冲击波在水土交界面透射和反射压力的计算

严富怀; 岳松林; 邱艳宇; 王明洋; 何勇

doi:10.11883/bzycj-2023-0440

冲击波在水土交界面透射和反射压力的计算

doi: 10.11883/bzycj-2023-0440

1.
陆军工程大学爆炸冲击防灾减灾全国重点实验室，江苏南京 210007
2.
南京理工大学机械工程学院, 江苏南京 210094

基金项目: 爆炸冲击防灾减灾全国重点实验室基金（LGD-SKL-202201）

详细信息

作者简介:
严富怀（2000－　），男，博士研究生，13101890239@163.com

通讯作者:
岳松林（1987－　），男，博士，副教授，硕士生导师，yuesonglin163@163.com

中图分类号: O382.1
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出版历程
- 收稿日期: 2023-12-24
- 修回日期: 2024-03-19
- 网络出版日期: 2024-03-26
- 刊出日期: 2024-11-15

Calculation of shock wave transmission and reflection pressures at water-soil interface

1.
State Key Laboratory of Disaster Prevention and Mitigation of Explosion and Impact, Army Engineering University of PLA, Nanjing 210007, Jiangsu, China
2.
School of Mechanical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, Jiangsu, China

摘要

摘要: 冲击波在水土交界面的透射、反射压力计算尚缺乏可靠的计算理论，利用质量守恒方程、动量守恒方程以及水、土的状态方程，分别推导得到冲击波在水、土介质中传播的Hugoniot关系以及p-u曲线，进而从理论上解析得到冲击波在水土交界面处的透射和反射压力。分别建立了水中自由场、水-土分层介质场的二维数值计算模型，其中水、土参数与理论推导时采用的三相介质饱和土计算模型中的参数保持一致。计算结果表明，水土交界面透射、反射压力的理论解与数值解具有高度的一致性。采用80 g TNT炸药，距离水土交界面0.1～0.9 m（比例爆距为0.232～2.089 m/kg^1/3）爆炸时，得到的透射、反射压力的理论解与数值解误差均小于7%，根据解析解得出反射压力与水中入射压力之比，反射压力系数在1.6～1.8范围内；距离水土交界面0.5 m时，饱和土的含气量在0～10%范围内变化，得到的透射、反射压力的范围为63.8～70.0 MPa，此时其反射压力系数在1.55～1.70范围内。推导得出的冲击波在水土交界面透射、反射压力的计算方法，物理意义明确、计算精度高，可为开展水下爆炸对水底土中工程结构的毁伤评估提供理论基础。
- 水土交界面 /
- 冲击波传播 /
- 理论计算 /
- 透射压力 /
- 反射压力
Abstract: There is a lack of reliable calculation theory for the transmission and reflection pressures of shock waves at the water-soil interface. Using the mass conservation equation, momentum conservation equation, and the equations of state of water and soil, the Hugoniot relationship and p-u curve of the propagation of shock waves in water and soil medium are derived, and then the transmission and reflection pressures of the shock wave at the water-soil interface can be analyzed theoretically. Two-dimensional numerical models of the free field in water and water-soil layered medium field are established, in which the water and soil parameters are consistent with those in the three-phase medium saturated soil model used in the theoretical derivation. The calculation results show that the theoretical and numerical solutions of the water-soil interface transmission and reflection pressures are highly consistent. When using 80 g TNT explosives and exploding at 0.1–0.9 m from the water-soil interface (proportional burst distance of 0.232–2.089 m/kg^1/3), the error of the theoretical and numerical solutions for transmission and reflection pressures is less than 7%, and the coefficient of the reflection pressure is in the range of 1.6–1.8 according to the analytical solution of the reflection pressure and the ratio of the incident pressure in the water. When exploding at 0.5 m from the water-soil interface and the gas content of the saturated soil varies in the range of 0–10%, the transmission and reflection pressures are 63.8–70.0 MPa, and the reflection pressure coefficients are in the range of 1.55–1.70 at this time. The calculation method for the shock wave transmission and reflection pressure at the water-soil interface has a clear physical meaning and high precision and can provide a theoretical basis for the soil damage assessment of engineering structures in submerged soil caused by underwater explosions.
- water-soil interface /
- shock wave propagation /
- theoretical calculation /
- transmission pressure /
- reflection pressure

HTML全文

水中爆炸时，冲击波在水土交界面处会产生反射和透射现象，其透射、反射系数的大小与冲击波强度以及水和土介质的参数有关。研究冲击波在水土介质中的传播规律，是开展埋藏于水土交界面以下结构爆炸毁伤评估和抗爆设计的基础。

