由两部分组成，包括上端的载荷发生器和下端的受试炸药容腔。实验中，通过装置上端的激光点火头引发加载炸药的非冲击点火燃烧反应，借助加载炸药非冲击点火进而剧烈爆炸产生的斜波压力实现对下端受试炸药的斜波加载。受试炸药用PTFE（聚四氟乙烯）内壳包裹以缓解容腔边界反射波的影响。其中，H为壳体厚度，D为加载炸药与受试炸药之间的隔层厚度。测试系统上，采用PVDF（聚偏二氟乙烯）压力传感器对受试炸药前后界面处的压力波形进行测量。同时，还设计了经雷管起爆借助加载炸药底端数毫米间隙调节加载压力幅值及前沿宽度的爆轰产物驱动的斜波加载装置作为对比设计[11]。
2. 斜波压力输出的数值计算分析
由于炸药的非冲击点火反应演化过程与约束强度相互关联，并且加载炸药反应产生的压力脉冲在作用于受试炸药前会在传播过程中发生衰减。因此在装置结构设计前，为分析作用于受试炸药的斜波压力载荷能否满足设计要求（吉帕、十微秒级特征），基于压装PBX炸药非冲击点火的炸药表面层流燃烧机制和层流燃烧的燃速模型，采用自编的二维轴对称有限差分程序对装置构型下非冲击点火反应输出的压力波形进行分析，重点讨论加载炸药的破碎程度、加载炸药外部壳体厚度H和加载炸药与受试炸药之间隔层厚度D对输出压力波形的影响。
根据壳体约束下压装PBX炸药非冲击点火反应演化机制，加载炸药非冲击点火后的反应演化过程需经历早期的缓慢层流燃烧过程（包括产物气体在裂纹和结构缝隙间的对流传播、燃烧产物驱动炸药裂纹扩展等）以及中后期破碎炸药大比表面积燃烧的压力剧烈增长过程。因反应早期过程复杂，燃烧压力通常不超过100 MPa[12-13]，不会对装置结构产生明显影响，因此本文模拟仅计算反应中后期大比表面积裂纹表面燃烧时的压力演化历程。
计算模型如图2所示，为便于计算处理，将加载炸药裂纹和结构缝隙表面的燃烧过程，以相对燃烧面积S/S0（其中，S为燃烧总面积，S0为炸药外表面的面积）的形式等效处理为炸药外表面的包覆燃烧过程。考虑到非冲击点火反应过程中吉帕级高幅值压力形成时间仅数十微秒，此时壳体尚未发生明显变形，加载炸药的燃烧产物不会经壳体连接处泄漏，因此计算中忽略了加载炸药外壳和受试炸药容腔之间的界面的滑移，将加载炸药外壳和受试炸药容腔作为一个整体进行计算。监测单元G1、G2、G3分别位于加载炸药燃烧容腔内以及受试炸药前、后界面处。采用由炸药表面层流燃烧的燃速压力关系确定的炸药燃耗量以及释放的燃烧热，来描述燃烧阵面处未反应炸药和燃烧产物之间的质量、能量交换：
re=apμ (1) 式中：re为层流燃烧速率，mm/s；a为燃烧速率常数，mm/(s·MPa)；p为压力，MPa；
为压力指数。选取的炸药参数为a=2.16， =1.08[14]。 在燃烧阵面处，考虑到产物气体占据的空间小，且气体中压力传播速度远大于亚声速推进的层流燃烧速度，可近似认为产物气体中无压力梯度即产物气体处于压力平衡状态，且燃烧产物气体与相邻的炸药表面也处于压力平衡状态。在一个时间步长中，燃烧阵面处产物气体网格中质量m、体积V和内能E变化可描述为
mk+1−mk=ρedVr,Vk+1−Vk=dV+dVr,Ek+1−Ek=ρedV⋅Qc (2) 式中：下标k和k+1代表两个相邻的时刻；ρe为未反应炸药的密度；Qc为单位质量未反应炸药的燃烧热，取为 5.5 MJ/kg；dV为未反应炸药体积压缩产生的气体网格体积变化；dVr为一个时间步长中燃烧消耗的炸药体积
dVr=reΔt⋅Sc (3) 式中：Δt为计算时间步长，Sc为燃烧阵面处炸药网格的横截面积。
炸药和PTFE采用Mie-Grüneisen状态方程。产物气体采用Abel余容状态方程：
p=νρRT/[1−ρα(ρ)] (4) 式中：p为压力；
ν 为产物气体的物质的量；R为摩尔气体常数；ρ为产物气体的密度；T为温度；α为气体分子体积修正量，α(ρ)=e−0.4ρ 。结合式(2)和式(4)，可确定产物气体的密度和压力，至此构成一个产物气体状态更新的计算循环。
壳体材料为45钢，采用Mie-Grüneisen状态方程和Johnson-Cook本构模型。由于计算结果仅关注输出的斜波压力波形及其在受试炸药中的传播衰减，计算中不考虑对受试炸药发生反应的模型描述。各材料参数见表1和表2，并以加载炸药容腔中40 MPa作为计算时的起始压力。
表 1 Mie-Grüneisen状态方程参数Table 1. Parameters of Mie-Grüneisen equation of state表 2 壳体材料Johnson-Cook本构模型参数Table 2. Parameters of Johnson-Cook constitutive model for case materialsA/MPa B/MPa C n m Tm/K ε*/s−1 350 275 0.022 0.36 1.0 1811 1.0 注：A、B、C、n、m为材料常数，Tm为材料熔点，ε*为无量纲塑性应变率。 2.1 加载炸药破碎程度对输出波形的影响
