Experiment and simulation on high-pressure equation of state for concrete
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摘要: 为研究高压下混凝土冲击压缩特性以及确定HJC本构模型状态方程参数，采用
∅ 58 mm火炮加载技术和多普勒探针系统（Doppler probe system，DPS）测速技术，对抗压强度为26.5 MPa（C25）和42.1 MPa（C40）的混凝土进行反向平板撞击实验研究与数值模拟。DPS探针记录TU1无氧铜靶自由面粒子速度历史，根据一维应变弹塑性波理论，计算撞击压力，拟合得到2～11 GPa高压条件下混凝土波速与粒子速度（us-up）、压力与体积应变（p-μ）关系。实验结果表明：高压条件下，混凝土波速-粒子速度呈线性关系；两种初始密度、孔隙率相近，强度不同的混凝土波速-粒子速度、压力-体积应变关系存在明显差异，相同压力下，混凝土试件强度越高，体积应变越小。基于实验结果，确定了两种强度混凝土HJC本构模型状态方程参数，利用LS-DYNA动力有限元分析软件对平板撞击实验进行了数值模拟，靶板自由面粒子速度历史与实验曲线吻合较好，仿真结果表明混凝土中冲击波的追赶卸载现象仅存在于低速撞击条件下。Abstract: To study the dynamic compression characteristics of concrete under high hydrostatic pressure and to determine the equation of state parameters of the HJC constitutive model, inverse flyer-impact tests and numerical simulation analysis were conducted with two kinds of concrete flyers of which the compressive strengths were 26.5 MPa and 42.1 MPa, respectively. The concrete flyers were launched by∅ 58 mm gun against TU1 copper targets. The particle velocity histories of the TU1 copper target free surface were measured by DPS (Doppler probe system). Based on the one-dimensional strain shock wave theory, the impact pressure was calculated. The relationships of shock velocity vs. particle velocity and pressure vs. volume strain in the pressure range of 2−11 GPa were fitted. The results show that the relationship between shock velocity and particle velocity of concrete is linear. The relationships of shock velocity vs. particle velocity and pressure vs. volume strain for concretes with similar initial density and porosity but different compressive strengths are obviously different. Under the same pressure, the higher the compressive strength of concrete, the smaller the volume strain is. According to the test results, the equation of state parameters of the HJC constitutive model were determined and the plate-impact tests were simulated by LS-DYNA. The simulated particle velocity histories of the TU1 target free surface were in good agreement with the experimental results. The simulation results show that the phenomenon of chasing and unloading of shock waves in concrete only exists under low velocity impact conditions.-
