Study on failure zones and attenuation law of stress waves in concrete induced by cylindrical charge explosion
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摘要: 为了探究柱形装药爆炸应力波在混凝土介质中的传播规律，基于Karagozian and Case concrete (KCC)本构模型和多物质ALE算法（multi-material ALE，MMALE）开展数值模拟研究。首先，通过与已有的试验数据进行对比，验证了本构模型参数和数值算法的适用性；在此基础上以峰值应力为准则，对装药周围混凝土介质的爆炸破坏分区进行划分，并讨论了各破坏分区中爆炸应力波的衰减规律；之后，分析了装药长径比对爆炸破坏分区和爆炸应力波传播规律的影响；最后，进一步考虑装药埋深的影响，并建立柱形装药爆炸应力波峰值应力计算公式。研究结果表明：各爆炸破坏分区中爆炸应力波衰减规律存在显著差异，与中远区（过渡区和破裂区）相比，装药近区（拟流体区和压碎区）衰减更快，另外，柱形装药长径比增加会加快法向峰值应力的衰减；并且建立的爆炸应力波峰值应力计算公式可以较为准确快速地计算出不同形状、不同埋深下柱形装药爆炸应力波的法向峰值应力。Abstract: In blast-resistant structural design for conventional weapons, previous studies on blast-induced stress waves in solid media have predominantly focused on soil and rock media (i.e., ground shock issues), whereas research on the propagation and attenuation laws of stress waves in concrete remains relatively limited. Based on the KCC constitutive model in conjunction with the multi-material ALE (MMALE) algorithm, the propagation laws of stress waves in concrete induced by cylindrical charge explosion were numerically investigated. Firstly, the applicability of the constitutive model parameters and numerical algorithm were validated by comparing the results with the existing experiments. Subsequently, the peak stress was employed as a criterion to delineate the explosive damage zones in the concrete surrounding the charge. Additionally, the attenuation laws of explosion stress waves in each damage zone were discussed. Finally, the effect of burial depth was taken into further considered, and a formula for calculating the peak stress in concrete induced by cylindrical charge explosion was established. It was found that the attenuation patterns of blast-induced stress waves differ significantly in each explosion failure zone. The stress waves in the near-field zone (quasi-fluid and crushing zones) demonstrates a more rapid attenuation rate compared to that in the mid-field zone (transition and fracture zones). Furthermore, an increase in the aspect ratio of the cylindrical charge leads to an acceleration in the attenuation of the normal peak stress. Moreover, the established formula for calculating the peak stress of blast-induced stress waves enables accurate and rapid determination of the normal peak stress generated by cylindrical charges with varying geometries and burial depths, which can be served as a valuable reference for blast-resistant design of concrete structures.
