Wave propagation in lattices based on Tersoff potential
-
摘要: 在晶格间的Tersoff势作用下分别研究了单晶体系和多晶体系中的波动传播特性。首先，在微振动的情况下，分别基于晶格间线性作用、Tersoff势作用以及含缺陷的Tersoff势作用3种势能函数研究了单晶体系中格波的传播，得到了晶格中的色散关系以及格波波速的表达式。其次，分别以碳晶格和硅晶格为例，运用有限差分方法，研究了3种势能作用下单晶体系中的波动传播过程，对比了压缩和拉伸冲击下晶格的运动差异，并讨论了入射速度对位移峰值和受力峰值的影响，揭示了单晶体系中波动传播与连续介质中波动传播的差异。最后，分别以金刚石和碳化硅为例，采用分子动力学模拟方法，研究了多晶体系中的波动传播特性，讨论了不同空间位置原子的运动差异。结果表明：多晶体系中晶格结构更复杂，其中的波动传播特性与单晶体系存在差异；缺陷的存在对波动传播规律影响显著，这种影响在多晶体系中表现得更加突出。Abstract: The propagation characteristics of waves are the basis for studying the dynamic behavior of materials, and the theoretical study of waves in continuous media at the macro scale has been well developed. With the widespread application of materials and structures at the micro- and nano- scales, the study of wave propagation characteristics at the lattice scale is receiving increasing attention. In this article, the Tersoff potential interaction between lattices is applied to study the wave propagation characteristics in single-crystal and polycrystalline systems. Firstly, in the case of micro-vibration, the propagation of lattice waves in a single-crystal system is studied based on three potential energy functions between lattices: linear interaction, Tersoff potential, and Tersoff potential with defects. The dispersion relationship in the lattice and the expression of lattice wave velocity are obtained. Secondly, taking carbon lattice and silicon lattice as examples, the finite difference method is applied to study the wave propagation process in the single-crystal system under three potential energies. The differences in lattice motion under compressive and tensile impacts are compared, and the influence of incident velocity on the peak displacement and peak force is discussed, which reveals the difference in wave propagation between single-crystal systems and continuous media. Finally, taking diamond and silicon carbide as examples, molecular dynamics simulations are used to study the wave propagation characteristics in polycrystalline systems, and the differences in atomic motion at different spatial positions are discussed. The results indicate that the lattice structure in polycrystalline systems is more complex, and the wave propagation characteristics in polycrystalline systems are different from those in single-crystal systems. The existence of defects has a significant impact on the propagation law of waves, which is more prominent in polycrystalline systems. This study has good reference significance for the study of material dynamics performance at the micro- and nano- scales.
-
Key words:
- lattice dynamics /