Key words:
- concrete /
- flyer-impact /
- equation of state /
- HJC /
- oxygen free copper
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混凝土是一种脆性多孔材料，因其出色的抗压性能、低廉的造价，广泛应用于防护工事的建造中。在爆炸或高速侵彻、碰撞过程中，高压力荷载作用于混凝土局部区域，混凝土材料处于高静水压力状态。在这种状态下，材料的抗畸变能力（即剪切强度）可近似地忽略不计，此时，其本构关系简化成为静水压力p与体积应变μ之间的关系，混凝土可以视为无黏性的可压缩流体[1]。
Holmquist等[2]提出了基于大应变、高应变率、高压力的混凝土HJC（Holmquist-Johnson-Cook）本构模型，其状态方程表述为压力与体积应变的关系。其中，压实段p-μ关系修正为p-
ˉμ ，ˉμ 为压实的体积应变，压实段起点对应的压实密度来自Grady[3]混凝土材料，并以花岗岩和石英的冲击Hugoniot状态等效混凝土压实状态，拟合得到K1、K2、K3，该模型参数被广泛应用，但其用岩石类材料等效混凝土方法的准确性有待商榷。Gebbeken等[4-5]、Riedel等[6-7]、王永刚等[8]对不同强度混凝土材料开展平板撞击实验，得到了用于构建混凝土高压状态方程的冲击Hugoniot数据，通过对比，可发现不同强度混凝土其压力与密度关系不一致，材料强度是其状态方程的影响因素之一。此外，Grady等[9]开展了压力范围3～25 GPa的平板撞击实验，分析了Hugoniot应力与残余应变的关系，认为混凝土冲击压缩下的压力-体积关系与混凝土孔隙和强度有关；Kipp等[10]获得了两种骨料尺寸的混凝土在0.08～0.55 GPa低压力段的平板撞击实验数据，并拟合得到波速与粒子速度关系；Hall等[11]探究了密度接近、骨料尺寸ASTM编号分别为57和7的两种混凝土高压状态差异，发现骨料尺寸对实验中混凝土加载与卸载响应影响不大；Tsembelis等[12-13]通过平板撞击实验验证了不含骨料的水泥砂浆与含骨料的混凝土状态方程无明显差别，后将撞击压力提高至18 GPa，研究了水泥砂浆的剪应力强度和失效破坏。综上所述，静水压力为2 GPa以上的平板撞击实验数据较少；其次，多项实验结果验证了骨料对混凝土高压状态方程无明显影响，而不同抗压强度的混凝土状态方程存在明显差异，表明了混凝土高压下的体积压缩特性与其基体抵抗压缩的能力有关。当前，同时开展多个强度混凝土状态方程的实验研究极少，缺乏对混凝土状态方程强度相关性的作用机理的深入认识。
因此，本文中基于火炮发射技术，对实测抗压强度为26.5 MPa和42.1 MPa的混凝土开展一维应变条件下的反向平板撞击实验，压力范围为2～11 GPa，拟合出混凝土材料在该压力范围的波速与粒子速度（us-up）、压力-体积应变（p-μ）关系。对比以往实验研究结果，分析混凝土抗压强度对其一维应变条件下压缩特性的作用机理。依据孔隙率确定混凝土压实密度，确定了HJC模型高压段状态方程参数，通过反向平板撞击数值模拟与实验结果对比，验证模型参数的准确性，并讨论冲击波在混凝土材料中的传播特点。
1. 平板撞击实验
1.1 实验装置与试样
利用
∅ 58 mm的火炮驱动混凝土飞片以v0的初速度撞击TU1无氧铜靶板，撞击产生的平面冲击波传播至靶板自由面，造成自由面表面粒子速度变化，由安装在自由面后的多普勒探针系统（Doppler probe system，DPS）的探针探测并记录粒子速度变化，实验装置如图1所示，图2为DPS测速装置与靶室布置情况。撞击过后，由于飞片与靶板横截面尺寸远大于其厚度，质点微团相互约束，不能侧向移动，处于三向应力状态，近似为一维应变条件。测速装置DPS的时间分辨率为50 s−1，位移分辨率为0.5 μm，测速范围为0.1 m/s～9 km/s，测速误差不超过1%，可保证测速精准。根据实验需求，共布置7路DPS探针，探针1和探针2位于靶板中心；探针3～6沿以靶板中心为圆心、半径10 mm的圆周均匀分布，其测量数据可与探针1和探针2的数据对比，排除飞片骨料与基体不均匀性的影响，并且可根据探针3～6粒子速度变化的先后时间，计算飞片的碰靶角度；探针7距离靶板中心26 mm，用于测量飞片的碰靶速度。