关于爆炸波在土、水等单一介质中的传播已有大量研究成果。在饱和土中的爆炸荷载计算方面，钱七虎等^[1-2]通过饱和土中气、液、固单相介质的压力-密度关系推导得到了三相介质的压力-密度方程，进而分析了爆炸波在饱和土中的传播规律，发现空气含量对饱和土中爆炸波的衰减存在很大影响。穆朝民等^[3-6]通过试验研究了高饱和度饱和砂中爆炸波的传播规律，发现爆炸冲击波在饱和土中传播时会出现流体动力区并形成冲击波，建立了饱和土双线性递增硬化本构关系，确定了由冲击波向弹性波转换的分界压力。在水中爆炸荷载计算方面，Cole^[7]通过质量和冲量守恒关系以及Tait 等熵状态方程，给出了水下爆炸冲击波入射压力计算方法。王爱兴^[8]通过有限元模拟对水下爆炸冲击波传播进行了研究，探究了爆炸冲击波在水下爆炸近区的传播规律以及影响其传播的因素。

关于介质界面对冲击波传播的影响，已有不少学者开展了一定的研究。Kedrinskii^[9]结合两相介质模型研究了水-空气交界面规则反射区域内空化带的发展对稀疏波参数的影响。赵凯^[10]运用弹性波理论研究了分层防护层对爆炸波的衰减和弥散，并通过试验验证了分层防护层对爆炸波的影响，但该理论是基于弹性波范围，对塑性波并不适用。张涛等^[11]以弹性应力波在界面处的传播分析为基础，结合冲击波基本关系式，对冲击波在不同介质界面的传播过程进行了理论推导，但此方法是基于一维弹性波假设，与实际情况下的冲击波传播之间存在误差。Wang等^[12]研究了不同表面边界下激波的传播特性，发现当激波冲击自由表面时会在周围形成空化效应。

针对水土交界面对反射压力的影响，学者们也开展了一定的试验和理论研究。顾文彬等^[13-17]通过试验和数值模拟方法研究了浅层水中爆炸水底的影响以及多个装药情况下水中冲击波的相互作用，探究了不同水底对水中爆炸压力的影响，发现水底介质对水底反射冲击波峰值压力存在较大影响。杨莉等^[18]研究了沉底装药时水下爆炸冲击波的传播规律，发现冲击波在水底具有强反射现象，叠加后的冲击波峰值压力高于入射面峰值压力。Wardlaw等^[19]研究了弹性、刚性等边界条件下冲击波反射的荷载现象，发现刚性边界会导致冲击波荷载增大。严泽臣等^[20]通过理论计算研究了刚性壁面水下爆炸冲击波的反射压力，揭示了水下爆炸冲击波反射压力系数范围为2.00～4.49，但实际中并不存在刚性壁面。目前，对交界面反射压力的研究，一方面是通过弹性波假设来推导计算，另一方面是假设为刚性壁面，这与实际情况不符，因此，亟需一种适用于非刚性面的冲击波传播的理论计算模型。

为了解决冲击波在水土交界面透射、反射压力计算的难题，本文中，通过质量守恒方程、动量守恒方程以及水、土介质的状态方程，推导适用的理论计算模型。利用LS-DYNA软件分别建立水中自由场、水-土分层介质场的二维数值模型，水、土参数与理论推导时采用的三相介质饱和土计算模型中的参数保持一致，以期为研究水土交界面冲击波的传播以及后续荷载的计算提供参考。

1. 冲击波在水土交界面透射和反射压力的理论推导

图1给出了冲击波在水中的入射以及在水土交界面的透射和反射示意图，其中p、ρ、D、u分别为介质的压力、密度、冲击波速度和质点速度，下标0、i、r、t分别表示无扰动状态、入射冲击波阵面、反射冲击波阵面和透射冲击波阵面。

图 1 爆炸波在水土交界面的透射和反射示意图

Figure 1. Schematic diagrams of ransmission and reflection of blast wave at the water-soil interface

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对于介质的状态方程，介质的压力和质点速度可以采用速度-压力（u-p）方程表示：

$u = \frac{{{c_0}}}{{2S}}\left(\sqrt {1 + \frac{{4Sp}}{{{\rho _0}c_0^2}}} - 1\right)$

(1)

式中：c₀为压力为零时介质中的声速，S为经验参数。根据文献[21]中水的参数，可得水的u-p方程：

$u = \frac{{{c_0}}}{{3.84}}\left(\sqrt {1 + \frac{{7.68p}}{{{\rho _0}c_0^2}}} - 1\right)$

