弹性带形域中多个半圆柱形凹陷对SH波的散射

齐辉 杨润杰 郭晶 屈恩相

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弹性带形域中多个半圆柱形凹陷对SH波的散射

    作者简介: 齐 辉(1963- ),男,博士,教授,qihui205@sina.com;
    通讯作者: 郭晶, gj3041@126.com
  • 中图分类号: O343.1; P315.3

Scattering of SH wave by multiple semi-cylindrical depressions in an elastic strip

    Corresponding author: GUO Jing, gj3041@126.com ;
  • CLC number: O343.1; P315.3

  • 摘要: 对稳态SH(shear horizontal)导波在表面含有多个半圆柱形凹陷的弹性带形介质内的散射问题进行了研究,并给出了解析解。首先,运用导波展开法构造平面SH导波;然后,利用累次镜像法构造出满足带形域上、下两条直边界应力自由条件的散射波;最后,根据凹陷边沿的切应力为零的条件得到定解方程。通过算例分析了累次镜像法的精度、凹陷边沿的动应力集中和上、下边界位移幅值的变化情况。数值结果表明:只有一个凹陷时,中高频率的入射波和小厚度的带形域会引起凹陷边沿更高的动应力集中,上边界位移幅值的最大值会出现在凹陷的迎波面附近;当有两个凹陷时,大多数情况下,第二个凹陷对第一个凹陷边沿的动应力集中起放大作用,并且在理想弹性带形介质内,两凹陷之间的影响在相距无穷远时也会存在。
  • 图 1  弹性带形域中的半圆柱形凹陷

    Figure 1.  Semi-cylindrical depressions in an elastic strip

    图 2  SH型导波的振型

    Figure 2.  Vibration modes of SH guided waves

    图 3  延拓后的第j个凹陷

    Figure 3.  The j-th depression after extension

    图 4  第一次镜像散射波

    Figure 4.  The first image scattered wave

    图 5  第二次镜像散射波

    Figure 5.  The second image scattered wave

    图 6  带形域上边界的位移幅值

    Figure 6.  Displacement amplitude of upper boundary

    图 7  文献[1]中地表位移幅值

    Figure 7.  Amplitude of surface displacement in reference [1]

    图 8  弹性带形域上边界存在两半圆柱形凹陷

    Figure 8.  Two semi-cylindrical depressions on the upper boundary of the elastic strip

    图 9  下边界$\tau _{y{\textit z}}^*$的变化

    Figure 9.  Variation of $\tau _{y{\textit z}}^*$ in the lower boundary

    图 10  下边界一点处的$\tau _{y{\textit z}}^*$P的变化规律

    Figure 10.  Variation of $\tau _{y{\textit z}}^*$ at a certain point in the lower boundary with P

    图 11  凹陷边沿动应力集中系数随镜像次数的变化规律

    Figure 11.  Variation of dynamic stress concentration factor around the depression with P

    图 12  下边界w*随镜像次数P的变化规律

    Figure 12.  Variation of w* in the lower boundary with P

    图 13  动应力集中系数随带形域无量纲厚度的变化 (g=1, m=0)

    Figure 13.  Variation of dynamic stress concentration factor with dimensionless thickness (g=1, m=0)

    图 14  不同k*时动应力集中系数随角度θ变化 (g=1, m=0)

    Figure 14.  Variation of dynamic stress concentration factor with θ at different k* (g=1, m=0)

    图 15  不同h*时动应力集中系数随角度θ的变化 (g=1, m=0)

    Figure 15.  Variation of dynamic stress concentration facor with θ at different h* (g=1, m=0)

    图 16  凹陷边沿最大动应力集中随k*的变化

    Figure 16.  Variation of maximum dynamic stress concentration factor with k* around the depression

    图 17  1号凹陷边沿动应力集中系数的最大值随两凹陷之间量纲距离a*的变化 (m=0, r*=1)

    Figure 17.  Variation of maximum dynamic stress concentration factor around the first depression with a* (m=0, r*=1)

    图 18  表面位移幅值随k*的变化 (g=1, m=0, h*=10.0)

    Figure 18.  Variation of surface displacement amplitude with k* (g=1, m=0, h*=10.0)

    图 19  表面位移幅值随h*的变化 (g=1, m=0, k*=2.0)

    Figure 19.  Variation of surface displacement amplitude with h* (g=1, m=0, k*=2.0)

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出版历程
  • 收稿日期:  2019-10-17
  • 录用日期:  2020-07-02
  • 网络出版日期:  2020-08-28

弹性带形域中多个半圆柱形凹陷对SH波的散射

    作者简介:齐 辉(1963- ),男,博士,教授,qihui205@sina.com
    通讯作者: 郭晶, gj3041@126.com
  • 哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院,黑龙江 哈尔滨 150001

摘要: 对稳态SH(shear horizontal)导波在表面含有多个半圆柱形凹陷的弹性带形介质内的散射问题进行了研究,并给出了解析解。首先,运用导波展开法构造平面SH导波;然后,利用累次镜像法构造出满足带形域上、下两条直边界应力自由条件的散射波;最后,根据凹陷边沿的切应力为零的条件得到定解方程。通过算例分析了累次镜像法的精度、凹陷边沿的动应力集中和上、下边界位移幅值的变化情况。数值结果表明:只有一个凹陷时,中高频率的入射波和小厚度的带形域会引起凹陷边沿更高的动应力集中,上边界位移幅值的最大值会出现在凹陷的迎波面附近;当有两个凹陷时,大多数情况下,第二个凹陷对第一个凹陷边沿的动应力集中起放大作用,并且在理想弹性带形介质内,两凹陷之间的影响在相距无穷远时也会存在。