- micro-vibration /
- Tersoff potential /
- defect /
- molecular dynamics
-
混凝土、岩石类材料一般处在复杂的三向应力状态下(σx, σy, σz)，其力学性质呈现非连续、非均匀和各向异性等特点，在复杂应力状态下的力学性能一直是学者们关心的问题。随着地下工程、水利工程往深度与广度发展，尤其是深部岩土工程、大陆深钻井等超大型科学项目的推进，研究复杂应力状态下的混凝土、岩石类材料的动态强度和变形特性，对于地震机制以及工程应用等领域的研究都具有重要意义[1]。目前，关于单轴动态加载下混凝土类材料力学性能的研究比较多[2]，对复杂应力状态下混凝土、岩石类材料在冲击载荷作用下的强度与变形特性的研究主要是在Hopkinson压杆[3-4]的基础上采用主动围压装置，其初始的静载为侧向等围压状态，即σy=σz。李海波等[5]采用一种岩石高压动三轴实验系统分别对不同地区的花岗岩开展了围压在20~170 MPa、应变率在10-4~100 s-1范围的三轴压缩实验。李夕兵等[6]在已有的霍普金森压杆主动围压装置上增加了轴向加载油缸，分别对试件进行围压和轴压的预加载，但其初始的静载仍为侧向等围压状态。张磊等[7]进一步通过在液压系统中串联接入大容量均衡油缸同步对试件施加围压和轴压，实现了三向围压。然而三向压力相等与实际情况不符，而且其压力幅值受到限制。而我们需要得到能反映工程实际中的真实三轴应力(σx≠σy≠σz)状态。目前，动态载荷作用下的真三轴加载技术尚处于初级阶段，E.Cadoni等[8-9]提出了真三轴静载与SHPB(split Hopkinson pressure bar)装置结合的实验设想，即试件初始由静载加载到真三轴应力状态，而后在某一个方向施加冲击载荷。这种设想可用来模拟真三轴应力状态下岩石所处的真实地应力水平，这与深埋岩石所受的地震等动态载荷主要来自于某一个方向相类似。Zhang Q B等[10]和Zhao J等[11]多次介绍了此实验思想在深埋岩石工程中的重要作用，但目前尚没有进行混凝土、岩石类材料真三轴静载应力状态下冲击特性实验的设备。
因此，发展一种可以对试件施加真三轴静载应力状态，并能监测到冲击加载过程中试件6个面上动态应力状态的实验装置，对于准确揭示混凝土、岩石类材料在不同应力路径下的动态变形及破坏强度和机制有重要意义。本文中，在此基础上研制一种可用于研究不同初始应力状态下材料的动态变形及破坏响应的“三维Hopkinson杆”实验系统，并对C30混凝土材料进行深入探讨。
1. 真三轴静载下混凝土类材料的“三维Hopkinson压杆”实验系统[12]
如图 1(a)~(b)所示，试件采用50 mm×50 mm×50 mm的立方体, 放在6根方杆中间。整个动态实验系统的装配和实物如图 1(c)~(d)所示。在冲击加载之前，试件的3个主方向采用液压伺服控制系统同时施加各自所需要的应力，并保持稳定的真三轴静载状态。冲击过程中立方体试件6个面的动态响应与损伤演化可以通过3个维度上6根方杆上的应变片信号来分析。
此实验系统中6根方杆的截面为50 mm×50 mm，X方向入射杆长度为2 500 mm，透射杆长度为2 000 mm；Y方向的2根杆的长度均为2 000 mm；Z方向的2根杆的长度均为1500 mm。实验装置3个方向的方杆长度远大于试件的尺寸，因而能很好地满足SHPB的一维假定和试件均匀假定。气炮的子弹长度不超过500 mm，可确保能在6根杆上记录到完整的应力波形。X、Y、Z 3个方向采用液压伺服控制系统施加的最大静载均可达到100 MPa，X方向上子弹的最大冲击速度为50 m/s，其另一端则安装有能量吸收装置。
不同应力状态下三维Hopkinson杆的基本原理与传统的一维分离式Hopkinson压杆实验技术是完全相同的，都要遵循“杆中一维应力波”假定和“试件应力/应变均匀化”假定。试件上作用的实际载荷σ为各方向的静载荷σs和动载荷σd。其中，静载荷σs按实际施加的载荷计算；动载荷σd可根据各方向的冲击实验波形分别处理，并应用传统的分离式Hopkinson压杆的数据处理公式得到试件在真三轴静载荷σs作用下，X、Y、Z方向随时间变化的应变率˙εx,d、应变εx, d和应力σx, d。“三维Hopkinson杆”不仅仅是一种真三轴静载作用下材料的分离式Hopkinson压杆动态力学性能测试系统，而且利用Y、Z轴方向的方杆可以记录到材料在X轴冲击载荷作用时，侧向2个维度的动态响应状态。在Y或Z方向，利用2根杆上的应变片信号可以直接得到试件两端的质点速度和应力状态，利用下式：
˙εk(t)=|ΔV|Lk=C0|εk,left(t)+εk,right(t)|Lk (1) 可以计算出试件在垂直于冲击的两个方向的应变率，通过如下公式：
εk(t)=−C0Lk∫t0|εk,left(t)+εk,right(t)|dt,σk(t)=A02AkE0|εk,left(t)+εk,right(t)| (2) 可以得到试件在这两个方向的应力和应变。试件在垂直于X冲击方向的Y方向和Z方向上的应变和应力的数据处理公式相同。式中:A0为方杆的截面积，Ak和Lk分别为k方向(k为Y或Z)试件的初始截面积和长度；εk, left、εk, right分别为：k为Y方向时，Y方向左、右方杆上的信号；或k为Z方向时，Z方向上、下方杆上的信号，实验要求试件的截面积与杆的截面积相等。在“三维Hopkinson杆”系统的单向冲击加载下，由于材料的泊松效应导致试件在侧向也具有一定的变形速率，利用此套实验系统可以有效地分析材料在3个维度方向的变形特性和动态泊松效应。
2. 混凝土材料C30的“三维Hopkinson压杆”实验
2.1 实验方案
实验中采用的C30混凝土，主要由水、水泥、标准砂、粗骨料以一定配合比制得。实验过程主要由三轴静载应力(σx≠σy≠σz)的施加和X方向冲击加载2个阶段组成。首先采用液压伺服控制对C30混凝土试件同步施加无静载、双轴静载，以及三轴静载等3种应力状态的静载值，再利用气炮驱动子弹，在X方向进行真三轴静载下的分离式Hopkinson压杆实验。通过6根杆上的应变片，适时记录冲击过程中的应变波形。
