分离式霍普金森压杆（split Hopkinson pressure bar，SHPB）是当前材料动态压缩性能试验的核心装置之一。利用SHPB试验获取材料的一维动态应力-应变曲线，进而获得材料强度的应变率效应与动态应力-应变关系，是材料动态本构方程建立的重要环节。SHPB试验建立在平面波假设和应力均匀性假设的基础上，理论上讲，满足这2个假设，SHPB试验就能得到试件准确的应力-应变曲线。满足平面波假设，确保了试件的唯象工程应力-应变曲线是一维的、准确的；满足应力均匀性假设，保障了试件的唯象工程应力-应变曲线（简称试件的应力-应变曲线）与试件材料的工程应力-应变曲线（简称材料的应力-应变曲线）是相同的。其中，平面波假设是包含准静态试验的单轴压缩试验必须遵守的前提，然而，SHPB试验过程中，试件两端面摩擦效应^[1-2]、杆与试件共轴问题^[3-4]、端面接触不良^[5-6]、杆中弹性波传播的弥散效应^[7-10]、试件横向惯性效应^[11]等因素破坏了平面波假设，影响了试验的准确性；这些问题无法避免，只能通过技术与算法改进的方法优化完善。更严重的是，在基于应力波传播与演化理论的SHPB试验中，试件的应力-应变曲线是材料的应力-应变曲线与试件中应力波效应（结构效应）耦合的结果，应力均匀性假设本身就不成立，它是为了避免复杂的应力波解耦分析和简化数据处理方法而人为设定的。即使满足或近似满足2个基本假设，也只表示试验中的应力-应变曲线是试件材料的动态应力-应变曲线，若考虑材料在某个应变率下的应力-应变关系，还需满足恒应变率假设，即加载阶段的某个时间区间内应变率保持或近似保持恒定。恒应变率问题是一个复杂的试验技术问题，一般可以通过整形片等技术来进行波形调节或利用算法进行校正，它不是本文的研究重点，不做深入分析。

一般而言，SHPB试验中，材料的弹性阶段不在试件的近似应力均匀区间内，相应的弹性应力-应变曲线被认为是不准确的，然而有必要对试件弹性压缩阶段的应力波效应进行解耦分析。原因有三：首先，理论上满足应力均匀性假设是准确的，但也没有证据表明不满足应力均匀性假设是不准确的，部分学者在拟合材料本构方程或研究材料的黏性效应时，分析弹性阶段的应力-应变曲线，考察其动态杨氏模量^[12-14]和黏弹性特征^[15-17]；其次，研究材料的动态屈服强度率效应是SHPB试验的核心任务之一，而动态屈服强度处于弹性阶段到塑性阶段的转折区，弹性阶段应力波效应的定量分析是准确确定材料动态屈服强度的重要支撑；最后，在工程应力-应变曲线的转换算法中，一般需要预先给出材料的弹性屈服应变才能转换塑性阶段的曲线，在准静态试验中，弹性屈服应变很小，可以不加区分直接转换，但在SHPB试验中，很多情况下试件的唯象弹性屈服应变明显大于材料的实际屈服应变，直接转换的误差极大。

特定的杆系统中，在平面波假设的前提下，影响应力波效应的主要因素有杆与试件横截面的面积比、试件的长度、试件材料的杨氏模量与密度等，其中杨氏模量与密度以声速和波阻抗以组合的形式对应力波效应产生影响，也就是说主要影响因素有面积比、试件长度、声速与波阻抗。理论上，试件长度越大、声速越小、广义波阻抗越大（但应小于杆的广义波阻抗）都会放大应力波效应，从而不利于试件的应力均匀性。本文中，在平面波假设和广义波阻抗理论的基础上，对试件弹性压缩阶段的应力波效应开展定量理论分析，研究杆与试件面积不匹配以及应力波效应时试件与材料的应力-应变曲线差异，以及应力波效应影响这种偏差的机理，揭示面积比对试件的应力-应变曲线的影响，以期从试件的应力-应变曲线中解耦出材料的应力-应变曲线，为SHPB试验的精细化设计和试验数据的准确处理提供理论参考。