English Abstract

  • 板类材料作为承重构件被广泛应用于土木和水利等工程领域。在实际使用过程中,板材表面常会因为外界环境腐蚀或人为因素而受到破坏并产生凹陷。当波在这种结构内传播时,在凹陷处发生散射,并且引起动应力集中和位移幅值增大,会对材料造成破坏,进而威胁人们的生命安全,因此对该问题的研究尤为重要。

    在地震波动领域,凹陷作为一种常见的地形,对其已开展了大量的研究:Trifunac[1]利用波函数展开法分析了半圆柱形峡谷对平面SH(shear horizontal)波的散射,并给出了地表位移幅值的变化情况。Wong等[2]研究了半椭圆柱形凹陷对平面SH波的散射,并分析了入射角度和入射波波长对地表位移幅值的影响。Liu等[3]将复变函数法引入弹性动力学反平面问题中。随后,借助这种方法,凹陷在均匀介质半空间中的反平面稳态运动得到了系统的研究[4-7]。Chang等[8]采用区域匹配技术研究了平面SH波在圆形扇形峡谷中的散射问题,并推导出严格的级数解。Shyu等[9]将有限元法与级数展开法相结合,求解了弹性半平面内的两个峡谷对入射平面SH波的散射问题。Ba等[10]结合区域匹配技术,提出了一种精度高、计算量小的周期性间接边界元法,并研究了地震波作用下层状半空间中周期性冲积河谷的反平面响应。

    对于SH波在带形域中散射问题的研究:Achenbach[11]给出了SH导波的一般形式。Lu[12]以连续加筋薄板和钢筋混凝土板的超声检测为背景,分析了周期分布的圆柱形夹杂对SH型导波色散特性的影响。Hayir等[13]将镜像法拓展为累次镜像法,解决了散射波在带形域上、下边界多次反射带来的求解困难,并得到了带形域中孔洞对SH波散射的解析解。近年来,齐辉等[14]、Qi等[15-17]运用和发扬了累次镜像法,研究了压电材料中孔洞和夹杂对SH波的散射。注意到以上在带形介质内的研究,都只是对介质内部缺陷的散射问题进行了分析,如孔洞和夹杂,对于表面凹陷的研究还没有看到相关报道,但是这种情况常常出现在工程实践中,如混凝土板表面的排水凹槽、管道线路等。

    本文中,将表面存在半圆柱形凹陷的弹性板的反平面问题按照带形域中凹陷对SH波的散射问题来近似研究。运用波函数展开法、导波展开法、累次镜像法和多级坐标平移技术对该问题进行理论分析;再通过编程进行数值计算;最后通过算例,分析凹陷边沿的动应力集中和带形域边界位移幅值的变化。

    • 图1所示,无限长带形域的厚度为h,上边界为Bu,下边界为Bl,其中上边界存在g个半圆柱形凹陷,凹陷的圆心分别为${O_1}$${O_2}$、···、${O_j}$、···、${O_g}$,半径分别为${r_1}$${r_2}$、···、${r_j}$、···、${r_g}$;介质的剪切模量和密度分别为μρ。分别以各个圆心${O_1}$${O_2}$、···、${O_j}$、···、${O_g}$为原点建立右手平面直角坐标系$({O_1},{x_1},{y_1})$$({O_2},{x_2},{y_2})$、···、$({O_j},{x_j},{y_j})$、···、$({O_g},{x_g},{y_g})$,其中x轴平行带形域的长度方向,y轴平行厚度方向;同时以圆心为极点,建立平面极坐标系$({O_1},{r_1},{\theta _1})$$({O_2},{r_2},{\theta _2})$、···、$({O_j},{r_j},{\theta _j})$、···、$({O_g},{r_g},{\theta _g})$;引入复变量${{\textit z}_j} = {x_j} + {\rm{i}}{y_j} = r{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\theta _j}}}$$\overline {{{\textit z}_j}} = {x_j} - {\rm{i}}{y_j} = r{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\theta _j}}}$,其中${\rm{i}} = \sqrt { - 1} $,建立复平面$({{\textit z}_j},\overline {{{\textit z}_j}} )$j=1、2、3、···、g。本文中对上述二维模型进行分析,假定从带形域左侧入射的SH波为平面波,由凹陷产生的散射波为柱面波,质点的振动方向为出平面方向,振幅w只是坐标$(O,x,y)$$(O,r,\theta )$的函数。

      图  1  弹性带形域中的半圆柱形凹陷

      Figure 1.  Semi-cylindrical depressions in an elastic strip

    • 弹性动力学反平面问题的控制方程为标量波动方程:

      $\mu \Delta w = \rho \frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {t^2}}}$

      式中:$\Delta $是二维Laplace算子。本文中对稳态SH波进行分析,按分离变量法,分离空间变量与时间变量后,略去时间谐和因子${{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\omega t}}$$\omega $为圆频率,得到Helmholtz方程,即位移的控制方程:

      $\Delta w + {k^2}w = 0$

      式中:$k = \omega /{c_{\rm{s}}}$为反平面剪切波的波数,${c_{\rm{s}}} = \sqrt {\mu /\rho } $为相速度。

      在复平面内,Helmholtz方程以及应力应变的关系可以表示为:

      $4\frac{{\partial w}}{{\partial {\textit z}\partial \overline {\textit z} }} + {k^2}w = 0$

      $\left\{ \begin{aligned} &{\tau _{x{\textit z}}} = \mu \left[ {\frac{{\partial w({\textit z},\bar {\textit z})}}{{\partial {\textit z}}} + \frac{{\partial w({\textit z},\bar {\textit z})}}{{\partial \bar {\textit z}}}} \right] \\ &{\tau _{y{\textit z}}} = \mu {\rm{i}}\left[ {\frac{{\partial w({\textit z},\bar {\textit z})}}{{\partial {\textit z}}} - \frac{{\partial w({\textit z},\bar {\textit z})}}{{\partial \bar {\textit z}}}} \right] \\ \end{aligned} \right.$