2.2 实验波形分析
真三轴静载下的动态实验实测到的原始波形如图 2所示。X冲击方向的3个波满足常规的SHPB实验的基本假定；Y方向的2个波和Z方向的2个波均具有较好的一致性。
图 2 在静载[15 MPa, 6 MPa, 10 MPa]、冲击速度13.2m/s下6根杆上的典型信号Figure 2. Recorded wave profiles in six bars under [15 MPa, 6 MPa, 10 MPa] triaxial static load and impact velocity 13.2 m/s如图 3所示，入射波形卸载后的基线并非为零，而是实验第1阶段施加的静载(30、45、60 MPa)。在实验的第2阶段之初，即冲击加载过程，X杆上的载荷又叠加上与打击杆速度成正比的冲击载荷，与此同时，方杆的端部与反力支架已经脱开；之后的冲击卸载过程，其起始点为D，由于方杆端部已不受反力支架约束，其终止点应该是A，而不是E。之后则由于反力支架的弹簧作用，最初施加的静载又开始作用，这主要表现在图 3中从点A到点B到点C，逐渐向基线靠拢。
图 3 不同静载、冲击速度19 m/s下X轴的入射波波形Figure 3. Incident waveform of X-axis under different static loads and impact velocity 19 m/s2.3 应力应变关系
图 4为试件在X、Z轴加静载(30 MPa)，Y轴不加静载，且Y轴2根方杆不与试件接触下的动态应力应变关系。如图 4(a)所示，分离式Hopkinson杆动态加载的X轴应力随冲击速度的增大而增大，试件尚未破坏。当冲击速度达到14.23 m/s时，试件破坏失效。Z轴上受到试件泊松比的影响，也会产生一些信号，此应力值随着冲击速度的增大而不断提高。
图 4 试件在X、Z双轴静载[30 MPa, 0, 30 MPa]下的动态应力应变曲线Figure 4. Dynamical stress-strain curves of the specimen under X, Z biaxial static load [30 MPa, 0, 30 MPa]如图 5(a)所示，试件在传统的一维Hopkinson杆加载下(无三轴静载)，较低冲击速度(13.0 m/s)即可使试件破坏失稳。随着静载的应力状态由无静载到三轴静载(60 MPa)，X方向动态应力应变关系由线性段，而后发展到有较长的“塑性变形”阶段。这也表明：真三轴静载状态下材料的屈服阶段变得较复杂，这需要进一步描述。三轴静载下的样品在单轴施加冲击载荷，由于动态泊松效应，必然引起试件在Y、Z方向的变形。实验得到Y、Z方向的应力应变关系具有很好的重复性，如图 5(b)所示，这是由于Y和Z轴的静载力相等。当Y和Z轴的静载力不相等时，其对应的应力应变关系也会不一致。与传统的基于Hopkinson杆的主动围压实验不同的是此“三维Hopkinson杆”实验系统可以提供不同的静载条件，得到试件在3个方向上的动态应力应变关系，可以测试材料在动态加载下的各向异性特性。
图 5 试件在三轴静载[60 MPa, 60 MPa, 60 MPa]、单轴冲击(21.8 m/s)下的动态应力应变曲线Figure 5. Dynamical stress-strain curves of the specimen under triaxial static load [60 MPa, 60 MPa, 60 MPa] at the impact velocity of 21.8 m/s在无静载、双轴静载以及三轴静载等3种应力状态下，C30混凝土试样单轴冲击破坏的形貌如图 6所示。当无静载作用时，试件周围处于自由状态，冲击加载下混凝土发生较严重的碎裂, 如图 6(a)所示。当在X和Y方向对试件施加双向静载时，试件Z方向的2个面处于自由状态，当在X方向冲击加载试件时，试件的破坏呈现明显的层状剥离的现象，碎块剥离的层面与Z轴垂直，如图 6(b)所示。这种层状剥离破坏面的存在揭示出试件破坏模式对应力状态的依赖性，即破裂面一般垂直于最小主应力的方向，这与高地应力区域岩芯饼状碎裂的机制相同，可为岩爆的模拟[13-14]提供一种新的物理模拟方法。当在试件的3个方向都施加一定的真三轴静载时，试件在受单向冲击力的作用下一般不会产生明显的破坏，如图 6(c)所示。由于试样各个面都受到限制，其失效发生在材料的内部，如图 6(c)中的白色条带。一般情况下，试件在三轴静载状态(σx=σy=σz)下很难冲击破坏，可以通过改变冲击前的三轴应力状态，例如减小其中某一个方向上的应力以增加剪切应力，然后再进行冲击，可使试件产生明显的破坏特征。
图 6 `不同实验条件下混凝土试样破坏形态Figure 6. Failure patterns of concrete specimens under different lateral confinement conditions3. 结论
本文介绍了一种“三维Hopkinson杆”实验系统，通过此系统可以研究混凝土、岩石类材料在不同真三轴静载条件下的动态压缩性能。实验分析了不同静载条件下C30混凝土3个方向上的动态应力应变关系。此实验系统为研究动态载荷作用下材料的各向异性特性提供了一种有效的实验技术。
参加本文实验工作的还有研究生施春英、单俊芳、张鸣、周李姜；调试过程得到了洛阳利维科技公司的大力协助, 在此谨表谢意！ -
图 2 Tersoff势下角频率与波数的关系
Figure 2. Relationship between angular frequency and wavenumber under Tersoff potential
图 3 含缺陷的Tersoff势下角频率与波数的关系
Figure 3. Relationship between angular frequency and wavenumber under Tersoff potential with defects
图 4 碳晶格中势力与晶格间距的关系
