Robust explicit computational strategies based on penalty method for large-deformation impact problems
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摘要: 为了提高基于罚函数法的显式有限元对大变形接触-碰撞问题仿真的精确性和健壮性，基于前增量位移中心差分方法，发展了一种新的大变形接触非侵入算法。将动力方程求解步分解为不考虑接触的预估步和考虑接触的修正步，在当前时刻，采用罚函数法施加接触惩罚力，使其满足非侵入条件，从而提高显式接触计算的精确性；在仅能获得下一时刻位移的情况下，为了精确计算下一时刻的大变形内力，基于任意参考构型大变形理论，将动力学方程内力项映射到已知的参考构型求解，避免使用相关物理量的中间构型近似值，从而降低由大变形计算引入的数值误差。更严格的几何非线性算法以及接触算法可有效抑制实体间的非物理穿透和大变形碰撞过程中的单元畸变，提高计算程序的健壮性。对典型碰撞及侵彻算例进行仿真，并与商业软件的结果进行对比，验证了所发展的大变形接触-碰撞显式算法的正确性，并证明了在高速大变形碰撞仿真方面，当前接触-碰撞显式算法比基于蛙跳格式中心差分和罚函数法的经典接触-碰撞算法更加健壮。Abstract: To improve the accuracy and robustness of the explicit finite element algorithm based on penalty method for simulating large deformation impact-contact problem, a new large-deformation non-penetration contact algorithm based on forward incremental displacement central difference (FIDCD) is developed. On the one hand, according to FIDCD, the solving step of the dynamic equation is decomposed into an estimated step without considering contact and a correction step considering contact constraint. At the current moment, a contact force is applied through the penalty method to make the deformation of entities satisfy the non-penetration condition. The contact force is calculated by a soft constraint penalty stiffness, which helps to maintain stability of contact localization. It refines the numerical accuracy of the explicit contact computation. On the other hand, to accurately calculate the large-deformation internal force of the next moment while only obtaining the displacement, the internal force term of the dynamic equation is mapped to a known configuration for solution based on the arbitrary reference configurations (ARC) theory. It avoids using the values of variables at intermediate configuration to approximate them, thereby improving the numerical accuracy of the large deformation computation. More rigorous contact algorithms and geometric nonlinear solution strategy can effectively suppress mesh distortion and non-physical penetration between entities during large-deformation impact simulation. This thus improves the robustness of the new explicit algorithm. Finally, the computational program written according to the new developed algorithm is applied to simulate several impact and penetration examples with different impact velocities. By comparing the simulation results with those obtained from commercial software, the correctness of the developed algorithm and computational program is verified. At the same time, it can also be proven that the algorithm proposed is more robust in simulating high-speed and large-deformation impact problems than the classical explicit impact-contact algorithm based on the frog jump center difference scheme combining with penalty method.