(2)

为了得到土的u-p方程，对于图1中的透射波，建立质量守恒方程：

${\rho _0}\left( {{D_{\text{t}}} - {u_0}} \right) = {\rho _{\text{t}}}\left( {{D_{\text{t}}} - {u_{\text{t}}}} \right)$

(3)

由于初始状态下u₀=0，式(3)可以简化为：

${\rho _0}{D_{\text{t}}} = {\rho _{\text{t}}}\left( {{D_{\text{t}}} - {u_{\text{t}}}} \right)$

(4)

透射波的动量守恒方程为：

${p_{\text{t}}} - {p_0} = {\rho _0}{D_{\text{t}}}{u_{\text{t}}}$

(5)

假设土的D-u形式状态方程为：

${D_{\text{t}}} = {c_0} + S{u_{\text{t}}}$

(6)

将式(6)代入式(4)，得到：

${\rho _0}\left( {{c_0} + S{u_{\text{t}}}} \right) = {\rho _{\text{t}}}\left( {{c_0} + S{u_{\text{t}}} - {u_{\text{t}}}} \right)$

(7)

化简得到：

${u_{\text{t}}} = \frac{{\left( {{\rho _{\text{t}}} - {\rho _0}} \right){c_0}}}{{{\rho _0}S - {\rho _{\text{t}}}S + {\rho _{\text{t}}}}}$

(8)

将式(8)代入动量守恒方程式(5)，可得：

${p_{\text{t}}} - {p_0} = {\rho _0}\left[ {{c_0} + S\frac{{\left( {{\rho _{\text{t}}} - {\rho _0}} \right){c_0}}}{{{\rho _0}S - {\rho _{\text{t}}}S + {\rho _{\text{t}}}}}} \right]\frac{{\left( {{\rho _{\text{t}}} - {\rho _0}} \right){c_0}}}{{{\rho _0}S - {\rho _{\text{t}}}S + {\rho _{\text{t}}}}}$

(9)

简化为S的一元二次方程：

$\begin{align} &\left( {{p_{\text{t}}} - {p_0}} \right){\left( {{\rho _{\text{t}}} - {\rho _0}} \right)^2}{S^2} - 2{\rho _{\text{t}}}\left( {{p_{\text{t}}} - {p_0}} \right)\left( {{\rho _{\text{t}}} - {\rho _0}} \right)S + {\rho _{\text{t}}^2}\left( {{p_{\text{t}}} - {p_0}} \right) - {\rho _{\text{t}}}{\rho _0}\left( {{\rho _{\text{t}}} - {\rho _0}} \right){{c_{0}^2}} = 0\end{align}$

(10)

求解式(10)，舍弃无效解，得到有效解为：

$S = \frac{{{\rho _{\text{t}}}}}{{{\rho _{\text{t}}} - {\rho _0}}} + {c_0}\sqrt {\frac{{{\rho _{\text{t}}}{\rho _0}}}{{\left( {{p_{\text{t}}} - {p_0}} \right)\left( {{\rho _{\text{t}}} - {\rho _0}} \right)}}}$

(11)

钱七虎等^[1-2]提出的饱和土中的状态方程：

${\rho _{\text{t}}} = {\rho _0}\left\{ {\alpha _1}{\left(\frac{{{p_{\text{t}}}}}{{{p_0}}}\right)^{ - \tfrac{1}{{{k_1}}}}} + {\alpha _2}{\left[\frac{{{k_2}({p_{\text{t}}} - {p_0})}}{{{\rho _2}c_2^2}} + 1\right]^{ - \tfrac{1}{{{k_2}}}}} + {\alpha _3}{\left[\frac{{{k_3}({p_{\text{t}}} - {p_0})}}{{{\rho _3}c_3^2}} + 1\right]^{ - \tfrac{1}{{{k_3}}}}}\right\}^{ - 1}$

(12)

式中：k₁、k₂和k₃为相应组分的熵指数，α₁、α₂和α₃为气体、液体和固体的组分含量，ρ₁、ρ₂和ρ₃为组分密度，ρ₀和p₀分别为土的初始密度和压力，c₂和c₃分别为液体和固体中的声速。