为防止飞片与靶板侧向稀疏波对中心区域冲击波的干扰，保证冲击波是均匀的平面波，飞片与靶板宽厚比须大于2[14]。因此，混凝土飞片设计厚度为12 mm，直径50 mm，端面平行度在0.05 mm以内，表面平整度在0.02 mm以内，骨料的直径2～5 mm；混凝土飞片试件，如图3所示，飞片和弹托，如图4所示。靶板材料使用密度为8 930 kg/m3的TU1无氧铜，直径40 mm，厚度4 mm，实验前打磨去除金属氧化层，TU1无氧铜靶片见图5。
实验设计两种强度混凝土，由42.5R水泥、煤灰、中砂、细骨料按一定配比浇注而成，养护28 d。C25混凝土实测抗压强度为26.5 MPa，密度为2 201.7 kg/m3，孔隙率为14.59%；C40混凝土实测抗压强度为42.1 MPa，密度为2 176.8 kg/m3，孔隙率为15.73%。
为获得压力不低于2 GPa的混凝土状态数据，拟开展C25和C40混凝土飞片实验各4发，C25飞片拟发射速度分别为500、1 000、1 200、1 500 m/s，C40飞片拟发射速度分别为800、1 000、1 200、1 500 m/s。
1.2 实验原理
当飞片以v0的初速度撞击靶板后，压缩波从飞片与靶板撞击界面向两侧传播，波传播的X-t如图6所示。
由于冲击波在TU1无氧铜中的传播速度快，压缩波在t1时刻到达靶板自由面，引起表面粒子速度跳跃。同时，自由面向介质内部反射拉伸波，而拉伸波经撞击界面反射为压缩波于t2时刻再次传播至靶板自由面，粒子速度再次跳跃，DPS探针可记录到图7中2次压缩波到达自由面时间间隔（经估算约2.03 μs）内的粒子速度平台，其幅值大小为up1。
已知TU1无氧铜波速us1与粒子速度up1关系如下：
us1=cb+S1up1 (1) 式中：TU1无氧铜体波波速cb=3 940 m/s，其冲击波波速与粒子速度（us-up）关系斜率S1=1.489。
冲击波在TU1无氧铜靶板中的传播满足Hugoniot跳跃条件，可求得靶板中的冲击Hugoniot应力σH：
σH=ρ1cb(12up1)+ρ1S1(12up1)2 (2) 由于飞片与靶板撞击界面的连续性，σH同为飞片的Hugoniot应力。一维应变条件下，Hugoniot应力σH与静水压力p满足[15]：
σH=p+4τmax3 (3) 式中：τmax表示混凝土最大剪应力，远小于σH，可忽略不计。因此：
p≈σH (4) 在混凝土飞片中应用Hugoniot跳跃条件，可分别求得飞片中的波速us2与粒子速度up2：
us2=pρ0up2 (5) up2=v0−12up1 (6) Grady[9]、Gebbeken等[4-5]的实验结果表明，混凝土材料的冲击绝热关系可拟合为us=Sup+c形式，得到系数S和截距c。根据质量守恒和动量守恒方程，由下式：
p=ρ0ρc2(ρ−ρ0)[ρ(1−S)+Sρ0]2 (7) μ=ρρ0−1 (8) p=ρ0c2μ(1−μ)[(1−S)μ+1]2 (9) 即可计算实验中各个静水压力值p对应的密度ρ、体积应变μ。
1.3 实验结果与分析
每发实验均可获得6路DPS探针数据，图8为C40混凝土飞片以989 m/s的速度撞击TU1无氧铜靶板自由面粒子速度历史影像图，6路探针原始影响经图像算法处理得到图9所示靶板自由面粒子速度历史数据。为消除混凝土飞片不均性导致的数据误差，对各实验工况数据取6路探针数据的平均值如图10～11所示。取粒子速度第一平台段平均值为up1，依据式(1)～(6)计算Hugoniot应力σH、混凝土波速us和粒子速度up，表1为混凝土平板撞击实验数据处理结果。经测算，8组平板撞击实验最大碰靶角度为0.31°，可近似认为混凝土飞片与无氧铜靶板发生正撞击。
表 1 混凝土平板撞击实验数据Table 1. Flyer-impact test data of concrete编号 类别 v0/(m·s−1) up1/(m·s−1) up2/(m·s−1) us2/(m·s−1) σH/MPa C25v1017 C25 1017 343.9 845.0 3469.7 6450.4 C25v1259 C25 1259 441.0 1038.5 3682.8 8414.2 C25v1523 C25 1523 575.6 1235.2 4136.2 11240.0 C25v479 C25 479 112.6 422.7 2177.6 2025.1 C40v834 C40 834 276.3 695.8 3383.8 5121.2 C40v989 C40 989 355.5 811.3 3786.7 6681.6 C40v1279 C40 1279 476.1 1040.9 4037.4 9140.6 C40v1484 C40 1484 580.6 1193.7 4370.9 11348.0 