Figure 4. Relationship between force and lattice spacing in carbon lattices
图 5 不同势作用下碳晶格中波的传播特性
Figure 5. Propagation characteristics of waves in carbon lattice under different potentials
图 6 压缩和拉伸过程中波形的对比
Figure 6. Comparison of waveforms during compression and stretching processes
图 7 含缺陷时压缩和拉伸过程中波形的对比
Figure 7. Comparison of waveforms during compression and stretching processes with defects
图 8 C晶格和Si晶格中波的传播特性
Figure 8. Propagation characteristics of waves in carbon lattice and silicon lattice
图 10 金刚石和碳化硅的分子动力学模型
Figure 10. Molecular dynamics models of diamond and silicon carbide
图 13 压缩和拉伸过程中金刚石中的波传播特性
Figure 13. Wave propagation characteristics of diamond during compression and stretching processes
图 14 金刚石与碳化硅中波传播过程的对比
Figure 14. Comparison of wave propagation processes in diamond and silicon carbide
图 15 多晶体系中入射速度对波传播的影响
Figure 15. Influences of incident velocity on wave propagation in polycrystalline systems
共价键种类 m1 γ λ3/Å–1 C d cosθ0 n1 C―C 3.0 1.0 0 38 049 4.348 4 –0.570 58 0.727 51 Si―Si 3.0 1.0 0 100 390 16.217 0 –0.598 25 0.787 34 共价键种类 β λ2/Å–1 B/eV R/Å D/Å λ1/Å–1 A1/eV C―C 1.572 4×10–7 2.211 90 346.70 1.95 0.15 3.487 9 1 393.6 Si―Si 1.100 0×10–6 1.732 22 471.18 2.85 0.15 2.479 9 1 830.8 
下载: 导出CSV
表 2 2种晶格在平衡位置处的参数
Table 2. Parameters of two types of lattices at equilibrium positions
原子种类 摩尔质量/(g·mol−1) 平衡距离/Å 晶格常数/Å C 12 1.54 3.57 Si 28 2.35 5.43
下载: 导出CSV
-
[1] 徐松林, 刘永贵, 席道瑛. 岩石物理与动力学原理 [M]. 北京: 科学出版社, 2019: 1–21.XU S L, LIU Y G, XI D Y. Rock physics and dynamics principle [M]. Beijing: Science Press, 2019: 1–21. [2] 王礼立. 应力波基础 [M]. 2版. 北京: 国防工业出版社, 2005: 1–28.WANG L L. Foundation of stress waves [M] 2nd ed. Beijing: National Defense Industry Press, 2005: 1–28. [3] 袁良柱, 陆建华, 苗春贺, 等. 基于分数阶模型的牡蛎壳动力学特性研究 [J]. 爆炸与冲击, 2023, 43(1): 011101. DOI: 10.11883/bzycj-2022-0318.YUAN L Z, LU J H, MIAO C H, et al. Dynamic properties of oyster shells based on a fractional-order model [J]. Explosion and Shock Waves, 2023, 43(1): 011101. DOI: 10.11883/bzycj-2022-0318. [4] 袁良柱, 苗春贺, 单俊芳, 等. 冲击下混凝土试样应变率效应和惯性效应探讨 [J]. 爆炸与冲击, 2022, 42(1): 013101. DOI: 10.11883/bzycj-2021-0114.YUAN L Z, MIAO C H, SHAN J F, et al. On strain-rate and inertia effects of concrete samples under impact [J]. Explosion and Shock Waves, 2022, 42(1): 013101. DOI: 10.11883/bzycj-2021-0114. [5] CHEN M D, XU S L, YUAN L Z, et al. Influence of stress state on dynamic behaviors of concrete under true triaxial confinements [J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2023, 253: 108399. DOI: 10.2139/ssrn.4332010. [6] JANG S, RABBANI M, OGRINC A L, et al. Tribochemistry of diamond-like