将式(11)代入式(1)，可得土的u-p方程：

$u=\frac{{{c_0}}}{{2\left[\dfrac{{{\rho _{\text{t}}}}}{{{\rho _{\text{t}}} - {\rho _0}}} + {c_0}\sqrt {\dfrac{{{\rho _{\text{t}}}{\rho _0}}}{{\left( {{p_{\text{t}}} - {p_0}} \right)\left( {{\rho _{\text{t}}} - {\rho _0}} \right)}}}\right ] }}\left\{\sqrt{ {1 + \frac{{4p}}{{{\rho _0}c_0^2}}}\left[\frac{{{\rho _{\text{t}}}}}{{{\rho _{\text{t}}} - {\rho _0}}} + {c_0}\sqrt {\frac{{{\rho _{\text{t}}}{\rho _0}}}{{\left( {{p_{\text{t}}} - {p_0}} \right)\left( {{\rho _{\text{t}}} - {\rho _0}} \right)}}}\right ]} - 1\right\}$

(13)

式中： ${\rho _{\text{t}}}$ 根据式(12)得出。为将式(13)与式(2)绘图得到水和土的u-p曲线，向式(2)、式(12)和式(13)中代入表1中的参数，其中水的参数根据表2得到，土的参数参考钱七虎等^[1-2]提出的参数。表中：c₁、c₂和c₃分别为饱和土中压力为零时气体、液体和固体中的声速，S₀为u_s-u_p曲线斜率的系数，c为冲击波速度u_s和质点速度u_p的截距，γ₀为Grüneisen系数，α为对γ₀的一阶体积修正，S₁、S₂、S₃为u_s-u_p曲线斜率的系数，E₀为单位体积内能。

表 1 土的状态方程参数

Table 1. Equation of state parameters of the soil

c₁/（m·s⁻¹）	c₂/（m·s⁻¹）	c₃/（m·s⁻¹）	ρ₀/（kg·m⁻³）	ρ₁/（kg·m⁻³）	ρ₂/（kg·m⁻³）	ρ₃/（kg·m⁻³）
340	1 500	4 500	2 210	1.2	1 000	2 650

α₁	α₂	α₃	k₁	k₂	k₃	S₀
0.001	0.3	0.699	1.4	3.0	3.0	1.92

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表 2 水的参数

Table 2. Parameters of water

ρ/（kg·m⁻³）	c/（m·s⁻¹）	γ₀	α	S₁	S₂	S₃	E₀/Pa
1025	1520	0.28	0	1.92	0	0	0

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绘制的土和水的u-p曲线如图2所示（压力取值范围为0～10 GPa）。

图 2 土和水的u-p曲线

Figure 2. u-p curves for soil and water

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冲击波传播至水土交界面处，已知水土交界面处水介质中的入射压，如图3中标识入射压处，则做一条关于入射压处质点速度的对称线，即为水的反射u-p曲线，其与土的u-p曲线交点处的压力，即为反射压，如图3所示。对于交界面处的透射压，交界面处粒子的速度已知，根据土的u-p状态方程曲线，得到的压力即为透射压。由图3可以解析出水土交界面的透射、反射压力，为进一步了解此计算方法的精确度，结合数值模拟进行深入研究。

图 3 水土交界面的反射压力

Figure 3. Reflected pressure at the water-soil interface

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2. 数值模型

2.1 数值求解器

显式非线性有限元程序LS-DYNA在动力分析方面具有有效性。在LS-DYNA中，常用的求解器有拉格朗日、欧拉和任意拉格朗日-欧拉（arbitrary Lagrangian-Eulerian，ALE）求解器。拉格朗日求解器适用于描述固体材料。在有限元模拟中，结构网格随着物理材料发生移动和变形。然而，拉格朗日方法的主要缺点是不能处理大变形问题。在欧拉法中，数值网格在空间上是固定的，物质在网格中流动，由于网格是固定的，当发生大的变形或流动时，不存在网格畸变问题，因此，欧拉法通常适用于描述流体和气体的行为。然而，对于不同的材料，欧拉法跟踪计算的成本较高。ALE方法结合了拉格朗日和欧拉求解器的最佳特征，结构的网格随物理材料移动和变形。本文中，炸药、水和饱和土采用多材料ALE求解。采用LS-DYNA多材料组合（ALE_MULTI_MATERIAL_GROUP）将炸药、水和饱和土的材料指定为多材料。

2.2 材料模型

2.2.1 水材料模型

水材料选用9号材料模型MAT_NULL以及4号状态方程EOS_GRÜNEISEN，该状态方程适用于高压条件，因此，可用于模拟爆炸过程中水被高度压缩的过程。其中流体单元在受压状态下的应力为：

$p = \dfrac{{{\rho _0}{c^2}\mu \left[1 + \left(1 - \dfrac{{{\gamma _0}}}{2}\right)\mu - \dfrac{\alpha }{2}{\mu ^2}\right]}}{{{{\left[1 - ({S_{ 1}} - 1) - {S_{ 2}}\dfrac{{{\mu ^2}}}{{\mu + 1}} - {S_{ 3}}\dfrac{{{\mu ^3}}}{{{{(\mu + 1)}^2}}}\right]}^2}}} + ({\gamma _0} + \alpha \mu ){E_0}$