图 9 速度为989 m/s的C40混凝土飞片撞击TU1靶板的自由面粒子速度历史Figure 9. Particle velocity of TU1 free surface in C40 concrete flyer impact test at 989 m/s
图 10 C25混凝土飞片撞击TU1靶板自由面粒子速度历史Figure 10. Particle velocity of TU1 free surface in C25 concrete flyer impact tests
图 11 C40混凝土飞片撞击TU1靶板自由面粒子速度历史Figure 11. Particle velocity of TU1 free surface in C40 concrete flyer impact tests分别对C25和C40混凝土波速与粒子速度关系作线性拟合，如图12所示，C25拟合关系式为us=2.39(±0.27)up+1251.7(±254.7)，C40拟合关系式为us=1.82(±0.27)up+2194.3(±257.9)。由式(7)～(9)计算得到各个静水压力值p对应的密度ρ、体积应变μ，如图13～14所示。
图 12 混凝土波速-粒子速度（us-up）关系拟合Figure 12. Shock velocity and particle velocity linear fitting平板撞击实验结果表明，对于同一强度的混凝土试件，其密度、体积应变随着静水压力的升高而增大。微观上，在高静水压力作用下，材料分子或原子间距离缩小，造成微观尺度上极小的体积压缩；宏观上，混凝土是一种多孔脆性材料，由于孔隙分布的随机性，质点微团在复杂的应力状态下发生剪切断裂，孔隙塌陷，表现出密度、体积应变的显著变化。
此外，对比C25和C40混凝土压力体积应变关系发现，初始密度、孔隙率相近，强度不同混凝土压力与体积应变数据曲线是接近平行、区别明显的两条线，相同的静水压力p作用下，混凝土强度越高，体积应变越小。Grady[9]、Kipp等[10]、Hall等[11]已通过实验排除骨料对混凝土状态方程的影响，在初始密度、孔隙率接近的前提下，基体强度越高，质点微团发生剪切断裂需要达到的应力状态越高，孔隙塌陷越不完全，体积更难被压缩减小，因此体积应变更小。
2. HJC状态方程参数确定
如图15所示，混凝土状态方程反映了该材料在受压缩过程的压力与体积关系的变化，HJC模型中，混凝土状态方程分为3段，分别为弹性段、过渡段和压实段。根据平板撞击实验结果，重新确定HJC模型压实段参数pL、μL、K1、K2、K3。
HJC本构模型中，为获得不含常数项的压力与体积应变的三次多项式关系，压实段压力-体积应变（p-μ）关系修正为压力-压实的体积应变（p-
ˉμ ）关系。通过确定混凝的压实密度：ρg=ρ01−φ0 (10) 引入混凝土压实状态的体积应变：
μL=ρgρ0−1 (11) 得到μ与
ˉμ 的变换关系：¯μ=μ−μL1+μL (12) HJC模型指出，混凝的压实密度ρg为混凝土空隙完全塌陷状态的密度，其值的确定方法可依据混凝土孔隙率φ0得出。
采用孔隙率计算2种强度混凝土压实密度分别为：
ρg,C25=ρ0,C251−φ0,C25=2577.33kg/m3 (13) ρg,C40=ρ0,C401−φ0,C40=2583.07kg/m3 (14) 分别由C25和C40混凝土拟合的p-μ关系与式(10)～(14)确定p-
ˉμ 的三次多项式系数，p-μ曲线与原始HJC模型过渡段直线交点分别确定C25和C40混凝土对应的pL为0.9 GPa和1.2 GPa。至此，HJC模型中混凝土高压段状态方程参数确定完成，见表2。表 2 混凝土HJC模型状态方程参数Table 2. EOS parameters of the HJC model for concrete混凝土 K1/GPa K2/GPa K3/GPa pL/MPa μL C25 56.34 −363.96 1689.50 0.9 0.171 C40 137.37 −971.90 3483.43 1.2 0.187 3. 平板撞击实验数值模拟
基于LS-DYNA动力学有限元分析软件，开展平板撞击实验数值模拟，检验基于该实验标定的HJC模型状态方程参数的准确性，并进一步探究高压下混凝土状态响应。
3.1 有限元模型与材料参数
平板撞击实验数值模拟采用Lagrange算法，建立四分之一模型，对称面设置对称边界，按照实验试件及其安装构件实际尺寸建立。模型分为3个部分，分别是混凝土飞片、TU1无氧铜靶片和靶片固定装置，各部件接触均为自动面-面接触。靶片固定装置边缘设置固定边界条件和非反射边界条件。设置5个观测点如图16所示，O点位于TU1无氧铜靶板中心，记录O点速度变化，在混凝土飞片轴线上，从撞击界面开始，间隔3 mm，分布有A、B、C、D等4个观测点，记录4个位置点压力变化。