      $\left\{ \begin{aligned} &{\tau _{r{\textit z}}} = \mu \left[ {\frac{{\partial w({\textit z},\bar {\textit z})}}{{\partial {\textit z}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }} + \frac{{\partial w({\textit z},\bar {\textit z})}}{{\partial \bar {\textit z}}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\theta }}} \right] \\ &{\tau _{\theta {\textit z}}} = \mu {\rm{i}}\left[ {\frac{{\partial w({\textit z},\bar {\textit z})}}{{\partial {\textit z}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }} - \frac{{\partial w({\textit z},\bar {\textit z})}}{{\partial \bar {\textit z}}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\theta }}} \right] \\ \end{aligned} \right.$

    • 在带形域上边界Bu的任意一点建立全局坐标系。根据文献[11],满足带形域上、下边界应力自由条件(6)的SH导波表达式为式(7)。

      $\mu {\left. {\frac{{\partial w}}{{\partial y}}} \right|_{y = - h,0}} = 0$

      ${w_m} = {f_m}(y){{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left( {{k_m}x - \omega t} \right)}}$

      式中:${f_m}(y)$y方向的干涉项,满足式(8);${{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left( {{k_m}x - \omega t} \right)}}$x方向上的传播项;m为导波阶数,其物理意义为y轴方向上干涉项的节点数,如图2所示;$w_m^{(1)}$$w_m^{(2)}$为对应传播型导波的幅值,m为偶数时$w_m^{(1)}{\rm{ = }}0$m为奇数时$w_m^{(2)}{\rm{ = }}0$qm满足式(9);kmx轴方向上的视波数,与y方向上的视波数qm满足方程(10),只有当km为实数时,${{\rm{e}}^{{\rm{i}}({k_m}x - \omega t)}}$才能代表x轴方向上传播的行波,考虑本文中所讨论的问题,对非传播型波的研究没有任何意义,所以当入射m阶SH导波时,要求波数应满足$k {\text{>}} m{\text{π}}/h$

      图  2  SH型导波的振型

      Figure 2.  Vibration modes of SH guided waves

      ${f_m}(y) = w_m^{(1)}\sin \left[ {{q_m}\left( {y + \frac{h}{2}} \right)} \right] + w_m^{(2)}\cos \left[ {{q_m}\left( {y + \frac{h}{2}} \right)} \right]$

      ${q_m} = \frac{{m{\text{π}}}}{h}$

      $q_m^2 = {k^2} - k_m^2$

      运用叠加法,将各阶导波进行叠加,就可以得到带形介质中满足上、下边界应力自由的全部位移波:

      $w_{}^{({\rm i})} = \sum\limits_{m = 0}^{ + \infty } {w_m^{}} = \sum\limits_{m = 0}^{ + \infty } {{f_m}(y){{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left( {{k_m}x - \omega t} \right)}}} $

      本文中讨论的为稳态SH波,略去时间谐和因子${{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\omega t}}$,当入射的导波为m阶时,位移和应力的表达式如下:

      $w_{}^{({\rm{i}})} = \left\{ {w_m^{(1)} \cdot \sin \left[ {{q_m}\left( {y + \frac{h}{2}} \right)} \right] + w_m^{(2)} \cdot \cos \left[ {{q_m}\left( {y + \frac{h}{2}} \right)} \right]} \right\} \cdot {{\rm{e}}^{{\rm{i}}{k_m}x}}$

      $\left\{ {\begin{aligned} &{\tau _{x{\textit z}}^{({\rm{i}})} = {\rm{i}}\mu {k_m} \cdot \left\{ {w_m^{(1)} \cdot \sin \left[ {{q_m}\left( {y + \frac{h}{2}} \right)} \right] + w_m^{(2)} \cdot \cos \left[ {{q_m}\left( {y + \frac{h}{2}} \right)} \right]} \right\} \cdot {{\rm{e}}^{{\rm{i}}{k_m}x}}} \\ &{\tau _{y{\textit z}}^{({\rm{i}})} = {q_m}\left\{ {w_m^{(1)} \cdot \cos \left[ {{q_m}\left( {y + \frac{h}{2}} \right)} \right] - w_m^{(2)} \cdot \sin \left[ {{q_m}\left( {y + \frac{h}{2}} \right)} \right]} \right\} \cdot {{\rm{e}}^{{\rm{i}}{k_m}x}}} \end{aligned}} \right.$

      $\left\{ {\begin{aligned} &{\tau _{r{\textit z}}^{({\rm{i}})} = \tau _{x{\textit z}}^{({\rm{i}})}\cos {\rm{ }}\theta + \tau _{y{\textit z}}^{({\rm{i}})}\sin {\rm{ }}\theta } \\ &{\tau _{\theta {\textit z}}^{({\rm{i}})} = - \tau _{x{\textit z}}^{({\rm{i}})}\sin {\rm{ }}\theta + \tau _{y{\textit z}}^{({\rm{i}})}\cos {\rm{ }}\theta } \end{aligned}} \right.$

      式中:上标(i)代表入射波。

    • 在入射SH波的作用下,凹陷会产生散射波。本文运用累次镜像法,以第j个半圆柱形凹陷为例,对其产生的散射波进行推导说明,其余g-1个凹陷产生的散射波可以通过同样的方法进行求解。