1.   基于广义波阻抗假设的一维弹性波透反射行为

SHPB中，设杆的直径D为14.5 mm，截面积为${A_{\text{b}}}$，材料密度${\rho _{\text{b}}}$为7.83 g/cm³，材料的杨氏模量${E_{\text{b}}}$为210 GPa，声速为${c_{\text{b}}}$；试件的直径为d，截面积为${A_{\text{s}}}$，长度${l_{\text{s}}}$为3 mm，材料密度${\rho _{\text{s}}}$为7.83 g/cm³，材料杨氏模量${E_{\text{s}}}$为210 GPa，声速为${c_{\text{s}}}$，如图1所示。本文中，只考虑应力不均匀的影响与校正，不考虑弥散效应，因而设杆与试件材料的泊松比均为零。设置杆和试件的初始状态为静止松弛状态，即图2中状态点0、1和1'对应的应力${\sigma _0}$、${\sigma _1}$和${\sigma _{1'}}$均为零，初始时刻，一个强度为$\mathrm{\text{δ}}\sigma$的压缩增量波到达界面A，根据广义波阻抗假设，该入射波在界面A上会同时产生反射和透射，反射波${\left[ \sigma \right]_{0\sim 2'}}$与透射波${\left[ \sigma \right]_{1\sim 2}}$的强度分别为：

图  1  杆与试件的接触区间

Figure  1.  Contact zone between rod and specimen

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图  2  初始时刻单增量波入射对应的物理平面示意图

Figure  2.  Physical plane diagram corresponding to the initial moment of single incremental wave incidence

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式中：${\sigma _2}$为图2中状态点2的应力，其他类似。广义波阻抗比k为：

透射波${\left[ \sigma \right]_{1\sim 2}}$到达界面B的反射波强度为：

类似地，可以计算图2中不同波的强度。叠加计算后，图2中状态点n₁的应力为：

基于时间t，定义无量纲时间：

式中：$\overline{t}$为无量纲时间，表示弹性波在试件中往返运动的次数；${t_0}$为弹性波在试件中往返一次所需的时间。

以$\text{δ} \sigma$到达界面A为初始时刻，可以给出$\bar t$时刻试件左端（${\sigma _{\text{l}}}$）与右端（${\sigma _{\text{r}}}$）的应力：

式中：$\left\langle {\bar t} \right\rangle$表示取数$\bar t$的整数部分。

根据波阵面上的运动方程，图2中试件各反射波波阵面速度的增量为：

式中：${v_{{\text{2}}{n_1}}}$为图2中状态点2n₁的反射波波阵面速度，其他类似。图2中，不同时刻试件左端（${v_{\text{l}}}$）与右端（${v_{\text{r}}}$）的质点速度之差为：

简化后可得：

考虑到弹性阶段的变形量极小，可忽略工程应力-应变与真实应力-应变的差异，试件在不同时刻的应变率与应变分别为：

2.   试件两端面上的应力与试件应变率及应变的理论计算

设在初始时刻从界面A处入射一个强度为${\sigma _{\text{i}}}$的压缩波，如图3所示，时间波长为$t_\mathrm{i}$，加载应力曲线为${\sigma _{\text{i}}} = f\left( t \right)$。将入射波按极小时间步长$\text{δ} t$离散成一系列强度为$\text{δ} {\sigma _{\text{i}}}$的增量波，若入射波不是线性波，则$\text{δ} {\sigma _{\text{i}}} = {\sigma _{\text{i}}}\left( {\text{δ} t} \right)$不是恒值。当$\text{δ} t$无穷小时，入射波皆为光滑连续波。基于式（6），计算在加载阶段任意时刻（$t {\text{≤}} {t_{\text{i}}}$）试件左端面的应力。