非冲击点火反应过程中，炸药破碎形成的燃烧比表面积大小与反应过程的压力演化密切相关。计算中在其他条件不变的情况下（H=60 mm，D=20 mm），讨论了相对燃烧面积S/S0分别为25、50、100等三种燃烧比表面积下的压力演化历程，来分析加载炸药燃烧过程中的破碎程度对输出压力波形的影响。
图3为相对燃烧面积S/S0=50情况下不同时刻的压力云图，在反应的早期过程中（对应图3(a)和图3(b)），装置壳体未发生明显变形，加载炸药燃烧容腔内的压力持续增长，并达到约3 GPa。随着压力的逐渐增大，壳体开始发生膨胀变形，燃烧容腔的体积增大限制了压力的持续增长，加载炸药燃烧容腔内的压力迅速下降至吉帕以下。下端受试炸药在加载炸药非冲击点火反应产生的压力载荷下发生变形。
图4为三种相对燃烧面积S/S0下加载炸药燃烧容腔内以及受试炸药前界面处的压力波形。从图4(a)可以看出，随着S/S0的增大，加载炸药燃烧产生的压力峰值增大，而压力上升前沿宽度减小。在S/S0为25～100的范围内，加载炸药燃烧产生的压力峰值为2～4 GPa，压力上升沿宽度为20～50 μs。反应产生的斜波压力经壳体传播到受试炸药处的压力波形（见图4(b)）与燃烧容腔内的压力特征基本一致，在S/S0为25～100的范围内，作用于受试炸药的压力峰值为0.6～1.5 GPa，斜波前沿宽度为20～50 μs。炸药燃烧过程中的破碎程度对压力演化历程影响显著，实验中为达到吉帕级的斜波压力输出，需采用低粘接剂的脆性易碎的炸药，以满足压力剧烈增长所需的燃烧比表面积条件。
图 4 不同相对燃烧面积S/S0下压力波形对比Figure 4. Comparison of pressure wave under different relative burning areas2.2 壳体厚度对输出波形的影响
除炸药本身的燃烧特性、脆性特征外，壳体的约束强度同样对非冲击点火反应的压力演化历程具有重要影响。计算中，在相对燃烧面积S/S0为50的情况下，讨论了20、40、60 mm和无限厚四种壳体厚度H下燃烧过程的压力历程，以分析约束强度对输出压力脉冲的影响。其中无限厚壳体情况采用壳体外壁固壁条件近似处理。
图5为不同壳体厚度下加载炸药燃烧容腔内以及受试炸药前界面处的压力波形。从图5(a)中加载炸药燃烧压力历程可以看出，在压力增长的早期（<1 GPa），不同壳体厚度下压力增长历程近似一致。这是由于在压力较低时壳体未发生明显膨胀变形，相同的燃烧比表面积下燃烧增压速率基本一致。当压力继续增长时，壳体开始发生膨胀变形，壳体约束强度对压力增长的影响逐渐体现出来，壳体厚度越大，燃烧所能达到的峰值压力也越大。但根据无限厚壳体情况的压力历程，即使提供足够强的约束条件，燃烧所能达到的峰值压力仅为3.4 GPa。这是由于加载炸药与受试炸药之间的薄壁壳体是结构约束的弱环，限制了燃烧压力的持续增长（见图3(c)）。图5(b)为受试炸药前界面处的压力波形，不同壳体厚度下的应力波形与加载炸药燃烧容腔内压力特征基本一致，壳体厚度越大，装置输出的斜波压力也越大，在30 mm到无限厚壳体范围内，输出的斜波压力峰值在0.6～1.8 GPa范围。需要注意的是，虽然壳体足够厚时加载炸药燃烧容腔内的压力峰值增长并不明显，但高压维持的时间更长，从而使得输出到受试炸药处的压力峰值明显增大。因此，为达到吉帕级斜波压力输出，需尽量增大壳体厚度。对应该计算条件下，壳体厚度需在60 mm以上。
图 5 不同壳体厚度H下的压力波形对比Figure 5. Comparison of pressure wave under different case thickness2.3 隔层厚度对输出波形的影响
考虑到加载炸药与受试炸药之间的隔层厚度直接关系到斜波载荷的输出，在相同计算条件下（S/S0=50，H=60 mm），讨论了10、15、20和25 mm四种隔层厚度D下反应输出的斜波压力特征。
图6为四种隔层厚度下受试炸药前界面处（G2）的压力波形对比。可以看出：不同隔层厚度下斜波上升沿宽度基本一致（约为30 μs），但斜波压力峰值随着隔层厚度的增大而减小。图7给出了斜波压力峰值pm与隔层厚度D之间的关系，压力峰值关于隔层厚度近似呈指数衰减关系，在隔层厚度D为25～10 mm范围内，输出的斜波压力峰值为0.9～1.8 GPa。因此，为使得输出的斜波压力较高，隔层的厚度不宜太厚。对应计算条件下，斜波压力输出在1 GPa以上时，需控制隔层厚度在20 mm以内。