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Key words:
- concrete /
- cylindrical charges /
- failure zones /
- explosion stress waves /
- peak stress
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钢筋混凝土结构是抗爆结构中最主要的结构类型，混凝土材料广泛应用于各类民用建筑、防护工事及遮弹层等防护屏障。以往针对常规武器的抗爆结构设计中，对固体介质中爆炸应力波的研究多针对土壤和岩石介质（即地冲击问题），对混凝土中爆炸应力波的传播与衰减规律研究较少。一方面是因为以往常规武器的精度较低，很难直接命中结构目标，地面结构的防护设计研究多基于结构外部爆炸场景；另一方面，对地下结构来说，以往常规武器的侵彻能力一般难以突破上方的覆土层和遮弹层而直接命中结构，因此地下结构抗爆通常仅考虑武器在结构外围介质中爆炸的情况[1]。然而，随着精确制导技术、深钻地战斗部、超高音速武器等先进技术的发展，战斗部直接命中结构的概率大大增加。此外，当前对结构类目标毁伤评估的需求日增，相对于仅需考虑一般偏保守情况的结构设计计算，毁伤评估计算更需要明确各类极端加载情况下结构的破坏机理和毁伤程度。因此，对混凝土介质中常规武器爆炸应力波效应的研究在当今显得尤为重要。
常规武器战斗部的装药形状多为圆柱形，因此，待研究问题可转化为柱形装药在混凝土介质中的爆炸应力波问题。目前主要的研究手段为试验和数值模拟。早期试验研究方面，以柱形装药在空气自由场中的爆炸试验居多，重点研究了不同长径比、不同起爆方式以及不同方位处爆炸波的荷载（超压峰值和冲量）特征。Plooster等[2]开展了一系列柱形装药空气自由场爆炸试验，测得了不同装药长径比、方位角和比例距离处的爆炸荷载。Ismail等[3]发现柱形装药产生的爆炸波非常复杂，超压时程曲线存在多重峰值。Wu等[4]通过开展空气自由场爆炸试验，对比了球型装药和柱形装药作用于钢筋混凝土板上的爆炸荷载，试验结果表明，柱形装药正下方处的反射超压和冲量远大于相同质量的球型装药。Shi等[5]通过爆炸试验对比分析了装药形状对爆炸荷载的影响，结果表明，装药形状对爆炸近区的爆炸荷载影响较大，当比例距离大于5.0 m/kg1/3时，其影响可以忽略不计。对混凝土介质中柱形装药爆炸试验的研究相对较少，黄家荣等[6]测量了混凝土介质中柱形装药的爆炸应力波，并对试验工况进行了数值模拟，模拟结果与试验结果吻合较好。Gebbeken等[7]通过开展柱形装药接触爆炸试验，获取了混凝土状态方程参数。
随着数值计算方法的发展与计算效率的提升，数值模拟已成为研究爆炸应力波问题的重要工具。Sherkar等[8]通过数值模拟分析了柱形装药形状和起爆点对空气自由场中爆炸应力波的影响，并认为装药形状对入射超压峰值和冲量产生影响的临界比例距离分别为3.69、2.74 m/kg1/3，而起爆点对爆炸荷载产生影响的临界比例距离为3 m/kg1/3，超过该距离时，可忽略其对爆炸荷载的影响。Xiao等[9]同样也开展了相关的研究工作，结果表明，柱形装药一端起爆产生的超压峰值和冲量最大，是等当量中心起爆的球型装药的约4.5倍（超压峰值）和约4.0倍（最大冲量）。Gao等[10]基于数值模拟研究了长径比和方位对中心起爆柱形装药产生的空气自由场爆炸荷载的影响，并建立了爆炸超压峰值和冲量的实用化计算公式。在此基础上，王明涛等[11]进一步开展了柱形装药空中爆炸数值模拟研究，提出了柱形装药空中爆炸入射和反射冲击波荷载的计算方法。Gao等[12]开展了混凝土中柱形装药爆炸试验，并结合数值模拟，在先前提出的混凝土中球形装药爆炸应力波的峰值应力计算公式[13]基础上，建立了混凝土中柱形装药爆炸应力波峰值应力的实用化计算公式，但其并未考虑爆炸应力波峰值应力衰减速度随传播距离的变化。杨耀宗等[14]开展了混凝土中带壳柱形装药爆炸应力波衰减规律的数值模拟研究，建立了带壳柱形装药峰值应力的计算公式，其适用比例爆距为0.30～1.0 m/kg1/3。
对于柱形装药爆炸应力波问题的已有研究以空气介质中爆炸荷载的分布特征居多，对混凝土介质中的爆炸应力波传播规律的研究相对较少。与空气冲击波相比，混凝土类介质中的应力波传播与衰减规律更为复杂，其与介质受力特征及介质状态密切相关[15]。炸药起爆之后，在混凝土介质中产生应力波并向外传播。在传播过程中应力波不断衰减，由初始的强间断冲击波衰减为弹塑性波[10]，混凝土介质状态也由高应力拟流体状态向低应力固体弹塑性状态转变[12-13]。然而，现有的混凝土中应力波衰减规律的研究鲜有考虑介质受力特征和介质状态对应力波衰减特征的影响；此外，在建立爆炸应力波峰值的实用化计算公式时，已有研究多采用单一衰减指数来统一描述拟流体状态和弹塑性状态的混凝土中的应力波衰减规律，其合理性和准确性有待商榷，需进一步探究。