(14)

式中：ρ₀为初始密度，μ=ρ/ρ₀–1。本文中，水的材料参数和状态方程参数均参考文献[21]，设置如表2所示。

2.2.2 TNT材料模型

在LS-DYNA中选取的炸药为TNT，选用8号材料模型MAT_HIGH_EXPLOSIVE_BURN，该模型可用于模拟烈性炸药的爆炸过程。选用2号材料状态方程EOS_JWL，其中压力表示为：

$p = A\left( {1 - \frac{\omega }{{{R_1}V}}} \right){{\rm{e}}^{ - {R_1}V}} + B\left( {1 - \frac{\omega }{{{R_2}V}}} \right){{\rm{e}}^{ - {R_2}V}} + \frac{{\omega {E_0}}}{{V'}}$

(15)

式中：A、B为计算系数，R₁、R₂、ω为描述炸药特性的无量纲常数，V为相对体积。TNT的材料及状态方程参数参考文献[21]，如表3所示，表中：p_CJ为C-J爆轰压力。

表 3 炸药参数

Table 3. Parameters of the explosive

ρ/（kg·m^–3）	p_CJ/GPa	A/GPa	B/GPa	R₁	R₂	ω	E₀/GPa
1 583	19.4	307	3.898	4.485	0.79	0.3	6.968 4

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2.2.3 饱和土材料模型

土是由固体颗粒、水、空气组成的三相介质，完全饱和土可以简化为固体颗粒和孔隙水组成的两相介质。由于土的力学特性非常复杂，尤其在高速率爆炸荷载下，更难预测其行为，因此，选择合适的饱和土模型对模拟的准确性至关重要。在LS-DYNA中，选择5号材料模型MAT_SOIL_AND_FOAM模拟饱和土，该模型需要输入土体的密度、弹性模量、剪切模量、屈服函数系数以及材料的应力-体积应变曲线^[22]，当体积破碎选项为0时，材料的加卸载过程遵循黑色箭头，当体积破碎选项为1时，材料的加卸载遵循红色箭头，即输入曲线，如图4所示。

图 4 应力-体积应变曲线^[22]

Figure 4. Stress-volumetric strain curve^[22]

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MAT_SOIL_AND_FOAM模型的主要参数可以根据式(12)得出，其中弹性模量E=ρc²=7.392 98 GPa，体积模量K的取值根据式(12)绘出的应力-体积应变曲线得出，如图5所示。图5中拟合的方程为Tait方程，该物态方程适用于许多固体材料，其压力与体积应变的关系^[23]表示为：

图 5 饱和土的应力-体积应变曲线

Figure 5. Stress-volume strain curves of saturated soil

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$p = {p_0} + \frac{{K\left[ {{{\left( {1 - {\varepsilon _{\rm{v}}}} \right)}^{ - n}} - 1} \right]}}{n}$

(16)

式中：n为材料常数，ε_v为体应变，p₀为标准大气压，K为体积模量。拟合得到的物态方程为：

$p = 1.01\times 10^5 + \frac{{9.658\;83\times 10^9[{{(1 - {\varepsilon _{\rm{v}}})}^{ - 6.436\;92}} - 1]}}{{6.436\;92}}$

(17)

式中：p的单位为Pa。由式(18)可以求得体积模量K=9.658 83 GPa。根据剪切模量G与弹性模量E和体积模量K的关系式：

$G = \frac{{3KE}}{{9K - E}}$

(18)

可以求得剪切模量为2.693 GPa。

MAT_SOIL_AND_FOAM模型允许自定义体积应力-应变曲线，可以在其中输入10个应力-应变点来确定一条体积应力-应变曲线。利用表4中的参数p₁～p₁₀及ε₁～ε₁₀来定义该曲线，这10个点的值根据式(12)得到。表中：a₀、a₁、a₂为屈服函数系数，ρ为饱和土的密度，G为土的剪切模量，p_c为拉伸断裂的压力截止值，p₁～p₁₀为10个应力点的应力，ε₁～ε₁₀为10个应力点对应的体积应变。

表 4 饱和土参数

Table 4. Saturated soil parameters

ρ/(kg·m⁻³)	G/MPa	K/MPa	a₀/MPa²	a₁/MPa	a₂	p_c/MPa	ε₁	ε₂
2 210	2 693	9 659	3.339×10⁻⁷	0.2251	3.794	–6.9×10⁻³	0	–0.001 868