carbon: interplay between hydrogen content in the film and oxidative gas in the environment [J]. ACS Applied Materials & Interfaces, 2023, 15(31): 37997–38007. DOI: 10.1021/acsami.3c05316. [7] HU L F, ZHAI X Y, LI J G, et al. Improving the mechanical properties and tribological behavior of sulfobetaine polyurethane based on hydrophobic chains to be applied as artificial meniscus [J]. ACS Applied Materials & Interfaces, 2023, 15(25): 29801–29812. DOI: 10.1021/acsami.3c02940. [8] WANG D Y, WANG P F, WU Y F, et al. Temperature and rate-dependent plastic deformation mechanism of carbon nanotube fiber: experiments and modeling [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2023, 173: 105241. DOI: 10.1016/j.jmps.2023.105241. [9] 薛晓. 碳纳米管纤维的动静态力学性能研究 [D]. 合肥: 中国科学技术大学, 2020: 53–61. DOI: 10.27517/d.cnki.gzkju.2020.000565.XUE X. Investigation of dynamic and quasi-static mechanical properties of carbon nanotube fibers [D]. Hefei: University of Science and Technology of China, 2020: 53–61. DOI: 10.27517/d.cnki.gzkju.2020.000565. [10] MACHADO M, MOREIRA P, FLORES P, et al. Compliant contact force models in multibody dynamics: evolution of the Hertz contact theory [J]. Mechanism and Machine Theory, 2012, 53: 99–121. DOI: 10.1016/j.mechmachtheory.2012.02.010. [11] BORODICH F M. The Hertz-type and adhesive contact problems for depth-sensing indentation [J]. Advances in Applied Mechanics, 2014, 47: 225–366. DOI: 10.1016/b978-0-12-800130-1.00003-5. [12] YANG F, XIE W H, MENG S H. Impact and blast performance enhancement in bio-inspired helicoidal structures: a numerical study [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2020, 142: 104025. DOI: 10.1016/j.jmps.2020.104025. [13] PENG Q, LIU X M, WEI Y G. Elastic impact of sphere on large plate [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2021, 156: 104604. DOI: 10.1016/j.jmps.2021.104604. [14] TANG X, YANG J. Wave propagation in granular material: what is the role of particle shape? [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2021, 157: 104605. DOI: 10.1016/j.jmps.2021.104605. [15] ALBERDI R, ROBBINS J, WALSH T, et al. Exploring wave propagation in heterogeneous metastructures using the relaxed micromorphic model [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2021, 155: 104540. DOI: 10.1016/j.jmps.2021.104540. [16] WAYMEL R F, WANG E, AWASTHI A, et al. Propagation and dissipation of elasto-plastic stress waves in two dimensional ordered granular media [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2018, 120: 117–131. DOI: 10.1016/j.jmps.2017.11.007. [17] LI S F, WANG G. Introduction