本文中基于已有的柱形装药接触爆炸试验[7]，利用LS-DYNA有限元软件开展数值模拟研究，依据爆炸应力波特征对柱形装药周围混凝土介质破坏分区进行划分，分析不同破坏分区中的爆炸应力波衰减规律，并综合考虑柱形装药长径比、破坏分区（介质状态与受力特征）以及装药埋深对峰值应力的影响，提出柱形装药法向峰值应力实用化计算公式，为混凝土中爆炸应力波分析及防护工程抗爆设计提供参考。
1. 数值模型及验证
基于Gebbeken等[7]开展的混凝土靶板接触爆炸试验，采用LS-DYNA软件建立精细化数值模型，并对数值模拟方法和材料模型参数进行验证。
1.1 有限元模型
试验工况如图1所示，方形混凝土靶板边长为100 cm，高度为30 cm，混凝土水灰比为0.45，单轴抗压强度为51.2 MPa，密度为2.35 g/cm3；靶板内部共布置6个压力传感器，传感器分3层布置，同一层传感器间隔80 mm，上下层间隔20 mm，首层传感器距靶体上表面40 mm。圆柱形PETN炸药直径与高度均为75 mm，装药质量为500 g，起爆点位于装药尾部中心正下方10 mm处。
考虑到模型具有较好的对称性，为提高计算效率，采用二维轴对称方法建立有限元模型，模型尺寸与试验一致，如图2所示。混凝土靶底面和侧面采用自由边界，空气域上表面和侧面采用透射边界。采用多物质ALE算法（MMALE）进行数值模拟，其中炸药、空气和混凝土均采用ALE网格；相较于Lagrange算法和Euler算法，该方法既可以避免网格畸变问题，又可以较好地追踪物质界面，已广泛应用于侵彻爆炸等问题的数值模拟[16-19]。
1.2 材料参数
采用KCC本构模型[20]作为混凝土的材料模型，该模型引入了3个独立的强度面，即初始强度面、最大强度面和残余强度面，并综合考虑了材料损伤、应变率和静水压力对屈服应力的影响，可以较好地捕捉复杂应力状态下的混凝土行为，被广泛应用于混凝土类材料在爆炸荷载作用下的破坏效应分析[21-23]。Kong等[24]发现KCC模型自动生成的状态方程曲线与试验数据较为接近，但是强度面参数仅适用于低静水压，对于侵彻爆炸这类高静水压问题并不适用，并基于大量混凝土三轴试验数据重新确定了强度面参数。因此，本文中采用Kong等[24]改进的强度面参数，状态方程参数由KCC模型自动生成算法获得。
PETN炸药材料模型采用*MAT_HIGH_EXPLOSIVE_BURN，状态方程采用Jones-Wilkins-Lee（JWL）状态方程：
p=A(1−ωR1V)e−R1V+B(1−ωR2V)e−R2V+ωEV (1) 式中：p为爆轰产物压力，A、B、ω、R1、R2为状态方程参数，V为相对体积，E为单位体积内能。炸药材料参数采用参考Xiao等[25]等提供的参数，如表1[25]所示。
ρ/(kg·m−3) D/(m·s−1) pCJ/GPa A/GPa B/GPa ω R1 R2 E/ (GJ·m−3) 1500 7450 22 625.3 23.29 0.28 5.25 1.60 8.56 空气采用*MAT_NULL材料模型，状态方程采用多项式状态方程：
p=C0+C1μ+C2μ2+C3μ3+(C4+C5μ+C6μ2)E0 (2) 式中：p为空气压力；C0、C1、C2、C3、C4、C5、C6为自定义系数；μ=ρ/ρ0-1，ρ/ρ0为当前密度与参考密度的比值；E0为单位参考体积的初始能量；空气材料参数如表2[26]所示。
ρ/(kg·m−3) C0 C1 C2 C3 C4 C5 C6 E/(MJ·m−3) 1.2929 0 0 0 0 0 0.4 0 0.25 网格尺寸对数值模拟预测结果有显著影响，利用上述有限元模型和材料参数对网格收敛性进行分析。图3（a）和（b）分别为不同网格尺寸时，炸药正下方0.2 m处混凝土中的压力时程曲线和峰值压力，可以看出当网格尺寸小于3.0 mm时，压力时程曲线和峰值压力均开始收敛。因此，后续数值模拟的网格尺寸均设置为3.0 mm。
1.3 数值模拟结果验证
Gebbeken等[7]开展了3组相同工况的接触爆炸试验，各测点的应力时程曲线如图4所示，其中“gauge 1-3”表示第1组试验、测点3所测的试验数据。可以看出，试验数据存在较大的离散性，例如，3组爆炸试验中的第1层测点处的峰值应力最大值为16.06 GPa（gauge 2-4处），而最小值仅为1.55 GPa（gauge 3-4处）。Xiao等[25]研究表明，在爆炸近区，PETN炸药的等效TNT当量系数为3.31，因此，试验中500 g PETN炸药与
1655 g相同形状的TNT炸药威力相同。基于Hopkinson定律[27]，测点1、4处的峰值应力与相同形状的TNT炸药在比例距离为0.074 m/kg1/3时的峰值应力基本相同。Tu等[28]开展了类似工况的研究，并提出了TNT接触爆炸计算模型，确定了柱形装药（长径比为1.25）在C35混凝土中的爆炸应力波峰值应力，其中比例距离为0.074 m/kg1/3处的峰值应力为8.22 GPa。对比试验数据可以看出：第2组试验中的测点1、4处的峰值应力分别为14.72、16.06 GPa，明显偏大；而第3组试验数据分别为3.26、1.55 GPa，明显偏小；第1组试验数据分别为11.16、9.21 GPa，与上述计算值相近，较为合理。试验数据和数值模拟结果的对比如图4所示，可以看出：整体上，数值模拟的波形与试验数据吻合较好；虽然试验数据与数值模拟结果存在一些差异，但是数值模拟结果处于试验数据范围内。进一步可以发现，数值模拟计算的峰值应力与第1组试验数据吻合较好。由于同层传感器的比例距离相同，因此，取同层传感器的峰值应力平均值代表该比例距离处的峰值应力，进而计算出平均误差，其值均小于18%，如表3所示。此外，需要注意的是，数值模拟得到的应力时程曲线下降段呈现振荡现象。主要原因是，一方面，接触爆炸条件下，该区域直接地冲击与感生地冲击会发生耦合作用[29]；另一方面，爆炸结束前，混凝土中始终会存在压缩波与稀疏波的相互作用[13, 30]，从而引起波形的震荡。与数值模拟结果相比，试验数据曲线下降段振荡频率较弱，这可能是因为传感器采样频率较低，未捕捉到其余峰值应力。由此可见，采用的KCC本构模型和MMALE算法可以较为准确地描述混凝土介质中爆炸应力波的传播规律。