ε₃	ε₄	ε₅	ε₆	ε₇	ε₈	ε₉	ε₁₀	p₁/MPa
–0.003 276	–0.004 649	–0.005 887	–0.008 206	–0.009 398	–0.010 043	–0.012 787	–0.014 439	0

p₂/MPa	p₃/MPa	p₄/MPa	p₅/MPa	p₆/MPa	p₇/MPa	p₈/MPa	p₉/MPa	p₁₀/MPa
7.2	16.8	26.4	35.2	52	60.8	65.6	86.4	99.2

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2.2.4 模型建立

如图6所示，对纯水工况和水土交界面工况分别建立模型。有限元分析中采用的参数依据表2～4所述，模型尺寸为2 m×2 m，每个单元均为0. 25 cm×0. 25 cm的正方形。模型边界设置为无反射边界。采用80 g、长径比为1∶1的柱形TNT炸药，距离水土交界面0.1～0.9 m。

图 6 纯水和水土交界面模型及测点布置

Figure 6. Pure water and water-soil interface models and measurement point layout

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为验证模型水中自由场爆炸波传播的正确性，采用Zamyshlyaev等^[24]给出的水下爆炸冲击波峰值压力计算公式：

${p_{\rm{m}}} = \left\{ \begin{array}{ll} 44.1 {\left( {\dfrac{{{W^{1/3}}}}{R}} \right)^{1.5}}\;\;\;\;\; &6 {\text{≤}} \dfrac{R}{{{r_0}}} {\text{＜}} 12 \\ 52.4 {\left( {\dfrac{{{W^{1/3}}}}{R}} \right)^{1.13}}\;\;\;\; & 12 {\text{≤}} \dfrac{R}{{{r_0}}} {\text{＜}} 240 \end{array} \right.$

(19)

式中：p_m为自由场冲击波峰压，MPa；W 为装药量，kg；R为测点到药包中心距离，m；r₀为炸药的半径，m。

为选择合适网格，对二维水中自由场爆炸进行网格收敛性分析，选择炸药当量为80 g TNT，得到0.5 m爆距处的冲击波峰值压力的网格敏感性分析如图7所示。可以看出，冲击波压力在网格尺寸逐渐减小时收敛，模拟中网格尺寸为0.20、0.15、0.10 cm时计算时长分别是网格尺寸为0.25 cm时的1.51、3.50、10.00倍，且当网格尺寸为0.25 cm时，峰值压力接近收敛值。综合考虑运算精度及计算成本，采用0.25 cm网格进行模拟。

图 7 网格敏感性分析

Figure 7. Grid sensitivity analysis

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采用80 g TNT炸药在纯水模型中计算得到不同距离处的压力-时间曲线如图8所示。根据式(19)和模拟得出冲击波峰值压力，可以计算出炸药当量为80 g时两者的偏差，如表5所示。从表5可以看出，计算结果与模拟结果的相对偏差均在15%以内，因此，采用二维纯水模型计算水介质中的入射压是可行的。

图 8 水中自由场应力-时间曲线

Figure 8. Free-field stress-time curves in water

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表 5 80 g TNT对应不同爆距下的水中自由场峰值压力及偏差

Table 5. Free-field peak pressures and their deviations in water at different burst distances for 80 g TNT

爆距/m	计算结果/MPa	模拟结果/MPa	偏差/%
0.1	394.44	354.01	–10.3
0.2	124.74	132.66	6.3
0.3	78.73	78.90	0.2
0.4	56.88	54.44	–4.3
0.5	44.20	41.24	–6.7
0.6	35.97	32.98	–8.3
0.7	30.22	27.27	–9.8
0.8	25.99	23.05	–11.3
0.9	22.75	19.88	–12.6

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根据第1节中的理论方法，计算得到80 g TNT当量下距爆源0.5 m处水土交界面处的反射压，如图9所示。

图 9 水土交界面的反射压力

Figure 9. Reflected pressure at the water-soil interface

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由图9可得，水土交界面反射压的解析解为68.80 MPa。数值模拟计算得到水土交界面的反射压为68.62 MPa，水土交界面的压力时程曲线及压力云图如图10所示。

图 10 水土交界面压力时程曲线及压力云图

Figure 10. Soil-water interface pressure-time curves and pressure nephogram

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以解析解计算结果为基准，数值模拟结果与解析解计算结果相比误差小于1%，由此可知，两者在计算冲击波在水土交界面上的透射、反射压力具有高度一致性。