图  3  非线性加载时入射杆中的入射波示意图

Figure  3.  Schematic diagram of nonlinear incident wave in incident rod

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若$\bar t {\text{＜}} 1$，则：

式中：j为变量。求和上限m可表示为：

若$1 {\text{≤}} \bar t {\text{＜}} 2$，则：

式中：

式(14)可进一步写为：

类似地，可以给出$n{\text{≤}} \bar t {\text{＜}} n + 1$（n为正整数）时，试件左端面的应力表达式：

若入射波应力函数为：

则试件左端面的应力可统一表示为：

对于试件右端面，当$\bar t {\text{＜}} 0.5$时，应力为：

当$0.5{\text{≤}} \bar t {\text{＜}} 1.5$时，应力为：

当$1.5 {\text{≤}} \bar t {\text{＜}} 2.5$时，应力为：

依此类推，可知当$n + 0.5 {\text{≤}}\bar t{\text{＜}} n + 1.5$时，应力为：

式(18)为入射波应力函数，则试件右端面的应力可统一表示为：

综合式(19)和(24)，入射杆中的反射波应力为：

透射杆中透射波应力为：

以线性上升入射加载情况（图4）为例，设入射波峰值应力为−100 MPa，加载宽度为10 mm，利用ABAQUS软件进行数值仿真。仿真模型中三杆共轴，且材料参数与第1节中参数相同，采用二维轴对称线性显式单元，网格尺寸为0.25 mm×0.25 mm，入射杆与透射杆长度均为1000 mm，加载时间宽度约36 μs。数值仿真过程中，虽然入射杆左端输入的入射波为图4所示波形，但在杆中传播过程中由于人工黏性使“尖锐”拐角部分成弧形，导致入射波斜率减小；且实际斜率越大，数值误差越大，导致输入的入射波与到达试件左端面的入射波差异较大。为了对比理论推导与数值仿真，理论计算中也采用仿真中入射杆试件端真实的入射波代替式(18)，计算杆中的反射波与透射波应力，理论计算与数值仿真的结果对比如图5所示，两者符合良好。数值仿真中，虽然假设杆材料无泊松比，但由于杆与试件面积不匹配，导致直径相对较大的反射杆中存在明显的应力波紊乱行为，反射波发生振荡；对于线弹性波传播的二维轴对称有限元计算，可以认为数值仿真结果是准确的。这也表明，基于一维弹性波理论与广义波阻抗假设的理论推导是正确的。

图  4  线性加载时入射杆中的入射波示意图

Figure  4.  Schematic diagram of linear loading incident waveform in incident rod

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图  5  理论计算与数值仿真的反射波与透射波应力对比

Figure  5.  Comparison of theoretical calculation and numerical simulation of reflected and transmitted waves

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根据式(19)和(24)，计算入射波加载阶段不同时刻试件轴向应力平均值：

和轴向应力差：

类似地，${n \mathord{\left/ {\vphantom {n 2}} \right. } 2} {\text{≤}} \bar t {\text{＜}} {{\left( {n + 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {n + 1} \right)} 2}} \right. } 2}$时，试件左端面的应变率为：

3.   入射波加载阶段试件工程应力-应变关系及其影响

若入射波为线性加载波（斜率为κ），即

则式(19)和(24)可表示为：

对应试件的轴向平均应力为：

式中：n₀为非负整数。

根据固体中的一维杆共轴撞击理论，不同撞击速度下，入射波上升沿的宽度（即加载段的斜率）不同，撞击速度越高，对应的斜率就越大。上升沿宽度分别为2、4、8、16和32 μs的5种线性增加入射波如图6所示。试件的默认截面积为杆截面积的1/2，其他参数与第1节相同，根据式（33），计算入射波斜率不同时试件的平均应力时程曲线，结果如图7所示。可以发现：在 n₀≤$\bar t$<n₀+0.5区间内，平均应力曲线是光滑的；当$\bar t$为0.5的整数倍时，曲线出现转折，特别是$\bar t$<1.0时，这种转折特别明显；而$\bar t$>1.0时，试件的轴向平均应力时程曲线相对光滑。