表 3 第1组试验中各测点峰值应力的试验结果与数值模拟结果的对比Table 3. Comparison of stress peak of tests with that of numerical simulation in the first group测点试验值/GPa 试验平均值/GPa 数值模拟值/GPa 平均误差/% gauge 1-1 gauge 1-4 10.261 8.476 17.40 11.156 9.366 gauge 1-3 gauge 1-6 1.316 1.134 13.83 1.248 1.384 gauge 1-2 gauge 1-5 0.492 0.531 7.93 0.518 0.466 注：平均误差=（试验平均值-数值模拟值）/平均值×100% 2. 柱形装药作用下混凝土破坏分区划分及应力波衰减规律
混凝土中柱形装药爆炸引起的应力波与装药形状（长径比）、装药类型、埋置深度、比例距离等因素相关，首先对混凝土自由场中的爆炸应力波衰减机理进行分析，之后再进一步考虑装药长径比和埋置深度的影响。常规武器的威力通常以TNT当量来衡量，其参数已被广泛应用于防护结构抗爆设计，其他装药类型当量可通过TNT等效系数进行换算，因此，后续数值模型中装药采用TNT，参数见文献[31]。基于上述验证的本构模型和数值算法，建立了长径比为1的柱形装药封闭爆炸的数值模型，起爆点位于柱形装药顶部中心点，装药当量和网格信息与上述模型一致，有限元模型如图5所示。
2.1 柱形装药作用下混凝土破坏分区划分
炸药爆炸之后，装药周围介质在爆炸应力波的剧烈作用下发生汽化、粉碎、破裂等现象[32-33]。依据介质的破坏程度和损伤状态，装药周围介质可以划分为不同的区域。李守巨等[34]、钱七虎等[35]和王明洋等[36]将装药周围的岩石划分为粉碎区、破裂区和弹性区，之后，张志呈等[37]和冷振东等[38]基于岩体破坏特征将破碎区细分为剪切破碎区和裂隙区。近两年，Mandal等[39]和Gao等[12-13]将封闭空间下装药周围混凝土介质破坏分为5个区域，即近流体区、压碎区、过渡区、破裂区和弹性区，如图6所示。
本文中借鉴Mandal等[39]和Gao等[12-13]提出的方法对混凝土中爆炸破坏分区进行划分，近流体区混凝土介质中静水压力远大于其剪切强度，呈塑性流动状态。压碎区混凝土的强度效应逐渐显现，但是由于所受作用力远大于其强度，混凝土被挤压破碎[13]。Van等[40]根据试验数据建立了混凝土压碎强度σcr与混凝土抗压强度fc关系式：
σcr=fc27.5(400∼1000) (3) 基于上述关系式确定文中混凝土的压碎强度范围为0.74～1.86 GPa，当爆炸应力波峰值应力处于该范围内时，混凝土被完全压碎形成压碎区。当峰值应力超过1.86 GPa时，混凝土呈流体状态，形成近流体区。利用数值模拟计算结果确定近流体区和压碎区范围为0.08～0.13 m/kg1/3和0.13～0.17 m/kg1/3。
过渡区是连接破碎区和破裂区的中间区域，由于泊松效应，该区域的混凝土受到径向和环向压应力的同时作用，发生剪切破坏，裂隙呈网状分布。破裂区的混凝土环向约束消失，环向拉伸应力开始起主导作用，当环向拉应力大于混凝土抗拉强度时，形成径向裂隙；随着应力波继续向外传播，强度进一步下降，当环向拉伸应力低于混凝土抗拉强度时，裂隙停止扩展，裂隙之外为弹性区。对比过渡区和破裂区混凝土的受力特征，不难发现：过渡区和破碎区混凝土的环向应力存在显著差异，前者主要承受环向压应力作用，而后者主要承受环向拉应力，且拉应力大于其抗拉强度，因此，可以基于这一特征来划分过渡区和破碎区。
图7为比例距离Z为0.32～1.07 m/kg1/3时，柱形装药正下方测点的环向应力（σx）时程曲线。可以看出：比例距离为0.32～0.55 m/kg1/3时，混凝土环向主导应力由压应力（正值）转变为拉应力（负值），且比例距离为0.46 m/kg1/3 时，环向拉应力峰值为4.9 MPa, 大于文中混凝土抗拉强度（4.5 MPa[41]），因此，本文中以比例距离0.46 m/kg1/3 为过渡区与破裂区的分界线。
基于上述分析，长径比为1的柱形TNT爆炸作用下，混凝土介质近流体区、压碎区、过渡区和破裂区范围分别为0.08～0.13、0.13～0.17、0.17～0.46、0.46～1.0 m/kg1/3，Gao等[12]计算的近流体区和压碎区范围均稍大于本文计算结果，主要因为柱形装药在近区的峰值应力衰减速度比球型装药更快[9, 42]，混凝土的损伤云图及破坏分区划分如图8所示。