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电热化学发射技术使用等离子体发生器代替常规点火源，将电能转化为等离子体内能来点燃固体发射药。等离子体与固体发射药相互作用不仅能显著缩短发射药点火延迟时间[1-3]，还能消除发射药的温度效应[4]，提高燃速，从而有效提高炮口初速和动能[5]。常规发射通常使用指数燃速公式来描述发射药燃烧特性[6-7]，C.R.Woodley等[8-9]假定电热化学发射时注入的电能只用于增强发射药的内能，引入了电功率增强因子，给出了与输入电功率相关的发射药燃速公式。M.J.Taylor等[10]进一步研究了辐射、发射药侵蚀和电热裂解对燃速的影响，考虑了引起燃速增强的电功率阈值的影响。李海元等[11-12]、A.Brik等[13]利用改进的密闭爆发器对等离子体增强发射药燃速的特性进行了实验研究; 实验表明等离子体作用下，发射药燃气压力变化迅速，燃气压力梯度增大，点火和燃烧特性发生显著变化。因此，等离子体作用下燃气压力梯度对发射药燃速的影响不可忽略。
本文中，拟通过密闭爆发器实验得到燃气压力曲线，分析等离子体作用下固体发射药的燃烧特性。基于指数燃速公式，结合燃气压力梯度和电功率增强对发射药燃速的影响，得到等离子体作用下固体发射药的瞬态燃速公式。
1. 基本原理
1.1 实验装置
图 1所示为等离子体点火密闭爆发器实验装置结构示意图，主要由脉冲成形网络、底喷式等离子体发生器和密闭爆发器等组成。密闭爆发器为耐高压厚壁圆筒，其中一端装有底喷式等离子体发生器，其主体由聚乙烯毛细管组成，一端采用杆状封闭电极，另一端装有敞开式环状电极，通过爆炸丝将两端电极导通。脉冲成形网络由多个模块并联组成，能通过时序设置产生幅值、脉宽可调的脉冲电流。固体发射药试样由硝化棉纸包裹放置于密闭爆发器内。
图 1 等离子体点火密闭爆发器实验装置结构示意图Figure 1. Experimental setup of closed bomb with plasma igniter实验测试系统主要由传感器和数据采集设备组成。燃气压力采用Kistler6215压力传感器测量，发生器两端的电压和电流分别采用电阻分压器和Rogowski线圈测量。采用JV5200瞬态记录仪对脉冲电源和发生器的电参数以及密闭爆发器内的压力信号进行同步采集记录。
1.2 瞬态燃速理论模型
1.2.1 基本假设
忽略密闭爆发器内固体发射药试样燃烧过程中气相压力和温度随空间的变化，即假设任意时刻密闭爆发器内各位置的气相压力和温度均相同。
固体发射药试样燃烧过程满足几何燃烧定律假设：(1)装药的所有颗粒具有均一的理化性质以及完全相同的几何形状和尺寸；(2)所有药粒表面同时着火；(3)所有药粒具有相同的燃烧环境。
由于气相与密闭爆发器壁面存在换热，需考虑试样燃烧过程中的热损失。本文中采用热损失因数修正发射药火药力的方式来计算发射药试样燃烧过程中的热损失。
1.2.2 气相状态方程
考虑点火药的影响，得到密闭爆发器内的气体状态方程[14]：
p{V0−mρp[1−ψ(t)]−αmψ(t)−αigmig(t)}=T[Rmψ(t)+Rigmig(t)] (1) 式中:p为燃气压力，Pa；V0为密闭爆发器容积，m3；m为装药质量，kg；ρp为固体发射药密度，kg/m3；ψ (t)为t时刻发射药已燃体积分数；α为余容，m3/kg；αig为点火药余容，m3/kg；mig(t)为t时刻已燃点火药质量，kg；T为混合气体温度，K；R为发射药燃气气体常数，J/(mol·K)；Rig为点火药燃气气体常数，J/(mol·K)。
1.2.3 气相能量守恒方程
气相能量守恒方程[14]为：
(1−c1)fmψ(t)+figmig(t)+(κ−1)cplEpl(t)=T[Rmψ(t)+Rigmig(t)] (2) 式中:cl为热损失因数；f为发射药火药力，J/kg；fig为点火药火药力，J/kg；κ为燃气比热比；cpl为密闭爆发器中输入等离子体电能的利用率；Epl(t)为t时刻输入等离子体发生器的电能，J。
式(2)通用于常规点火和等离子体点火。常规点火时，Epl(t)=0；等离子体点火时，mig(t)=0。
1.2.4 固体发射药瞬态燃速公式
根据Vieille定律，常规点火时固体发射药燃速公式通常采用指数形式[14]：
u=u1pn1 (3) 式中:u1为燃速系数，n1为燃速指数。
C.R.Woodley等[8]在Vieille定律的基础上引入电功率增强因子，得到等离子体增强发射药燃速公式:
u=u1pn1(1+βePe) (4) 式中:βe为电功率增强因子，MW-1; Pe为输入发生器的电功率，MW。
等离子体点火时，在Woodley燃速公式的基础上，加入燃气压力梯度对发射药燃速的影响[15]，得到等离子体作用下固体发射药瞬态燃速公式：
u=u1pn1[1+A(t)n1u21p2n1+1dpdt](1+βePe) (5) 式中:A(t)为发射药燃烧过程中与压力及火焰结构有关的时间函数。