图 6 不同隔层厚度D下受试炸药前界面处的压力波形Figure 6. Pressure waveforms at the front interface of the tested explosive at different thickness of interlayer
图 7 斜波压力峰值pm与隔层厚度的关系Figure 7. Relationship between the peak pressure of ramp wave and the thickness of interlayer3. 斜波加载装置的实验验证
基于上述分析，完成斜波加载装置的结构设计。为满足吉帕级高幅值的斜波压力输出要求，加载炸药选取为燃速压力敏感且脆性特征明显即易碎的压装PBX炸药，设定H=80 mm，以提供反应压力增长的必要条件，设定D=20 mm。此外，为避免非冲击点火反应早期，燃烧产物气体泄漏导致压力下降，在激光点火头和壳体连接处做密封处理。测试系统上，采用光子多普勒测速仪（photon doppler velocimeter, PDV）测量壳体外部的膨胀速度历史，采用PVDF（聚偏二氟乙烯）测量受试炸药前、后界面处的压力波。
图8为PVDF所测受试炸药前、后界面处的压力波形：受试炸药前界面处的斜波压力为1.6 GPa、上升沿宽度约为25 μs，较好地满足了斜波加载装置的设计要求；其中在22 μs时刻，受试炸药前、后界面处压力信号的异常增长和下降可能为结构变形挤压测试电路引线导致的PDVF测量失效。图8中还给出了实验装置结构下S/S0=100时的计算结果，主要区别在于实验中低压段压力增长更加平缓，而计算中压力为快速上升。这是由于实际反应过程中，燃烧比表面积是随裂纹扩展而不断增长变化的过程，而计算中并未考虑此类因素的影响，但从压力波形的整体趋势上来看计算结果与实验测得数据大致吻合。
图 8 受试炸药前、后界面此处的压力波形Figure 8. Pressure wave at the front and back interfaces of the acceptor explosive4. 结 论
(1) 设计了一种强约束压装PBX炸药非冲击点火反应驱动的吉帕、十微秒级斜波加载装置，采用层流燃烧速率模型和二维有限差分程序对斜波压力输出特征进行了分析。加载炸药破碎形成的燃烧比表面积的大小直接关系到非冲击点火反应的压力输出，燃烧比表面积越大，输出至受试炸药处的斜波压力越大，峰值压力可达吉帕以上，对应的压力上升前沿可从数十微秒降至数微秒。为获取较高幅值的斜波压力，需选用低粘接剂脆性易碎的炸药。加载炸药外部的壳体厚度也是影响斜波压力输出的关键因素，壳体厚度越大，输出的斜波压力峰值越大。为达到吉帕级斜波压力输出，壳体厚度需在60 mm以上。加载炸药与受试炸药之间的隔层厚度直接影响到受试样品受到的斜波压力大小，斜波压力峰值与隔层厚度之间近似呈指数衰减关系，隔层厚度越大，斜波峰值压力越小。
(2) 参考数值计算结果，完成了斜波加载装置的结构设计，在加载炸药选取为PBX-1，壳体厚度为80 mm以及隔层间隔为20 mm的情况下，经PDVF测得受试炸药前界面处的斜波压力为1.6 GPa、上升沿宽度约为25 μs，可较好地满足的斜波加载装置的设计要求。若不考虑对受试炸药的保护和回收，可减小加载炸药与受试炸药之间的隔层厚度，进一步提高作用于受试炸药处的斜波压力幅值，以开展2～4 GPa斜波加载实验研究。
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图 4 对于固支方板，不同泊松比下刚塑性解预测的最终挠度的相对偏差与无量纲载荷幅值的关系
Figure 4. Discrepancies in the final deflection predicted by the rigid-plastic solutions varying with dimensionless loading parameter for fully-clamped square plates under different Poisson’s ratios
图 5 无量纲最终挠度与无量纲脉冲压力幅值之间的关系
Figure 5. Relationship between the dimensionless final deflection and the dimensionless loading parameter
图 6 常用金属板的结构刚度同半边长与板厚之比之间的关系
Figure 6. Relationship of structural stiffness and half length-to-plate thickness ratio for commonly-used metallic plates