图 8 混凝土的损伤云图及破坏分区划分Figure 8. Damage contour and the division of failure zones for concrete target2.2 柱形装药法向各破坏分区应力波衰减规律
图9为不同比例距离处的柱形装药法向（y方向）应力时程曲线（以压应力为正），可以看出，随着比例距离的增大，冲击波迅速衰减为具有升压时间的塑性波，波形逐渐变缓变长，峰值应力逐渐降低。比例距离为0.08～0.12 m/kg1/3时，爆炸应力波为强间断冲击波，升压时间接近0 μs，峰值应力呈现线性衰减，由5.69 GPa衰减为2.27 GPa；比例距离为0.18～0.30 m/kg1/3时，爆炸应力波升压时间由13.91 μs增至39.40 μs，峰值应力由0.64 GPa衰减为0.22 GPa；比例距离为0.40～0.60 m/kg1/3时，爆炸应力波升压时间由50.35 μs增至55.38 μs，峰值应力由0.14 GPa衰减为0.07 GPa，此时升压时间增长和峰值应力衰减速率均减缓；比例距离为0.70～1.00 m/kg1/3时，升压时间由58.49 μs增至59.01 μs，峰值应力由0.06 GPa衰减为0.04 GPa，此范围内塑性波进一步衰减为弹性波，升压时间基本保持不变，由于柱（球）面波的几何扩散效应，峰值应力继续衰减。
图 9 柱形装药法向不同测点应力时程曲线Figure 9. Normal stress-time curves at different measurement points for cylindrical charges上述分析表明，近流体区和压碎区的混凝土中应力波为强间断冲击波，而到了过渡区和破裂区，冲击波已经衰减为塑性波，其波形的上升段与下降段均放缓。当比例距离达到1.0 m/kg1/3时，峰值应力已小于混凝土的抗压强度，此时爆炸应力波已衰减为弹性波。表4总结了装药长径比为1时，混凝土自由场爆炸破坏分区边界尺寸及介质受力特征。
表 4 混凝土自由场破坏分区边界尺寸及介质受力特征Table 4. Concrete failure zone boundaries in a free field and stressed medium properties破坏分区类型 边界尺寸/（mkg1/3） 混凝土介质受力特征 近流体区 0.08～0.13 混凝土受强间断冲击波作用，其峰值应力远大于混凝土剪切强度，介质呈塑性流动状态 压碎区 0.13～0.17 爆炸应力值远大于混凝土抗压强度，介质被完全压碎 过渡区 0.17～0.46 混凝土介质受环向和径向压力共同作用，发生压剪破坏，裂隙呈网状分布 破裂区 0.46～1.0 混凝土介质主要受环向拉应力作用，发生拉伸破坏，形成径向裂隙 弹性区 ≥ 1.0 介质未发生塑性变形，处于弹性状态 基于Hopkinson相似律[27]，固体介质中爆炸应力波峰值应力通常以式（4）所示的幂指数形式给出：
σm=k(QW1/3)−n (4) 式中：σm为某一测点的峰值应力；k为应力衰减系数；Q为测点至装药中心的距离；W为装药质量；Q·W−1/3为比例距离，使用Z表示；n为衰减指数，其值越大表示峰值应力衰减越快。
在防护工程抗爆设计中，峰值应力的最大值通常是设计者关注的重点，主要出现在常规武器法向[12]（y方向），因此后续研究中的峰值应力σm默认指代法向峰值应力。双对数坐标系下柱形装药正下方的峰值应力σm与比例距离Z关系如图10所示，可以看出，近流体区与压碎区的峰值应力衰减明显快于过渡区和破裂区，这表明单一衰减指数难以准确描述各个破坏分区的峰值应力衰减规律。王明洋等[43]和吴祥云等[15]基于试验和数值模拟研究了岩石类介质中爆炸地冲击传播规律，也发现装药近区（0～0.2 m/kg1/3）和中远区（0.2～1.0 m/kg1/3）的峰值应力衰减规律存在显著差异。
值得注意的是，现有的混凝土介质中爆炸应力波峰值应力计算公式多数都采用了单一衰减指数，如Mu等[44-45]提出的球型装药峰值应力计算公式的衰减指数n为1.739（C50混凝土）；高矗等[13]提出的球型装药峰值应力计算公式的衰减指数n为1.734，并在此基础上建立了柱形装药的峰值应力计算公式的衰减指数为2.38（0～0.24 m/kg1/3，其余区间与球型装药一致）[12]；杨耀宗等[14]提出的柱形装药峰值应力计算公式的衰减指数n为1.39（CF120混凝土）。图10对比了现有计算公式结果与数值模拟结果，需要说明的是，由于衰减系数k与介质类型相关[46]，为此本节只选取上述已有计算公式的衰减指数n，通过拟合数值模拟数据确定最优的衰减系数k。结果显示，n为1.734和1.739时，在0.15～0.80 m/kg1/3范围内，计算值与数值模拟结果吻合较好，而范围外计算值明显偏小，最大差值达4.25 GPa；n为1.39时，在0.24～1.0 m/kg1/3范围内，计算值与数值模拟结果吻合较好，而在0～0.24 m/kg1/3范围内，计算值显著低估峰值应力；相较于单一衰减指数的计算公式，两段式[12]（n为2.38和1.734）的计算公式更优，但是计算值与数值模拟结果的最大差值仍可达2.97 GPa，这可能是由于未考虑衰减指数随着传播距离的变化所致。