混凝土飞片材料模型为HJC模型，除状态方程参数外，其他参数按照HJC模型默认方法给出，设置单元不失效，主要材料参数见表3。TU1无氧铜靶片与铝制靶片固定结构均采用Johnson-Cook材料模型，采用Grüneisen状态方程。
表 3 混凝土HJC模型主要参数Table 3. Parameters of HJC model for concrete混凝土 ρ/(g·cm−3) G/GPa fc/MPa T/MPa pC/MPa μC/10−3 C25 2.202 9.517 26.5 3.19 8.83 0.696 C40 2.177 11.79 42.1 4.02 14.03 0.893 注：G为剪切模量，fc为单轴抗压强度，T为最大静水拉伸强度，pC为压碎压力，μC为压碎体积应变。 3.2 数值模拟结果与分析
提取O点对应单元的速度作为该点的粒子速度，图17和图18分别为该点在C25和C40混凝土反向平板撞击实验数值模拟粒子速度与实验粒子速度对比。数值模拟结果在粒子速度走势、平台段脉宽和幅值等方面与实验吻合度较高，说明数值模拟参数合理。对比同一发射速度下的前后两次粒子速度跳跃，后者增大速度变缓，反映了在TU1靶板中冲击波扰动由强扰动变为弱扰动。
图 17 C25混凝土粒子速度数值模拟与实验结果对比Figure 17. Comparison of simulation and test results for C25 concrete
图 18 C40混凝土粒子速度数值模拟与实验结果对比Figure 18. Comparison of simulation and test results for C40 concrete提取A、B、C、D点的压力曲线如图19，数值计算工况为C25混凝土飞片以479 m/s发射速度撞击靶板。飞片与TU1靶片发生碰撞后，压缩波使得飞片中A点压力迅速升高，压力波形震荡剧烈，约2.03 μs后，由TU1无氧铜自由面反射的拉伸波到达A点，压力下降，后经过多次拉伸波卸载，最终压力卸载为零。在压缩波加载下，A点首先出现压力的升高，随后，B、C、D依次升高。由于压缩波作用过后，混凝土密实程度增大，波的传导能力增强，拉伸波将以更高的速度到达B、C、D点，因此A点首个矩形压力脉冲宽度最大，B、C、D依次变小。图20为混凝土飞片压力云图。
图 19 速度为479 m/s C25混凝土飞片压力时程曲线Figure 19. Pressure-time curves of C25 flyer at 479 m/s
图 20 速度为479 m/s C25混凝土飞片压力云图Figure 20. Pressure cloud in C25 concrete flyer at 479 m/s对比图19和图21不同撞击速度各点压力变化，较低的撞击速度下，前驱压缩波波速慢，靶板反射拉伸波追赶并造成前驱波压力卸载，因此，撞击速度为479 m/s的混凝土中压力峰值由A向D依次减小，C、D两点峰值卸载尤为明显；而当飞片发射速度较高，混凝土前驱压缩波始终保持高于拉伸波的波速，拉伸波未能造成前驱波压力降低。其他实验数值模拟中，混凝土飞片中压力变化也呈现相似规律。
图 21 速度为1017 m/s C25混凝土飞片压力时程曲线Figure 21. Pressure-time curve of C25 flyer at 1017 m/s4. 结 论
为探究高压下混凝土动态压缩特性，明确强度对混凝土状态方程影响，本文对C25和C40混凝土进行了一维应变动态力学行为的实验研究，通过反向平板撞击实验，获得了压力范围在2～11 GPa的冲击Hugoniot数据，由实验数据拟合了混凝土材料波速与粒子速度（us-up）关系，进一步推导出用于构建混凝土高压状态方程的压力-密度（p-ρ）、压力-体积应变（p-μ）数据，并依据实验结果讨论了混凝土基体强度造成混凝土状态方程差异的作用机理。通过混凝土孔隙率计算了混凝土压实密度，重新确定了两种强度混凝土HJC状态方程参数，并通过反向平板撞击实验的数值模拟，分析了混凝土在高静水压下冲击波传播特征，主要结论如下：
（1）实验结果表明，混凝土材料在2～11 GPa的高静水压力作用下持续被压缩，密度与体积应变随压力增大而增大，造成这一现象的主要原因是混凝土孔隙塌陷。
（2）对比C25和C40两种初始密度、孔隙率相近的混凝土实验结果，发现两者压力-密度或体积应变数据分布趋势相同，但不重合，呈平行关系。同一静水压力下，混凝土抗压强度越高，基体孔隙越难塌陷，体积应变就越小。但由于不同强度混凝土实验数据较少，尚不能给出量化的混凝土抗压强度与其状态方程的关系。
（3）平板撞击实验数值模拟结果显示，混凝土与TU1无氧铜靶片中均存在着复杂的冲击波反射与透射。当飞片低速撞击靶片时，由于前驱压缩波造成材料的压实，在后继拉伸波快速追赶卸载作用下，压力降低；而高速撞击条件下，前驱冲击波始终保持了高于后继拉伸波的波速，未能发生冲击波的追赶卸载作用。