图  6  不同波长的线性入射波

Figure  6.  Incident waves with different wavelengths

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图  7  线性入射波斜率不同时试件的平均应力无量纲时程曲线

Figure  7.  Dimensionless time history curves of average stress in specimen at different slopes of incident wave

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根据式(31)～(32)，计算试件两端轴向应力差：

线性入射波斜率不同时，试件两端的应力差时程曲线如图8所示。可以看出：在线性入射波加载阶段，试件两端应力差在$\bar t$=0.5时达到最大，在$\bar t$=1.0时降到最小，之后小幅振荡；当$\bar t$>2.0时，试件两端的应力差近似为大于零的恒值，且线性入射波的斜率越大，该恒值就越大。由式(34)可知，当$\bar t$较大时，应力差可近似表示为：

图  8  线性入射波斜率不同时试件两端的应力差时程曲线

Figure  8.  Time history curves of stress difference at both ends of specimen at different slopes of incident wave

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即应力差的近似恒值与入射波斜率成正比。

定义试件两端轴向的相对应力差为应力不均匀度：

则可计算线性入射波斜率不同时试件两端的应力不均匀度：

计算结果如图9所示。可以看出：在广义波阻抗比相同的情况下，线性入射波斜率不同时，试件两端的应力不均匀度时程曲线近似重合，皆随着无量纲时间的增大而减小；因而，斜率较小的入射波由于弹性加载的无量纲时间较长，使得最终的应力不均匀度较小，当$\bar t$>2.0时，试件两端的应力不均匀度减小到0.2以下。

图  9  不同线性入射波斜率时试件两端的应力不均匀度时程曲线

Figure  9.  Time history curve of dimensionless stress difference in specimen at different slopes of incident wave

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根据式(29)，计算试件的应变率：

积分后，得到试件的应变：

根据式(38)～(39)，计算线性入射波斜率不同时试件的应变率时程曲线和应变时程曲线，结果如图10和11所示。

图  10  线性入射波斜率不同时试件的应变率时程曲线

Figure  10.  Time history curves of strain rate in specimen at different slopes of incident wave

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图  11  线性入射波斜率不同时试件的应变时程曲线

Figure  11.  Time history curves of strain in specimen at different slopes of incident wave

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特别地，当$\bar t$为0.5的整数倍，即$\bar t = 0.5n$（n为正整数）时，试件两端的平均轴向应力为：

对应的轴向工程应变为：

根据式(40)～(41)，计算试件工程的杨氏模量：

式中：$E_{\mathrm{s}}$为试件材料的杨氏模量。类似地，可以推导，$\bar t = 0.5n$时，对应点与零点的连线斜率即试件唯象的杨氏模量正好等于材料的杨氏模量。

以入射波上升沿宽度为8 μs为例，根据式(33)和(39)，计算试件的应力-应变曲线，并与仿真计算中所输入的线弹性材料应力-应变曲线作对比，如图12所示。可以看出，试件的应力-应变曲线虽然波动，但每当$\bar t = 0.5n$时，又回归到材料的应力-应变曲线上，与理论推导的结论完全一致。由式(41)可知，$\bar t = 0.5n$时，试件的应变与$\bar t$成正比，也就是说，随着时间的推移，相同时间内试件的应变逐渐变大，图12中试件应力-应变曲线的波动周期也逐渐增大。

图  12  入射波上升沿宽度为8 μs时试件与材料的应力-应变曲线

Figure  12.  Stress-strain curves of specimen and material with incident wave width of 8 μs

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图13显示了$\bar t = 0.5n$时，不同的入射波斜率对应的试件应力-应变点以及材料的应力-应变曲线。从图11和式（39）可以看出，随着入射波斜率的增大，相同时间内试件的应变成正比地增大，图13中应力-应变曲线的振荡周期也成正比地增加。

图  13  线性入射波斜率不同时试件的应力-应变曲线

Figure  13.  Stress-strain curve of specimen under different incident wave slopes