3. 初始条件对水土交界面透射和反射压力的影响

3.1 不同爆距下理论与模拟的透射和反射压力

为了更准确地研究模型的准确度，将80 g TNT当量下爆距分别为0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9 m时的入射压力、理论反射压力、模拟反射压力进行比较，结果如表6所示。

表 6 不同爆距下的理论和模拟反射压力、偏差及反射系数

Table 6. Theoretical and simulated reflection pressures, deviations, and reflection coefficients at different blast distances

爆距/m	比例爆距/（m·kg^–1/3）	入射压力/MPa	反射压力			反射系数
爆距/m	比例爆距/（m·kg^–1/3）	入射压力/MPa	理论值/MPa	模拟值/MPa	相对偏差/%	反射系数
0.1	0.232	354.01	632.8	589.90	–6.8	1.788
0.2	0.464	132.66	228.8	229.50	0.3	1.730
0.3	0.696	78.90	133.6	133.60	0	1.693
0.4	0.928	54.44	91.6	91.21	–0.4	1.683
0.5	1.160	41.24	68.8	68.82	0.2	1.668
0.6	1.392	32.98	54.4	53.49	–1.7	1.649
0.7	1.625	27.27	45.1	43.79	–3.0	1.654
0.8	1.857	23.05	37.6	36.75	–2.3	1.631
0.9	2.089	19.88	32.4	31.42	–3.1	1.630

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由表6可以看出，在不同爆距下，反射压力的理论计算结果与模拟结果的相对偏差均小于7%，说明本文中提出的理论模型和数值模型用于计算冲击波在水土交界面上的透射、反射压力时具有计算精度高、一致性好等优点，可为后续的水下爆炸对水底土中结构的毁伤评估提供理论基础。

3.2 不同含气量下理论与模拟的透射和反射压力

饱和土中气体体积分数是影响爆炸波传播的重要因素，且在气体高饱和度时影响更加显著^[1] 。为了研究饱和土中气体体积分数对水土交界面透射、反射压力的影响，选取TNT当量为80 g，距离水土交界面爆距为0.5 m的工况进行理论分析，此时的入射压为41.24 MPa，气体体积分数在0～10%之间，得到的气体体积分数对水土交界面透射、反射压力的影响如图11所示。从图11可以看出，饱和土中的气体体积分数在0～10%范围内时，该工况下水土交界面的透射、反射压力的范围为63.8～70.0 MPa，此时其反射压力系数在1.55～1.70之间，说明高饱和度饱和土中气体体积分数对水土交界面的透射、反射压力具有较大影响。

图 11 气体体积分数对水土交界面透射、反射压力的影响

Figure 11. Effect of gas volune fraction on transmission and reflection pressures at the water-soil interface

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4. 结　论

通过质量守恒、动量守恒以及水、土的状态方程建立了冲击波在水土交界面透射、反射压力的解析解理论模型以及二维数值模型，得到以下主要结论。

(1)理论推导的解析解和根据解析解使用的参数建立的有限元模型适用于进行冲击波在水土交界面透、反射压力的分析。通过理论推导得到的解析解和数值模拟在80 g TNT、0.5 m爆距工况下的误差小于1%，说明两者一致性较好。

(2)通过改变爆距来比较理论计算与数值模拟的结果，在0.1～0.9 m（比例爆距为 0.232～2.089 m/kg^1/3）时误差均小于7%，说明本文中提出的理论计算方法具有较高的精度，冲击波在水土交界面的反射系数在1.6～1.8之间，经水土交界面后爆炸产生的荷载增加较大，在进行水底结构响应分析时应重视冲击波经水土交界面后的压力的增长，为后续的水下爆炸对水底土中结构的动态响应研究提供了理论依据。

(3)通过理论计算来讨论改变含气量对水土交界面透、反射压力的影响，此时采用的工况为TNT当量80 g，距离水土交界面爆距为0.5 m，对应位置的入射压为41.24 MPa，在含气量为0～10%的范围内，得到的透射、反射压力的范围为63.8～70.0 MPa，此时其反射系数在1.55～1.70之间，说明饱和土的饱和度对于水土交界面透射和反射压力具有较大影响，在实际应用中应重视土体的饱和度。

图 1 爆炸波在水土交界面的透射和反射示意图

Figure 1. Schematic diagrams of ransmission and reflection of blast wave at the water-soil interface

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图 2 土和水的u-p曲线

Figure 2. u-p curves for soil and water

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图 3 水土交界面的反射压力

Figure 3. Reflected pressure at the water-soil interface

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图 4 应力-体积应变曲线^[22]