      将半圆柱形凹陷Bj向介质外延拓为一个整圆,记为圆孔$\overline {{B_j}} $,如图3所示。按照波函数展开法和复变函数法可得,由第j个圆孔边界$\overline {{B_j}} $产生的全空间散射波的位移$w_j^{({\rm{s}},0)}$和应力$\tau _{j,r{\textit z}}^{({\rm{s}},0)}$$\tau _{j,\theta {\textit z}}^{({\rm{s}},0)}$满足[3]

      图  3  延拓后的第j个凹陷

      Figure 3.  The j-th depression after extension

      $w_j^{({\rm{s}},0)}({{\textit z}_j}) = {w_0}\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {A_{j,n}^{}H_n^{(1)}(k\left| {{{\textit z}_j}} \right|){{\left( {\frac{{{{\textit z}_j}}}{{\left| {{{\textit z}_j}} \right|}}} \right)}^n}} $

      $\tau _{j,r{\textit z}}^{({\rm{s}},0)}({{\textit z}_j}) = \frac{{k\mu }}{2}\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {{A_{j,n}}\left[ {H_{n - 1}^{(1)}\left( {k\left| {{{\textit z}_j}} \right|} \right) \cdot {{\left( {\frac{{{{\textit z}_j}}}{{\left| {{{\textit z}_j}} \right|}}} \right)}^{n - 1}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\theta _j}}} - H_{n + 1}^{(1)}\left( {k\left| {{{\textit z}_j}} \right|} \right) \cdot {{\left( {\frac{{{{\textit z}_j}}}{{\left| {{{\textit z}_j}} \right|}}} \right)}^{n + 1}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\theta _j}}}} \right]} $

      $\tau _{j,\theta {\textit z}}^{({\rm{s}},0)}({{\textit z}_j}) = \frac{{{\rm{i}}k\mu }}{2}\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {{A_{j,n}}\left[ {H_{n - 1}^{(1)}\left( {k\left| {{{\textit z}_j}} \right|} \right) \cdot {{\left( {\frac{{{{\textit z}_j}}}{{\left| {{{\textit z}_j}} \right|}}} \right)}^{n - 1}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\theta _j}}} + H_{n + 1}^{(1)}\left( {k\left| {{{\textit z}_j}} \right|} \right) \cdot {{\left( {\frac{{{{\textit z}_j}}}{{\left| {{{\textit z}_j}} \right|}}} \right)}^{n + 1}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\theta _j}}}} \right]} $

      j个圆孔边界$\overline {{B_j}} $产生的散射波$w_j^{({\rm{s}},P)}$在带形域的边界BuBl上分别发生第一次反射,该反射波可以用散射波$w_j^{({\rm{s,0}})}$对边界BuBl的镜像$w_{j,1}^{({\rm{s,1}})}$$w_{j,2}^{({\rm{s,1}})}$来表示,称为一次镜像散射波,如图4所示;第一次反射波又会在带形域的边界BuBl上分别发生第二次反射,该反射波可以用第一次镜像散射波$w_{j,1}^{({\rm{s}},1)}$$w_{j,2}^{({\rm{s}},1)}$对边界BuBl的镜像$w_{j,1}^{({\rm{s}},2)}$$w_{j,2}^{({\rm{s}},2)}$来表示,称为二次镜像散射波,如图5所示;如此反复,得到第j个圆孔边界Bj的第P次镜像散射波的位移为$w_{j,1}^{({\rm{s}},P)}$$w_{j,2}^{({\rm{s}},P)}$,相对应的应力为$\tau _{j,r{\textit z},1}^{({\rm{s}},P)}$$\tau _{j,\theta {\textit z},1}^{({\rm{s}},P)}$$\tau _{j,rz,2}^{({\rm{s}},P)}$$\tau _{j,\theta {\textit z},2}^{({\rm{s}},P)}$,满足式(18)~(23)。其中第一个上标(s)表示散射波,最后一个上标(P)为镜像次数,第一个下表j表示为该散射场由第j个凹陷产生,最后一个下标1或2代表镜像面为BuBl

      图  4  第一次镜像散射波

      Figure 4.  The first image scattered wave

      图  5  第二次镜像散射波

      Figure 5.  The second image scattered wave

      $w_{j,1}^{({\rm{s}},P)}({{\textit z}_j}) = {w_0}\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {{A_{j,n}}} H_n^{(1)}\left( {k\left| {{\textit z}_{j,1}^{(P)}} \right|} \right){\left( {\frac{{{\textit z}_{j,1}^{(P)}}}{{\left| {z_{j,1}^{(P)}} \right|}}} \right)^{{{( - 1)}^P}n}}$

      $\tau _{j,r{\textit z},1}^{({\rm{s}},P)}({{\textit z}_j}) = \frac{{k\mu }}{2}\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {{A_{j,n}}\left[ {H_{n - 1}^{(1)}\left( {k\left| {{\textit z}_{j,1}^{(P)}} \right|} \right) \cdot {{\left( {\frac{{{\textit z}_{j,1}^{(P)}}}{{\left| {{\textit z}_{j,1}^{(P)}} \right|}}} \right)}^{{{( - 1)}^P}(n - 1)}}{{\rm{e}}^{{{( - 1)}^P}{\rm{i}}{\theta _j}}} - H_{n + 1}^{(1)}\left( {k\left| {{\textit z}_{j,1}^{(P)}} \right|} \right) \cdot {{\left( {\frac{{{\textit z}_{j,1}^{(P)}}}{{\left| {{\textit z}_{j,1}^{(P)}} \right|}}} \right)}^{{{( - 1)}^P}(n + 1)}}{{\rm{e}}^{{{( - 1)}^{(P + 1)}}{\rm{i}}{\theta _j}}}} \right]} $