为了分析衰减指数随传播距离的变化规律，图11给出了各破坏分区测点的峰值应力与比例距离的关系，并通过最小二乘法拟合确定各破坏分区的峰值应力衰减系数k和衰减指数n。可以看出，拟合曲线与峰值应力衰减趋势吻合良好，相关性系数R2均大于0.98；整体上，装药近区（近流体区和压碎区）峰值应力衰减速度大于中远区（过渡区和破裂区），且衰减系数k与衰减指数n呈负相关。此外，数值结果发现压碎区衰减指数（3.224）大于近流体区（2.539），这可能是因为压碎区混凝土介质由高应力拟流体状态向固体塑性状态转变，造成阻力突变，加速了峰值应力的衰减[47]。
图 11 各破坏分区竖向峰值应力与比例距离散点图Figure 11. Scatter plot of vertical peak stress versus scaled distance for each failure zone2.3 装药长径比对峰值应力衰减规律的影响
已有学者研究表明装药长径比l/d对峰值应力具有显著影响[5, 8, 48]，为探究装药长径比对峰值应力的影响规律，分别开展了长径比为1、2、4、6和8的柱形装药在封闭空间下的数值模拟研究。基于2.1节中爆炸破坏分区划分方法以及2.2节中衰减系数k和指数n计算方法，分别计算出了长径比2、4、6和8的柱形装药法线方向的破坏分区及衰减参数，如表5所示，可以看出：长径比在2～8之间的柱形装药工况下的峰值应力衰减系数k随着长径比增大而递减，而衰减指数n随着长径比增大而递增。
表 5 不同长径比的柱形装药各破坏分区参数Table 5. Parameters for different length-to-diameter ratios of cylindrical charges in each failure zonel/d 分区 Z/(m/kg1/3) k n R2 2 近流体区 0.10～0.15 1.70×10−3 3.59 0.9937 压碎区 0.15～0.18 6.05×10−4 3.96 0.9862 过渡区 0.18～0.44 2.03×10−2 1.98 0.9943 破裂区 0.44～1.00 3.28×10−2 1.47 0.9991 4 近流体区 0.14～0.17 1.82×10−4 5.25 0.9945 压碎区 0.17～0.20 1.69×10−5 6.59 0.9780 过渡区 0.20～0.42 1.62×10−2 2.24 0.9891 破裂区 0.42～1.00 3.16×10−2 1.52 0.9991 6 近流体区 0.17～0.20 4.88×10−5 6.61 0.9964 压碎区 0.20～0.22 1.34×10−6 8.83 0.9705 过渡区 0.22～0.40 1.16×10−2 2.66 0.9826 破裂区 0.40～1.00 3.05×10−2 1.59 0.9985 8 近流体区 0.20～0.23 6.66×10−6 8.49 0.9897 压碎区 0.23～0.25 5.39×10−7 10.15 0.9773 过渡区 0.25～0.40 9.30×10−3 2.97 0.9783 破裂区 0.40～1.00 2.85×10−2 1.67 0.9975 利用上述表格所列的区间范围，确定破坏分区随长径比变化的规律，如图12所示，（图中的虚线为各个破坏分区的分界线，例如Zca, fl为空腔与近流体区的分界线）。可以看出：随着柱形装药长径比的增大，近流体区、压碎区和过渡区逐渐变窄。图13为不同长径比柱形装药底部（p1）和空腔区边界处（p2）的峰值应力变化趋势图，可以发现：一方面，柱形装药长径比增大使得装药底部的峰值应力提升，与文献[28]观点一致；另一方面，柱形装药长径比增大导致峰值应力衰减系数变大，应力衰减加快[14]，导致空腔区边界处（p2）的峰值应力随着装药长径比增大而减小，进一步导致其他破坏分区变窄。
图 12 破坏分区范围随着长径比的变化关系Figure 12. Failure zone boundaries versus ratio of length to diameter
图 13 装药底部及空腔壁处峰值应力变化趋势Figure 13. Peak stress in guage1 and 2 versus ratio of length to diameter图14展示了不同长径比柱形装药的峰值应力衰减规律，可以看出，随着长径比增大，装药正下方峰值应力衰减速度加快，且近流体区和压碎区的衰减速度明显快于其他破坏分区，表明装药近区峰值应力对装药长径比更为敏感。图15进一步给出了各破坏分区的衰减系数k、衰减指数n与长径比l/d的关系，之后，采用最小二乘法拟合建立k、n与l/d之间的函数表达式。可以看出，函数表达式与数值模拟结果吻合较好，相关性系数R2均大于0.98。衰减系数k与柱形装药长径比l/d呈负相关，其中在近流体区和压碎区，两者呈指数关系，而在过渡区和破裂区，两者呈线性关系。文献[14]中指出衰减系数k的取值与介质类型相关，这也说明了近流体区和压碎区混凝土介质属性相近。衰减指数n与长径比l/d呈线性正相关，并且近流体区和压碎区的衰减指数n大于过渡区和破裂区，这也说明了装药近区的峰值应力衰减更快。
图 14 不同长径比条件下峰值应力与比例距离散点图Figure 14. Scatter plot of peak stress versus scaled distance under different aspect ratios
图 15 各破坏分区衰减系数k、衰减指数n与长径比的关系散点图Figure 15. Scatter plot of attenuation coefficient k and attenuation index n versus aspect ratio for each failure zone3. 柱形装药峰值应力实用化计算公式