图 7 按式(8)作出补偿后，式(9)预测的固支梁最终挠度的相对偏差
Figure 7. By adding the compensation given in Eq. (8), the relative discrepancies in the final deflection of fully-clamped beams as predicted by Eq. (9)
图 8 补偿前（实线）和按式(8)作补偿后（虚线）与弹塑性有限元模拟得到的固支梁最终挠度之间的相对偏差
Figure 8. The relative discrepancies in the final deflection of fully-clamped beams between rigid-plastic predictions (solid lines displaying before compensation, and broken lines displaying after compensation given by Eq.(8)) and elastic-plastic simulation results
图 9 按式(10)作出补偿后，式(11)预测的固支方板最终挠度的相对偏差
Figure 9. By adding the compensation given in Eq. (10), the relative discrepancies in the final deflection of fully-clamped plates as predicted by Eq. (11)
图 10 按式(12)作出补偿后，式(13)预测的固支方板最终挠度的相对偏差
Figure 10. By adding the compensation given in Eq. (12), the relative discrepancies in the final deflection of fully-clamped plates as predicted by Eq. (13)
表 1 低碳钢和铝合金的材料性质
Table 1. Material properties of mild steel and aluminum alloys
材料 杨氏模量E/GPa 泊松比μ 屈服应力Y/MPa 低碳钢Q235 210 0.3 235 铝合金6061 71 0.3 240 铝合金7075 71 0.3 505 
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表 2 金属板的半边长与板厚之比 的常用范围
Table 2. Commonly-used ranges of half length-to-plate thickness ratio for metallic plates
工程领域 a/h 船舶海洋结构 10～125 汽车与运载机械 150～900 航空航天结构 80～1500
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表 3 主要结果整理及固支梁与固支方板的比较
Table 3. Summary of main results as well as comparison of fully-clamped beams and plates
项目 固支梁（矩形截面） 固支方板 几何参数 长度2L，宽度b，厚度h 边长2a，厚度h 材料参数 杨氏模量E，屈服应力Y 杨氏模量E，泊松比μ，屈服应力Y 塑性极限弯矩 Mp = Ybh2/4 M0 = Yh2/4 准静态坍塌压力 线载荷pY = 4Mp/(bL) = Yh2/L 面载荷pY = 12M0/a2 = 3Yh2/a2 无量纲压力 λ ≡ p0/pY 结构刚度ζ ζbeam≡hL√EY ζplate≡ha√EY(1−μ) 最佳刚塑性解预测的最终挠度 ηrpf≡wrp0fh=1.10λ−0.414 ηrpf≡wrp0fh=2.16λ−1.456 刚塑性解加上弹性补偿后预测的最终挠度 η*f=1.10λ−0.414+(−0.08λ+0.29)ζ−0.9 η*f=2.160λ−1.456+(0.03λ2−0.33λ+0.85)ζ−0.4 弹塑性模拟得到的最终挠度 ηepf≡wep0fh 上述二者之间的相对偏差 D*η=η*f−ηepfηepf≤3%
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