      $\begin{aligned} \tau _{j,\theta {\textit z},1}^{({\rm{s,}}P)}({{\textit z}_j}) = {( - 1)^P}\frac{{{\rm{i}}k\mu }}{2}\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {{A_{j,n}}} \left[ {H_{n - 1}^{(1)}\left( {k\left| {{\textit z}_{j,1}^{(P)}} \right|} \right) \cdot {{\left( {\frac{{{\textit z}_{j,1}^{(P)}}}{{\left| {{\textit z}_{j,1}^{(P)}} \right|}}} \right)}^{{{( - 1)}^P}(n - 1)}}{{\rm{e}}^{{{( - 1)}^P}{\rm{i}}{\theta _j}}} + } \right. \left. {H_{n + 1}^{(1)}\left( {k\left| {{\textit z}_{j,1}^{(P)}} \right|} \right) \cdot {{\left( {\frac{{{\textit z}_{j,1}^{(P)}}}{{\left| {{\textit z}_{j,1}^{(P)}} \right|}}} \right)}^{{{( - 1)}^P}(n + 1)}}{{\rm{e}}^{{{( - 1)}^{(P + 1)}}{\rm{i}}{\theta _j}}}} \right] \\ \end{aligned} $

      $w_{j,2}^{({\rm{s}},P)}({{\textit z}_j}) = {w_0}\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {{A_{j,n}}} H_n^{(1)}\left( {k\left| {{\textit z}_{j,2}^{(P)}} \right|} \right){\left( {\frac{{{\textit z}_{j,2}^{(P)}}}{{\left| {{\textit z}_{j,2}^{(P)}} \right|}}} \right)^{{{( - 1)}^P}n}}$

      $\tau _{j,r{\textit z},2}^{({\rm{s,}}P)}({{\textit z}_j}) = \frac{{k\mu }}{2}\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {{A_{j,n}}} \left[ {H_{n - 1}^{(1)}\left( {k\left| {{\textit z}_{j,2}^{(P)}} \right|} \right) \cdot {{\left( {\frac{{{\textit z}_{j,2}^{(P)}}}{{\left| {{\textit z}_{j,2}^{(P)}} \right|}}} \right)}^{{{( - 1)}^P}(n - 1)}}{{\rm{e}}^{{{( - 1)}^P}{\rm{i}}{\theta _j}}} - H_{n + 1}^{(1)}\left( {k\left| {{{\textit z}_j}_2^P} \right|} \right) \cdot {{\left( {\frac{{{\textit z}_{j,2}^{(P)}}}{{\left| {{\textit z}_{j,2}^{(P)}} \right|}}} \right)}^{{{( - 1)}^P}(n + 1)}}{{\rm{e}}^{{{( - 1)}^{(P + 1)}}{\rm{i}}{\theta _j}}}} \right]$

      $\begin{aligned} \tau _{j,\theta {\textit z},2}^{({\rm{s,}}P)}({{\textit z}_j}) = {( - 1)^P}\frac{{{\rm{i}}k\mu }}{2}\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {{A_{j,n}}} \left[ {H_{n - 1}^{(1)}\left( {k\left| {{\textit z}_{j,2}^{(P)}} \right|} \right) \cdot {{\left( {\frac{{{\textit z}_{j,2}^{(P)}}}{{\left| {{\textit z}_{j,2}^{(P)}} \right|}}} \right)}^{{{( - 1)}^P}(n - 1)}}{{\rm{e}}^{{{( - 1)}^P}{\rm{i}}{\theta _j}}} + } \right.\left. {H_{n + 1}^{(1)}\left( {k\left| {{\textit z}_{j,2}^{(P)}} \right|} \right) \cdot {{\left( {\frac{{{\textit z}_{j,2}^{(P)}}}{{\left| {{\textit z}_{j,2}^{(P)}} \right|}}} \right)}^{{{( - 1)}^P}(n + 1)}}{{\rm{e}}^{{{( - 1)}^{(P + 1)}}{\rm{i}}{\theta _j}}}} \right] \end{aligned}$

      式中:

      $ {\textit z}_{j,1}^{(P)} = {\textit z}_j^{} - s_{j,1}^{(P)},\quad\quad\quad{\textit z}_{j,2}^{(P)} = {\textit z}_j^{} - s_{j,2}^{(P)} $

      $ s_{j,1}^{(P)} = {\rm{i}}h_{j,1}^{(P)},\quad\quad\quad s_{j,2}^{(P)} = - {\rm{i}}(h + h_{j,2}^{(P)}) $

      $h_{j,1}^{(P)} = \frac{{{{( - 1)}^P}h + h}}{2} + (P - 1)h$

      $h_{j,2}^{(P)} = \frac{{{{( - 1)}^{P + 1}}h + h}}{2} + (P - 1)h$

      式(15)~(23)中$H_{n - 1}^{(1)}( \bullet )$$H_n^{(1)}( \bullet )$$H_{n + 1}^{(1)}( \bullet )$分别为n-1、nn+1阶的第一类Hankel函数,由其表示的波函数为向外传播的散射波。

      运用叠加法,将每次镜像得到的散射波累加在一起,即可得到第j个圆孔$\overline {{B_j}} $产生的可满足带形域上、下边界应力自由的散射波的位移场为式(28),应力场为式(29)~(30)。

      $w_j^{({\rm{s}})}({{\textit z}_j}) = w_j^{({\rm{s,0}})}({{\textit z}_j}) + \sum\limits_{P = 1}^{ + \infty } {\left[ {w_{j,1}^{({\rm{s,}}P)}({{\textit z}_j}) + w_{j,2}^{({\rm{s,}}P{\rm{)}}}({{\textit z}_j})} \right]} $