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定义任意时刻试件的应力偏离值（$\text{δ} \sigma \left( t \right)$）为试件的轴向平均应力（$\tilde \sigma$）与材料的理论应力（${\sigma ^*}$）之差：

将式(33)和(39)代入式(43)，则：

当试件的应力-应变曲线斜率与材料的杨氏模量相等时，该斜率偏离真实材料应力-应变曲线斜率最大，即

式中：$\tilde \sigma '$为平均应力对时间的导数，$\varepsilon '$为应变对时间的导数。展开式(45)，有：

将式(33)、(37)代入式(46)，可解得：

每个波动区间内，当$\bar t$满足式(47)时，式(45)成立。将式(47)代入式(43)，获得不同波动区间的最大应力偏离值：

从式(48)可以看出，随着入射波斜率的增大，或试件长度的增大，或杆与试件截面积比的增大，应力偏离值线性增大，且随着时间的推移，下一个波动区间的最大应力偏离值明显小于上一个波动区间，如图12 ～13所示。

以入射波上升沿宽度为8 μs且杆与试件截面积比为2为例，若杆与试件的材料相同，则式(48)可简化为：

结合式(47)和(49)可知：当$\bar t$>1.0时，试件的唯象应力-应变与试件材料的真实应力-应变2条曲线的最大偏差约2.1 MPa；当$\bar t$>2.0时，2条曲线的最大偏差小于0.24 MPa，图12中，此时试件的唯象应力-应变曲线与材料应力-应变曲线基本重合，说明试件的曲线相对准确。综合式(34)和图10可以发现，$\bar t$>2.0时，试件两端的应力差约为7.15 MPa，相对应力不均匀度为16.5%，应力波在试件中往返2次。因此，应力均匀性假设是试件弹性阶段应力-应变关系能相对准确测定的充分非必要条件。

一般地，对于特定的SHPB和试件材料，其截面积减小，广义波阻抗比k成正比地减小，弹性入射波的峰值也成比例地减小。图14显示了杆与试件的截面积比分别为2∶1、3∶1、4∶1和5∶1时，试件的唯象应力-应变曲线以及试件材料的实际应力-应变曲线。可以看出：截面积比不同时，试件的唯象应力-应变曲线均表现出“振荡-回归”趋势，且振荡幅度逐渐减小；截面积比越小，振荡周期时间越短，最大偏离值越小。这是因为，相同时刻，随着截面积比的减小，试件的应变也减小，如图15所示。

图  14  截面积比不同时试件与材料的应力-应变曲线

Figure  14.  Stress-strain curves of specimen and material with different area ratios

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图  15  截面积比不同时试件的应变时程曲线

Figure  15.  Time history curves of strain in specimen at different area ratios

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随着截面积比的增大，试件的唯象应变率特别是稳定阶段的应变率逐渐增大；截面积比小的试件达到应变率平台所需的时间更短，如图16所示。截面积比为2∶1、$\bar t$>2.0时，试件的应变率基本稳定在60 s⁻¹左右；而截面积比为5∶1、$\bar t$=6.0时，试件的应变率还未进入稳定区，约为148 s⁻¹。

图  16  截面积比不同时试件的应变率时程曲线

Figure  16.  Time history curves of strain rate in specimen at different area ratios

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对于试件两端的应力差，截面积比只影响它到达相对稳定区的时间；在稳定区，试件两端的应力差相同，约为3.6 MPa，如图17所示。随着截面积比的增大，应力差时程曲线的振荡幅度也逐渐增大。截面积比为2∶1时，最大应力差为4.8 MPa；截面积比为5∶1时，最大应力差为6.0 MPa。随着截面积比的增大，应力差到达稳定区的时间也逐渐加大。截面积比为2∶1时，应力差到达稳定区的无量纲时间为2.0；截面积比为5∶1时，应力差到达稳定区的无量纲时间超过6.0。相应地，截面积比为2∶1时，$\bar t$>2.0，试件的唯象应力-应变曲线与试件材料的应力-应变曲线基本重合；而截面积比为5∶1时，$\bar t$>6.0，2条曲线基本重合（图14）。