1.2.5 相关系数处理方法
由气体状态方程和能量守恒方程可知：
p{V0−mρp[1−ψ(t)]−αmψ(t)−αigmig(t)}=(1−c1)fmψ(t)+figmig(t)+(κ−1)cplEpl(t) (6) 首先，通过常规点火实验确定热损失因数。常规点火时, Epl(t)=0。发射药试样完全燃完时刻有：ψ(t) =1, p=pm, pm为实验测得的最高燃气压力。由此可求出发射药燃烧过程中的热损失因数：
c1=1+figmig(t)fm−pmf[V0m−α−mig(t)mαig] (7) 其次，通过等离子体点火实验确定电能利用率。等离子体点火时，mig(t)=0。同样发射药试样完全燃完时刻有:ψ(t) =1, p=pm。假定等离子体点火时热损失因数未发生变化，进一步求出等离子体点火过程中的电能利用率：
cpl=pm(V0−αm)−(1−c1)fm(κ−1)Epl(t) (8) 1.2.6 拟合精度
采用均方误差σ来衡量模拟压力曲线与实验压力曲线间的误差：
σ=√n∑i=1[ps(i)−pt(i)]2n (9) 式中:n为压力曲线上选取不同时刻的点数；ps(i)、pt(i)分别为同一时刻模拟和实验测得的压力。
2. 实验结果与分析
对4/7高固体发射药试样进行了2发常规点火和3发等离子体点火密闭爆发器实验。其中密闭爆发器容积为145 cm3，装药量为36.1 g; 实验中采用单个模块放电，电容约为1 300 μF，电感为40 μH。实验参数与结果如表 1所示，其中第3、4发实验发射药置于密闭爆发器中间，第5发实验发射药置于发生器出口处。表 1中, Uc为电容器放电电压；tig为发射药点火延迟时间(定义为爆发器内压力达到20 MPa的时刻)；tend为发射药完全燃完时刻，即爆发器内压力达到峰值pm对应的时刻。
表 1 实验参数和结果Table 1. Experimental parameters and results编号 点火方式 Uc/kV tig/ms tend/ms pm/MPa 实验1 2号电点火 1.604 5.05 298 实验2 2号电点火 1.673 4.95 300 实验3 等离子体点火 8.3 0.261 2.93 318 实验4 等离子体点火 10.0 0.197 2.44 319 实验5 等离子体点火 10.1 0.167 2.16 329 实验测得的膛内压力曲线如图 2所示，由图可知等离子体点火大大缩短了发射药试样的点火延迟时间和燃烧过程时间；同时，随着等离子体的注入，密闭爆发器内燃气压力不断增大。
实验测得的膛内压力梯度曲线如图 3所示，由图 3可知在发射药燃烧初始时刻，等离子体作用下的燃气压力梯度远大于常规点火，而且等离子体明显影响了燃气的压力梯度，随着发射药的燃烧，影响程度逐渐降低。
图 4所示为常规点火时实验和数值模拟得到的压力曲线，其中数值模拟压力曲线分别由指数燃速公式和瞬态燃速公式推得。对比可知，指数燃速公式和瞬态燃速公式均有较高的精确度；但是在发射药燃烧后期瞬态燃速公式与实验结果更吻合。
图 4 常规点火时实验与数值模拟压力曲线Figure 4. Experimental and simulated pressure-time curvesafter conventional ignition通过分析常规点火和等离子体点火实验相关数据，得到4/7高发射药的电功率增强因子为0.005 MW-1。图 5~7分别给出了第3、4和5发等离子体点火实验时压力与放电功率随时间变化的曲线，其中压力曲线分别通过实验测量、Woodley燃速公式和瞬态燃速公式所得。当加入电功率增强因子后，Woodley燃速公式和瞬态燃速公式得到的压力曲线均符合实验曲线。因此，拟合得到的电功率增强因子适用于4/7高发射药试样。
图 5 第3发实验的压力与输入电功率曲线Figure 5. Pressure-time and electric power-time curves for test 3
图 6 第4发实验的压力与输入电功率曲线Figure 6. Pressure-time and electric power-time curves for test 4
图 7 第5发实验的压力与输入电功率曲线Figure 7. Pressure-time and electric power-time curves for test 5结合图 3中的压力梯度曲线，分析等离子体输入过程中压力梯度与发射药位置和输入电功率的关系。对比第3、4发实验曲线可知，发射药处于相同位置时，早期燃气压力梯度峰值与输入电功率峰值成正比，且压力梯度变化趋势与输入电功率曲线相似。对比第4、5发实验曲线可知，在相似电功率下，缩短发生器与发射药距离提高了电能利用系数，从而增大了燃气压力梯度。因此，缩短等离子体与发射药距离，提高输入电功率均能获得更理想的等离子体增强效应。
对比图 5~7中各压力曲线可知，在燃烧中间段Woodley燃速公式所得压力曲线略低于实验压力曲线。其原因可能是Woodley燃速公式中仅考虑了等离子体注入期间的电增强效应，未考虑放电结束后的增强效应。因此，脉冲放电结束后Woodley燃速公式所得压力曲线与实验有偏差，而在瞬态燃速公式中通过压力梯度项考虑了放电结束后的燃速增强效应，提高了数值模拟精度。
进一步对比各燃速公式的拟合程度，计算得拟合的压力曲线的均方误差如表 2所示。由表 2可知，随着输入电功率的增加以及发生器与发射药间距的减小，Woodley燃速公式均方误差增大；瞬态燃速公式得到的压力均方误差小于Woodley燃速公式，且受到输入电能、电功率和发生器与发射药间距的影响更小。因此，瞬态燃速公式得到的膛压曲线与实验数据符合情况优于Woodley燃速公式，能更真实地反映等离子体作用下密闭爆发器内燃气压力的变化。