      $\tau _{j,r{\textit z}}^{({\rm{s}})}({{\textit z}_j}) = \tau _{j,r{\textit z}}^{({\rm{s,0}})}({{\textit z}_j}) + \sum\limits_{P = 1}^{ + \infty } {\left[ {\tau _{j,r{\textit z},1}^{({\rm{s,}}P)}({{\textit z}_j}) + \tau _{j,r{\textit z},2}^{({\rm{s}},P)}({{\textit z}_j})} \right]} $

      $\tau _{j,\theta {\textit z}}^{({\rm{s}})}({{\textit z}_j}) = \tau _{j,\theta {\textit z}}^{({\rm{s,0}})}({{\textit z}_j}) + \sum\limits_{P = 1}^{ + \infty } {\left[ {\tau _{j,\theta {\textit z},1}^{({\rm{s}},P)}({{\textit z}_j}) + \tau _{j,\theta {\textit z},2}^{({\rm{s}},P)}({{\textit z}_j})} \right]} $

    • 按照上述方法构造的入射波和散射波已经满足了BuBl边界的剪应力为零的条件,这样凹陷边界B1B2、···、Bj、···、Bg上应力自由的条件就成为整个问题的定解条件,由此得到关于散射波的波函数级数的系数A1,nA2,n、···、Aj,n、···、Ag,n的方程组(31)。对方程组中第j个式子,先利用文献[5]中的坐标平移技术将其他坐标系下求解出的应力表达式平移到复平面$({{\textit z}_j},\overline {{{\textit z}_j}} )$中,再采用Fourier展开法,对方程式两端同时乘${{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}m{\theta _j}}}$,并在区间$( - {\rm{\pi , \pi }})$上积分,这样就得到关于系数A1,nA2,n、···、Aj,n、···、Ag,n的无穷代数方程组,最后对其截断有限项进行求解。

      $\tau _{r{\textit z}}^{({\rm{i}})}({{\textit z}_j}) + \sum\limits_{t = 1}^g {\tau _{t,r{\textit z}}^{({\rm{s}})}({{\textit z}_t})} = 0\quad\quad\quad{{\textit z}_j} \in {B_j}$

      式中:j=1, 2, 3, ···, g

    • 在稳态SH波作用下,动应力集中系数(dynamic stress concentration factor,DSCF)表征了动应力集中的程度,是一个重要的指标。第j个凹陷边沿的动应力集中系数:

      ${\tau ^*} = \frac{{\left| {\tau _{j,\theta {\textit z}}^{}} \right|}}{{\left| {{\tau _0}} \right|}}$

      式中:$\tau _{j,\theta {\textit z}}^{}$为第j个凹陷边沿的角向应力,${\tau _0} = \mu k{w_0}$为入射导波的最大剪应力幅值,w0为入射导波的最大位移幅值。

      对于地震工程、抗暴工程和检测工程,关心的是观测点的位移值。因此,本文中给出弹性带形域上下表面的无量纲位移:

      ${w^*} = \frac{{\left| {{w^{({\rm{i}})}} + w_1^{({\rm{s}})} + w_2^{({\rm{s}})} + \cdots w_j^{({\rm{s}})} + \cdots w_g^{({\rm{s}})}} \right|}}{{\left| {{w_0}} \right|}}$

      式中:${w^{({\rm{i}})}}$为入射波产生的位移,$w_j^{({\rm{s}})}$为第j个凹陷产生的散射波位移。

    • 首先,对带形域上表面有一个凹陷的模型进行研究,令h*=h/r1=106(退化成半空间),入射0阶SH导波。图6给出了带形域上边界位移幅值w$\eta = k{r_1}/{\text{π}}$的变化规律,与文献[1]中给出的半空间中半圆柱形峡谷对平面SH波散射时表面位移幅值相比,本文中得到的结果为文献[1]中(见图7)的一半。由于平面SH波在半空间中传播时,遇到水平面发生反射,会造成位移幅值的翻倍,因此可以验证本文方法的正确性。

      图  6  带形域上边界的位移幅值

      Figure 6.  Displacement amplitude of upper boundary

      图  7  文献[1]中地表位移幅值

      Figure 7.  Amplitude of surface displacement in reference [1]

    • 本节对SH导波入射时,带形域上边界最多存在两个凹陷的模型进行分析,用g表示凹陷的个数,当g=2时,如图8所示。引入以下无量纲参数:

      图  8  弹性带形域上边界存在两半圆柱形凹陷

      Figure 8.  Two semi-cylindrical depressions on the upper boundary of the elastic strip

      (1)入射波的无量纲波数k*=kr1

      (2)入射波波长λ与凹陷直径2r1的比值λ*=λ/(2r1);

      (3)2号凹陷的无量纲半径r*=r2/r1

      (4)两凹陷之间的无量纲距离a*=a/r1

      (5)带形域的无量纲厚度h*=h/r1

      根据$\lambda = 2{\text{π}}/k$可得${\lambda ^*}{\rm{ = {\text{π}} }}/{k^*}$。当${k^*} = 0.1$时,${\lambda ^*} = 10{\text{π}}$,此时入射波的波长远大于凹陷的直径;当${k^*} = 1$${k^*} = 2$时,${\lambda ^*} = {\text{π}}$${\text{π}}/2 {\text{>}} 1$,入射波的波长大于凹陷的直径;当${k^*} = 4$时,${\lambda ^*}{\rm{ ={\text{π}} }}/4 {\text{<}} 1$,入射波的波长小于凹陷的直径。