图  17  截面积比不同时试件两端的应力差时程曲线

Figure  17.  Time history curves of stress difference at both ends of specimen at different area ratios

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4.   非线性入射波时试件的工程应力-应变关系

实际SHPB试验中，入射波中的加载并不是理想的单线性加载，而是如图18所示的形式。将图18简化为双线性形式，从线性交点处分别取1个单位长度进行弧形光滑过渡处理，第1个线性加载宽度为4 μs、峰值应力为10 MPa；第2个线性加载宽度分别为2、4、8、16和32 μs，峰值应力为100 MPa。图19为第2个线性加载宽度为8 μs时试件的轴向平均应力与应变时程曲线，可以看出，2条曲线的变化趋势与入射波相同，最大弹性应变约为0.0008，最大应力约为186 MPa。

图  18  实际弹性加载曲线示意图

Figure  18.  Simplified schematic diagram of actual elastic loading curve

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图  19  试件的轴向平均应力和应变时程曲线

Figure  19.  Time history curves of stress-strain under bilinear incident wave and comparison with single linear

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对于近似双线性的入射波，试件的应力差（图20）可划分为2个阶段。在第1阶段，由于入射波斜率较小，应力差的振荡幅度也较小，$\bar t$>1.0后，基本稳定；在第2阶段，应力差与入射波的斜率相关，其变化趋势与单线性入射时一致。可以看出，这2个阶段没有明显的耦合关系，可以独立分析。

图  20  双线性入射时试件两端的应力差时程曲线

Figure  20.  Time history curves of stress difference at both ends of specimen under bilinear incident

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图21为双线性入射时试件的唯象应力-应变曲线，其变化趋势与图20的应力差时程曲线一致，可划分为2个阶段。在第1阶段，应力与应变线性相关；在第2阶段，应力-应变曲线特征与单线性入射时基本一致。2个阶段无相互影响，这说明若入射波可等效为多段线性波的组合，且每一段的作用时间足以使试件的应力差到达恒定区，则对应的试件唯象工程应力-应变关系是相对准确的。

图  21  斜率不同双线性入射时试件的唯象应力-应变曲线

Figure  21.  Phenomenological stress-strain curves of specimen at different slopes of bilinear incident wave

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5.   结　论

针对SHPB试验中试件弹性阶段的应力-应变问题，忽略杆与试件端面的摩擦以及面积不匹配导致的应力紊乱，基于一维波的广义波阻抗假设，对试件与杆不匹配时试件弹性压缩阶段应力波传播导致的结构效应开展了定量的理论分析，揭示了杆与试件截面积比对弹性阶段内试件唯象工程应力-应变曲线的影响，得到的主要结论如下。

(1)基于广义波阻抗在界面上的平衡和连续条件，考虑杆与试件面积不匹配的情况，推导了任意应力波入射时在一维弹性波透反射作用下试件两端的应力、透反射应力波以及试件的唯象应变率，并开展了对应的数值仿真研究，理论推导与数值仿真的结果基本一致。

(2)以线性入射加载波为例，推导了试件的平均轴向应力、轴向应力差、试件唯象工程应变率与应变等关键参量，分析了试件的唯象工程应力-应变曲线与实际材料应力-应变曲线的差异。当无量纲时间为0.5的倍数时，即使其他参数变化，试件的唯象工程应力-应变曲线与材料实际的应力-应变曲线对应相等。

(3)杆与试件截面积不匹配的情况下，对于单线性入射波，即使试件两端的应力差较大，若应力差的变化趋于稳定，则试件唯象与材料实际的应力-应变曲线差异较小，试件的唯象工程应力-应变曲线相对准确。对于多线性组合的入射波，若每一段的应力差都能到达恒定区，对应的试件唯象工程应力-应变曲线相对准确；若在加载区间内，应力差不能到达恒定区，则试件的唯象工程应力-应变曲线存在一定偏差。