Figure 4. Stress-volumetric strain curve^[22]

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图 5 饱和土的应力-体积应变曲线

Figure 5. Stress-volume strain curves of saturated soil

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图 6 纯水和水土交界面模型及测点布置

Figure 6. Pure water and water-soil interface models and measurement point layout

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图 7 网格敏感性分析

Figure 7. Grid sensitivity analysis

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图 8 水中自由场应力-时间曲线

Figure 8. Free-field stress-time curves in water

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图 9 水土交界面的反射压力

Figure 9. Reflected pressure at the water-soil interface

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图 10 水土交界面压力时程曲线及压力云图

Figure 10. Soil-water interface pressure-time curves and pressure nephogram

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图 11 气体体积分数对水土交界面透射、反射压力的影响

Figure 11. Effect of gas volune fraction on transmission and reflection pressures at the water-soil interface

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表 1 土的状态方程参数

Table 1. Equation of state parameters of the soil

c₁/（m·s⁻¹）	c₂/（m·s⁻¹）	c₃/（m·s⁻¹）	ρ₀/（kg·m⁻³）	ρ₁/（kg·m⁻³）	ρ₂/（kg·m⁻³）	ρ₃/（kg·m⁻³）
340	1 500	4 500	2 210	1.2	1 000	2 650

α₁	α₂	α₃	k₁	k₂	k₃	S₀
0.001	0.3	0.699	1.4	3.0	3.0	1.92

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表 2 水的参数

Table 2. Parameters of water

ρ/（kg·m⁻³）	c/（m·s⁻¹）	γ₀	α	S₁	S₂	S₃	E₀/Pa
1025	1520	0.28	0	1.92	0	0	0

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表 3 炸药参数

Table 3. Parameters of the explosive

ρ/（kg·m^–3）	p_CJ/GPa	A/GPa	B/GPa	R₁	R₂	ω	E₀/GPa
1 583	19.4	307	3.898	4.485	0.79	0.3	6.968 4

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表 4 饱和土参数

Table 4. Saturated soil parameters

ρ/(kg·m⁻³)	G/MPa	K/MPa	a₀/MPa²	a₁/MPa	a₂	p_c/MPa	ε₁	ε₂
2 210	2 693	9 659	3.339×10⁻⁷	0.2251	3.794	–6.9×10⁻³	0	–0.001 868

ε₃	ε₄	ε₅	ε₆	ε₇	ε₈	ε₉	ε₁₀	p₁/MPa
–0.003 276	–0.004 649	–0.005 887	–0.008 206	–0.009 398	–0.010 043	–0.012 787	–0.014 439	0

p₂/MPa	p₃/MPa	p₄/MPa	p₅/MPa	p₆/MPa	p₇/MPa	p₈/MPa	p₉/MPa	p₁₀/MPa
7.2	16.8	26.4	35.2	52	60.8	65.6	86.4	99.2

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表 5 80 g TNT对应不同爆距下的水中自由场峰值压力及偏差

Table 5. Free-field peak pressures and their deviations in water at different burst distances for 80 g TNT

爆距/m	计算结果/MPa	模拟结果/MPa	偏差/%
0.1	394.44	354.01	–10.3
0.2	124.74	132.66	6.3
0.3	78.73	78.90	0.2
0.4	56.88	54.44	–4.3
0.5	44.20	41.24	–6.7
0.6	35.97	32.98	–8.3
0.7	30.22	27.27	–9.8
0.8	25.99	23.05	–11.3
0.9	22.75	19.88	–12.6

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表 6 不同爆距下的理论和模拟反射压力、偏差及反射系数

Table 6. Theoretical and simulated reflection pressures, deviations, and reflection coefficients at different blast distances

爆距/m	比例爆距/（m·kg^–1/3）	入射压力/MPa	反射压力			反射系数
爆距/m	比例爆距/（m·kg^–1/3）	入射压力/MPa	理论值/MPa	模拟值/MPa	相对偏差/%	反射系数
0.1	0.232	354.01	632.8	589.90	–6.8	1.788
0.2	0.464	132.66	228.8	229.50	0.3	1.730
0.3	0.696	78.90	133.6	133.60	0	1.693
0.4	0.928	54.44	91.6	91.21	–0.4	1.683
0.5	1.160	41.24	68.8	68.82	0.2	1.668
0.6	1.392	32.98	54.4	53.49	–1.7	1.649
0.7	1.625	27.27	45.1	43.79	–3.0	1.654
0.8	1.857	23.05	37.6	36.75	–2.3	1.631
0.9	2.089	19.88	32.4	31.42	–3.1	1.630

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