    • 凹陷边沿为自由边界,满足应力分量${\tau _{r{\textit z}}}$=0,其数值计算的精度与柱函数级数的截断项数n有关,详见文献[7]。带形域的上边界Bu、下边界Bl也是自由边界,满足应力分量${\tau _{yz}}$=0,本文中用无量纲应力分量$\tau _{y{\textit z}}^*$来评估数值计算的精度:

      $\tau _{y{\textit z}}^* = \left| {\frac{{\tau _{y{\textit z}}^{}}}{{\tau _0^{}}}} \right|$

      式中:${\tau _{y{\textit z}}}$y方向的应力分量,${\tau _0} = \mu k{w_0}$为入射应力的最大幅值。

      根据前文的理论分析可知:造成${\tau _{y{\textit z}}}$不为零的主要原因是对累次镜像次数P的截断。图9给出了带形域的上边界存在一个凹陷,0阶导波入射,h*=10,k*=2,P为10、50、100、500时,无量纲应力$\tau _{y{\textit z}}^*$在带形域下边界的分布情况。可以看出,当P一定时,$\tau _{yz}^*$的值在下边界(−5r1~5r1)为一条斜率接近0的直线。这说明,当镜像次数一定时,下边界每一点的精度几乎相同。图10给出相同条件下,下边界x1=0,y1=−h点的$\tau _{y{\textit z}}^*$P的变化规律。从图10中可以看出,随着P增加,$\tau _{y{\textit z}}^*$的值逐渐减小,曲线的斜率也越来越小。这说明:P越大,精度越高,但过度增大P会降低提升精度的效率。同时,P越大,求解时间也会增长。因此,应该适当选取累次镜像次数P

      图  9  下边界$\tau _{y{\textit z}}^*$的变化

      Figure 9.  Variation of $\tau _{y{\textit z}}^*$ in the lower boundary

      图  10  下边界一点处的$\tau _{y{\textit z}}^*$P的变化规律

      Figure 10.  Variation of $\tau _{y{\textit z}}^*$ at a certain point in the lower boundary with P

      图11给出带形域的上边界存在一个凹陷,0阶导波入射,h*=10,k*=2,凹陷边沿θ=−45°,−90°,−135°处的DSCF随镜像次数P的变化曲线。图12给出相同条件下,下边界x1=1,0,−1点的无量纲位移幅值w*P的变化规律。可以看出,两组曲线都是振荡衰减的。当P=800时,w*已经收敛为定值,DSCF曲线的振幅也明显减小。同时,根据图10可知:当P=800时,精度$\tau _{y{\textit z}}^*$小于10−2。因此,下文求解过程中取P=800。

      图  11  凹陷边沿动应力集中系数随镜像次数的变化规律

      Figure 11.  Variation of dynamic stress concentration factor around the depression with P

      图  12  下边界w*随镜像次数P的变化规律

      Figure 12.  Variation of w* in the lower boundary with P

    • 图13给出了带形域的上边界存在一个凹陷,0阶SH导波作用下,无量纲波数k*=0.1,1.0,2.0和4.0时,在凹陷边沿θ=−45°,−90°和−135°处的DSCF随带形域的无量纲厚度h*的变化规律。当k*=0.1时,DSCF随h*的增大先迅速减小,后保持不变。当k*=1.0、2.0和4.0时,DSCF随h*的增大呈振荡性和收敛性,这种趋势在θ=90°处最明显。并且,DSCF曲线的波峰按厚度方向重复出现的最小距离与入射波的频率有关,频率越大,震荡周期越小。

      图  13  动应力集中系数随带形域无量纲厚度的变化 (g=1, m=0)

      Figure 13.  Variation of dynamic stress concentration factor with dimensionless thickness (g=1, m=0)

      图14给出了带形域的上边界存在一个凹陷,0阶SH导波入射,k*为0.1、1.0、2.0、4.0,h*为1.5、3.0、5.0、10.0时,凹陷边沿的动应力分布。当k*=0.1时,凹陷边沿DSCF曲线形状均为规则的圆形或椭圆形,在h*=1.5时,下边界对分布图有明显吸引作用,而在h*>1.5时,带形域厚度对凹陷边沿的DSCF分布影响较小。相比之下,当k*=1.0,2.0和4.0时,随着h*的改变,DCSF曲线形状变化十分明显。所以,当入射中高频SH导波时,带形域的厚度对凹陷边沿的DSCF分布影响更大。

      图  14  不同k*时动应力集中系数随角度θ变化 (g=1, m=0)

      Figure 14.  Variation of dynamic stress concentration factor with θ at different k* (g=1, m=0)

    • 图15给出了带形域的上边界存在一个凹陷,0阶SH导波入射,h*=5.0和20.0,k*为0.1、1.0、2.0和4.0时,凹陷边沿的动应力分布情况。从两个图中可以看,当k*=0.1时,入射波的波长远大于凹陷的直径,凹陷边沿的动应力分布为圆形,与静力作用下的相同,此时为低频准静态。当k*=1.0时,DSCF随着角度θ的增大先增大再减小,呈现出比较规则的椭圆形。当k*=2.0时,DSCF分布图变成蝴蝶形。当k*=4.0时,入射波的波长小于凹陷的直径,此时DCSF曲线随θ的变化呈现出十分不规则的图形。因此,在带形域中入射波的频率越高,凹陷边沿DSCF曲线变化越强烈。

      图  15  不同h*时动应力集中系数随角度θ的变化 (g=1, m=0)

      Figure 15.  Variation of dynamic stress concentration facor with θ at different h* (g=1, m=0)