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图 9 速度为989 m/s的C40混凝土飞片撞击TU1靶板的自由面粒子速度历史
Figure 9. Particle velocity of TU1 free surface in C40 concrete flyer impact test at 989 m/s
图 10 C25混凝土飞片撞击TU1靶板自由面粒子速度历史
Figure 10. Particle velocity of TU1 free surface in C25 concrete flyer impact tests
图 11 C40混凝土飞片撞击TU1靶板自由面粒子速度历史
Figure 11. Particle velocity of TU1 free surface in C40 concrete flyer impact tests
图 12 混凝土波速-粒子速度（us-up）关系拟合
Figure 12. Shock velocity and particle velocity linear fitting
图 17 C25混凝土粒子速度数值模拟与实验结果对比
Figure 17. Comparison of simulation and test results for C25 concrete
图 18 C40混凝土粒子速度数值模拟与实验结果对比
Figure 18. Comparison of simulation and test results for C40 concrete
图 19 速度为479 m/s C25混凝土飞片压力时程曲线
Figure 19. Pressure-time curves of C25 flyer at 479 m/s
图 20 速度为479 m/s C25混凝土飞片压力云图
Figure 20. Pressure cloud in C25 concrete flyer at 479 m/s
图 21 速度为1017 m/s C25混凝土飞片压力时程曲线
Figure 21. Pressure-time curve of C25 flyer at 1017 m/s
表 1 混凝土平板撞击实验数据
Table 1. Flyer-impact test data of concrete
编号 类别 v0/(m·s−1) up1/(m·s−1) up2/(m·s−1) us2/(m·s−1) σH/MPa C25v1017 C25 1017 343.9 845.0 3469.7 6450.4 C25v1259 C25 1259 441.0 1038.5 3682.8 8414.2 C25v1523 C25 1523 575.6 1235.2 4136.2 11240.0 C25v479 C25 479 112.6 422.7 2177.6 2025.1 C40v834 C40 834 276.3 695.8 3383.8 5121.2 C40v989 C40 989 355.5 811.3 3786.7 6681.6 C40v1279 C40 1279 476.1 1040.9 4037.4 9140.6 C40v1484 C40 1484 580.6 1193.7 4370.9 11348.0 
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表 2 混凝土HJC模型状态方程参数
Table 2. EOS parameters of the HJC model for concrete
混凝土 K1/GPa K2/GPa K3/GPa pL/MPa μL C25 56.34 −363.96 1689.50 0.9 0.171 C40 137.37 −971.90 3483.43 1.2 0.187
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表 3 混凝土HJC模型主要参数
Table 3. Parameters of HJC model for concrete
混凝土 ρ/(g·cm−3) G/GPa fc/MPa T/MPa pC/MPa μC/10−3 C25 2.202 9.517 26.5 3.19 8.83 0.696 C40 2.177 11.79 42.1 4.02 14.03 0.893 注：G为剪切模量，fc为单轴抗压强度，T为最大静水拉伸强度，pC为压碎压力，μC为压碎体积应变。
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