表 2 模拟压力曲线与实验压力曲线间的均方误差Table 2. Mean squared errors between simulated pressure curves and test ones编号 σ/MPa Woodley燃速公式 瞬态燃速公式 实验3 4.325 4.294 实验4 9.312 4.910 实验5 13.506 5.715 3. 结论
利用密闭爆发器实验，研究了等离子体增强4/7高固体发射药的燃速特性，实验表明等离子体作用下燃气压力梯度增大，燃速明显增强。根据实验数据，综合考虑燃气压力梯度和燃速增强因子的影响，拟合了4/7高固体发射药等离子体作用下的瞬态燃速公式，计算得到等离子体注入期间的燃速增强因子为0.005 MW-1。瞬态燃速公式与实验压力曲线符合程度比C.R.Woodley等[8]提出的燃速公式更高，能更精确描述固体发射药在等离子体作用下的燃烧过程。实验表明，在低装填密度时，缩短等离子体与发射药的距离和提高电功率均能获得更明显的等离子体增强效应。
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图 3 v0=350 m/s、t=100 μs时撞击杆中心截面等效塑性应变分布
Figure 3. Equivalent plastic strain distribution at the central section of the impact bar when v0=350 m/s, t=100 μs
图 4 v0=350 m/s时撞击杆上不同质点的速度历史与撞击杆动能演化曲线
Figure 4. Velocity histories of several material points and kinetic energy evolution curves of the impact bar when v0=350 m/s
图 5 v0=700 m/s工况下不同时刻撞击杆与靶体接触局部变形
Figure 5. Local deformation of the impact bar and the target at different times when v0=700 m/s
图 7 偏撞情况下不同时刻两杆的变形状态
Figure 7. Deformation configurations of two bars at different times under offset impact
图 8 偏撞情况下采用本文算法预测的28 μs时刻等效塑性应变分布
Figure 8. Equivalent plastic strain distribution at 28 μs under offset impact predicted by the present method
图 9 瞬态冲击格栅结构的初始状态
Figure 9. Initial configuration of transient impact grille structure problem
表 1 撞击杆与靶体材料参数
Table 1. Material parameters of impact bar and target
部件 ρ0/(kg·m−3) E/GPa ν σy/MPa 撞击杆 4400 256 0.2 860 靶体 7800 390 0.3 620 
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表 2 正撞情况下不同时刻两杆的变形状态
Table 2. Deformation configurations of two bars at different times under normal impact
时间/μs 变形状态 本文算法 LS-DYNA （SOFSCL取1.0，
SFS和SFM取1.0）LS-DYNA（SOFSCL取1.0，
SFS和SFM取10.0）10 
20 
30 
110 
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表 4 弹体外壳与格栅结构失效的材料参数
Table 4. Material parameters for failure description of projectile shell and grille structure
部件 D1 D2 D3 D4 D5 弹体外壳 −0.02 0.4 −1.96 0 0 格栅结构 −0.1 0.5 − 0.6141 0 0
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表 3 弹体外壳与格栅结构变形的材料参数
Table 3. Material parameters for deformation description of projectile shell and grille structure
部件 ρ0/(kg·m−3) E/GPa ν A/MPa B/MPa C n ˙ε0/s−1 弹体外壳 7800 210 0.3 1453 810 0.003 0.479 2×10−6 格栅结构 7800 210 0.3 706 648 0.013 0.58 2×10−6
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表 5 装药的材料参数
Table 5. Material parameters of charge
ρ0/(kg·m−3) E/GPa ν σy/MPa εf 1460 60 0.3 30 0.8
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