3.1 不同长径比的柱形装药峰值应力计算公式
基于上述分析，当比例距离大于1.00 m/kg1/3时，柱形装药爆炸波已衰减为弹性波。本文中重点关注比例距离小于1.00 m/kg1/3的混凝土中的峰值应力分布，此范围内混凝土介质可以分为近流体区、压碎区、过渡区和破裂区。鉴于近流体区和压碎区范围较窄，并随柱形装药长径比增大而逐渐缩小，且区间内混凝土介质受力特征相似，均以承受静水压为主。参考岩石介质的相关研究[34, 38]将两者合并，统称为粉碎区。基于数值模拟结果，分段拟合得到k和n的表达式如下：
k={0.015exp(−1.4ld)Zca,fl≤Z＜Zcr,tr−0.002ld+0.025Zcr,tr≤Z＜Ztr,cr−0.0007ld+0.034Ztr,cr≤Z≤1.0 (5) n={0.95ld+1.92Zca,fl≤Z＜Zcr,tr0.16ld+1.65Zcr,tr≤Z＜Ztr,cr0.03ld+1.41Ztr,cr≤Z≤1.0 (6) 式中：Zi, j表示破坏分区i与破坏分区j分界线，如Zca, fl表示空腔与近流体区的分界线，不同长径比柱形装药的Zi, j值见表5；通过等式（4）～（6），可快速地计算出柱形装药峰值应力。
不同长径比的柱形装药爆炸应力波峰值应力数值模拟结果与计算公式结果对比如图16所示，可以看出，两者吻合良好，最大误差为10.1%，说明计算公式可以准确预测不同长径比的柱形装药峰值应力值。
图 16 数值模拟与式 (4)～(6) 计算结果对比Figure 16. Comparison of stress peak values between numerical simulations and Eqs. (4)-(6)3.2 变埋深条件下的柱形装药峰值应力计算公式
装药埋置深度决定了耦合传入混凝土中的爆炸能量，通常采用TM5-855-1中的峰值应力耦合系数f[49]来量化分析其对柱形装药爆炸应力波峰值应力的影响。Gao等[12]和杨耀宗等[14]认为柱形装药长径比对耦合系数f影响较小，对实际工程而言可以忽略。此外，Gao等[12]基于爆轰产物与混凝土之间的耦合机制建立了峰值应力耦合系数f与比例距离Z之间的简化模型，如图17（b）所示，具体表达式如下：
f={f0+(1−f0)(0.57−Z)/0.570＜Z≤0.57f00.57＜Z≤1.0 (7) f0={0.51+0.49ln(1+2h/l)0≤h/l＜0.861h/l≥0.86 (8) 式中：h/l表示为相对埋深[12]，指柱形装药底端至靶体表面的距离h与装药长度l的比值，如图17（a）所示。
结合式（4）～（8），可以得到变埋深条件下，不同长径比的柱形装药峰值应力计算公式：
σm=kf(QW1/3)−n (9) 4. 结 论
基于KCC本构模型和多物质ALE算法，采用LS-DYNA软件开展了柱形装药爆炸应力波在混凝土介质中的衰减规律研究。主要对装药周围介质破坏分区进行了划分，并探讨了各个破坏分区上爆炸应力波衰减规律，以及柱形装药长径比对各破坏分区峰值应力衰减规律的影响，并在此基础上提出了柱形装药峰值应力实用化计算公式。主要结论如下：
(1)采用径向压应力和环向拉应力为阈值对装药周围介质进行划分，可以较好地表征爆炸破坏分区的分布；近流体区和压碎区爆炸应力波为冲击波，而过渡区和破裂区为塑性波，并且相较于过渡区和破裂区，近流体区和压碎区爆炸应力波峰值应力衰减更快。这说明峰值应力的衰减规律无法使用单一衰减指数进行描述，需进行分段描述；
(2)随着柱形装药长径比增加，爆炸应力波峰值应力衰减加快，衰减指数呈线性递增，近流体区和压碎区衰减系数呈指数递减，过渡区和破裂区衰减系数呈线性递减；此外，柱形装药长径比增加导致法向近流体区、压碎区、过渡区和破裂区范围逐渐减小；
(3)基于混凝土介质中爆炸应力波衰减规律的分析，综合考虑了各破坏分区的差异性、装药长径比以及埋置深度等因素，提出了柱形装药爆炸应力波峰值应力实用化计算公式，可以准确快速地计算出柱形装药爆炸应力波的峰值应力。
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图 8 混凝土的损伤云图及破坏分区划分
Figure 8. Damage contour and the division of failure zones for concrete target
图 9 柱形装药法向不同测点应力时程曲线
Figure 9. Normal stress-time curves at different measurement points for cylindrical charges
图 11 各破坏分区竖向峰值应力与比例距离散点图
Figure 11. Scatter plot of vertical peak stress versus scaled distance for each failure zone
图 12 破坏分区范围随着长径比的变化关系
Figure 12. Failure zone boundaries versus ratio of length to diameter
图 13 装药底部及空腔壁处峰值应力变化趋势