      图16给出了带形域的上边界存在一个凹陷,0阶SH导波入射,h*取不同值时,凹陷边沿的最大动应力集中系数(maximum dynamic stress concentration factor,MAX DSCF)随k*的变化规律。当h*较小时,曲线在k*>0.5后会发生波动并出现多个较高的波峰。当h*=5.0和7.0时,MAX DSCF的最大值都出现在k*=3.13处,值为4.18和4.32;当h*=10.0时,在k*=3.45处,MAX DSCF取最大值3.17。当h*>10.0时,曲线虽然也会发生波动,但只出现多个较低的波峰,并且随着h*的增大,曲线震荡幅值越来越小,直到h*=106时,曲线变得平滑,最大值发生在低频k*=0.39处,值为2.10。因此,当带形域的厚度较小时,MAX DSCF随k*的变化较剧烈,并且最大值会出现在k*的高频区。增大h*可以降低MAX DSCF对k*的敏感程度。

      图  16  凹陷边沿最大动应力集中随k*的变化

      Figure 16.  Variation of maximum dynamic stress concentration factor with k* around the depression

    • 图17给出了0阶SH导波入射,带形域的无量纲厚度h*=10.0,106和无量纲波数k*=0.1,1.0,2.0和4.0时,凹陷边沿MAX DSCF随两个凹陷之间无量纲距离a*的变化规律。图17(a)中的黑色线代表带形域的上边界存在两个凹陷时,1号凹陷边沿的MAX DSCF值的变化情况;红色线代表带形域的上边界只有1号凹陷时凹陷边沿的MAX DSCF。可以看出,黑色线的大部分都在红色线的上方,因此大多情况下2号凹陷的存在对1号凹陷边沿动应力集中有放大作用。

      图  17  1号凹陷边沿动应力集中系数的最大值随两凹陷之间量纲距离a*的变化 (m=0, r*=1)

      Figure 17.  Variation of maximum dynamic stress concentration factor around the first depression with a* (m=0, r*=1)

      h*=10,a*=3~50时,如图17(a)所示,MAX DSCF曲线随a*的增大只呈现振荡性,无收敛性,这是因为2号凹陷产生的散射波会在上、下边界进行多次反射,即使a*较大,散射波的能量也会传到1号凹陷处。当h*=10.0,a*≥106时(可认为两凹陷相距无穷远),与图17(a)相比,曲线已经有收敛趋势但不明显,并且振幅仍然大于10−2,这是因为本文中没有考虑介质黏性对于弹性波衰减的影响。这说明:在理想弹性带形介质内,无论两个凹陷之间的距离有多大,都应考虑它们之间的影响。尽管实际材料大多为黏弹性体,但也应该对工程实践中板内两个或多个凹陷之间的相互作用给予足够的重视。

      h*=106时,如图17(c)(d)所示,带形域退化成半空间,此时MAX DSCF曲线随a*的增大呈现出振荡性和收敛性。当a*≥106时,曲线上下振荡范围小于10−2,这时2号凹陷对1号凹陷边沿动应力集中系数的影响可以忽略不计,与文献[5]中得到结果相同,即两峡谷相距较远时可以看作为孤立地形。

    • 图18给出了带形域的上边界有一个凹陷,0阶导波作用下,h*=10.0时,凹陷附近的上、下表面位移幅值w*随入射波无量纲波数k*变化的等高线图。图19给出了k*=2.0,凹陷附近的上、下表面位移幅值w*随带形域无量纲厚度h*变化的等高线图。

      图  18  表面位移幅值随k*的变化 (g=1, m=0, h*=10.0)

      Figure 18.  Variation of surface displacement amplitude with k* (g=1, m=0, h*=10.0)

      图  19  表面位移幅值随h*的变化 (g=1, m=0, k*=2.0)

      Figure 19.  Variation of surface displacement amplitude with h* (g=1, m=0, k*=2.0)

      对于上边界:从图18(a)中可以看出,无论k*为多少,上表面位移幅值的最大值均发生在$x/{r_1} = - 1$点,该点w*值随着k*的增大而震荡增大,并在k*=2.2处达到得最大值2.44。随着入射频率k*的增大,${w^*}$震荡逐渐加强,出现更多的波峰波谷交替,这种现象在$x/{r_1} {\text{<}} - 1$时较明显。相比于凹陷右侧($x/{r_1} {\text{>}}1$),凹陷左侧($x/{r_1} {\text{<}} - 1$)的位移震荡频率和幅值更大。由图19(a)可得,上表面位移幅值的最大值出现在点$x/{r_1} = - 1$附近的凹陷迎波面,图中w*h*=12.55,$x/{r_1} = - 1$处取最大值3.31。

      对于下边界:从图18(b)图19(b)可以看出,w*的震荡幅值和频率在经过凹陷后都有所减小,这种现象随着k*的增大和h*的减小越来越明显。

    • 利用复变函数法、波函数展开法、累次镜像法和多极坐标平移技术对带形域中多个半圆柱形凹陷在入射SH导波作用下的散射问题进行了研究,给出了满足上、下水平边界应力自由的SH型导波及带形介质内散射波的表达式。通过凹陷的边界条件建立了方程组,求解出了未知系数,得到了问题的解析解。并通过数值算例对带形域的边界存在一个凹陷和两个凹陷的情况进行了分析。研究表明:0阶SH导波作用下,凹陷的边沿动应力集中会随着带形域厚度的增大而震荡减小;在小厚度的带形域中入射中高频SH波时容易引起更高的动应力集中;上边界位移幅值的最大值会出现在凹陷的迎波面附近。当带形域的上边有两个凹陷时,第二个凹陷大多数情况下会引起第一个凹陷边沿动应力集中的增加,即使两凹陷距离较远,也应对两凹陷的之间影响给予足够的重视。本文的研究可以指导工程实践,如混凝土板表面排水凹陷、线路和管道的设计;也可以为边界元法和有限元法等数值方法提供理论支撑和参考。

参考文献 (17)

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