to micromechanics and nanomechanics [M]. Singapore: World Scientific Publishing Co. Pre. Ltd., 2008. [18] ZUNDEL L, MALONE K, CERDÁN L, et al. Lattice resonances for thermoplasmonics [J]. ACS Photonics, 2023, 10(1): 274–282. DOI: 10.1021/acsphotonics.2c01610. [19] CERDÁN L, ZUNDEL L, MANJAVACAS A. Chiral lattice resonances in 2.5-dimensional periodic arrays with achiral unit cells [J]. ACS Photonics, 2023, 10(6): 1925–1935. DOI: 10.1021/acsphotonics.3c00369. [20] HU Y G, LIEW K M, WANG Q, et al. Nonlocal shell model for elastic wave propagation in single-and double-walled carbon nanotubes [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2008, 56(12): 3475–3485. DOI: 10.1016/j.jmps.2008.08.010. [21] AGARWAL G, VALISETTY R R, DONGARE A M. Shock wave compression behavior and dislocation density evolution in Al microstructures at the atomic scales and the mesoscales [J]. International Journal of Plasticity, 2020, 128: 102678. DOI: 10.1016/j.ijplas.2020.1026. [22] SAM A, ÁLVAREZ M B, VENEGAS R, et al. Multiscale acoustic properties of nanoporous materials: from microscopic dynamics to mechanics and wave propagation [J]. The Journal of Physical Chemistry C, 2023, 127(15): 7471–7483. DOI: 10.1021/acs.jpcc.3c00060. [23] 薛定谔. 薛定谔讲演录 [M]. 2版. 范岱年, 胡新和, 译. 北京: 北京大学出版社, 2019: 7–8.SCHRÖDINGER E. Lectures of Schrödinger [M]. 2nd ed. Translated by FAN D N, HU X H. Beijing: Peking University Press, 2019: 7–8. [24] TOLOS L, CENTELLES M, RAMOS A. The equation of state for the nucleonic and hyperonic core of neutron stars [J]. Publications of the Astronomical Society of Australia, 2017, 34: e065. DOI: 10.1017/pasa.2017.60. [25] AARABI M, SARKA J, PANDEY A, et al. Quantum dynamical investigation of dihydrogen-hydride exchange in a transition-metal polyhydride complex [J]. The Journal of Physical Chemistry A, 2023, 127(31): 6385–6399. DOI: 10.1021/acs.jpca.3c01863. [26] HO W W, CHOI S. Exact emergent quantum state designs from quantum chaotic dynamics [J]. Physical Review Letters, 2022, 128(6): 060601. DOI: 10.1103/PhysRevLett.128.060601. [27] 黄昆. 固体物理学 [M]. 北京: 人民教育出版社, 1966: 35–43. [28] 王礼立, 胡时胜, 杨黎明, 等. 材料动力学 [M]. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 2017: 33–158. [29] BRENNER D W. Tersoff-type potentials for carbon, hydrogen and oxygen [J]. MRS Online Proceedings Library (OPL), 1988, 141: 59. DOI: 10.1557/proc-141-59. [30] TERSOFF J. Modeling solid-state chemistry: interatomic potentials for multicomponent systems [J]. Physical Review B, 1989, 39(8): 5566. DOI: 10.1103/PhysRevB.39.5566. -
下载:
计量
- 文章访问数: 611
- HTML全文浏览量: 267
- PDF下载量: 112
- 被引次数: 0