Figure 13. Peak stress in guage1 and 2 versus ratio of length to diameter
图 14 不同长径比条件下峰值应力与比例距离散点图
Figure 14. Scatter plot of peak stress versus scaled distance under different aspect ratios
图 15 各破坏分区衰减系数k、衰减指数n与长径比的关系散点图
Figure 15. Scatter plot of attenuation coefficient k and attenuation index n versus aspect ratio for each failure zone
图 16 数值模拟与式 (4)～(6) 计算结果对比
Figure 16. Comparison of stress peak values between numerical simulations and Eqs. (4)-(6)
ρ/(kg·m−3) D/(m·s−1) pCJ/GPa A/GPa B/GPa ω R1 R2 E/ (GJ·m−3) 1500 7450 22 625.3 23.29 0.28 5.25 1.60 8.56 
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ρ/(kg·m−3) C0 C1 C2 C3 C4 C5 C6 E/(MJ·m−3) 1.2929 0 0 0 0 0 0.4 0 0.25
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表 3 第1组试验中各测点峰值应力的试验结果与数值模拟结果的对比
Table 3. Comparison of stress peak of tests with that of numerical simulation in the first group
测点试验值/GPa 试验平均值/GPa 数值模拟值/GPa 平均误差/% gauge 1-1 gauge 1-4 10.261 8.476 17.40 11.156 9.366 gauge 1-3 gauge 1-6 1.316 1.134 13.83 1.248 1.384 gauge 1-2 gauge 1-5 0.492 0.531 7.93 0.518 0.466 注：平均误差=（试验平均值-数值模拟值）/平均值×100%
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表 4 混凝土自由场破坏分区边界尺寸及介质受力特征
Table 4. Concrete failure zone boundaries in a free field and stressed medium properties
破坏分区类型 边界尺寸/（mkg1/3） 混凝土介质受力特征 近流体区 0.08～0.13 混凝土受强间断冲击波作用，其峰值应力远大于混凝土剪切强度，介质呈塑性流动状态 压碎区 0.13～0.17 爆炸应力值远大于混凝土抗压强度，介质被完全压碎 过渡区 0.17～0.46 混凝土介质受环向和径向压力共同作用，发生压剪破坏，裂隙呈网状分布 破裂区 0.46～1.0 混凝土介质主要受环向拉应力作用，发生拉伸破坏，形成径向裂隙 弹性区 ≥ 1.0 介质未发生塑性变形，处于弹性状态
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表 5 不同长径比的柱形装药各破坏分区参数
Table 5. Parameters for different length-to-diameter ratios of cylindrical charges in each failure zone
l/d 分区 Z/(m/kg1/3) k n R2 2 近流体区 0.10～0.15 1.70×10−3 3.59 0.9937 压碎区 0.15～0.18 6.05×10−4 3.96 0.9862 过渡区 0.18～0.44 2.03×10−2 1.98 0.9943 破裂区 0.44～1.00 3.28×10−2 1.47 0.9991 4 近流体区 0.14～0.17 1.82×10−4 5.25 0.9945 压碎区 0.17～0.20 1.69×10−5 6.59 0.9780 过渡区 0.20～0.42 1.62×10−2 2.24 0.9891 破裂区 0.42～1.00 3.16×10−2 1.52 0.9991 6 近流体区 0.17～0.20 4.88×10−5 6.61 0.9964 压碎区 0.20～0.22 1.34×10−6 8.83 0.9705 过渡区 0.22～0.40 1.16×10−2 2.66 0.9826 破裂区 0.40～1.00 3.05×10−2 1.59 0.9985 8 近流体区 0.20～0.23 6.66×10−6 8.49 0.9897 压碎区 0.23～0.25 5.39×10−7 10.15 0.9773 过渡区 0.25～0.40 9.30×10−3 2.97 0.9783 破裂区 0.40～1.00 2.85×10−2 1.67 0.9975
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